具有内生传染的系统性风险SPDE模型

在对x进行积分后，我们可以求助于前一个估计值（5.7），同样，我们可以在（5.6）右侧的第二行中按部分进行另一次积分。利用这一点，以及|'Hgt，ε|>'T2ε'ν*因此，我们可以应用杨氏不等式（自由参数θ>0）来了解\'Tε\'ν*t型≤\'Tεν+ CθZt\'Tε\'ν*sds+CθZt？T2ε？ν*sds（5.8）+CθZt\'Ebs，ε+Eσs，ε+Eσs，εds+ZtZRρsσs+θρsσs- σs+θx（\'Tε\'ν）*s）dxds+ZtZRρsxσs（\'Tε′ν）*s） +2ρs（\'Tε\'ν）*s）(xσs'Hσs，ε-Eσs，εdxdWs。在这里，我们使用随机fubini定理来切换随机积分中的积分顺序（由于[35，Lem.8.3]中的指数尾允许），并且我们还对随机积分中的dx积分进行了部分积分。第2步。由于ρ的界距为1（σ的界距为0），我们可以选择θ足够小，以便（5.8）的第三行为负，因此我们可以对其进行修正。将（5.8）的两侧提高到幂k≥ 因此，我们有SUPR≤t型\'Tε\'ν*r2公里≤ C\'Tεν2k+CZt\'Tε\'ν*s2公里+？T2ε？ν*s2公里ds（5.9）+CZt\'Ebs，ε2公里+Eσs，ε2公里+Eσs，ε2公里ds+Cnsupr≤tZrZRρsxσs（\'Tε′ν）*s） +2ρs（\'Tε\'ν）*s）(xσs'Hσs，ε-Eσs，εdxdWsok，C=C（k）。通过Burkholder-Davis-Gundy和H"older和Young不等式，随机积分的预期上确界为常数时间ZZR（\'Tε\'ν）*s）\'Tε\'ν*s+|xσs'Hσs，ε|+'Eσs，ε|dx公司dsok/2≤ CE主管≤t型\'Tε\'ν*r2k+CEZt\'Tε\'ν*t型2公里+？T2ε？ν*t型2公里+Eσs，ε2公里因此，将（5.9）中的期望值设为ε≤εE supr≤t型\'Tε\'ν*r2公里≤ Cinfε≤ε\'Tεν2k+tCinfε≤εE supr≤t型\'Tε\'ν*r2k+Cinfε≤εEZt\'Ebs，ε2公里+Eσs，ε2公里+Eσs，ε2公里ds。如果我们现在限制为t≤ T： =1/2发送ε→ 0，那么我们得到lim infε→0E支持≤T\'Tε\'ν*t型2公里≤ 2C五、2k，这里我们使用了k'Tενk→ kVkasε→ 0，误差项由Emma A.2消失。

对于k=1，这证明了Jin小时间上的界，即对于t∈ [0，T]，T=1/2C。将此界扩展到所有[0，T]之后，将参数传播到有限多个区间[Tk，Tk+1∧ T]当Tk+1=Tk+1/2Cfork=1，d2CT e（如【35，第7.1款】中的证明）。第3步。我们现在展示如何扩展之前的工作来证明Jis定义。为了在这方面取得成功，我们需要控制支撑的第四个时刻≤Tk'Tε'ν*tk，这就是在上面的步骤2中引入功率k的原因。这个想法很简单，就是在积分x之前乘以xin（5.6）∈ R，然后按照上述步骤1和2进行操作。从第一学期开始，按部分进行的整合将产生-ZRZt2xbs（\'Tε′ν）*s）x（\'Tε\'ν）*s） dsdx=ZtZRx个xbs+2xbs（‘Tε’ν）*s） dxds≤ CZt公司x（\'Tε\'ν）*s）ds+CZt（1+| Ms |）\'Tε\'ν*sds。至关重要的是，右侧的第二项可以由EZT控制（1+| Ms |）\'Tε\'ν*sds公司≤中兴通讯（1+| Ms |）ds+ZtEh\'Tε\'ν*sids，（5.10），这是因为步骤2中的结果k=2。完全类似于（5.8）–（5.9）的论点，然后产生x'Tε'ν*t型≤x'Tεν+ CθZtx'Tε'ν*sds+CθZtx'T2ε'ν*sds+C（5.11）+CθZtx’Ebs，ε+x'Eσs，ε+x′Eσs，εds公司- 2ZtZRxρs'Tε'ν*s（σsx'Tε'ν*t+xσs'Hσs，ε+'Eσs，ε）dxdWs，其中额外常数Ccomes从（5.10）开始。有鉴于此，我们可以像步骤2（k=1）中那样，将jb绑定为C+kxVk的倍数。推论5.4（密度过程）。任意极限点ν*of（νN）有一个L值密度过程（V*t） t型≥0带kxV*tk<∞.证据给出命题5.3，然后是L-有界序列（Tεν）的标准弱紧性论证*t）>下一个引理抑制了-1xTεt、 通过确保相关项消失为ε→ 0

这在很大程度上取决于边界附近溶液质量的行为，因此基本成分是假设2.3中的边界衰减，因为命题4.3中的极限点满足了这一点。引理5.5（边界估计）。设u满足假设2.3，设gt（y）是一个| gt（y）|>1+| y |+Mt的（随机）函数，其中Mt：=hut，对于某些ψ∈ 边缘（R）。塞内茨∞ut，gt（·）pε（x+·）dxdt→ 0为ε→ 0.证明。首先请注意，根据Jensen不等式，ut，gt（·）pε（x+·）≤ Cε-1e级-x/εZ∞（1+y+Mt）e-y/εdut（y）。和henceZ∞ut，gt（·）pε（x+·）dx公司≤ CZ公司∞（1+y+Mt）ε-e-y/εdut（y）我们将证明分为三种情况，其中1或m出现在被积函数中。第一种情况如【35，Lem.7.6】所示。对于第二种情况，fix 0<ε<1，让η∈ （0，1）是自由参数。在y上拆分积分≤ εη及其补码给出ε-Z∞ye公司-y/εdut（y）≤ ε-ut（0，εη）+ut，y经验值-ε2η-1.. （5.12）通过假设2.3的（iii）-（iv），也引用引理A.3，它遵循Thatezz∞yε-e-y/εdut（y）dt≤ Cε-εη（1+β）+exp-ε2η-1.（5.13）对于常数β>0，其中（5.13）的右侧收敛到零，只要（2+2β）-1< η < 2-对于最后一种情况，我们可以依靠霍尔德不等式来了解Eztmtz∞ε-e-y/εdutdt≤ EZTM2qtdt量化宽松ZT公司Z∞ε-e-y/εdutpdt公司p、 由于M2qt>ut（0，∞) + hut，y2qi通过ψ的lipschitz，我们得到ERTM2qtdt<∞ 根据假设2.3（iii）和引理A.3，对于所有q>1。此外，如（5.12）–（5.13）所述，EZTZ∞ε-e-y/εdut（y）pdt公司≤ Cε-pεη（1+β）+exp-pε2η-1.,因此，该要求如下：取p：=1+β/2，并选择范围（1+β/2）（2+2β）内的η-1< η < 2-1、完成证明。5.3平滑H-1估计-命题证明5.1在本节中，我们完成了平滑H的证明-1根据提案5.1进行估算。备注5.6（“osq（1）”–注释）。

如[35]所示，我们用osq（1）表示左值过程{（ζεt）t的任何族≤T} ε>0，满足ERTkζεtkdt→ 0为ε↓ 例如，引理5.5和引理A.1确保“边界效应”和误差项为osq（1）。如第5.1节开头所述，我们将推导-1xTεt通过使用内核y 7测试ν和ν的SPDE→ Gε（·，y），然后积分（x，∞) 对于x>0。在命题5.3的证明中，我们设定：=bt-αtLtand▄bt：=▄bt- ~αt▄Lt。然后我们可以像[35，第7节]中那样进行论证，用引理5.5和引理A.1代替[35]中的对应引理，得出如下结论：-1xTεt=-btTεt+δbtTενtdt公司+x个σtTεt+Eσt，ε-Eσt，εdt公司- σt（|ρtεt+ΔρtTενt）dWt+osq（1）dt+osq（1）dWt，其中egi是引理A.1中定义的一个误差项，其中仅对ν进行类似定义，δgt：=g（t，x，νt，Lt）- g（t，x，~νt，~Lt）。应用It^o的公式，它遵循(-1xTεt） =- 2(-1xTεt）btTεt+δbtTενtdt（5.14）+(-1xTεt）x个σtTεt+Eσt，ε-Eσt，εdt+σt§ρTεt+ΔρtTενtdt公司- 2α(-1xTεt） σt§ρTεt+ΔρtTενt载重吨+(-1xTεt） osq（1）dt+(-1xTεt） osq（1）dWt+osq（1）dt。现在，我们可以将上述内容集成到x中∈ R+达到-1xTεt、 然后，我们需要在右侧估计得到的积分，这一过程分为五个短步骤（与[35]有很大的偏差）。为方便起见，我们定义了| M | t，？：=sups公司≤t{1+| Mt |+| Mt |}和kTνkT，？：=sups公司≤tsupε>0k（1+x）Tενsk。第1步。我们首先考虑（5.14）右侧的第一行。注意，我们可以写2(-1xTεt） （tεt） =x个(-1xTεt） 在第一学期。

因此，我们可以对x中的各个部分进行积分，并使用带有自由参数θ的杨氏不等式得到-Z∞英国电信(-1xTεt） （tεt） dx=-Z∞(xbt）(-1xTεt） dx+2bt（0）Z∞(-1xTεt） （tεt） dx公司≤ Cbk公司-1xTεtk+CθCb | M | t，？k-1xTεtk+θkTεtk。对于（5.14）第一行中的第二个积分，我们记得|δbt |>（| x |+| M | t，？）d（νt，￠νt）+Lt-Lt |+| Lt-Lt|.因此，使用Cauchy-Schwarz对dterm进行处理，使用Young不等式对其他项进行处理，Z∞δbt(-1xTεt） tενtdx> |M | t，？kTνkT，？k-1xTεtkd（νt，￠νt）+M | t，？k-1xTεtk+| M | t，？kTνkT，？（| Lt-Lt |+| Lt-Lt |），其中我们可以注意到zt | M | s，？kTνks|Ls公司-Ls | ds≤ |M | t，？kTνkT，？Zt公司ZsK（s）- r） （左后-Lr）drds公司≤ |M | t，？kTνkT，？kKkZt公司Lr公司-Lrdr.步骤2。现在考虑（5.14）右侧的第二行。通过分段积分和使用自由参数θ的杨氏不等式，我们得到∞(-1xTεt）x个σtTεt+Eσt，ε-Eσt，εdx=-σtTεt型-Z∞（Tεt） （Eσt，ε-Eσt，ε）dx≤ -σtTεt型+ CθEσt，ε-Eσt，ε+ θTεt型,我们使用了Tεt、 Egt，ε和▄Egt，ε在零处为零，在单位处为零。第3步。在（5.14）右侧的第三行中，我们将平方展开，并将带有自由参数θ的Young不等式应用于低阶项。这个yieldsZ∞σt§ρTεt+ΔρtTενtdx公司≤σt▄ρtTεt型+ Cσ|Δρt|TενT+ Cθ|Δρ|TενT+ θTεt型.此外，我们在这里回忆起|Δρt |>| M | t，？（| Lt-Lt |+d（νt，￠νt））。第4步。在（5.14）中取期望值时，随机积分消失。因此，通过对x>0进行期望和积分，可以从步骤1–3和自由参数θ>0的Young\'sinequality得出-1xTεt型≤ CθEZtkTνks|M | s，？|Ls公司-~Ls |+d（νs，~νs）ds+CθEZt | M | s，？-1xTεsds+CθEZt | M | s，？kTνks，？-1xTεsd（νs，~νs）ds+EZtZ∞{σs▄ρs- σs+2θ}| Tεs | dxds+o（1），（5.15）作为ε↓ 0，对于仅依赖于自由参数θ的常数Cθ。第5步。

由于ρ有界远离1，σ有界远离0，我们可以将自由参数θ取得非常小，以便（对于所有x和t）σ（s，x）ρ（t，|νt）- σ（s，x）+2θ≤ -c（5.16），对于固定常数c>0。接下来，我们可以考虑停止时间tn：=inft>0:kTνkT，？>n或| M | t，？>n∧ T、 对于n≥ 注意，根据命题5.3，我们有tn↑ T作为n→ ∞. 评估t时的估计值（5.15）∧ t使用（5.16），我们得到-1xTεt型∧田纳西州+ cEZt公司∧tnkTεskds公司≤ 中兴通讯-1xTεs∧田纳西州ds+o（1）+CnEZt∧tn | Ls-~Ls |+d（νs，~νs）ds+CnEZt∧tnd（νs，νs）-1xTεsds。最后，通过应用积分因子exp{-Cnt}对于右侧的第一项，我们从命题5.1中获得估计值，cn：=n（eCT- 1).6密度估计本节的目的是证明命题3.3中所述的密度估计。我们的方法将依赖于本质上完全是概率的技术，我们遵循一个简单直观的过程。第一步是确保粒子尾部的快速衰减。这在第6.1节中得到了实现，在那里我们表明，初始定律的次高斯性在所有正时间都能很好地传播。在第6.2节中，我们将粒子转化为具有漂移的布朗运动，漂移与原点的命中时间相同，然后我们使用亚高斯性引入与漂移相关的度量变化。最后，我们通过将时间t>0时的任何给定变换粒子与从变换粒子在早期时间s<的位置开始的独立吸收布朗运动（在原始测量下）进行比较，得出第6.3节中的密度估计，并在剩余时间t内运行- s、 6.1次高斯为了便于标注，我们定义了支配过程∧i，Nt：=| Xit |+PNj=1aNj | Xjt |，Nt：=| Xit |+PNj=1aNj | Xjt |。

（6.1）注意，根据假设2.1，我们有| Xit |，| MNt |，| b（t，Xit，νNt）|>1+λi，Nt。提案6.1。假设2.1满足以下条件： > 0，存在（平滑）递减函数t 7→ ηtwithη=/2和ηt>0，因此，对于所有t>0和N≥ 1，EeηtΓi，Nt≤ ecRtηsdsEhe|Xi | iEhePNj=1aNj | Xj | i.（6.2），尤其是Xit、MNt和∧i、nta在N中均为次高斯分布≥ 1.证明。首先，我们将使用的关于漂移的唯一事实是|位|>1+λi，Nt，所以不使用|位- （LN）tαit |>1+λi，Nt，我们可以假设αit≡ 固定一个严格正（确定性）函数η∈ η=/2和定义ψ∈ C1,2（R+×RN）乘以ψ（t，x）：=eηt（xi+PjaNjxj）。为了便于记法，我们用Γtin代替Γi，Nt。然后ψ（t，Xt）=eηtΓt，其中我们定义了Xt：=（Xt，…，XNt）。引入停止时间τn：=inf{t≥ 0：| Xt |>n}表示n≥ 1，应用It^o的公式，我们得到ηt∧τnΓt∧τn=eηΓ+Zt∧τn(t+L）eηsΓsds+NXj=1Zt∧τnσjsxjeηsΓsdBjs，（6.3），其中dBjs=ρtdWt+p1- ρtdwjt和lψ=NXj=1bjtxjψ+NXj=1（σjt）xjψ+Xk6=jσjtσktρtxjxkψ。计算导数，我们看到(t+L）eηtΓt=eηtΓt˙ηtΓt+2ηtNXj=1bjt（δij+aNj）Xjt++ηtNXj=1（σjt）（δij+aj）+2ηtNXj=1（σjt）（δij+aNj）（Xjt）+2ηtρtXk6=jσjtσkt（δij+aNk）XjtXkt.使用界|σj |≤ Cσ和| bj |≤ Cb（1+| Xjt |+P\'aN | X | t |）以及基本质量X≤ 1+x，（x+y）≤ 2（x+y），和PNj=1aNjxj≤PNj=1aNjxj，然后很容易验证(t+L）eηtΓt≤2ηt（Cb+Cσ）+（˙ηt+10Cbηt+8Cσηt）Γt因此，如果我们能选择η∈ C（R+）使得˙ηt+10Cbηt+8Cσηt=0，η=/2那么我们有(t+L）eηtΓt≤ 2ηt（Cσ+Cb）eηtΓt.（6.4）取ηt：=5Cb10Cbe10Cbt+4Cσ（e10Cbt- 1). （6.5）对于η的选择，不等式（6.4）是满足的，因此（6.3）给出了ηt∧τnΓt∧τn≤ eηΓ+2（Cσ+Cb）Zt∧τnηseηsΓsds+NXj=1Zt∧τnσjsxjeηsΓsdBjs。

（6.6）取期望值并注意到随机积分是真鞅，Eeηt∧τnΓt∧τn≤ EeηΓ+ 2（Cσ+Cb）ZtηsEeηs∧τnΓs∧τnds。作者：Cauchy–Schwarz（回忆η=/2） ，我们有eηΓ≤ Ehe公司|Xi | iEhePjaNj | Xj | i因此，根据Gronwall的不等式eηt∧τnΓt∧τn≤ e2（Cσ+Cb）RtηsdsEhe|Xi | iEhePjaNj | Xj | i，（6.7）注意到τn↑ ∞ 作为n→ ∞ , 我们有eηt∧τnΓt∧τn→ eηtΓtas n→ ∞, 到t 7的持续时间→ ηtand t 7→ Xjt，对于j=1，N、 因此，Fatou引理屈服eηtΓt≤ lim信息→∞Eeηt∧τnΓt∧τn≤ e2（Cσ+Cb）RtηsdsEhe|Xi | iEhePjaNj | Xj | i.由于ηt不依赖于N，估计值在N中是一致的≥ 1、上述结果还可以控制流程的运行最大值。推论6.2。假设ηt来自命题6.1，fix any < ηT/2。那么我们有了他 支持≤TΓi，Nti≤ 计算机断层扫描，,对于某些常数CT，> N中均匀的0≥ 1.证明。设置ξt：=pηt/2，表示p<1，并导出ξ的估计值（6.6）。当p<1时|xjeξsΓs |可由命题6.1积分，因此我们可以应用Burkholder–Davis–Gundy来控制随机积分的运行极大值。因此，取期望值并使用单调收敛，我们得到eHEPηTsupt≤TΓti≤ Ehsupt公司≤TeξtΓti≤ CT，p。p<1是任意的，声明如下。6.2测量值的变化在本节中，我们首先将每个粒子转换为布朗运动，并以保持原点命中时间的方式漂移。接下来，我们使用次高斯性引入一种可以消除这种漂移的度量变化，并最终获得相关Radon-Nikodym导数的重要测试。引理6.3。定义转换Υ∈ C1,2（[0，T]×R）乘以（T，x）7→ Υt（x）：=Zxσ（t，y）dy.固定任意指数i∈ {1，…，N}，我们让Zt：=Υt（Xit）。然后dzt=^bidt+dbit，Z=Υ（Xi），其中Bi是布朗运动，（随机）漂移^bit服从增长条件| bit |>1+| Xit |+| MNt |。

（6.8）此外，转换后的过程Z满足度（Zt）=sgn（Xit）和| Zt |>| Xit |。（6.9）证明。请注意tΥt（x）=-Zx公司tσ（t，y）σ（t，y）dy，xΥt（x）=σ（t，x），xxΥt（x）=-xσ（t，x）σ（t，x）。定义位：=RtρsdWs+Rtp1- ρsdWis，我们有dXt=（位-αit（LN）t）dt+σtdBtwithdhXit=σtdt。因此，应用It^o的公式得到dZt=^bitdt+dBit，其中^bit：=bt（Xit）- αt（Xit）（LN）tσ（t，Xit）-xσ（t，Xit）-ZXit公司tσ（t，y）σ（t，y）dy。现在，zt上的界和关于其登录的声明（6.9）直接来自于Υ的定义，因为σ是严格正的，且界远离零。类似地，（6.8）中的增长条件源自系数的性质（假设2.1）和|（LN）t |的事实≤Rt | K（t- s） | LNsds≤ kKkL。引理6.4。修复i∈ {1，…，N}并定义随机指数：=exp-Zt^bisdBis公司-Zt（^bis）ds,式中，^bi是引理6.3中定义的Z漂移。那么Z是由Radon-Nikodym导数qdp给出的概率测度Q下的布朗运动Ft=Et，初始值Zd根据:= uo Υ-1.证明。为了便于标注，我们删除了上标i和定义，t：=exp-Zts^budBu-Zts^budu, E0，t=Et。根据标准参数，eti是一个正连续局部鞅，因此也可以是E=1的一个鞅。现在的说法是，Etis实际上是[0，T]上的真鞅，这相当于表明所有T的EEt=1∈ [0，T]。回想一下| bs |≤ C（1+λi，Ns）。虽然我们不能直接求助于Novikov条件，但∧i的次高斯性，Nswill允许我们将其应用于[0，T]的有限分区的每个区间。要了解这一点，我们需要使用任意n≥ 1，并用T划分间隔[0，T]，其中tk：=kT/n。

Jensen不等式的一个应用-1^buduo≤nTEZtktk公司-expnt2n^buodu=nTZtktk-1出口2 n^buodu≤ 支持∈[tk-1，tk]E expnCTn（1+λi，Nt）o.选择n≥ 1个足够大，以便2吨/吨≤ ηT，我们从命题6.1导出-1^buduo<∞, 对于每个k=1，n、 特别是，Novikov条件现在暗示（Et）t∈[0，t]是真鞅，Henceeet=1，对于所有t∈ [0，t]。注意（Et，t）t∈[t，t]又是一个Et，t=1的随机指数，Novikov条件的另一个应用表明（Et，t）t∈是鞅。因此，对于所有t∈ [t，t]。从感应角度考虑时间间隔-1，tk]对于k=3，n、 根据相同的推理，EEt=1表示所有t∈ [0，T]。因此Etis是[0，T]上的真鞅，因此Girsanov定理暗示过程dzt=^btdt+dBt，Z=Υ（X），是Q下具有初始分布的布朗运动= uo Υ-1、除了Z是Q下的布朗运动外，我们还需要对之前引理中的Radon-Nikodym导数Et进行具体估计。引理6.5（Radon–Nikodym估计）。设Et为EMMA 6.4中定义的随机指数。如果有的话 > 0，以便E exp{|Xj |}<∞, 对于j=1，N，存在sp>1，距离1足够近，使得ehe1-pt | Xi=Xi≤ C扩展{x} ，其中C=C（p，, T）。此外，对于任何q>1，我们有^钻头q | Xi=Xi≤ C（1+xq），其中C=C（q，T）。证据