具有内生传染的系统性风险SPDE模型

（A.6）使用该青春痘≤ 0当且仅当Xit≤ 0，则（A.5）中的估计值意味着P（E | I=I）≤ P#我∈ I：infu≤hZit+u≤ 0< 2δN/θ| I=I.此外，它直接来自（A.6）thatZit+u≤ Zit+ch+supu≤h∧i，Nt+uch+~Biu，~Biu：=位+u- 位，∧i，Nh：=supu≤h∧i，Nt+u。特别是，如果infu≤hBiu≤ -青春痘- ch（1+∧i，Nh），然后infu≤hZit+u≤ 0和henceP（E | I=I）≤ P#我∈ I：infu≤hBiu≤ -青春痘- ch（1+∧i，Nh）<θδN | I=I.使用绑定的| Zit |≤ c | Xit |从（A.6）中，I的定义意味着存在c>0这样的p（E | I=I）≤ P#我∈ I：infu≤hBiu≤ -加利福尼亚州- c（1+∧i，Nh）<θδN/| I=I.回顾以下事实：Biu=Zt+utρsdWs+Zt+utp1- ρsdWis=：Iu+Jiu，我们将上述概率除以事件{supu≤h | Iu |<ca}∩ {supu≤h∧i，Nt+u<a}及其补码。这样，我们得到p（E | I=I）≤ P#我∈ I：infu≤hJiu公司≤ -3ca- c<θδN | I=I+ Psupu公司≤h | Iu |≥ 加利福尼亚州+ Psupu公司≤h∧i，Nt+u≥ 一.从引理A.5我们知道最后一项是o（1），作为→ ∞ N中均匀≥ 同样，Iu是鞅，因此第二项也是o（1），作为→ ∞ 通过Doob\'s最大不等式。关于第一项，我们可以引入时间变化，使每个Jian独立于布朗运动。回顾（A.4），然后可以通过【35】的命题4.6中的大数定律论证，通过仔细选择自由参数A作为δ的函数来完成证明。命题3.6的证明。

如[35]中的命题4.7所述，证明limδ→0limN→∞PLNt+δ- LNt公司≥ η、 νNt（0，ε）<η/2= 0、设E：=LNt+δ- LNt公司≥ η、 νNt（0，ε）<η/2并确定随机指数集i：=1.≤ 我≤ N：Xit≥ ε或t≥ τi.根据（2.2），存在m，使得aNi≤ 注意{νNt（0，ε）<η/2}包含在|I |≥Nm（1-η), 我们有P（E）≤十一： | I|≥Nm（1-η） P（E | I=I）P（I=I）。条件概率可由p（E | I=I）估计≤ P#我∈ 一： infs公司∈[t，t+δ]Xis≤ 0，Xit≥ ε≥Nη2m | I=I≤ P#我∈ 一： infs公司∈[t，t+δ]（Xis- Xit）≤ -ε≥Nη2m | I=I（A.7）使用引理6.3中的尺度变换Υ，我们引入了Uis：=Υt+s（Xit+s- Xit）并注意到，如引理6.3所示，dUis=uisds+ρt+sdWt+s+（1- ρt+s）dWit+s=：uisds+dIs+dJis（A.8），其中漂移满足| uis |≤ c（1+λi，Nt+s）。通过构造Υ和1/σ下方的边界，例如1/σ≥ c> 0，由（A.7）得出p（E | I=I）≤ P#我∈ 一： infs公司≤δUis≤ -cε≥Nη2m | I=I.如果δ>0，则系数a=a（δ）>0将在以后指定。使用uis的分解（A.8）及其漂移uis的增长估计，我们可以看到≤Δ∧i，Nt+s<a/δo∩NSUP≤δ|是|<ao，（A.9），如果i∈ Iis，以便infs≤δUis≤ -cε，然后infs≤δJis≤ -cε+δc（1+sups≤Δ∧i，Nt+s）+sups≤δ| Is|≤ -cε+cδ+（1+c）a≤ -c（ε- δ - a） 因此，将事件（a.9）及其补码P（E | I=I）的期望概率进行分解≤ P#我∈ 一： infs公司≤δJis≤ -c（ε- δ - （a）≥Nη2m | I=I+ Psups公司≤Δ∧i，Nt+s≥ a/δ+ Psups公司≤δ|为|≥ 一.根据Doob极大不等式，最后一项以δa为界-2，因此选择a=a（δ）s.t.δa-2.→ 0为δ→ 0，我们得到了sups公司≤δ|为|≥ 一= o（1）asδ→ 此外，还应确保δ/a→ 0为δ→ 0，它来自引理A.5 thatPsups公司≤Δ∧i，Nt+s≥ a/δ= o（1）asδ→ 上述要求通过a=a（δ）：=δ1/2log log（1/δ）得到满足。

有了这个选择论坛，证明现在可以用与[35]的命题4.7相同的论点来完成。参考文献【1】Acharya，V.V.，Pedersen，L.H.，Philippon，T.，Richardson，M.：测量系统风险。修订版。芬南。螺柱。30，2–47（2017）[2]Allen，F.，Gale，D.：金融传染。J、 政治。《经济》108，1–33（2000）[3]Azizpour，S.，Giesecke，K.，Schwenkler，G.：探索默认集群的来源。J、 芬南。经济。，即将出版（2017年）。可从SSRN获取：1127792。[4] Banerjee，T.、Bernstein，A.、Feinstein，Z.：金融网络中的动态清算和传染。预印本（2018年）。arXiv提供：1801.02091。[5] Benoit，S.、Colliard，J.-E.、Hurlin，C.、Pérignon，C.：风险所在：系统性风险调查。《金融评论》，21，109–152（2017）[6]Berg，T.，Gider，J.：银行和非银行之间杠杆率的差异是什么原因？J、 芬南。数量。肛门。522677–2702（2017）[7]Brunnermeier，M.K.：《解读2007-2008年的流动性和信贷紧缩》。J、 经济。透视图。23、77–100（2009）[8]Brunnermeier，M.K.，Gorton，G.，Krishnamurthy，A.：风险地形图。NBERMacroeconomics Annual 26，149–176（2012）【9】Bush，N.，Hambly B.M.，Haworth，H.，Jin，L.，Reisinger，C.：投资组合信贷建模中的随机演化方程。暹罗J.Fin。数学2627–664（2011）[10]Capponi，A.，Bo，L.：银行间网络的系统性风险。暹罗J.Fin。数学6386–424（2015）[11]Carmona，R.，Fouque，J.-P.，Sun，L.-H.：平均场比赛和系统风险。普通数学。Sci。13911–933（2015）[12]Cho，S.，Kim，P.，and Park，H.：C1，α-域中具有奇异漂移的含时抛物算子Dirichlet热核的双边估计。J、 DifferentialEquations 2521101–1145（2012）[13]Cochrane，J.H.：迈向自由运行的金融体系。摘自：Bailly，M.N.，Taylor，J.B.（编辑），《跨越大鸿沟》，197-249年。

胡佛出版社（2014）[14]Cont，R，Moussa，A.，Santos，E.B.：《银行系统中的网络结构和系统性风险》。摘自：Fouque，J.-P.，Langsam，J.（编辑）《系统风险手册》，327–368。CUP（2013）[15]Cont，R.，Wagalath，L.：《为退出而奔走：金融市场中的不良销售和内生相关性》。数学《金融》23718–741（2013）[16]Cont，R.，Wagalath，L.：《火售取证：衡量内生风险》。数学《金融》26835–866（2016）[17]Cvitanic，J.，Ma，J.，Zhang，J.：自激相关缺省的大数定律。斯托赫。过程。应用程序。1222781–2810（2012）[18]Danielsson，J.，Shin，H.S.，Zigrand，J.-P.：内生极端事件和价格的双重作用。年度。修订版。经济。4111–129（2012）[19]Dees，S.，Henry，J.，Martin，R.：STAMPE：欧元区宏观审慎目标的压力测试分析。ECB（2017）【20】Delarue，F.、Inglis，J.、Rubenthaler，S.、Tanré，E.：McKean–Vlasov型网络集成和火灾模型的全球可解性。安。应用程序。概率。252096–2133（2015）[21]Delarue，F.、Inglis，J.、Rubenthaler，S.、Tanré，E.：具有奇异平均场自激的粒子系统。神经网络的应用。斯托赫。过程。应用程序。1252451–2492（2015）[22]杜菲，D.：危机后的金融监管改革：评估。《管理科学》，提前发表文章（2017）[23]Du ffe，D.，Eckner，A.，Horel，G.，Saita，L.：脆弱相关违约。J、 《金融学》642089–2123（2009）[24]Eisenberg，L.，Noe，T.H.：《金融系统中的系统性风险》。《管理科学》47236–249（2001）[25]Fouke，J.-P.，Ichiba，T.：《银行间借贷模型中的稳定性》。暹罗J.Fin。数学4784–803（2013）[26]Fouque，J.-P.，Sun，L.-H.《系统风险说明》。摘自：Fouque，J.-P.，Langsam，J.（编辑）《系统性风险手册》，444–452。

CUP（2013）[27]Garnier，J.，Papanicolaou，G.，Yang，：系统风险平均场模型的大偏差。暹罗J.Fin。数学4151–184（2013）[28]Garnier，J.，Papanicolaou，G.，Yang，T.-W.：中央代理稳定系统的风险分析。风险与决策分析6，97–120（2017）[29]Giesecke，K.，Schwenkler，G.，Sirignano，J.：大型金融系统的推断。Questrom商学院研究论文（2017年）。SSRN：3012751提供。【30】Giesecke，K.、Spiliopoulos，K.、Sowers，R.：大型投资组合中的默认聚类：典型事件。安。应用程序。概率。23348–385（2013）【31】Giesecke，K.，Spiliopoulos，K.，Sowers，R.，Sirignano，J.：违约损失的大型投资组合渐近性。数学《金融》25，77–114（2015）[32]Glasserman，P.，Young，H.P.：《金融网络中的传染病》。J、 经济。文献54779–831（2016）[33]Gornall，W.，Strebulaev，I.A.：《供应链融资：银行和借款人的资本结构》。工作文件（2017年）。可从SSRN获取：2347107。【34】Gyrya，P.，Salo Off-Coste L.：Neumann和Dirichlet在内部统一域中加热内核。阿斯特里斯克336。法国兴业银行（2011）[35]Hambly，B.M.，Ledger，S.：半线吸收差异的随机McKean–Vlasov方程。安。应用程序。概率。27，2698–2752（2017）[36]Hambly，B.M.，Ledger，S.，Sojmark，A.：具有正反馈和爆破的McKean–Vlasov方程。预印本（2018年）。arXiv提供：1801.07703。【37】Hellwig，M.F.：《金融部门的系统性风险：次级抵押贷款金融危机分析》。DE Economist 157，129–207（2009）[38]Inglis，J.，Talay，D.：通过阈值命中时间平滑交互的随机粒子系统的平均场极限以及对具有树枝状成分的神经网络的应用。暹罗J.数学。肛门。

473884–3916（2015）[39]Jakubowski，A.：非对称空间中子序列的几乎确定的Skorokhod表示。理论概率。应用程序。42167–175（1998）[40]Kallianpur，G.和Xiong，J.：《有限维空间中的随机微分方程》。数理统计研究所：讲座笔记，专著系列（1995）[41]兰多，D.，尼尔森，M.：公司违约的相关性：传染还是条件依赖？J、 芬南的。中介19，355–372（2010）[42]Ledger，S.：具有常数系数的半线二阶微分方程解的吸收边界附近的尖锐正则性。斯托赫。PDE：分析。公司。2，1–26（2014）[43]Ledger，S.：Skorokhod的M1分布值过程拓扑。电子公社。概率。21，1–11（2016）[44]Moreno Bote，R.，Parga，N.：整合神经元和完整神经元对具有任意时间尺度的突触过滤的噪声输入的响应：响度和相关性。神经肌肉。22，1528–1572（2010）[45]Nadtochiy，S.，Shkolnikov，M.：《通过碰撞时间具有奇异相互作用的粒子系统：在系统风险建模中的应用》。预印本（2017年）。可在atarXiv获得：1705.00691。【46】Ostojic，S.，Brunel，N.，Hakim，V.：存在噪声和异质性时电耦合神经元网络的同步特性。J、 计算机。神经症。26，369–392（2009）[47]Pedersen，L.H.：当所有人都跑向出口时。Int.J.Central Banking 5177–199（2009）[48]Schwartz，L.：任意拓扑空间和圆柱测度上的Radon测度。塔塔基础研究所，牛津大学出版社，伦敦（1973）[49]Sowers，R.，Spiliopoulos，K.：《大池中的默认聚类：大偏差》。西亚姆杰。鳍数学6，86–116（2015）[50]Spiliopoulos，K.：大型金融系统的系统性风险和违约群集。In：Friz，P.、Gathereal，J.、Gulisashvili，A.、Jacqier，A.、Teichman，J。

（eds.）金融学中的大偏差和渐近方法，529–557。Springer（2015）[51]Whitt，W.：随机过程限制：随机过程限制及其在队列中的应用简介。斯普林格（2002）