具有内生传染的系统性风险SPDE模型

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英文标题：
《An SPDE Model for Systemic Risk with Endogenous Contagion》
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作者：
Ben Hambly, Andreas Sojmark
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We propose a dynamic mean field model for `systemic risk\' in large financial systems, which we derive from a system of interacting diffusions on the positive half-line with an absorbing boundary at the origin. These diffusions represent the distances-to-default of financial institutions and absorption at zero corresponds to default. As a way of modelling correlated exposures and herd behaviour, we consider a common source of noise and a form of mean-reversion in the drift. Moreover, we introduce an endogenous contagion mechanism whereby the default of one institution can cause a drop in the distances-to-default of the other institutions. In this way, we aim to capture key `system-wide\' effects on risk. The resulting mean field limit is characterized uniquely by a nonlinear SPDE on the half-line with a Dirichlet boundary condition. The density of this SPDE gives the conditional law of a non-standard `conditional\' McKean--Vlasov diffusion, for which we provide a novel upper Dirichlet heat kernel type estimate that is essential to the proofs. Depending on the realizations of the common noise and the rate of mean reversion, the SPDE can exhibit rapid accelerations in the loss of mass at the boundary. In other words, the contagion mechanism can give rise to periods of significant systemic default clustering.
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中文摘要：
我们提出了一个大型金融系统中“系统性风险”的动态平均场模型，该模型源自于一个在原点具有吸收边界的正半线上的相互作用扩散系统。这些扩散代表金融机构违约的距离，零吸收对应违约。作为对相关暴露和羊群行为建模的一种方法，我们考虑了一种常见的噪声源和漂移中的一种均值回归形式。此外，我们引入了一种内生传染机制，其中一个机构的违约可以导致其他机构违约距离的下降。通过这种方式，我们旨在捕获对风险的关键“全系统”影响。得到的平均场极限的唯一特征是半直线上具有Dirichlet边界条件的非线性SPDE。该SPDE的密度给出了非标准“条件”McKean-Vlasov扩散的条件定律，对于该定律，我们提供了一个新的上Dirichlet热核类型估计，这对证明至关重要。根据常见噪声的实现情况和平均回复率，SPDE可以在边界处质量损失中表现出快速加速。换言之，这种传染机制可能会导致一段时期的重大系统性违约集群。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> An_SPDE_Model_for_Systemic_Risk_with_Endogenous_Contagion.pdf (1.16 MB)

2022-6-6 19:26:53 上传

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关键词：系统性风险 系统性 SPD PDE Mathematical

牛津大学安德烈亚斯·瑟马克数学研究所内生传染的系统性风险SPDE模型2018年9月28日摘要我们提出了大型金融系统中“系统性风险”的动态平均场模型，该模型源自一个在原点具有吸收边界的正半线上相互作用的微分系统。这些差异代表金融机构与违约的距离，零吸收对应违约。作为对相关暴露和羊群行为建模的一种方法，我们考虑了噪声的共同来源和漂移中均值回归的一种形式。此外，我们引入了一种内生传染机制，即一家机构的违约可能导致与其他机构违约距离较远的adrop。通过这种方式，我们旨在捕捉关键的“全系统”风险影响。由此产生的平均场极限由半直线上的非线性SPDE和Dirichlet边界条件来表征。该SPDE的密度给出了非标准“条件”McKean-Vlasov扩散的条件定律，为此，我们提供了一个新的上Dirichlet热核型估计，这对证明至关重要。根据常见噪声的实现和平均回复率，SPDE可以在边界质量损失中表现出快速加速。换言之，这种传染机制可能会导致一段时期的重大系统性违约集群。1引言2007-2009年金融危机最重要的教训之一是全系统风险视角的必要性。也就是说，金融模型需要考虑金融系统的相互关联性，并且必须纳入合理的金融传染概念，即一家机构的困境可能导致系统其他成员的损失。

虽然这些想法已经对宏观审慎政策（Benoit等人[5]，Duffee[22]）和压力测试实践（Dees，Henry&Martin[19]）产生了影响，但仍然迫切需要更好地理解似乎是金融危机真正驱动因素的动态反馈效应和放大机制。事实上，人们普遍认为，在一个数量级内，危机的程度不能简单地用（线性）外部冲击来解释，例如抵押贷款支持证券的评估（Cochrane【13】、Brunnermeier【7】、Hellwig【37】）。相反，人们认为，小规模的冲击已经演变为一系列事件的螺旋，这些事件植根于金融系统本身，并被各个机构之间的无数互动放大。因此，有人明智地呼吁更好地理解系统性风险的内生（非线性）性质（Pedersen【47】、Danielsson、Shin&Zigrand【18】），并强调系统性风险本质上是动态的，通常是在危机发生之前在背景中逐渐累积的（Brunnermeier、Gorton&Krishnamurthy【8】）。1.1风险的全系统视角考虑大型金融系统的“代表性”成员，并让Xt∈ [0, ∞) 表示衡量其在时间t的财务健康状况，我们称之为违约距离。忽略系统范围的影响，结构信贷风险理论中的经典方法是通过带漂移的布朗运动将XT模型简化为孤立的，其中违约发生在第一次达到零的时间。

如果“隔离”意味着所有参与者都是独立的，那么这意味着金融系统的整体健康状况可以通过线性（确定性）热方程来描述。本文的目的是通过提出一个从相互作用粒子系统衍生的平均场模型，将系统性风险引入到这幅图中，该模型包括（i）常见暴露、（ii）群体行为和（iii）内源性传染的简化。总之，金融系统的健康状况现在将由正半线上的非线性平均场类型描述（定理2.4和2.6），并且在适当的意义上，“代表性”金融机构的动态不再是一个带有漂移的布朗运动，而是一个条件McKean–Vlasov型SDE，依赖于其路径的条件定律，给定常见风险的噪声（定理2.7）。1.2关于系统性风险的现有文献全球金融危机十年后，目前有大量工作涉及金融系统中复杂的互动网络，以及作为多元化来源或传染渠道的互联性的双重角色。在数学建模方面，可以确定应对系统性风险挑战的三种主要方法。首先，有大量关于基于网络的清算和传染模型的文献，这些文献扩展了Eisenberg&Noe[24]和Allen&Gale[2]的早期框架（有关这种方法的全面回顾，请参见[32]）。虽然这些网络模型主要是静态的，但最近在班纳吉、伯恩斯坦和范斯坦研究了动态扩展[4]。接下来，是卡莫纳、福克和孙（11）以及加尼尔、帕帕尼科劳和韦（27）等人关于动态平均场模型的小得多的文献。

这些模型得益于更丰富的动态和随机结构，但最终侧重于忽略违约和传染的非常简单的银行间互动（另请参见[25、26、10、28]）。最后，还有关于大型投资组合信用风险的基于强度的模型的相关简化文献（参见[30，31，17]）。这些模型试图融合违约传染的隐含概念，Spiliopoulos【50】和Giesecke、Schwenkler和Sirignano【29】在系统风险背景下对其进行了讨论。我们在这里提出的模型自然属于平均场文献，然而，我们开发了一个更灵活的框架，通过违约的结构性机制将传染内在地结合起来。这种方法明显不同于简化的形式文献，在简化的形式文献中，传染是以自激点过程的形式出现的，并且在概念上更接近基于网络的方法。1.3内生传染机制我们的出发点受到了近期大型投资组合信贷风险结构建模动态框架的启发（参见[35，9]）。具体而言，我们用Yit=log（Ait）给出的违约距离概念来识别每个金融机构（以下简称银行）- 日志（Dit），对于i=1，N、 其中，Ait是i银行资产的市场价值，Dit表示其违约壁垒。这些违约距离将通过适当的随机过程在（0，∞) 原点吸收对应默认值。

精确的动力学将在第1.4节中详细说明，但首先我们讨论如何纳入传染机制。为简单起见，我们假设可以通过为每个银行分配一个权重ANI=ai/PNn=1来描述系统，其中c≤ 人工智能≤ 对于固定常数C，C>0。这些权重可能取决于违约的初始距离，它们反映了银行的相对重要性，即ANI将决定银行i对其他银行的影响力。请注意，PNI=1aNi=1，aNi=O（1/N）为N→ ∞. 特别是，在人口众多的情况下，nosingle银行可以对系统产生宏观影响。备注1.1（系统重要性银行）。由于我们的模型将包含一个共同的噪声源，后一种情况并不像看起来那样具有限制性。事实上，我们可以通过单独的差异对一组流动性特别强的银行进行建模，然后将其视为小型银行动态中的常见输入。假设j银行是第一家违约的银行。其对任何其他银行i的传染性影响将由权重Anji和参数αit确定≥ 0衡量在时间t时，违约对银行i的成本。具体而言，我们根据规则Ai.7通过对其他银行的资产价值进行“贴现”来模拟由此产生的传染-→^Ai·：=经验值-aNjR·αisdLj，NsAi·，对于每个i 6=j，（1.1），带Lj，Nt：=RtK（t- r） 1r级≥τjdr，其中影响核K∈ L（R+）为违约引发的损失的逐步恢复建模。我们强调，这些损失不限于直接的交易对手风险敞口，也可能来自更间接的来源，如合并的流动性短缺、零售和信心下降。观察t的Lj，Nt=0≤ τjand，通过要求kKkL=1，我们得到所有t的Lj，Nt=1≥ τj+εwheneversupp [0，ε]，对于某些ε>0。备注1.2（α的解释）。考虑α是固定常数且suppk的情况 [0, ε].

在时间t=τj+ε时，（1.1）中的贴现形式为^Ait=exp{-αaNj}Ait’（1- αaNj）Ait，对于大N，因为aNj=O（1/N）。换言之，到时间τj+ε时，jhas银行的违约导致每家银行i 6=j损失了其资产价值的一部分αanj，相对于它们在没有传染的情况下的价值。还要注意的是，α可能与系统的连通性有关：例如，假设每次违约只影响随机抽样的银行比例，每个银行在j银行违约时损失的α是其资产价值的1倍。随着N变得越来越大，这对系统的影响与所有银行遭受的损失较小的^α乘以其资产价值相似，其中^α：=^pα。随着越来越多的银行违约，我们继续应用（1.1）中的规则。因此，实际（更新后）资产价值^A由^Ait=Yj6=iexpn给出-aNjZtαisdLj，NsoAit=表达式-Xj6=iaNjZtαisdLj，NsoAit，对于i=1，N、 式中，Lj，Nt：=RtK（t- r） 1r级≥^τjdr with^τj：=inf{t>0：^Yjt≤ 0}和^Yjt：=对数（^Ajt）- 日志（Djt）。将术语aNjLj，Ns相加，可简化为^Ait=expn-ZtαisdLNsoAit，对于t<τi，i=1，N、 （1.2）其中lnt：=ZtK（t- s） LNsds和LNt：=NXj=1aNjt≥^τj.（1.3）取（1.2）中的对数，可以得出默认的实际（更新）距离^Y的动态形式为d^Yit=dYit- αitdlntf对于t<τi，i=1，N、 这里的第一部分，Yit，仅仅是没有传染的原始违约距离，而后一部分是由传染过程驱动的新传染术语LNt，来自（1.3）。备注1.3（影响内核K）。除此之外，我们假设K∈ W1,1（R+），其中kkk=1，其中W1，p（R+）表示LPA中有一个弱导数且迹为零的Sobolev空间。这种结构的好处是：LNtremains适应了，它继承了LNt的单调性，并且具有弱导数K* 液态氮∈ L∞.

kernelis的职责是强加持续的延迟概念，从而随着交易对手风险敞口的清理和间接影响的开始，逐渐意识到传染的影响。备注1.4（资本结构）。正如所料，违约蔓延本身并不能耗尽整个资产基础。然而，在很大程度上，由于银行资产在正常时期的低波动性，金融机构的杠杆率往往高达85–95%（参见[6，33]）。因此，有足够的空间让这种传染变得有害。1.4系统性风险的简单模型除了传染之外，我们希望我们的模型包括常见的风险敞口和控股的概念。在Carmona、Fouque和Sun【11】中，通过一个具有共同布朗运动和漂移平均反转的（常数系数）粒子系统，已经考虑了后两种效应。受此启发，我们现在可以给出系统性风险“基本情况”模型的精确公式：让Xjdenote计算违约时间τj：=inf{t>0:Xjt的实际违约距离≤ 0}，对于j=1，N，我们建议通过dxjt=u（t，Xjt）dt+π（t，νNt）NXi=1aNi形式的相互作用粒子系统来模拟大型金融系统·Xitt<τi+γ（t，νNt）1t≥τi- Xjt公司dt+σ（t，Xjt）p1级- ρ（t，νNt）dWjt+ρ（t，νNt）dWt- α（t，Xjt，νNt）dLNt，其中Wand W，Wn是Lnt=ZtK（t）的独立布朗运动- s） LNsds，LNt=NXi=1单位≥τi，且νNt=NXi=1aNit<τiδXit。请注意，在每次违约后，我们不会重新规范化提取中的均值回复交互作用，因为这是为了反映投资决策中的羊群效应：如果银行违约，这表明投资没有表现，因此违约不应通过重新规范化突然调整向上漂移。

此外，我们强调，我们的模型旨在研究短期市场缺陷，而非金融系统的长期行为。这些参数可以总结如下：oσ和u模型，分别是银行的波动率及其核心回报率，扣除违约壁垒的变化率。oρ是反映常见风险程度的相关参数α是决定违约对系统造成多大代价的传染参数π确定均值回归率，均值回归率根据羊群效应投资决策或其他银行间相互作用调整核心收益γ可以捕捉违约后留下的东西，并可能受到中央银行或政府寻求稳定系统漂移的行动的影响。为了捕捉全系统对这些变量的影响，很自然地允许它们依赖于经验测量值νN。特别是，相关性可以作为传染的直接来源，这与观察到的相关性在财务困境时往往会增加的观点一致（见Cont&Wagalath[16，15]）。类似地，感染的速度和代价可能会随着系统的健康状况而变化，这可以捕获潜在的自我强化放大机制。此外，我们将考虑损失LNt依赖性的不连续性，这可以允许对羊群效应、相关性或违约成本进行更突然的调整（另请参见第2.3.2节）。1.5文件概述在第2节中，我们陈述了关于第1.4节中系统风险模型一般版本存在唯一平均场限制的主要结果。

此外，我们还讨论了系统性风险的一些定性见解，并考虑了密切相关的问题。在第3节中，我们研究了粒子系统的规律性，该系统以粒子密度的边界和尾部行为为中心。这是一个新的上Dirichlet热核型估计族的主干，我们将其证明推迟到第6节，以便尽可能清楚地说明。在第4节中，我们继续建立系统的紧性，并证明由此产生的极限点是正半线上非线性SPDE的解。在第5节中，我们依赖于能量估计来证明SPDE的唯一性，从而得出该极限在法律上的完全收敛性。我们在第5.1节中提出了唯一性证明，将技术估算推迟到第5.2节和第5.3节。因此，读者只需阅读第5.1.2节的主要结果，就可以全面了解存在和独特性。为了使我们的框架尽可能灵活，我们将考虑第1.4节中介绍的模型的更一般版本。具体来说，我们将重点关注形式上的粒子系统dXit=b（t，Xit，νNt）dt+σ（t，Xit）p1- ρ（t，νNt）dWit+σ（t，Xit）ρ（t，νNt）dWt- α（t，Xit，νNt）dLNt，LNt=（K* LN）t，LNt=1- νNt（0，∞),νNt=PNi=1aNit<τiδXit，τi=inf{t≥ 0：Xit≤ 0}，（2.1），其中K∈ W1,1（R+）和W，Wn是独立的布朗运动。关于权重，我们假设存在C，C>0，这样ani=ai（Xi）PNj=1aj（Xj），C≤ ai（·）≤ C对于每个i=1，N、 （2.2）关于（2.1）的适当性，我们参考第3节的开头备注。正如第1.4节中的模型所述，我们强调漂移b明确取决于平均过程mnt：=hνNt，Idi，类似地，损失过程LNtplays a vital r^ole。更一般而言，这两个平均场统计数据可以作为系统性风险的有用指标。