具有内生传染的系统性风险SPDE模型

我们从定义开始：=-Zt^bisdBis。利用p＞1的霍尔德不等式，我们得到了eHE1-pt | Xi=Xi=EepYt公司-hpY itp-1便士e（p+1）（p-1） phY itp | Xi=x≤ EhepYt公司-hpY it | Xi=xip-1 PEHE（p+1）（p-1） phY it | Xi=xip注意到右侧的第一项以1为界，我们得出以下结论：ehe1-pt | Xi=Xi≤ EheCpRt（^bis）ds | Xi=XIP，Cp=（p+1）（p- 1） 这里最重要的观察结果是Cp↓ 0作为p↓ 1、回顾界限^bis> 1+λi，Ns，我们可以应用Jensen不等式来看到-pt | Xi=Xi>TZTEheT CCp（λi，Ns）| Xi=xidsp（6.10）将功率pclose固定到1，使T CCp≤ ηT/2，η如命题6.1所示，因此eHE1-pt | Xi=Xi>sups∈[0，T]Eheηs（λi，Ns）/2 | Xi=xip。现在，回顾命题6.1证明中估计值（6.7）的形式，对于j 6=i，xi独立于xjj这一事实意味着∈[0，T]EheηT（λi，Ns）/2 | Xi=Xi≤ 总工程师x/佩赫Pj6=iaNj（Xj）i2p。将此与估计值（6.10）相结合，该命题的第一个主张如下。最后，使用界|位|>1+λi，Nt，第二个声明后面是一个标准Gronwallargument，因此我们省略了证明。6.3密度估计本节的目的是通过控制概率P（Xit）得出Xit所需的密度估计∈ S、 t<τi），对于任何给定的i∈ {1，…，N}和S∈ B（0，∞).回想引理6.3中的转换Υ，注意x 7→ Υt（x）与Υt（x）是双射的≤ 0当且仅当x≤ 因此，调节初始值Xi=x，Px（Xit∈ S、 t<τi）=Pz（Zt∈ St，t<τ），其中τ=inf{t>0:Zt≤ 0}，Zt=Υ（Xit），St=Υt（S），z=Υ（x）。从这里开始，我们的想法是近似变换后的粒子Zt∧τ通过运行到时间s，对于s<t，然后运行独立的吸收布朗运动W，对于剩余时间t- s、 更准确地说，给定z∈ (0, ∞), 我们对地图7感兴趣→ Ez公司PZs公司∧τ（Wt-s∈ St，t- s<τW）, （6.11）式中，τW=inf{t>0:Wt≤ 0}.

固定时间t∈ [0，T]，因此，我们确定，对于每个<T的函数u（s，x）：=PxWt公司-s∈ St，t- s<τW=ZStGt公司-s（y，x）dy，其中Gt（y，x）=pt（x- y）- pt（x+y），pt（x）=（2πt）-经验值{-x/2t}。注意，u是终端边值问题的经典解su（s，x）+u（s，x）=0在[0，t）×（0，∞)u（t，x）={t}×（0）上的第一（x），∞)u（s，0）=0在[0，t）×{0}（6.12）上我们可以更简洁地编写（6.11）ass 7→ v（s，z）：=Ez[u（s，Zs∧τ） ]，（6.13），注意v（0，z）=Pz（Wt∧τW∈ St）和v（t，z）=Pz（Zt∧τ∈ St）。通过有界收敛，s 7立即→ v（s，z）是连续的。此外，下面引理6.6中的weshow证明，对于任何t<t，它实际上在[0，t]上是绝对连续的。因此，如果我们能证明（a.e.）导数sv扩展到L（0，t），那么我们将在所有的[0，t]上具有pz（Zt）的绝对连续性∧τ∈ St）=Pz（重量∧τW∈ St）+Ztsv（s，z）ds。（6.14）因此，关键在于对s 7建立正确的控制→ sv（s，z）。我们将在下一节开始讨论这个问题，但首先我们要证明之前关于绝对连续性的说法。引理6.6。固定任意z∈ (0, ∞). 然后映射s 7→ （6.13）中的v（s，z）isin AC[0，t]，对于每t<t（a.e.）导数sv（s，z）=Ez[1s<τ^bsxu（s，Zs）]。证据修复s∈ [0，t）和h>0，使得| h |<t- s、 回顾引理6.3，我们有DZT∧τ=1t<τ^btdt+1t<τdBt，因此It^o公式yieldsv（s+h，z）的应用- v（s，z）=Ezhu（s+h，z（s+h）∧τ) - u（s，Zs）∧τ） i=EzZs+hs(s+4）urdr+Zs+hsr<τ^brxurdr+Zs+hsr<τxurdBr.右侧的第一项消失（6.12），自xu（r，x）在区间[s，s+h]上有界 [0，t），随机积分是真鞅≤T^br |<∞ （参见示例。

推论6.2），Fubini定理因此暗示V（s+h，z）- v（s，z）=Zs+hsEz[1r<τ^brxu（r，Zr）]dr.这证明了这一说法。6.3.1半直线上的估计值引理6.6中的sv（s，z），q＞1的H"older不等式的一个应用sv（s，z）≤ Ez公司s<τ|^bs|xu（s，Zs）= Ezhs<τ|^bs | ZSt|xGt公司-s（y，Zs）| dyi。≤ Eh | bs | qq-1.Xi=xiq-1qZStEzs<τ|xGt公司-s（y，Zs）| qqdy公司≤ C（1+x）ZStEzs<τ|xGt公司-s（y，Zs）| qqdy。这里最后一个不等式来自引理6.5中的第二个断言，我们强调q可以任意取接近1。通过引入引理6.4中的Radon-Nikodym导数，得到了p>1 yieldsZStEz的H"older不等式s<τxGt公司-s（y，Zs）qqdy=ZStEzQE-1ss<τxGt公司-s（y，Zs）qqdy公司≤ EE1级-ps | Xi=xpqZStEzQs<τxGt公司-s（y，Zs）一ady，其中a=a（p，q）：=qpp-1> 1. 对于任何δ>0的情况，我们可以使p足够接近1，以便引理6.5中的第一个估计适用。因此，存在一个大于1的足够大的sv（s，z）> eδxZStEzQs<τxGt公司-s（y，Zs∧τ)一ady=eδxZStZ∞xGt公司-s（y，x）aGs（x，z）dxady，（6.15），其中最后一行来自Zs∧τ是Q下的吸收布朗运动，如引理6.4所示。在继续之前，我们收集了一些有用的指数函数边界。引理6.7。固定任意x、y∈ R和t>s。那么它适用于所有幂a≥ 1 thate-a（y-x） 2（t-s） e类-（十）-z） 2秒≤ e-（y）-z） 2te-t2s型（十）-y）√t型-s+√t型-s（y）-z） t型-s+sa, （6.16）e-a（y+x）2（t-s） e类-（十）-z） 2秒≤ e-（y+z）2te-t2s型（y+x）√t型-s+√t型-s（y+z）t-s+sa. （6.17）回顾（6.14），如果我们能够在（6.15）的右侧获得合适的界限，那么我们将得到所需的密度估计值。我们的第一个结果如下。提案6.8。对于任何δ>0，存在一个>1，这样，对于每个S∈ B（（0，∞)), i在N中均匀旋转≥ 1 thatPx新界Xi∧τi∈ S≤ZSGt公司Υt（x），Υ（x）xΥt（x）dx+CaeδxZSt型-aΥ（x）aΥt（x）a∧ 1.e-（Υt（x）-Υ（x））4atxΥt（x）dx。证据

给定δ>0，我们可以选择a>1，使（6.15）保持不变。写出以下表达式xGt公司-砂Gs，注意-（十）-z） /2秒- e-（x+z）/2s≤ （2xzs∧ 1） e类-（十）-z） /2s，（6.18）我们得到|sv（s，z）|>eδxI（s），其中i（s）：=s-2a（t- s）-ZSt公司Z∞（y）-x） t型-东南方-（y）-x） 2（t-s） +（y+x）t-东南方-（y+x）2（t-s）axzse-（十）-z） 2sdxady公司。回顾（6.14），我们因此有px新界Xi∧τi∈ S≤ Pz（重量∈ St，t<τW）+CeδxZtI（s）ds（6.19），对于某些C>0的情况，因此该声明相当于控制被积函数I（s）。我们将这项工作分为六个步骤。第1步。为了估计I（s），我们首先观察（y）-x） t型-东南方-（y）-x） 2（t-s） +（y+x）t-东南方-（y+x）2（t-s）≤|y-x | t-se-（y）-x） 2（t-s）- e-（y+x）2（t-s）+2年期-东南方-（y+x）2（t-s） 。对于右侧的第一项，我们可以使用（6.18）来查看| y-x | t-se-（y）-x） 2（t-s）- e-（y+x）2（t-s）≤|y-x | t-s2xyt-s∧ 1.e-（y）-x） 2（t-s） =：f（s）。（6.20）对于第二项，如果x，y>0，yt-东南方-（y+x）2（t-s）≤x+yxayt公司-东南方-（y+x）2（t-s）≤ 雅克斯-a（x+y）t-东南方-（y+x）2（t-s） =：f（s），（6.21），其中我们使用了y1-一≤ （x+y）1-asince a>1。根据（6.20）和（6.21），我们有I（s）≤ I（s）+2I（s），其中ik（s）：=s-2a（t- s）-zaZSt公司Z∞fi（s）斧头-（十）-z） 2sdxady，k=1，2。第2步。我们从第二项开始，即使用引理6.7的（6.17），我们有I（s）=s-2at-sZStzaya公司Z∞x+y√t型-sae-a（y+x）2（t-s） e类-（十）-z） 2sdxady公司≤ s-2at-sZStzayae公司-（y+z）2tZ∞x+y√t型-sae-t2s型（y+x）√t型-s+√t型-s（y+z）t-s+sadx公司为了计算内积分，我们用w=ts来改变变量-（x+y）√t型-s+√t型-s（y+z）t-s+σs, dx=（t- s） t型-sdw，其中我们注意到0≤（x+y）√t型-s=t-软件-√t型-s（y+z）t-s+σs≤ wand henceI（s）≤ s-a（t- s） 2a级-1吨-2a级Z∞wae公司-wdw公司阿兹特扎耶-（y+z）2 TDY。由于a>1，我们有RTS-a（t- s） 2a级-1ds=cat-2对于某些ca>0，因此Iis位于L（0，t）中，带有ZTI（s）ds≤ 猫-阿兹特扎耶-（y+z）2atdy，（6.22），其中Ca>0是一些数值常数，仅取决于a。步骤3。

为了估计第一项I，我们依赖不等式x2xyt-s∧ 1.一≤ 4y | x-y | t-对于任何a>1，s+2y。（6.23）要证明这个不等式是真的，只需注意，当x≤ y、 我们有2xyt-s∧ 1.一≤ x个≤ ywhile，for y≤ x、 我们可以写x=（x- y） +y获得X2xyt-s∧ 1.一≤ 2（| x- y |+y）2年期-s∧y≤ 2 | x- y | 2yt-s+2年。现在，使用引理6.7中的不等式（6.23）和（6.16），可以得出i（s）：=s-2a（t- s）-ZSt公司Z∞2xyt-s∧ 1.|y-x | t-东南方-（y）-x） 2（t-s）axzse-（十）-z） 2sdxady=t-不锈钢-2aZStZ∞xz公司2xyt-s∧ 1.a | y-x个√t型-s | ae-a（y-x） 2（t-s） e类-（十）-z） 2sdxady>t-不锈钢-2aZStzayae-（y）-z） 2atZ∞F（s，x，y，z）dxady，其中f（s，x，y，z）：=|y-x个√t型-s | a+| y-x个√t型-s | a+2e-t2s型（y）-x）√t型-s+√t型-s（y）-z） t型-s+sa.对于内积分，我们改变变量sw=ts-（十）-y）√t型-s+√t型-s（y）-z） t型-s+as, dx=（t- s） t型-sdw和setf（w）=f（s，w，y，z）：=t型-软件-√t型-s（y）-z） t型-s+as.此产量大于-a（t- s） 2a级-1吨-2aZStzayae-（y）-z） 2at锆f（w）a+f（w）a+2e-wdw公司ady公司。注意f（w）≤ |w |+t-1（t- s） | y- z |，我们可以分道扬镳。西塞特-2aZts-a（t- s） 2a级-1ds=cat-a、 t型-1.-2aZts-a（t- s） 2a级-ds=cat--a、 和t-1.-2aZts-a（t- s） 2a级-ds=cat--a、 因此，我们得到ZTI（s）ds>Cat-阿兹特扎耶-（y）-z） 2 TDY+Cat--阿兹特扎耶-（y）-z） 2at | y- z | dy+Cat--阿兹特扎耶-（y）-z） 2at | y- z | 1+ady，（6.24），其中ca=ca锆|w | a+| w | a+2e-wdw公司a、 Ca=CaZRe公司-wdw公司a=ca2aπ2a，Ca=CaZRe公司-wdw公司a=ca2aπ2a。第4步。综上所述，我们现在可以合并Iand I的估计值。然而，我们首先回顾一下基本不等式| y- z | e-（y）-z） 2at≤ 美食-（y）-z） 4at，（y+z）e-（y+z）2σt≤ 美食-（y+z）4at和t-a | y- z | 1+σe-（y）-z） 2at≤ 美食-（y）-z） 4at，使用这些，并回顾（6.19），从（6.22）和（6.24）可以看出，存在一个常数Ca>0，这样px新界Xi∧τi∈ S≤ZStGt公司y、 zdy+CaeδxZStt-阿扎耶-（y）-z） 4atdy。（6.25）步骤5。需要注意的是，（6.25）也适用于1代替t-阿扎亚。

要看到这一点，请注意，在步骤1中，我们还有|sv（s，z）|>eδx（J（s）+J（s）），其中J（s）：=s-2a（t- s）-第一次R∞y-x个√t型-sae-a（y-x） 2（t-s） e类-（十）-z） 2sdxadyJ（s）：=s-2a（t- s）-第一次R∞y+x√t型-sae-a（y+x）2（t-s） e类-（十）-z） 2sdxady公司。使用引理6.7并执行与步骤2和3相同的变量变化，计算显著简化，我们获得了所需的界限。第6步。回想一下，St=Υt（S）和z=Υ（x）。鉴于第4步和第5步，通过执行变量y=Υt（x）的变化来完成预防。6.3.2整个空间的估计如果我们忽略边界处的吸收，那么估计就简单得多，我们得到以下界。提案6.9。对于每个δ>0，存在一个>1，这样，对于每个S∈ B（R），i在N中均匀地旋转≥ 1 thatPx新界Xi∈ S≤ZSpt公司\'Υt（x，x）xΥt（x，x）dx+CaZSe-（Υt（x，x））4atxΥt（x，x）dx，其中pt（x）=（2πt）-exp{x/2t}和Υt（x，x）=Rxxσ（t，y）-1天。证据考虑引理6.3，用“Zt：=”t（Xit，x）代替“Zt=”t（Xit）=”t（Xit，0），并让“Q”表示引理6.4中的相应度量，这样“Zt”是“Q”下的标准布朗运动，从0开始，当Xi=x时。设置“St：=”t（S，x），我们有px新界Xi∈ S= P(R)Zt∈\'\'St.从这里开始，该界限与命题6.8相似，适用于新度量“Q和”v（s）：=E\'u（s，\'Zs）, \'u（s，x）：=PxWt公司-s∈\'\'St=Z？Stpt-s（y）- x） dy.由于没有边界效应，估计简化了，事实上，这项工作与命题6.8证明的Jin步骤5相同，z=0.6.4命题3.3的证明鉴于命题6.8和6.9，在我们可以推导密度估计（3.2）和（3.3），从而证明命题3.3之前，只剩下一些观察结果。给定假设2.1，通过构造Υ，它认为存在常数C，C>0，这样C | x- x |≤|\'Υt（x，x）|≤ C | x-x |和|xΥt（x）|≤ C对于所有x∈ R和t∈ [0，T]。

因此，整个空间估计（3.3）是命题6.9的直接结果。对于具有边界衰减的估计，我们首先回顾标准边界gt（x，x）≤ C√t型x个√t型∧ 1.x个√t型∧ 1.expn公司-（十）- x） 4tof或x，x≥ 0。接下来，我们注意到，通过定义Υ，存在C>0，使得| t（x）|≤ Cx和|xΥt（x）|≤ C代表所有x≥ 0和t∈ [0，T]。最后，我们可以观察到Υt（x）- Υ（x）≥Zx公司∨xx号∧xdyσ（t，y）+ 2Zx∨xx号∧xdyσ（t，y）Zx∧xσ（t，y）-σ（0，y）dy≥ C（x- x）- Ct | x- x |（x∧ x） ，通过使用σ和tσ来自假设2.1。结合这些观察结果，密度估计（3.2）遵循命题6.8，取cx，y：=4aC | x-y |（x∧y） 和κ：=1/a。还有待观察，我们可以取cx，y≡ 0，当σ（t，x）=σ（t）σ（x），在这种情况下，我们不需要t 7的任何光滑性→ σ（t，x），如备注2.2所述。要看到这一点，关键是必须缩小波动性的空间成分。具体地说，我们可以考虑引理5.2的类似物，其中Υ（x）：=Zxdyσ（y）和ΥZit：=Υ（Xit）=Υ（Xi）+Ztbisds+Ztσ（s）dBs。修复S∈ B（0，∞) 并设置▄S：=▄Υ（S）。同时固定t∈ （0，T），我们可以复制第6.3节，其中▄v（s，z）：=Ez[▄u（s，▄Zs∧τ）]和▄u（s，x）：=PxWRtsσ（r）dr∈S，Rtsσ（r）dr<τW=Z▄SGσs，t（y，x）dy，其中Gσs，是sf（s，x）+σ（s）f（s，x）=0作为[0，t）×（0，∞) f（s，0）=0。

即Gσs，t（y，x）=2πRtsσ（r）dr-经验值-（十）- y） Rtsσ（r）dr- 经验值-（x+y）Rtsσ（r）dr.由于存在常数c，c>0，因此c（t-s）≤Rtsσ（r）dr≤ c（t-s） ，与命题6.8 yieldPx的证明中的估计相同退出∧τi∈ S=Z▄SGσs，t（y，▄Υ（x））dy+Zts▄v（s，▄Υ（x））dsand，也使用边界▄Υ（x）▄≤ cx和|xΥ|≤ c、 我们获得PX退出∧τi∈ S>ZSGσ0，tΥ（x），Υ（x）dx+eδxZSt型-axaxa公司∧ 1.e-（ΥΥ（x）-Υ（x））4atdx。由于Υ不依赖于时间，我们有|Υ（x）-Υ（x）|=| Rxxσ（y）-1dy |，所以存在c，c>0，这样c | x- x |≤ |Υ（x）-Υ（x）|≤ c | x- x |。此外，Gσ0，tsatis与上述Gt（x，y）的值有一个分析性绑定，因此我们得出结论，密度估计值（3.2）与cx，y一致≡ 0，根据需要。这完成了命题3.3的证明。附录A。1技术引理A.1。假设ν满足假设2.3，并设gs（x）=g（s，x，νs，Ls），其中gis为b，b，σ或σ中的任意一个，Ls=1- νs（0，∞). 定义误差项egt，ε（x）：=hνt，gt（·）Gε（x，·）i- gt（x）（TενT）（x）。那么我们有EztEgt，εL（R）dt→ 0为ε→ 0.证明。接下来是对[35]中引理8.1的直接修改。唯一需要注意的是，我们不能再使用粗绑定的| gt（x）- gt（y）|≤ 2 kgtk∞, as GT不需要有界。然而，如果我们转而依赖| gt（x），那么[35]中的论点很容易扩展到目前的情况- gt（y）|≤ kxgtk公司∞|x个- y |。引理A.2。假设“ν”满足假设2.3中（iii）-（iv）的整个空间类似物。设g=g（s，·，νs，Ls），其中g是b、b、σ或σ中的任意一个，并定义误差项\'Egt，ε（x）：=h'νt，gt（·）pε（x，·）i- gt（x）x（\'Tε′νT）（x）+xgt（x）’Hgt，ε（x），’Hgt，ε（x）：=h’νt，（x- ·)xpε（x- ·)i、 那么，对于k=1，2，我们有eztEgt，ε2kL（R）dt→ 0，EZTx’Egt，εL（R）dt→ 0，作为ε→ 0.证明。接下来是对[35]中引理8.2的简单修改。引理A.3。设νNtbe如（2.1）中所定义，并设Ntbe为满足假设2.3的任何度量值过程。

然后，每a>0，我们就有EZTνt，xk[λ，∞)（十）dt=o（λke-aλ）为λ→ ∞, （A.1），同样，它在N中保持一致≥ 1和t∈ [0，T]那是νNt，xk[λ，∞)（十）= o（λke-aλ）为λ→ ∞ （A.2）证明。固定任意a>0，并给定ε>0。根据推论3.4，存在λ≥ 0使得e[νNt（λ，∞)] ≤ εe-aλλ ≥ λ、 （A.3）在N中均匀分布≥ 1和t∈ [0，T]。给定任意λ≥ λ我们让{s，s，…}表示[λ]的分区，∞) 使用si- 硅-1=1/a。通过（a.3）和单调收敛，我们得到νNt，x1[λ，∞)（十）≤∞Xi=1siEνNt（si-1.∞) ≤ ε∞Xi=1sie-asi公司-1=εe∞Xi=1sie-asiNow，x 7→ xe公司-x轴递减≥ 1/a，取λ：=max{1/a，λ}，注意s=λ，它适用于所有λ>λthatEνNt，x1[λ，∞)（十）≤ εeZ∞λxe-axdx=εeλa+ae-aλ。这证明了（A.2）对于k=1和k的功≥ 2类似。类似地，（A.1）中的主张也遵循假设2.3中的指数尾特性。引理A.4。设ν为定理2.4中的一个极限点，设￠ν为满足假设2.3的任何测量值过程。那么它以概率1成立，即λ→ ∞),limε↓0νt（0，ε）ε=0，νt（λ，∞) = O（e-λ） ，和zt￠νt（λ，∞)dt=O（e-λ).证据对于第一项索赔，我们从命题4.3中回顾，存在δ∈ （0，1）和β>0，使得Eνt（0，ε）=t-δO（ε1+β）为ε→ 利用马尔可夫不等式，我们得出，对于任何θ>0且n足够大的情况，Pn2/βνt（0，n-2/β) > θ≤ θ-1n2/βEνt（0，n-2/β) ≤ 计算机断层扫描-δθ-1n-因此，Borel–Cantelli引理给出了lim supnn2/βνt（0，n-2/β）=0，概率为1。现在，给定ε>0，我们有（n+1）-2/β< ε ≤ n-对于某些n，为2/β≥ 1，那么我们推导出lim supε↓0νt（0，ε）ε≤ lim支持≥1νt（0，n-2/β）（n+1）-2/β≤ lim支持≥1νt（0，n-2/β）n-2/βn+1nβ.由于后者为零，概率为1，这证明了第一种说法。

这两个剩余结果之后，分别使用命题4.3和假设2.3中的指数阿尔泰性质，对尾部概率进行了类似的考虑。A、 2命题3.5和命题3.6Lemma A.5的证明。设∧i，Nt=| Xit |+PNj=1aNj | Xjt |，如（6.1）所示。然后它会保持一致≥ 1 thatP支持≤T∧i，Nt≥ λ= o（1）为λ→ ∞.证据这是推论6.2的直接结果。基于这个引理，我们可以修改[35]第4节的论点，以证明命题3.5和命题3.6。命题3.5的证明。如[35]中命题4.6的证明中所述，对于所有a>0和θ：=（1- r） ，我们有p（LNt+h- LNt<δ，LNt<r）≤ P（LNt+h- LNt<δ，νNt（0，a）>θ）+o（e-a） 。让E：=LNt+h- LNt<δ，νNt（0，a）>θ并定义一个随机指数集I byI：=1.≤ 我≤ N：Xit<a，t<τi，aNi>θ/2N.请注意，索引为的粒子1.≤ 我≤ N：aNi≤θN-1.对νNt（0，a）最多贡献θ。还回顾aNi≤ 对于一些m>0的m/N，参见（2.2），在事件E上，我们必须有| I |>Nθ/2m。亨塞普（E）≤十一： | I |>θN2mP（E | I=I）P（I=I）。（A.4）此外，由于LNt+h- E上的LNt<δ，而i上的aNi>θ/2N∈ 一、 我们推导出p（E | I=I）≤ P#我∈ 一： infu公司≤hXit+u≤ 0< 2δN/θ| I=I. （A.5）为了估算（A.5），我们让Zit=Υt（Xit），如引理6.3所示，并回顾Zitthensatiesdzit=^bitdt+dBit，| bit |≤ c（1+λi，Nt），| Zit |≤ c（1+| Xit |）。