精确渐近性：鲁棒随机波动率模型

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英文标题：
《Precise asymptotics: robust stochastic volatility models》
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作者：
Peter K. Friz, Paul Gassiat, Paolo Pigato
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We present a new methodology to analyze large classes of (classical and rough) stochastic volatility models, with special regard to short-time and small noise formulae for option prices. Our main tool is the theory of regularity structures, which we use in the form of [Bayer et al; A regularity structure for rough volatility, 2017]. In essence, we implement a Laplace method on the space of models (in the sense of Hairer), which generalizes classical works of Azencott and Ben Arous on path space and then Aida, Inahama--Kawabi on rough path space. When applied to rough volatility models, e.g. in the setting of [Forde-Zhang, Asymptotics for rough stochastic volatility models, 2017], one obtains precise asymptotic for European options which refine known large deviation asymptotics.
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中文摘要：
我们提出了一种新的方法来分析大类（经典和粗糙）随机波动率模型，特别是关于期权价格的短期和小噪声公式。我们的主要工具是规则结构理论，我们以[拜耳等人；粗糙波动率的规则结构，2017年]的形式使用该理论。本质上，我们在模型空间上实现了一种拉普拉斯方法（在海尔意义上），它在路径空间上推广了Azencott和Ben Arous的经典著作，然后在粗糙路径空间上推广了Aida、Inahama和Kawabi的经典著作。当应用于粗糙波动率模型时，例如在【Forde Zhang，粗糙随机波动率模型的渐近性，2017】的设置中，我们可以获得欧洲期权的精确渐近性，这些期权细化了已知的大偏差渐近性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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关键词：波动率模型 波动率 Differential Applications Quantitative

精确渐近：稳健随机波动率模型。K、 FRIZ，P.GASSIAT，P.PIGATOAbstract。我们提出了一种新的方法来分析大类（经典和粗糙）随机波动率模型，特别是关于期权价格的短期和小噪声公式。我们的主要工具是规则结构理论，我们以[拜耳等人，《粗糙波动率的规则结构》，数学，金融2019年]的形式使用该理论。本质上，我们在模型空间上实现了aLaplace方法（从Haier的意义上），它推广了Azencott和Ben Arous在路径空间上的经典工作，然后Aida、Inahama–Kawabi在粗糙路径空间上的经典工作。当应用于粗糙波动率模型时，例如在【拜耳等人，《粗糙波动率下的定价》，Quant.Finance 2016】和【Forde Zhang，《粗糙随机波动率模型的渐近性》，SIAM J.Financial Math.2017】的设置中，可以获得欧洲期权的精确渐近性，其中确定了已知的大偏差渐近性。内容1、导言22。符号73。关于Black-Scholes渐近的初步研究84。未定义的大、中、粗偏差104.1。基本大偏差假设（A1）104.2。矩假设（A2）和大偏差期权定价115。例如，鲁棒性和非简并性135.1。SDEs和（经典）StochVol 135.2的案例。粗略波动率为155.3。假设（A3-5）：稳健模型规范和控制理论186。期权定价：精确表示公式和渐近206.1。买入和卖出价格公式206.2。精确大偏差216.3。精确中等偏差227。返回RoughVol 237.1。检查抽象条件237.2。计算常数247.3。关于带有t2Hdependence和Volterra dynamics的RoughBergomi的评论248。主要结果证明258.1。J 25的本地化日期：2020年11月19日，MSC。

60L30、60L90、91G20、60H30、60F10、60G22、60G18。关键词和短语。粗糙波动率，欧式期权定价，小时间渐近，粗糙路径，正则结构。我们非常感谢欧洲研究理事会CoG-683164（PKF和PP）和ANR-16-CE40-0020-01（PG）的资助。我们还感谢匿名评论员的仔细阅读。2 P.K.FRIZ，P.GASSIAT，P.PIGATO8.2。局部分析278.3。定理6.5的证明31附录A.稳健表示32附录B.粗糙波动率的正则结构要素33B。1、粗略vol型号33B。同质模型规范和模型翻译36B。3、重整化的Wong Zakai型结果38B。4、“随机”泰勒剩余估计通过模型范数38附录C。围绕最小值39C的局部分析。一阶最优性39C。非简并性40附录D。从期权价格到隐含波动率42参考文献431。引言考虑一个通用的随机波动率模型，格式为dst/St=σ（t，ω）dfWt+u（t，ω）dt。这包括σ、u为常数的Black-Scholes模型和许多“经典”（马尔可夫）随机波动率（简称StochVol）模型，如Heston模型【42】、Stein-Stein模型【57】或SABR模型【39、38】。布朗运动fw通常分解为ρW+ρWsuch，σ本身就是一种W适应的扩散。例如，在[11，17]之后，通过一般（经典）StochVol模型，我们指的是一个n维的差异，其第一个组成部分具有（对数）价格的解释。相比之下，最近的一类粗糙波动率模型（简称：RoughVol）假设σ是一种标度（Hurst）参数H<1/2的异常扩散。首先由Al\'os等人提出[2]，近年来，人们对这些模型的兴趣激增，首先是Gatheral等人。

[35]这不仅提供了统计证据，还暗示了市场微观结构的基础（随后导致了拉夫赫斯顿模型[19]）。在定价方面，需要将这些（参数）模型与给定的市场数据进行匹配。一个有充分证据证明的问题，例如[23，34]，是短期期权价格（相当于：波动率微笑），这反过来解释了实践者对短期期权渐近公式的兴趣。其中一些，如哈根的SABRformula，已在市场上广泛使用。让我们快速回顾一下经典StochVol的案例。从数学上讲，短期内基于差异的模型中的期权价格（相当于Black-Scholes隐含波动率）研究与大偏差密切相关。为了理解这一基本环节，下面的启发式方法很有用。取K<S，u≡ 0并考虑价格为（1.1）P[St<K]=P[log（St/S）<log（K/S）]≈ e-I（k）/tas t→ 0 .这里k=对数（k/S）<0称为对数打击，I（k）能量（或速率）函数。这是一个典型的（Freidlin–Wentzell）大偏差声明，有效期为t→ 0和I（k）对k确定的到达流形具有最短平方距离的几何解释。不难粗略检查VOL渐近3，看跌期权价格具有类似的行为，（1.2）E[（k- St）+]≈ e-I（k）/tas t→ 0 .在Black-Scholes模型中，（高斯）速率函数由k/（2σ）给出；将该表达式与I（k）等同，可以得出有效（或Black-Scholes）隐含波动率σI（t，k）的概念，即→ 0，（1.3）k2σI（t，k）~ I（k）或等效值：σI（t，k）~k2I（k）=：∑（k）。这种最终关系称为BBF公式【11】；另见Pham【53】的推导。

从业者在定义的渐近中有很多线索，例如σI（t，k）=∑（k）+t∑（k）+。。。。这反过来又需要（大偏差）aysmptotics（1.2）与所谓的“精确渐近”相匹配。我们注意到“（任何订单）买入/卖出价格渐近==> （任意阶）隐含波动渐近性”相当于对Black-Scholes公式的渐近理解，是Gao-Lee决定性工作的内容【32】。这一数学问题最终归结为期权价格的渐近性。例如，在赫斯顿模型中，在[21]中建立了这样一个展开式，使用鞍点方法从已知的赫斯顿特征函数中获得必要的期权价格渐近性。在缺乏此类知识的情况下，这种方法不适用于一般（经典）StochVol模型。许多作者在现有大量关于热核的文献的基础上，将重点放在密度扩展上。关于概述，实习医生的教科书【41】有许多参考文献，另请参见【28】这一领域的最新作品集。让我们来看看拉夫沃尔的情况。在[2，30，7，31，22]之后，我们考虑模型情况（1.4）σ（t，ω）=σ（WHt），其中，在滥用的符号中，σ还表示波动率函数，在[22]中取（最多）线性增长或在[7]中取指数形式，称为RoughBergomi。这里是由布朗运动W驱动的分数布朗运动，ρ-与驱动价格S的FW相关。这个族中另一个流行的例子是由Rougheston给出的，在这种情况下，σ（t，ω）非平凡地作为具有| t形式奇异核的随机Volterra方程的解- s | H-1/2，因此σ（t，ω）等于H--H–旧的示例路径。

拉夫赫斯顿的一个吸引人的特征是关于其特征函数的信息【19】，该特征函数提出了一种（有限维）渐进分析方法，用于在拉夫赫斯顿下排序日期期权；这已在Forde etal最近的预印本中进行。[20]. StochVol和RoughVol之间的主要区别当然是（局部）缩放H=1/2vs。H<1/2。这已经影响到基本的大偏差：没有LDP，因为→ 0（等效值：ε→ 0）对于ztσ（WHs）d（ρWs+ρWs）；等效：Zσ（ε2HWHs）εd（ρWs+ρWs）。只有当其中一个确定了缩放比例（以附加因子的形式）-1/2，当量：ε2H-1） 这是一个小噪声设置，可以预期速度t2Hor的大偏差原则，等效地，这并不能替代数值方法，但可以理解模型参数，有助于找到校准程序的良好“起点”，并导致隐含挥发性表面的广泛使用参数化。依赖时间的波动率函数可以适应非常数远期方差曲线的情况，但鉴于我们对短期的关注，这种扩展对我们的讨论没有什么帮助。4 P.K.FRIZ，P.GASSIAT，P.PIGATOε4H。这首先由【22】所示，然后，在【8】中，在σ没有增长限制的情况下，也可参见【46，36】。应用于看跌期权的定价，则得到[22，Cor.4.9]，（1.5）E[（Kt- St）+]≈ e-J（x）/t2有t↓ 0随时间变化的走向Kt=Sexp（xt1/2-H） <沙能函数J规范至（1.4）。如【22】中所述，此类期权价格渐近性意味着（1.6）σI（t，xt1/2）形式的“粗略BBF公式”-H）~x2J（x）=∑（x）。本文的贡献。（一） 我们的一般主要结果同时提供了（1.2）和（1.5）的结果，如下所示。

对于精确公式，我们引入标准化对数价格XT：=对数（St/S）和（看跌期权，看涨期权）期权价格，对数行使k，如下所示，p（t，k）：=E[（ek- eXt）+]，c（t，k）：=E[（eXt- ek）+]。定理1.1。（有关精确公式，请参见定理6.3。）考虑一个具有对数价格过程（Xt）的“稳健”（经典orrough）随机波动率模型，现货波动率σ>0。考虑欧洲看跌期权价格p=p（t，k）（缺钱）对数敲打kε=xε1-2H<0。在最可能路径的非退化假设下，存在一个速率函数∧=∧（x），正则nearx和一个函数a=a（x）~ 1作为x→ 0，因此，当σx=2∧（x）/λ（x）时，我们有如下小噪声符号（缺钱）看跌期权价格，（1.7）p（ε，kε）~ 经验值-∧（x）ε4Hε1+4HA（x）（λ（x））σx√2πasε↓ 在“1+时刻假设”下，货币外看涨期权价格也存在类似的结果。有几句话要说。（i） exp（Xt）的第一时刻的存在是基于鞅的先验理论的“先决条件”。特别是看跌期权平价，人们可以用它来简单地推导货币期权的渐近公式。仅对于呼叫扩展，我们假设存在“1+时刻”。

这是一种相当温和的情况，但也可参见备注4.9。（ii）通过设置ε，我们可以从小噪声切换到短时间≡ t、 （iii）为方便读者，附录D中详述了Gao–Lee[32]的（标准）应用，表明我们的价格扩展意味着（1.8）σI（t，xt1/2）形式的短期（平方）隐含波动率近似值-H） =∑（x）+t2H∑（x）+o（t2H），其中∑在（1.6）中给出，我们有显式表达式（1.9）∑（x）=x2∧（x）对数2A（x）∧（x）∧（x）x如果H<1/2x2∧（x）对数2A（x）∧（x）∧（x）x exp（x/2）如果H=1/2。有财务头脑的读者可能更喜欢St/FT，其中FTI是时间-时间远期价格，如Sert，但这对我们讨论的短期渐近性没有什么帮助。粗糙VOL渐近5（iv）在定理1.1的一般性中，人们不能指望∧，A（然后是∑，∑）的显式公式。与此类速率函数的典型情况一样，∧=∧（x）可以写成变分问题，参见（5.13）。另一方面，我们将在后面的证明中看到，cf.（6.8），（1.10）A（x）=（Eexp（λ（x）x）, 如果H<1/2exEexp（λ（x）x）, 如果H=1/2，其中xis是一个二次维纳函数（也可以进一步描述）。所有这一切意味着，在特定模型中，可以进行进一步的计算，尤其是在x=0附近的扩展。这反过来又允许进一步量化并用数字测试（1.8）中给出的一般高阶隐含波动率扩展。（v） 一般经典Stochvol模型的许多密度（然后是期权价格、隐含波动率）展开依赖于现有的热核展开，因此不扩展到H<1/2的非马尔可夫情形。我们记得，Malliavin演算提供了另一种加热内核扩展的途径，这是Kusuoka–Osajima【48，52】和Deuschel等人【16，17】工作的基础，他们的工作重点是密度扩展—期权价格扩展可以通过适当的整合获得。

我们的方法不同，允许我们直接处理期权价格；Malliavincalculus、H¨ormander类型参数和密度不是必需的。（vi）我们的“稳健性”假设，在H=1/2的情况下，意味着（对数）价格过程是It^o布朗粗糙路径的连续图像，对于具有足够平滑（比如C+）系数的SDE模型通常是满意的。（在某种意义上，这取代了[48]中的“正则维纳函数”符号。）尽管在下面的第5.1节中有一些召回，但我们假设我们对粗糙路径的基本概念有一定的了解，如【29】中所示。有趣的是，当H<1/2时，（标准）粗糙路径不适合粗糙vol模型，但正则结构理论[40]是一个完美的替代品，如[8]所示。现在的假设意味着价格过程可以构建为一个合适It^o模型的连续图像，其中（用海尔的术语来说）“模型”概括了粗糙路径。为方便读者阅读，附录中对结构进行了审查。（vii）（Aida，Inahama-Kawabi）在SDE背景下，粗糙路径方法已知能对许多噪声产生影响，最显著的是对噪声的持续依赖性（被视为随机粗糙路径），这反过来又对建立Freidlin–Wentzell型大偏差具有直接意义，见E。g、 [29，Ch.10]。Aida在其关于半经典极限的工作中（参见[44，45，43]）指出，粗路径空间也最便于为形式为E（exp F（Xε）/ε的维纳函数建立精确的拉普拉斯渐近~ （常数）exp(-∧F（γ）ε），Ben Arous[3]等人之前（在经典路径空间环境中）考虑过。我们的定理处理不同的维纳泛函，并产生不同的展开式，即使在H=1/2的情况下也是如此，我们依赖于拉普拉斯方法的非平凡变化，参见下文（viii）。在概念层面上，参见。

（vi）用模型代替粗糙路径。（viii）（Azencott）可能最接近我们的主要结果，尽管在经典的微分（H=1/2）设置中，Azencott[5]使用路径空间上拉普拉斯方法的复杂变化给出了概率的渐近展开式，如P（Xε>k）。正如Azencott自己所哀叹的那样，他的方法（非常）技术性，但表示希望这可能会有所改变：“Il serait tr ` es int ` eressant d\'avoir unjustification system'ematique g en'erale de la validit'e des d'developments formels de ce type et nousavons（` a moyen terme！）我们需要在形式上对存在进行优化。我们对定理1.1的证明，如果仅限于经典的微分设置，并且当H<1/2时，被积函数σ（WH）不受布朗噪声控制。6 P.K.FRIZ，P.GASSIAT，P.PIGATOadapted to“digital Payoff”，本质上表明，对于H<1/2：正则结构，粗糙路径是Azencott所希望的工具。（ix）（Heston）“稳健性”假设本质上要求模型中的系数具有一定的平滑性，这似乎排除了（经典和粗糙）Heston型模型，因为平方根系数。虽然这种退化（根本）不是这项工作的重点，但我们指出，我们的扩张是由最可能路径的邻域以统一（甚至更强大）的指标决定的。因此，通过路径大偏差获得的最可能路径的统一邻域的任何“初始”局部化（如Heston案例中的[54]），本质上允许忽略平方根问题并应用我们的定理，这与已知的Heston结果[21，Thm 3.1]以及最近的[20]相一致。