广义随机块模型中的金融传染

这里是重量w-,r、 αIDE描述了银行i发展来自α型机构风险敞口r的传入EDGES的趋势。类似地，w+，r，αIDE描述了i在α型机构中暴露r时形成出边缘的趋势。为了将其形式化，让Xri，jbe作为指示器随机变量，如果存在曝光率r从i到j的边，则为1，否则为0，让Xri，j~ Be（pri，j）是一个伯努利随机变量，期望pri，j：=（min{R-1，n-1} w+，r，αjiw-,r、 αij，i 6=j，0，i=j.（2.1）为了避免机构间风险敞口不同的多个边，我们假设{Xri，j}1≤r≤Rto相互排斥，即P1≤r≤RXri，j≤ 此外，我们假设不同机构对之间的边是独立的，即Xri，j⊥ Xri，jfor all r，r∈ [R] 如果i6=iorj6=j。特别是，Xri，j⊥ Xrj，ifor所有r，r∈ [R] ，i 6=j。这可以通过引入一系列独立的随机变量Ui，j来实现，每个变量均匀分布在区间[0，1]上，并让Xri，j=1Ui，j∈聚苯乙烯≤r-1psi、j、Ps≤rpsi，j. 上界R-1in（2.1）然后确保≤Rpsi，j≤ 1.2.3资本和违约传染给每个机构i∈ [n] 资本（股权）初始金额ci∈ N∪{∞}. 如果ci>0，我们称之为机构有偿付能力，如果ci=0，我们称之为无偿付能力，我们用D表示：={i∈ [n] ：ci=0}初始默认机构的集合。最初的违约应是由于一些外来事件，如股市崩盘。由于网络中的互连，数据仓库中的机构违约将通过网络传播。这是因为违约银行无法（完全）向债权人偿还贷款。正如【24】中首次提出的，合理的假设是，违约债务人无法偿还任何债务，因为处理其违约可能需要数月甚至数年的时间，而金融传染是一个短期过程。

事实上，只要调整资本，就可以将我们的模型推广到固定不变回收率的情况。默认的传染过程可以描述如下。在第k轮中≥ 默认级联中的1个默认机构集isDk：=（i∈ [n] ：ci≤Xr公司∈[R] rXj公司∈丹麦-1Xrj，i）。（2.2）尤其是D D · · · 默认集合链在第n轮稳定- 1最新版本。因此，我们表示由Dn设置的最终默认值：=Dn-请注意，此过程中唯一的随机性来自网络中的随机链接。一旦确定了网络配置，就可以完全确定整个默认传染序列。以下两个注释说明了我们设置的有趣的可能扩展。备注2.1。在下文中，我们使用最终违约机构的分数n-1 | Dn |作为网络中给定电击严重程度的测量值。然而，不仅要考虑最终违约的机构，还要引入参数si∈ R+，0对每个银行i具有一般系统重要性∈ [n] 并使用Sn：=n-1Pi∈DNSIT测量电击的严重程度。由于系统重要性值SID不会影响过程（2.2），因此在{si}i的温和假设下，我们的所有结果都可以扩展到这个更一般的设置∈[n] 。一般设置见备注3.6。备注2.2。为了用一般风险敞口值对现实的金融网络进行建模，事先有必要选择R非常大，我们的模型将变得高维。然而，与其考虑两个机构之间的风险敞口r，还可以将其解释为更一般的影响因素。然后，也可以用相当小的R选择来模拟无界暴露分布。

更准确地说，我们可以分配给每个机构∈ [n] 可交换随机变量的列表，并取其中r-多个变量的和，以计算具有影响r的边的实际暴露。在对这些可交换随机变量的分布进行较小假设的情况下，本文的主要结果可以通过条件变元推广到此设置。关于caseR=T=1.2.4正则顶点序列中这一想法的精确讨论，请参见【20】在前面的小节中，我们介绍了几个参数，特别是，任何随机集合都由权重序列w描述-,r、 α：=（w-,r、 α，w-,r、 αn）和w+，r，α：=（w+，r，α，…，w+，r，αn）表示r∈ [R] 和α∈ 【T】，大写字母顺序c：=（c，…，cn），类型顺序α：=（α，…，αn）。也就是说，关于该系统的大部分信息，特别是网络结构，都包含在经验分布函数fn（x，y，`，m）：=n中-1十一∈[n] 年∈[R] ，α∈【T】西北-,r、 αi≤ xr，α，w+，r，αi≤ yr，αo1{ci≤ `, αi≤ m} ，对于x，y∈ R[R]×[T]，`∈ N∪ {∞} 和m∈ [T]。到目前为止所描述的设置使我们能够用给定数量的nof机构对系统进行建模。然而，正如导言中所述，我们的主要重点是研究底层网络的结构如何影响传染过程，更一般地说，是如何影响整个系统的稳定性。为实现这一目标，我们采取以下行动。我们没有将注意力局限于单个系统配置，而是考虑了一组相似的系统，其中结构相似性根据我们考虑的所有参数的联合温度分布进行精确测量。

特别地，我们假设我们有一个系统集合，其中具有数量不等的n个机构，其性质为序列（Fn）n∈Nof经验分布收敛。定义2.3（常规顶点序列）。A序列（w-,r、 α（n），w+，r，α（n），c（n），α（n））n∈不同网络大小的NOF模型参数n∈ 如果满足以下条件，则称N为正则顶点序列。请注意，我们没有指定r和α的范围以保持符号简洁。在这里和下面，我们总是指r∈ [R] 和α∈ [T]。（a） 分布收敛：Let（W-,r、 αn，W+，r，αn，Cn，An）是根据经验分布函数Fn分布的随机向量。然后存在一个分布函数F，使得Fn（x，y，`，m）→ 对于F`，m（x，y）：=F（x，y，`，m）连续的所有点（x，y，`，m）（x，y，`，m）。用（W）表示-,r、 α，W+，r，α，C，A）arandom矢量按F分布。（b） 平均权重的收敛性：对于n→ ∞ 和所有1≤ r≤ R、 1个≤ α ≤ T:E[W-,r、 αn]→ 东[西]-,r、 α]<∞ 和E[W+，r，αn]→ E【W+，r，α】<∞.为了理解我们模型的渐近度序列，让我们∈ [R] 只看曝光大小为R的链接。我们看一个顶点i∈ [n] 对于β型，对α型顶点的外权重等于w+，r，αi。那么它对α型顶点的外度是一个独立的伯努利试验的和，其期望收敛于w+，r，αiE[w-,r、 α1{A=β}]由于定义2.3的性质（b）。通过这一观察，可以应用[19，定理3.3]中使用的度序列泊松耦合的类似想法来证明以下关于我们金融系统中度序列的结果。提案2.4。考虑一个由正则顶点序列描述的金融系统，letD±，r，αnbe是网络中某银行α型银行的r-out/in度，随机均匀选择。

然后针对每个（r，α）∈ [R] ×[T]，作为n→ ∞, in分布d±，r，αn→ PoiW±，r，αXβ∈[T]ζr，β，α1{A=β}！，（2.3）式中，ζr，β，α:= EW,r、 β1{A=α}. 特别是，对于一些均匀选择的β型银行的α型银行，r-out/In度在分布上收敛于PoiW±，r，αζr，β，α.3渐近结果本节给出了最终违约分数n的结果-1 | Dn |由一组初始默认值触发，这是本文的主要贡献之一，请参见第3.2小节。在第3.1节中，我们首先介绍一些将发挥重要作用的功能。为了便于阅读，本节的大部分（主要是技术性的）校样都被移到了附录中。3.1准备工作在以下V中表示：=[R]×[T]。设ψ`（x，…，xR）：=P聚苯乙烯∈[R] sXs≥ `对于独立泊松随机变量Xs~ Poi（xs）。在下面的函数fr、α、β中：RV+、0→ R、 （R，α，β）∈ V和g：RV+，0→ R+、0将发挥核心作用。它们由fr，α，β（z）=E“W+，r，αψCXγ给出∈【T】W-,1，γz1，β，γ，Xγ∈【T】W-,R、 γzR，β，γ！1{A=β}#- zr，α，β，g（z）=Xβ∈[T]E“ψCXγ∈【T】W-,1，γz1，β，γ，Xγ∈【T】W-,R、 γzR，β，γ！1{A=β}#。让我们提供一些关于这些函数含义的直觉。（2.2）中描述的传染过程可以以等效的顺序形式重述，其中在每个步骤中，仅探讨一个违约机构对系统的影响。违约机构可以有两种状态：已探索意味着它们对系统的影响已经被考虑，未探索意味着它们对系统的影响尚未被考虑。我们首先来看T=R=1的情况。那么，只有一个变量z=z1,1,1的函数f=f1,1,1，表示违约和探索机构的总外权重除以n。

对于机构i∈ [n] 重量为w-,1,1我们知道在极限（n→ ∞) 邻居的数量由Poi（w）给出-,1,1iζ），其中ζ=ζ1,1,1+总输出权重除以n，即ζ：=eW+，1,1= n-1Pi∈[n] w+，1,1i+o（1）。用z代替ζ，默认和探索邻域的数量应直观地由Poi（w1,1iz）给出。继续这个启发式，我默认的概率（无论是否已经暴露）是P（Poi（w-,1.1iz）≥ ci）=ψci（w1,1iz），并对i求和∈ [n] ，由于暴露出权重大致等于nz的违约机构，所有违约机构的权重由E[W+，1,1ψci（W-,1,1z）]。如果E[W+，1,1ψci（W-,1,1z）]=z或相当于f（z）=0，则没有未披露的违约机构，流程可能会停止。在多变量情况下，变量zr、β、γ等于默认和已探索的γ型顶点的外权重之和，用于构建暴露于β型顶点r的边。对于givenz∈ RV+，0函数值fr，α，β（z）量化了默认但未预测的β型顶点的总输出权重，用于构建向α型顶点曝光r的边。如上所述，当fr，α，β（z）=0时，对于暴露于α型顶点的r的BuildingEdge，默认和未探索的β型顶点的总输出权重为零，这意味着通过大小r的暴露从β顶点到α顶点的感染已经减缓，但图中仍然可能存在传染活动。仅当fr，α，β（z）=0时（r，α，β）∈ V该过程可能会停止。让我们成为这样一个共同的根。然后，在极限（n→ ∞), a顶点i∈ [n] 带大写字母cihas r-in-degree的β型与γ型顶点近似泊松分布，平均值为w-,r、 γi^zr，β，γ。因此，顶点i默认为概率ψci（Pγ∈【T】w-,1，γi^z1，β，γ，Pγ∈【T】w-,R、 γi^zR，β，γ）。

如果我们现在选择顶点i∈ [n] 相反，统一地，则其违约概率由g（^z）给出。在将这种直觉变得严格并证明我们的主要结果之前，我们首先研究这些函数的一些基本但重要的性质。引理3.1。函数fr，α，β（z），（r，α，β）∈ V和g（z）在z上都是连续的∈ RV+，0。此外，除zr、α、β外，每个函数fr、α、β（z）在其所有坐标中都是单调递增的。证据连续性源于Lebesgue的支配收敛定理，指出被积函数在z上是连续的，并由可积随机变量W+，r，αresp限定。通过1。fr、α、β的单调性直接源于泊松概率的单调性。现在设S：=T（r，α，β）∈V{z∈ RV+，0:fr，α，β（z）≥ 0}. 因为对于任何z，fr，α，β（z）<0∈ RV+，0，zr，α，β>E[W+，r，α1{A=β}]，S是闭集的交集，S实际上是紧的。请注意，显然0∈ S、 通常S可能由几个不相交、紧凑、连接的0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0z1z2S0z组成（a） 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0z1z2S0zz*（b）图2：两个不同示例网络的函数f（z，z）（蓝色）和f（z，z）（橙色）的根集图。组件。让我们在下面的数据中记录包含0的S的分量（即最大的连通子集）。由于S是RV+、0的一个紧子集，因此S.现在定义z*∈ RV+，0by（z*)r、 α，β：=supz∈Szr，α，β。下面的引理表明，实际上z*∈ 因此，可以将其视为S的最大点。进一步确定z*作为所有函数的联合根fr，α，β，（r，α，β）∈ V，并显示了最小联合根^z的存在。稍后将证明（尤其见定理3.4），最终分数n-1 | Dn |与函数fr，α，β，（r，α，β）的这两个（通常重合）联合根密切相关∈ 五、引理3.2。

存在最小的节理根^z∈ RV+，所有函数中的0 fr，α，β，（r，α，β）∈ V，在这个意义上，^z≤所有接头根部的“z组件”z。此外，z*如上所述，是函数fr，α，β，（r，α，β）的一根∈ V和两个^z∈ 沙子z*∈ S、 引理识别z*作为fr，α，β的最大联合根，（r，α，β）∈ V，在S中。但是，如果S（S），则将存在节理根部z 6∈ S确认z*≤z组件。通常为^z和z*将重合，然后下面的定理3.4将显示最终的默认分数n-1 | Dn |在概率上收敛于g（^z）。但在某些病理情况下，情况并非如此，定理3.4将给出n的下界-1 | Dn |表示^z，上限表示z*. 图2（a）和2（b）显示了f的二维示例。在这两个例子中，我们选择了R=2和T=1。在第一个示例中，我们进一步选择所有权重为1，每个银行的资本为3，概率分别为80%和20%。函数f（z，z）：=f1,1,1（z，z）和f（z，z）：=f2,1,1（z，z），其中z：=z1,1,1和z：=z2,1,1，1，则具有唯一的关节根，即^z=z*. 在第二个示例中，我们选择allweights为2，每个银行的资本为3≈ 概率分别为94.14%0≈ 5.86%. 在这种情况下，存在两个不同的关节根^z 6=z*在S.At^z中，fand和fdo的根集不相互交叉，而只是接触。下一个引理提供了两个有效的标准来检查关节根，如^z，equalsz*. 这些依赖于fr，α，β，（r，α，β）的（弱）方向导数∈ V和是先前文献（如[3，19，20]）中稳定定点假设的自然扩展。引理3.3。

如果“z”∈ 函数fr，α，β，（r，α，β）的联合根∈ V，然后z=z*如果下列情况之一成立：（a）存在v∈ RV+使所有（r，α，β）∈ V存在方向导数Dvfr，α，β（(R)z），且Dvfr，α，β（(R)z）<0。（b） 存在v∈ RV+，κ<1和 > 0，使得对于每个δ∈ (0, ),κvr，α，β≥Xr公司∈[R] E“W+，R，αXβ∈【T】vr，β，βW-,r、 β！1{A=β}×PXs∈[R] sPoiXγ∈【T】W-,s、 γ\'zs，β，γ+δvs，β，γ!∈ {C- rC- 1}!#.3.2最终违约分数的主要结果我们现在提供最终违约分数n的渐近公式-1 | Dn |根据功能和关节根部^z和z*. 在【19，定理2.3】中，在一个额外的可微性假设下，获得了以下结果的一种类型和暴露1情况（R=T=1），保证z*=^z.定理3.4。考虑一个由正则顶点序列描述的金融系统，让^z和z*是函数{fr，α，β}（r，α，β）中分别最小和最大的联合根∈五、 Theng（^z）+op（1）≤ n-1 | Dn |≤ g（z*) + op（1）。特别是，如果^z=z*, 然后n-1 | Dn |=g（^z）+op（1）。有关证明，请参见第6.3节。备注3.5。定理3.4确定g（^z）为网络中所有最终故障银行分数的下界。事实上，g（z）由所有不同类型β的总和给出∈ 在网络中，通过对定理6.3和3.4证明的微小变化，可以得出β型最终违约银行的数量以ne“PXs为下限，这并不奇怪∈[R] sPoiXγ∈【T】W-,s、 γ^zs，β，γ！≥ C1{A=β}#+op（n）。同样的推理允许导出z的上界*.备注3.6。如备注2.1所述，在许多情况下，衡量冲击事件对整个系统造成的损害是有意义的，不仅仅是通过计算最终违约银行，而是根据一些系统重要性值si、i对其进行加权∈ [n] 。

如果{si}i的经验分布∈[n] 分布和平均值收敛于随机变量，然后与定理3.4类似，最终违约银行的总系统重要性SN：=Pi∈Dnsi的下界为n（gS（^z）+op（1）），上界为n（gS（z*) + op（1）），其中gs（z）：=Xβ∈[T]E“SPX∈[R] sPoiXγ∈【T】W-,s、 γzs，β，γ！≥ C1{A=β}#。4弹性和非弹性网络在上一节中，我们得出的结果允许我们确定由外部冲击引起的大型金融系统中典型的最终违约率。从监管者的角度来看，我们在本节中研究的另一个重要问题是，处于初始未锁定状态的给定系统是否可能对小冲击具有弹性，或容易受到违约级联的影响。请注意，对于某些固定金融网络（W-,r、 α，W+，r，α，C，A）所有关于初始冲击的信息都来自C，通过“初始未锁定”，我们的意思是所有i∈ [n] 。我们在以下意义上模拟了事后感染对系统的轻微冲击：我们引入了指示者mi∈ {0，1}，i∈ [n] ，意味着如果mi=0，则（最初有偿付能力的）银行i变为有偿付能力的。这相当于将其资本设定为cimi。与定义2.3类似，我们假设{mi}i的正则性∈[n] （与其他参数一起），我们用M表示感染后的极限随机变量。特别是，金融系统应采用随机向量（W-,r、 α，W+，r，α，C，A，M），P（C=0）=0，P（M=0）>0。用M触发的dmn随机最终默认集表示，用（fM）r、α、β、gMand（z）表示*)分别为fr、α、β、g的类似物z*C替换为CM。从监管者的角度来看，金融系统的一个理想特性是能够吸收较小的局部冲击M，而不会对系统的较大部分造成损害。