广义随机块模型中的金融传染

此外，对于 > 0和n足够大，使得^τ- b^τnc/n≤ , 我们获得了) = P（^τ）-^t/n>) ≤ PXα∈[T]να（^T/n）>最小τ∈[0,^τ-]Xα∈[T]να（τ），^T/n<^τ！，使用pα的连续性∈[T]να（τ）。让我们现在（Yn）n∈确认Pα∈[T]uα（T）/n- να（吨/吨）≤ Ynand Yn=op（1）（存在（Yn）n∈根据（6.2）确定。SincePα∈[T]uα（^T）=0，我们得出p（| Xn |>) ≤ PYn>最小τ∈[0,^τ-]Xα∈[T]να（τ）！→ 0，作为n→ ∞.为了证明第二部分，我们首先要证明v的存在意味着实际上z（^τ）=^z。为此，假设z（^τ）6=^z。然后存在（r，α，β）∈ V和δ>0，使得zr，α，β（^τ）>^zr，α，β+δvr，α，β。在不丧失一般性的情况下，假设zr，α，β（τ）是达到^zr，α，β+δvr，α，β的第一个坐标，即存在τδ∈ [0，^τ]使得z（τδ）≤^z+δv成分w和zr，α，β（τδ）=^zr，α，β+δvr，α，β。但通过Dvfr，α，β（^z）<0和Dvfr，α，β（z）的连续性，我们得出δ>0足够小，以至于0>fr，α，β（^z+δv）≥ fr，α，β（z（τδ）），其中我们使用引理3.1中fr，α，β的单调性。这与fr，α，β（z（τ））相矛盾≥ 0表示所有τ∈ [0，^τ]，因此必须保持z（^τ）=^z。特别是，g（^z）=^τ（参见（6.7））。以下困难在于，系统仅由函数γαj、m、l（τ）、να（τ）和ur、α、β（τ）描述，只要τ<^τ，第一次是pα∈[T]να（τ）=0。然而，Wormald\'stheorem没有在^τ时或之后对系统做出任何声明。因此，想法如下：我们让τ是ur，α，β（τ）的第一次≤ vr，α，β 对于所有（r，α，β）∈ V并选择序列(n） n个∈N R+这样n→ 0作为n→ ∞. 然后，我们将第一个bτ与之前一样考虑级联过程nnc步骤，我们证明了剩余违约数Rndividedby n收敛到0的概率为n→ ∞.

特别是，这将表明n-1 | Dn |=n-1^t=n-1（bτnnc+Rn）≤ τn+n-1Rn≤ ^τ+op（1）=g（^z）+op（1）。为了显示n-1Rn=op（1），我们将按（2.2）中的顺序逐轮披露违约银行，即我们披露银行inSα∈[T]Uα（bτnnc）立即等等。然而，对于所有r，W+，r，αi=0的银行∈ [R] 和α∈ 不会感染任何新银行。因此，我们只需要考虑具有PR的银行∈[R] Pα∈在以下情况下，w+，r，αi>0。由于我们处于初级环境，这意味着存在w>0这样的∈[R] Pα∈[T]w+，r，αi≥ WF适用于所有银行。考虑到总输出权重为零的银行，只会导致Rn的额外有界因子。对于步骤bτ中的每个溶剂组nnc违约有两种可能的方式：要么对违约银行的风险敞口大于步骤bτ的剩余资本nnc（银行直接违约）或至少有两个违约银行的风险敞口加起来大于剩余资本（银行间接违约）。因此，对于α∈ [T]和l≥ 1我们定义了以下集合：Dαl=Dαl（τn） ={i∈ [n] ：αi=α，且i在步骤bτ后的第l轮中直接默认nnc}Iαl=Iαl（τn） ={i∈ [n] ：αi=α，且i在步骤bτ后的第l轮间接默认nnc}进一步，设Tαl=Dα∪ Iα。尤其是Rn=Pα∈【T】Pl≥1 | Tαl（τn） |。此外，以下数量将发挥重要作用：Dr，α，βl=Xi∈Dβlw+，r，αi，Ir，α，βl=Xi∈Iβlw+，r，αI和Tr，α，βl=Xi∈Tβlw+，r，αi，l≥ 1，（r，α，β）∈ VWe现在再次利用Dvfr，α，β（^z）<0的假设（r，α，β）∈ 五、也可以说，由于权重是假定的，因此表达式Dvfr，α，β（z）在z中是连续的。此外，z（τ）在τ中是连续的。因此用于 > 0足够小（即z（τ) 接近^z），它保持s0>Dvfr，α，β（z（τ))=Xr公司∈[R] E“W+，R，αXβ∈【T】vr，β，βW-,r、 β！×PXs∈[R] sPoiXγ∈【T】W-,s、 γzs，β，γ（τ)!∈ {C- r

C- 1}!1{A=β}#- vr，α，β=Xj，mw+，r，αjXr∈[R] Xβ∈【T】vr，β，β▄w-,r、 βj！rXs=1γβj，m，m-s（τ) - vr，α，β。因此，我们可以发现c<1，这样对于所有（r，α，β）∈ V它保持sxj，mw+，r，αjXr∈[R] Xβ∈【T】vr，β，β▄w-,r、 βj！rXs=1γβj，m，m-s（τ) ≤ cvr，α，β。通过（6.1）和可能略微增加的c，我们得出了xj，mw+，r，αjXr∈[R] Xβ∈【T】vr，β，β▄w-,r、 βj！rXs=1cβj，m，m-s（bτnc）n≤ aσ（h（bτ）上的cvr，α，βnc））-可测量集Ohm确认limn→∞P(Ohmn） =每 > 0、进一步定义τ和（6.3），我们可以选择Ohm以这样的方式-1wr，α，β（bτnc）≤ 2.vr，α，β保持不变Ohm对于所有（r，α，β）∈ 五、然后我们可以计算Ohmnn型-1EhDr，α，βh（bτnc）i≤Xj，mw+，r，αjm-1Xl=0cβj，m，l（bτnc）nXβ∈【T】十五∈Uβ（bτnc）RXr=m-lwr，+，βvw-,r、 βjn≤ 2.Xj，mw+，r，αjm-1Xl=0cβj，m，l（bτnc）nXβ∈[T]RXr=m-lvr，β，βИw-,r、 βj≤ 2.cvr，α，β，n-1Hir，α，βh（bτnc）i≤ n-1Xj，毫米-1Xl=0Xi∈Sβj，m，l（bτnc）wXβ∈【T】十五∈Uβ（bτnc）RXr=m-lwr，+，βvw-,r、 β英寸！≤ wXβ∈[T]RXr=0wr，β，β（bτnc）西北！≤ C,式中，C：=4T（R+1）wkvk∞. 特别是 > 0足够小，我们发现c∈ (0, 1 - c） 使c≤ 2.cvr，α，β表示所有（r，α，β）∈ V，因此开启Ohmnit认为N-1HTR，α，βh（bτnc）i=n-1EhDr，α，βh（bτnc）i+n-1Hir，α，βh（bτnc）i≤ 2.（c+c）vr，α，β。然后设c：=c+c∈ (0, 1). 我们继续归纳：假设Ohmnit适用于l≥ 1这n-1HTR，α，βlh（bτnc）i≤ 2.clvr，α，β。

然后我们推导Ohmnthatn公司-1EhDr，α，βl+1h（bτnc）i=n-1Xj，毫米-1Xl=0Xi∈Sβj，m，l（bτnc）w+，r，αiP我∈ Dβl+1h（bτnc）≤Xj，mw+，r，αjm-1Xl=0cβj，m，l（bτnc）nEXβ∈【T】十五∈TβlRXr=m-lwr，+，βvw-,r、 βjnh（bτnc）=Xj，mw+，r，αjm-1Xl=0cβj，m，l（bτnc）nXβ∈[T]RXr=m-长宽-,r、 βjn-1HTR，β，βlh（bτnc）i≤ 2.clXj，mw+，r，αjXr∈[R] Xβ∈【T】vr，β，β▄w-,r、 βj！rXs=1cβj，m，m-s（bτnc）n≤ 2.clcvr，α，β，n-1 Hir，α，βl+1h（bτnc）i=n-1Xj，毫米-1Xl=0Xi∈Sβj，m，l（bτnc）w+，r，αiP我∈ Iβl+1h（bτnc）≤Xj，mw+，r，αjm-1Xl=0cβj，m，l（bτnc）nXβ∈[T]RXr=m-长宽-,r、 βjn-1HTR，β，βlh（bτnc）i×Xβ∈[T]RXr=m-长宽-,r、 βjn-1Xk≤lEhTr，β，βkh（bτnc）i≤ w2.T（R+1）wclvr，β，β2.T（R+1）wXk≤lckvr，β，β！≤ Ccl1- c现在选择 > 0足够小，以至于-c≤ 2.cvr，α，β，并得出结论Ohmnn型-HTR，α，βl+1h（bτnc）i=n-1EhDr，α，βl+1h（bτnc）i+n-1 Hir，α，βl+1h（bτnc）i≤ 2.cl+1vr，α，β，n-1Xα∈[T]Xl码≥1E[| Tαl | | h（bτnc）]≤ n-1Xα∈[T]Xl码≥1E“Xi∈TαlPr∈[R] Pγ∈[T]w+，r，γiwh（bτnc）#=w-1n-1Xr∈[R] Xα，γ∈[T]Xl码≥1E级Tr，γ，αlh（bτnc）≤ 2.w-1（R+1）T1- ckvk公司∞.现在再考虑一下顺序(n） n个∈Nfrom before and let, δ>0任意。对于n largeenough来说n≤ , 我们推导（使用倒数第二步中的马尔可夫不等式）Pn-1Rn≥ δ≤ Pn编号-1Xα∈[T]Xl码≥1 | Tαl（τ)| ≥ δ!≤ E“δ-1n-1Xα∈[T]Xl码≥1E级|Tαl（τ)|h（bτnc）#≤ 2.δ-1瓦-1（R+1）T1- ckvk公司∞+ (1 - P(Ohmn） ）。选择 如果足够小，n足够大，这个量就会变得任意小。因此，n-1Rn=op（1），这完成了上述证明。定理6.3。考虑一个由基本正则顶点序列和let^z和z描述的金融系统*是最小的响应。Sof函数{fr，α，β}（r，α，β）中的最大联合根∈五、 Theng（^z）+op（1）≤ n-1 | Dn |≤ g（z*) + op（1）。

特别是，如果^z=z*, 然后n-1 | Dn |=g（^z）+op（1）。定理6.3证明的想法是对金融系统施加进一步的小冲击，从而使命题6.2中的第二个陈述变得适用。也就是说，我们以概率独立地删除系统中的每个有偿付能力的银行 > 0表示fr、α、β、g、^z和z的分析*通过fr，α，β, g级,^z() 分别为z*(). 也就是fr，α，β（z） =EW+，r，α1{A=β}- zr，α，β+ (1 - )fr，α，β（z），g（z） = + (1 - )g（z）。我们可以在下面假设E[W+，r，α1{A=β}]>0，因此fr，α，β（z） >所有z的fr，α，β（z），否则fr，α，β（z）=-我们可以在证明中省略（r，α，β）-成分。下面的引理描述了z*() 对于小型:引理6.4。函数z*: R+，0→ RV+，0在每个组件中是右连续且单调递增的。特别是导数（z*)() Lebesgue几乎每 > 0和z*() - z*≥R（z）*)（ξ） dξ分量。证据对于每个z∈ 沙 > 0表示fr、α、β（z）≥ fr，α，β（z）≥ 0，因此S S(), 在哪里() 表示额外休克病例的SFO类似物。特别是z*∈ S()因此z*≤ z*() 组件方面。相同的参数显示z*() ≤ z*() 对于任何≤ 因此z*() 在每个分量中都是单调递增的。特别是lim→0+z*() 存在和lim→0+z*() ∈T>0秒(). 现在让δ>0。fr，α，β的BY连续性（z） 关于 z表示fr，α，β（z）≥ fr，α，β（z）- δ用于 在紧集[0，ζ]中，z足够小且全部为z。因此对于z∈T>0秒(), 我们得到fr，α，β（z）≥ -每δ>0和soT的δ>0秒()  S、 然而，sinceT>0秒() 是Hausdorff空间RV中一系列连通紧集的交点，它本身就是一个连通紧集。自0以后∈T>0秒(), 我们由此得出>0秒() = S、 就是lim→0+z*() ∈ 砂，因此lim→0+z*() = z*.

同样的论点表明limh→0+z*( + h） =z*() 预演 > 0，从而证明z的右连续性*().然后，单调函数导数的一个经典结果（例如参见[38，定理7.21]）得出（z）的存在性*)几乎到处都是andz*() - z*≥ 林氏→0-z*( + h）- 林氏→0+z*（h）≥Z（z）*)（ξ） dξ。定理6.3的证明。如上所述，为了将此一般设置减少到提案6.2中的特殊情况，我们对系统应用了额外的小冲击。也就是说，如果我们能找到向量v() ∈ R+使Dv()fr，α，β（^z()) < 0表示所有（r，α，β）∈ V，然后应用命题6.2，我们得出最终违约分数n-1 | Dn |在额外受冲击的系统中n-1 | Dn |≤ g级（^z()) + op（1）≤ g级（z）*()) + op（1）≤  + g（z*()) + op（1）。因此，对于任意δ>0和 = （δ） >0足够小，我们导出n-1 | Dn |- g（z*) > δ≤ Pn-1 | Dn |- ( + g（z*()) > δ/2→ 0，作为n→ ∞和thusn-1 | Dn |≤ g（z*) + op（1）。让我们证明向量v的存在性(): 通过引理6.4，我们知道（z*)() 几乎无处不在（z）*)（ξ） dξ≤ z*() - z*< ∞. 通过可积性，我们可以找到一个序列(n） n个∈N （0，1）使得n→ 0作为n→ ∞ 对于每个nit保持（z*)(n） <-1n（ζζ）- z*- δ1）成分，其中0<δ<ζr，α，β- （z）*)r、 α，β表示所有（r，α，β）∈ V和1=（1，…，1）∈RV+。这个界限可以用相同的对于每个部件，考虑集水坑（r、α、β）∈V（（z*)r、 α，β）（ξ）仍然是可积的。0=fr，α，β（z）*()) = (1 - )fr，α，β（z*()) + EW+，r，α1{A=β}- （z）*)r、 α，β(),然后我们推导出ddfr，α，β（z*())=n=-(1 - n）ζr，α，β- （z）*)r、 α，β(n）+n1型- ndd公司（z）*)r、 α，β()=n<-1.- nζr，α，β- （z）*)r、 α，β(n）- ndd公司（z）*)r、 α，β()=n< -1.- n（z）*)r、 α，β+δ- （z）*)r、 α，β(n）< 0对于足够大的n（z*)r、 α，β(n） <（z*)r、 α，β+δ。

然而，另一方面，ddfr，α，β（z*())=n=Dv(n） fr，α，β（z*(n） （）≥ Dv(n） fr，α，βn（z*(n） ），其中v(n） ：=（z*)(n） 。因此，Dv(n） fr，α，βn（z*(n） ）<0。事实上，它也认为VR，α，β(n）≥ 林氏→0E“W+，r，α1{A=β}PXs∈[R] sPoiXγ∈【T】W-,s、 γ（z*)s、 β，γ(n+h）！<C#≥ E“W+，r，α1{A=β}PXs∈[R] sPoiXγ∈【T】W-,s、 γζs，β，γ！<C！#>0，使用fr，α，βn（z*(n） ）=fr，α，βn+h（z*(n+h））=0。因此，如果^z(n） =z*(n） 。否则，请注意以下事项：对于每个δ>0，它保持fr、α、βn（^z(n+δ）<fr，α，βn+δ（^z(n+δ））=0。通过fr，α，β的单调性从引理3.1，我们导出z*(n）≤^z(n+δ）≤ z*(n+δ）。亨塞斯δ→ 0，使用该z*(n+δ）→ z*(n） 通过引理6.4，我们得出结论(n+δ）→ z*(n） asδ→ 因此，我们推导出当δn>0足够小时，它保持Dv(n） fr，α，βn+δn（^z(n+δn））<0，通过Dvfr，α，β的连续性（z） w.r.t。 因此，将命题6.2应用于金融系统n+δnand选择向量v(n） 对于方向导数。6.3定理3.4的证明在上一节中，我们推导出了最终默认细分的显式渐近表达式。如果在我们的模型中，我们仅从有限集合中选择顶点权重。虽然这为大型金融网络的行为提供了第一个重要的视角，但无法通过有界顶点权重对真实金融网络的重尾梯度分布进行建模。

因此，定理3.4将定理6.3扩展到一般（非单位）正则顶点序列的情况。本节其余部分的概述如下：我们希望通过两个基本顶点序列来近似一般规则顶点序列，其中一个描述的系统默认值较少，另一个描述的系统默认值较多。为此，我们首先构造相应的极限分布函数{FAk}k∈n相关{FBk}k∈Nand然后利用定理6.3研究基本系统。让D∞:=R[R]×[T]+，0×N×[T]和for（r，α，β）∈ V，（z，x，y，`，m）∈ RV+，0×D∞, lethr，α，β（z，x，y，`，m）：=yr，αψ\'xγ∈[T]x1，γz1，β，γ，Xγ∈[T]xR，γzR，β，γ！1{m=β}，h（z，x，y，`，m）：=xβ∈[T]ψ\'Xγ∈[T]x1，γz1，β，γ，Xγ∈[T]xR，γzR，β，γ！1{m=β}，其中与ψ`（x，…，xR）之前一样：=P（Pr∈[R] rPoi（xr）≥ `). 注意，虽然D∞不包含R[R]×[T]+，0×{∞}×[T]，它认为fr，α，β（z）=RD∞hr，α，β（z，x，y，`，m）dF（x，y，`，m）-zr、α、β和g（z）=RD∞h（z，x，y，`，m）dF（x，y，`，m），用于定义2.3中给出的权重、资本和类型的极限分布。这是因为ψ∞（x，…，xR）=0。Lethen Z：=[0，ζζ]和H：={H}∪S（r，α，β）∈V{hr，α，β}。作为F的第一个近似值，我们选择离散化sFaj（x，y，`，m）：=Fdjxej，djyej，`，m, FBj（x，y，`，m）：=Fbjxcj，bjycj，`，m对于j∈ N、 其中，d·e和b·c应按部件应用。即序列{FAj}j∈Nand{FBj}j∈Napproximate F分别从上方和下方开始，随着j的增加，近似值变得更加精确。自每小时∈ H在z、x和y上是连续的，很容易得到（参见[19]）对于每个k∈ 存在足够大的jk，使得对于所有j≥ jkit持有ZDkh（z，x，y，`，m）dFA，Bj（x，y，`，m）-ZDkh（z，x，y，`，m）dF（x，y，`，m）≤ k-1同时适用于所有z∈ Z、 其中Dk：={（x，y，`，m）：xr，α≤ k、 年，α≤ k、 `≤ k} D∞.

Wedenote FAk：=fajk和FBk：=fbjk，如下所示。通过构造，分布函数FA、bk清楚地对应于离散权重序列，这些离散权重序列可以通过分别向上和向下调整权重从原始规则顶点序列获得。然而，FA、Bk（潜在）仍然将质量分配给实际的许多权重和大写字母。对于FAk的情况，我们可以通过设置FAk（x，y，`，m）：=（FAk（x∧ k、 y型∧ k、 `∧ k、 m），如果`<∞,1，否则，其中·∧ k表示k处的成分截断。也就是说，如果系统中某家银行的资本或其中一个权重超过k（我们在下文中称该银行为大型银行），那么在FAk描述的近似金融系统中，该银行的权重均设置为0，其资本增加至∞ （参考[19]对近似顶点序列的严格定义）。请注意，每个银行的类型保持不变。显然，这进一步减少了系统中的违约，因为如果我们将原始系统与初始近似系统耦合，那么最终违约分数n-1.DAk公司n由n随机支配-1 | Dn |适用于所有k∈ N、 如果我们想将完全相同的想法也应用于FBk，我们需要将大型银行的所有权重设置为∞, 定义一个基本的规则顶点序列是不可能的。尽管如此，仍有可能调整大型银行的权重和资本，使其达到一定数量的值，从而使初始近似系统中的最终违约率随机占主导地位-1 | Dn |。为此，设γβk：=RDck1{m=β}dF（x，y，`，m），其中Dck：=D∞\\Dk、andwr、α、βk：=γβk-1RDckyr，α1{m=β}dF（x，y，`，m）≥ 2k，如果γβk>0,2k，如果γβk=0。然后让FBkbe由FBkon Dk给出。通过这个定义，我们知道它为每个β保持FBk（k，…，k，β）=F（k，…，k，β∈ 因此P（A=β，C<∞) - P（ABk=β，CBk<∞) = γβk。

因此，我们可以将质量γβkt分配给点（0，wk，0，β）。也就是说，如果β型大型银行最初拥有固定资本，则其近似资本设置为0（初始默认值），其in权重设置为0，其out权重设置为wr、α、βk（对于近似顶点序列的严格定义，请参见[19]）。与以前一样，它们的类型没有改变。最后，我们指定剩余质量P（A=β，C=∞) 到点（0，0，∞, β） 对于每个β∈ [T]。通过建设，所有大型银行最初都会在近似的金融系统中违约。此外，与原始系统相比，小型银行的所有权重都有所增加。显示近似系统中出现的默认值比原始系统中出现的默认值多（即-1.DBk公司n随机支配n-1 | Dn |），只剩下每个小时∈ [R] 大型银行相对于各类型α的总R-out权重∈ 近似系统中的[T]比原始系统中的大。但大型银行相对于α型的总r-out权重由nxβ给出∈[T]wr，α，βkγβk+op（1）= 近似系统中的2nZDckyr，αdF（x，y，`，m）（1+op（1）），而对于原始系统，它是nzdckyr，αdF（x，y，`，m）（1+op（1））。因此，对于每个小银行，我∈ [n] 在原始系统中，来自大型银行的传入r边的数量由近似系统中的相应数量随机支配（有关更多详细信息，请参见[19]）。特别是，i对大型银行集合的总敞口（传入边的加权和）是随机占优的。这显示了以下内容：引理6.5。考虑一个正则顶点序列，让序列{FAk}和{FBk}如上所述构造。进一步出租DAk公司nandDBk公司nbe基本近似系统中最终违约银行的集合。