具有内生传染的系统性风险SPDE模型

在这方面，在[35]中考虑了与许多不连续性（假设2.1，第三部分）具有损失相关相关性的想法，认为这是一种可能的方法，可以弥补CDO各部分之间的隐含相关性偏差。最近，人们对将传染风险和常见风险因素作为大型投资组合中公司违约集群的驱动因素进行了大量的研究（Azizpour、Giesecke&Schwenkler[3]、Lando&Nielsen[41]、Du ffee等人[23]）。然而，现有文献仍然没有定论，几乎只关注自激发点过程，因此我们在这里提出的模型可以作为第一次尝试，从一个结构化的平台来处理这些问题。2.3.3与数学神经科学的联系有趣的是，我们的设置与具有噪声输入的电耦合神经元的非线性漏积分模型密切相关。这些模型可以表述为粒子系统，其中每个SDE对应于一个神经元的电位，当该电位达到阈值电压时，该神经元被称为尖峰，从而使其向其他神经元发出电信号，将其激发到更高的电压水平。正如Inglis&Talay[38]所建议的那样，这种信号的传输可以用电缆方程来建模，这转化为信号的逐渐影响，与我们的传染机制完全类似。然而，峰值神经元不是在边界被吸收，而是立即重置为预定值（称为静息电位），然后根据这一规则继续进化。在平均场极限中，这产生了一个类似于定理2.7的McKean–Vlasov问题，除了粒子的重置。

到目前为止，这只是在没有共同噪声的情况下（以及在更简单的相互作用下）进行的研究，在这种情况下，基于[20，21]的思想，全局适定性在[38]中得到了证明。更多背景信息，请参考[38、46、44]。3有限粒子系统我们首先观察到有限系统（2.1）对于每个N≥ 为了看到这一点，我们写XN=（X，…，XN），并将系统表示为向量值SDEdXNt=b（t，XNt，νNt）dt+σ（t，XNt）ρtdWt+（1-ρt）dWt- α（t，XNt，νNt）dLNt。备注3.1（速记符号）。这里ρt=ρ（t，νNt）。类似地，我们有时会写出αit=α（t，Xit，νNt）和bit=b（t，Xit，νNt）以及σit=σ（t，Xit）。回想假设2.1中的（iii）部分，lntony中的Lipschitzness是分段成立的。但是，在每个违约间隔上，LNtis简单地等于一个固定的可测量随机变量，LNt=0 on[0，），然后LNt=Pnk=1aNikon[n，n+1），其中是第n个默认值的时间（和i，…，inhave defaulted）。因此，在每个间隔上，我们可以将系数视为t和XNt幸存成员的函数，其中（i）-（ii）假设2.1给出了欧氏形式的局部李氏性。也就是说，我们可以通过将itup运行到下一个默认值，然后使用ln的新（固定）值和从νNt中移除的默认粒子重新启动系统，在每个间隔上感应求解系统。因此，适定性遵循SDE的标准理论，局部Lipschitz系数最多为线性增长。3.1有限维演化方程由于粒子系数具有充分的对称性，我们可以获得经验测度动力学的单一演化方程。此外，对权重的假设可以确保进行足够的平均，以使该方程中的特殊噪声在大种群限制下消失。

这些观察结果在下一个命题和接下来的工作中变得更加精确。命题3.2（有限演化方程）。给定N≥ 1，适用于所有φ∈ CthatdhνNt，φi=hνNt，b（t，·，νNt）xφidt+hνNt，σ（t，·）xxφidt（3.1）+hνNt，σ（t，·）ρtxφidWt- hνNt，αtxφidLNt+力（φ），其中特殊驾驶员满足要求≤T | INt（φ）| i=O（1/N）作为N→ ∞.证据注意，因为φ（0）=0表示φ∈ C、 我们有hνNt，φi=NXi=1aNis<τiφ（Xit）=NXi=1aNiφ（Xit∧τi），对于φ∈ C、 将It^o公式应用于φ（Xit∧τi），第一个结果随后为int（φ）：=NXi=1ZtaNiσ（s，Xis）（1- ρ（s，νNs））xφ（Xis∧τi）dWis。利用布朗运动的独立性和σ的有界性，我们得到了·（φ）it=NXi=1EhZt（aNi）（σis）（1- ρs）xφ（Xis∧τi）dsi≤ C k公司xφk∞NXi=1E（aNi）.因此，这一主张遵循了自aNi以来的Doob鞅不等式≤ C/N.3.2粒子的正则性性质在第4节中，我们达到了有限演化方程的极限。然而，首先我们需要确保粒子水平上的有效规则性。其基础是粒子密度的上Dirichlet热核型估计。命题3.3（密度估计）。假设2.1下，由（2.1）给出xit。然后吸收过程（Xit，t<τi）有一个转变密度pi，Nt，它满足以下界限：对于 > 0存在κ∈ （0，1）和常数C，C>0，统一N≥ 1和t∈ （0，T），使得pi，Nt（x，y）≤ C√t（x√t型∧ 1） （y）√t型∧ 1） +（xκyκtκ∧ 1） e类y1.∧ e-（十）-y） ct+cx，y（3.2）和pi，Nt（x，y）≤ C√t+eye-（十）-y） ct，（3.3），其中cx，y>| x- y |（x∧ y） 。此外，如果σ（t，x）=σ（t）σ（x），那么cx，y≡ 0.证明。证明推迟到第6节。

有关最终证明，请参见第6.4节。上述估计值提供了对νNnear边界质量第一时刻的关键控制，以及朝向完整性的高斯衰减（见下面的推论3.4）。正如我们在命题4.3中所验证的那样，这些特征一直延续到粒子系统的极限点，这对于第5节中能量估计的证明至关重要。推论3.4（经验度量的规律性）。经验测度νNsatisfyEνNt（a，b）≤ 计算机断层扫描-|b- a |，它在N中保持一致≥ 1和t∈ （0，T）该( > 0:EνNt（a，∞) = O（经验值-一) 作为一个→ ∞δ ∈ （0，1），β>0:EνNt（0，ε）=t-δO（ε1+β）为ε→ 0证明。回顾νNTA的定义并使用该aNi≤ 根据命题3.3，对于任何（a，b） R+，我们有eνNt（a，b）≤CNNXi=1P退出∧τi∈ （a、b）≤ CZ公司∞Zbaft（x，y）dxdu（y），其中ft（x，y）可以取（3.2）或（3.3）的右侧值。鉴于（3.3）和u的亚高斯性，前两项权利要求是直接的。类似地，根据（3.2）得出的最终结论，利用损失过程在t>0.3.3正则性的边界处的幂律衰减，下面我们给出了关于损失过程极限行为的两个重要结果。第一个结果确保，在大人口限制下，当系统中有剩余质量时，它会严格增加。这对于收敛到极限SPDE（第4.2节）和唯一性（第5.1.1节）至关重要，因为它确保损失过程不会停留在系数的一个完整不连续点（见假设2.1（iii））。提案3.5。对于任何t∈ [0，T）和h>0，它适用于所有r<1 thatlimδ→0lim支持→∞P（LNt+h- LNt<δ，LNt<r）=0。证据

见附录A.2节。虽然系统正逐渐失去之前提议的质量，但nextresult确保在任意小的时间内不会有太大的损失。这在下面的紧密性参数中使用（第4节）。提案3.6。每t∈ [0，T]和η>0，我们有limδ→0limN→∞PLNt+δ- LNt公司≥ η= 0.证明。见附录A.2节。以上依赖于W1,1中的影响内核K。如第2.3.1节所述，瞬时传染可能意味着损失过程以正概率跳跃。4紧密性和收敛性本节的目的是通过达到有限进化方程（3.1）中的极限来恢复SPDE（2.3）。为了实现这一点，我们需要建立（νN）的紧性，然后我们需要（3.1）中积分的一些连续性结果。收紧的第一步是控制粒子的增量。引理4.1。对于所有s，t∈ [0，T]，它在N中保持一致≥ 1且i=1，那是|退出∧τi- Xis公司∧τi|= O（| t- s |）为| t- s |→ 0，其中τi=inf{t>0:Xit≤ 0}.证据使用dBit=p1的xit方程- ρtdWit+ρtdWt，我们有退出∧τi- Xis公司∧τii> 呃Ztsσrr<τidBiri+EhZts公司比尔- αir（LN）t博士i、 由于σuis有界，Burkholder-Davis-Gundy不等式Ztsσrr<τidBiri> E类血红蛋白·- Bsit公司= （t- s） 。假设∧i，Nr：=| Xit |+PNj=1aNj | Xjt |，假设2.1中的条件意味着界| bir |+|αir |>1+∧i，Nr。同时注意（LN）∈ L∞, Jensen不等式givesEhZts公司比尔- αir（LN）r博士i> 呃Zts（1+λi，Nr）dr我≤ （t- s） supr公司≤TE公司（1+λi，Nr）,其中最后一项一致有界，由命题3.3的（3.3）确定。命题4.2（紧密性）。序列（νN，W）在（DS，M1）×（CR，k·k）上是紧的∞)和任何极限点ν*是M≤1（R+）值。

此外，如果我们设置L*t： =1- ν*t（0，∞), 然后*当L*< 1，且（LN，W）弱收敛于（L*, W） on（DR，M1）×（CR，k·k∞) 当（νN，W）弱收敛到（ν）时*, W） 。证据对于（νN，W）的紧密性，必须在dr上显示每个φ的hνN，φi的M1紧密性∈ 根据【43】中的定理3.2。为此，我们验证了[51]中定理12.12.3的有效条件（i）和（ii）。第一个条件是平凡的，因为hνN，φi一致有界于| hνN，φi |≤ kφk∞适用于所有N≥ 对于第二个条件，我们可以考虑分解hνNt，φi=h^νNt，φi- φ（0）LNtwith^νNt：=PNi=1aNiδXit∧τi.（4.1）这样做的优点是，单调部分φ（0）LNt对M1连续模无关紧要。事实上，根据[43]的命题4.1和4.2，有必要验证h^νNt，φi- h^νNs，φii=O（| t- s |）s、 t型∈ [0，T]（4.2），对于每个ε>0，limδ→0limN→∞P支持∈(0,δ)hνNt- νN，φi+ 支持∈（T-δ、 T）hνNT- νNt，φi> ε= 0.（4.3）召回aNi≤ C／N、Jensen不等式与φ的lipschitz性∈ S implyEh公司h^νNt，φi- h^νNs，φi我≤CNkφkLipNXi=1Eh退出∧τi- Xis公司∧τii、 因此，我们可以从引理4.1中得出结论，（4.2）是令人满意的。关于（4.3），分解（4.1）yieldsP支持∈(0,δ)hνNt- νN，φi> ε≤ P支持∈(0,δ)h^νNt- ^νN，φi≥ε+ P|φ（0）| LNδ≥ε对于t上的上确界也是如此∈ （T-δ、 T）。根据马尔可夫不等式和上述等式，第一项在N中均匀消失≥ 1为δ→ 将此与命题3.6相结合，我们推导出（4.3）。因此，（νN，W）根据需要是紧的。对于最终权利要求，【35】中的命题5.3确保了每个极限点ν*tcan作为M的一个元素≤1（R+）。此外，利用命题3.5和3.6，权利要求L*然后按照[35]的命题5.5和5.6进行论证。命题4.3（极限点正则性）。

对于每个 > 0存在κ∈ （0，1）和c>0，使得任何连续极限点ν*（νN）个满意度Eν*t（a，b）>R∞澳大利亚储备银行√t（x√t型∧ 1） （y）√t型∧ 1） +（xκyκtκ∧ 1） e类y1.∧ e-（十）-y） ct+cx，ydxdν（y）Eν*t（a，b）>R∞澳大利亚储备银行√t+eye-（十）-y） ctdxdν（y），对于任何（a，b） R+。此处cx，y>| x- y |（x∧ y） ，如果σ（t，x）=σ（t）σ（x），那么cx，y≡ 0、特别是ν*满足假设2.3的逐点特性( > 0:Eν*t（λ，∞) = O（经验值-λ) asλ→ ∞δ ∈ （0，1），β>0:Eν*t（0，ε）=t-δO（ε1+β）为ε→ 0证明。确定间隔（a、b） R+和fix a小ε>0 s.t.a-ε > 0. 设Дε为C中的光滑切割函数∞c（R；[0，1]）等于（a，b）上的1，等于（a）外的0- ε、 b+ε）。然后，在推论3.4的证明中，我们有hνNt，νεi≤ EνNt（a- ε、 b+ε）≤ CZ公司∞Zb+εa-εft（x，y）dxdν（y），（4.4），其中ft（x，y）可以取（3.2）和（3.3）的任一右侧的值。根据（2.2），这里我们还使用了u由常数乘以ν=limNPNi=1aNiδXi决定。自Дε起∈ S，传递到收敛子序列后，hνNk，νεi弱收敛到hν*, ^1DRby上的εi【43，第2.7款】。因此，假设ν*是连续的，[51，Thm.12.4.1]给出了hνNkt，νεi弱收敛于hν*t、 所有t的εi在R上∈ [0，T]。使用有界收敛，我们得到平均值的收敛，因此，对于所有ε>0，Eν*t（a，b）≤ E hν*t、 Дεi=limk→∞EνNkt，νε回顾（4.4）并应用支配收敛，证明是完整的。备注4.4。如果ν*不是连续的，它仍然保持rthνNkt，νεidt=>RThν*t、 Дεidt，根据【51，第11.5.1条】，其中\'=>’ 表示弱收敛。因此，假设2.3在没有任何连续性先验知识的情况下保持（νN）的极限点。4.1对于任何给定的Lipschitz函数ψ，平均过程MNt的收敛性：=hνNt，ψi∈ 边缘（R）。

虽然我们主要对ψ=Id的情况感兴趣，但其他应用程序可能需要一个通用的Lipschitz函数，因此我们在随后的参数中考虑到了这一点。给定νN=> ν*on（DS，M1），其中\'=>’ 表示弱收敛，我们想知道MN=> M*:= hν*, ψi开（DR，M1）。然而，ψ不必在S中，因此我们不能简单地利用投影图从（DS，M1）到（DR，M1）的连续性。然而，我们可以通过利用预期中经验度量的一致指数来绕过这一障碍，参见命题3.3。首先，我们可以观察到（MN）N≥1紧固（DR，M1）。为了看到这一点，我们验证了[51]中定理12.12.3的必要条件（i）和（ii）。第一个条件表明，对于所有ε>0的情况，存在c>0这样的p支持≤T | MNt |>c≤ ε N≥ 这个性质是直接的，因为我们甚至有MNt的runningmax的一致次高斯尾，通过Corrolary 6.2。对于第二个条件，我们可以依赖于分解（4.1），分解量为toMNt=^MNt- ψ（0）LNt，^MNt：=h^νNt，ψi。由于ψ是Lipschitz，紧致性随后通过重复命题4.2中相同的参数。有鉴于此，我们现在可以解决弱收敛问题。命题4.5（平均值的功能LLN）。假设（νN，W）=> (ν*, W） 。然后（MN，W）=> （M）*, W） on（DR，M1）×（CR，k·k∞).证据Let（MNk，W）k≥1是任意的子序列。通过（MNk）的紧性，我们可以传递到另一个收敛的子序列，也可以通过k索引≥ 设（M+，W）表示该子序列的弱极限，并注意我们仍然有νNk=> ν*. 我们需要知道（M）的定律*, W） （M+，W）同意。为此，设φλ：=Дλψ，其中Дλ∈ C∞c（R；[0，1]）是一个标准的截函数，等于[-λ, λ]. 然后φλ∈ S（R）和φλ→ ψ点态为λ→ ∞. 自φλ起∈ S，投影图πφλ：（DS，M1）→（DR，M1）是连续的（见[43，Prop。

2.7），所以我们得到了νNk，φλi=> hν*, φλi on（DR，M1），（4.5）的连续映射定理。此外，对于所有λ>0，我们有e | hνNkt，ψ- φλi |≤ EνNkt，|ψ| 1[λ，∞)> EνNkt，（1+| x |）1[λ，∞),因此，指数尾（预期）意味着| hνNkt，ψ- φλi |=o（1）为λ→ ∞, 在k中均匀≥ 1，t∈ [0，T]，（4.6）见引理A.3。接下来，我们定义：=续（M+）∩Tλ∈Ncont（hν*, φλi），cont（ξ）={t∈ [0，T]：P（ξT-= ξt）=1}，注意这个集合自hν起是可共数的*, φλi和M+在DR中（参见[51，Cor.12.2.1]）。鉴于此，我们需要：=T∩ {t∈ 【0，T】：P（M*t<∞) = 1} ，其中后一个集合具有全勒贝格测度，soeT在[0，T]中是稠密的。我们将显示（M*, W） 和（M+，W）同意指数{t，…，tl}∈通过一个单调类参数，可以证明lYi=1fi（M*ti）gi（Wti）= 利姆→∞ElYi=1fi（MNkti）gi（Wti）（4.7）对于有界函数fi，gi∈ Lip（R；R+），i=1，l、 其中，我们使用了边缘收敛（MNkti，Wti）i=1，。。。，l=> （M+ti，Wti）i=1，。。。，l、 见【51，第11.6.6条】。回想MNkti=hνNkti，ψi，我们可以观察到fi（MNkti）- 金融机构νNkti，φλ≤ kfikLip公司νNkti，ψ- φλ, i=1，l、 （4.8）如（4.8）所示，使用每个fi（MNkti）的上界，它遵循（4.6）和fi，gi的有界性≥ 0，即“lYi=1fi（MNkti）gi（Wti）#≤ E“lYi=1fiνNkti，φλgi（Wti）#+{o（1）项}，（4.9）为λ→ ∞, 其中o（1）项在k中是一致的≥ 通过构造Et，[51，Thm.12.4.1]意味着正则投影πti：（DR，M1）→ R是连续的，每个hνNk，φλi表示λ∈ N

因此，对于hνNkti，φλi=πtihνNk，φλi，弱收敛（4.5）意味着，通过在k上取lim sup≥ 1（4.9）两侧，limk→∞E“lYi=1fi（MNkti）gi（Wti）#≤ E“lYi=1fiν*ti，φλgi（Wt）#+o（1）为λ→ ∞.最后，我们注意到hν*t、 φλi→ hν*t、 ψi=M*tasλ→ ∞, 受支配收敛，自|φλ|≤ |ψ|和ψ相对于ν是可积的*t对于t∈因此，通过每个（fi，gi）的有界性和连续性，我们可以发送λ→ ∞ 找到那个Limk→∞E“lYi=1fi（MNkti）gi（Wti）#≤ E“lYi=1fiM*ti公司gi（Wti）#。现在，如果我们转而依赖于（4.8）所暗示的每个fi（MNkti）的下界，那么类似的参数将产生反向不等式，从而证明（4.7）。4.2定理2.4的极限证明由[43，Thm.3,2]得到，命题4.2的紧性意味着相对紧性，即（νN，W）的每个子序列都有一个弱收敛的子序列。利用这一点，我们证明了有限演化方程（3.1）中的相应积分弱收敛（命题4.7），然后我们利用鞅论证（命题4.8）来证明这会产生所需的极限SPDE。备注4.6（斯科罗霍德表示定理）。虽然（DS，M1）不能被修饰，但它是一个完全规则的Suslin空间。特别地，[39，Thm.2]的条件（10）保持不变，因此（νN）的任何弱收敛子序列都具有另一个子序列，具有通常的a.s.Skorokhod表示性质。首先，（DS，M1）是完全正则的andHausdor ff，由[43，Prop.2.7]和[40，Thm.2.1.1]定义。其次，[43，Prop.2.7]及其证明给出DS=S∞n=1DS nw，其中每个（DS-n，M1）都是抛光的，夹杂物DS-n→ DSare M1连续。因此，Hausdorff空间（DS，M1）中的每个DS都是Suslin，因此它们的并集在最新拓扑下是Suslin，因此包含物是连续的[48，Thm.I.II.3]。