广义随机块模型中的金融传染

考虑由T个子网络（类型）组成的金融网络，该子网络应满足以下一维弹性条件： > 0存在z> 0，这样对于所有z∈ （0，z) 和α∈ 它保持住了 > EW+，αW-,αPPoi公司W-,αz= C- 1.1{A=α}. （5.2）注意，该条件意味着E[W+，αP（Poi（W-,αz）≥ C） | A=α]<0，对于所有z小值，因此，根据定理4.2，它实际上意味着子系统的弹性。在[20]中，明确的资本要求（即C | a=α依赖于W的公式-,α| A=α）是针对帕累托分布权重（通常在实际网络中观察到）的情况推导的，确保（5.2）。现在进一步假设存在一个常数K<∞ 使得W±，β| A=α≤ KW±，α| A=α几乎可以肯定，（5.3）对于所有α6=β∈ [T]，即机构与子网外机构建立联系的趋势受到其与子网内机构建立联系的趋势的常数倍数的限制。特别是，如果外部权重从上方绑定，而内部权重从下方绑定，则会出现这种情况。将W±，β| A=α替换为KW±，α| A=α只会降低系统的弹性（如果权重增加，链接数量会增加，从而增加每个机构的总风险敞口）。Henceset▄W±，β▄A=α=KW±，α▄A=α，对于α6=β和▄W±，α▄A=α=W±，α▄A=α。现在定义v∈ R[T]×[T]+乘以vα，β=K1{α6=β}，α，β∈ [T]。然后我们推导出e“~W+，αXβ∈[T]vα，β▄W-,β!PPoiXγ∈[T]~W-,γzα，γ！=C- 1.1{A=α}#=E“W+，αW-,α（1+K（T- 1） ）PPoiW-,αzα，α+KXγ6=αzα，γ！！=C- 1.1{A=α}#<（1+K（T- 1)) = vα，α（1+K（T- 1)),对于zα，α+KPγ6=αzα，γ<z, andE“~W+，αXβ∈[T]vβ，βИW-,β!PPoiXγ∈[T]~W-,γzβ，γ！=C- 1.1{A=β}#=E“KW+，βW-,β（1+K（T- 1） ）PPoiW-,βzβ，β+KXγ6=βzβ，γ！！=C- 1.1{A=β}#<K（1+K（T- 1)) = vα，β（1+K（T- 1)),对于α6=β和zβ，β+KPγ6=βzβ，γ<z.

如果我们现在选择 < （1+K（T- 1))-1，则▄fα，β（δv）：=E“▄W+，αPPoiδXγ∈[T]~W-,γvβ，γ！≥ C1{A=β}#- δvα，β<0，所有δ>0足够小。因此它保持z*≤ limδ→0+δv=0，因此S={0}。我们可以应用定理4.2，得出组合系统仍然具有弹性。因此，从监管角度来看，施加（5.2）所述的资本要求，并限制（5.3）意义上不同子系统之间的联系就足够了。在前两个例子中，我们重点讨论了多类型网络的（非）弹性。为简单起见，我们假设所有边都具有相同的曝光（R=1）。然而，我们模型的另一个有趣的特点是，它允许风险敞口取决于债权人和借方银行的类型。以下示例表明，与之前的风险敞口仅取决于债权银行的规模/程度/类型的模型相比，这确实会产生巨大差异。它考虑了两个非常相似的金融系统，它们唯一的区别在于，在一个系统中，风险敞口取决于债权人和债务人的类型，而在另一个系统中，风险敞口仅取决于债权银行的类型。因此，第一个系统将被证明是无弹性的，而第二个系统是有弹性的。示例5.3。考虑大小为2的网络≤ n∈ 其中（渐近）p=1/3的所有银行都有类型1，剩余的1- p=2/3的银行有类型2。也就是说，T=2。进一步假设对于每对顶点（i，j）∈ [n] 从i到j的边缘应以4/n的概率出现。类型1的两排之间的边缘应具有曝光2和所有其他边缘曝光1。也就是说，如果αi=1，那么w±，2,1i=w±，1,2i=2和w±，1,1i=w±，2,2i=0。如果αi=2，则w±，1,1i=w±，1,2i=2，w±，2,1i=w±，2,2i=0。

最后，所有银行的资本应为2.0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.40.00.51.01.5z1z2S0z*（a）0.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.40.00.51.01.5Z12（b）图7：分别具有（a）邻域相关风险敞口（b）邻域独立风险敞口的系统的函数f（z）（蓝色）和f（z，z）（橙色）根集图。然后，与示例5.1类似，最初的八维系统减少了tof（z，z）=2pPPoi（2z）+2Poi（2z）≥ 2.- z、 f（z，z）=2（1- p） pPoi（2（z+z））≥ 2.- z、 参见图7（a）中fand f根集的图示。该图已经显示了z*6=0，因此根据定理4.7，无弹性。也适用于z，z→ 0，我们可以计算fz（z，z）=4pPPoi（2z）+2Poi（2z）∈ {0, 1}- 1.→ 4p- 1=>0，这严格证明了1型子网络以及整个系统是非弹性的（参见示例5.1）。从数值上可以得出z*≈ （0.601，1.153）和g（z*) ≈ 0.877. 为了检验这一预测，我们对大小为n=10、初始违约概率为10的金融网络进行了10次模拟-3、在只有5.32%的模拟中，我们观察到了弹性，即模拟的最终违约率低于3%。所有剩余模拟的最终违约率均在[85.65%，89.73%]以内，因此属于非惯性性质。对后者进行平均后，最终平均违约率为87.71%。现在考虑以下修改后的网络：不是将风险敞口2分配给两个1类银行之间的所有链接，而是将风险敞口1分配给所有其他链接，这次将风险敞口2以概率p分配给任何前往1类银行的边（所有其他边都分配有风险敞口1）。也就是说，我们保留了网络的骨架，但我们重新分配风险敞口，使其只依赖债权银行，而不依赖借方银行。

风险敞口为2的边缘银行总数保持不变（请注意，在第一个网络中，1类银行占1类银行所有借方银行中p的比例）。这可以通过为所有i指定以下新顶点权重来实现：w+，1,1i=w+，2,1i=2∈ [n] 。此外，如果αi=1，则-,1,1i=w-,1,2i=2（1- p） 和w-,2,1i=w-,2,2i=2p。所有其他顶点权重应保持不变。然后，新系统简化为以下两个函数，其根集如图7（b）所示：f（z，z）=2pPPoi（2（1- p） （z+z））+2Poi（2p（z+z））≥ 2.- z、 f（z，z）=2（1- p） pPoi（2（z+z））≥ 2.- 图7（b）显示，fis的根集向左移动，现在开始于f的根集之上。因此，我们已经可以预期S={0}，并且新系统具有弹性。也更加严格，如z，z→ 0，我们得出fz（z，z）=4p（1- p） pPoi（2（1- p） （z+z）+2Poi（2p（z+z））=1+ 4便士Poi（2（1- p） （z+z））+2Poi（2p（z+z））∈ {0, 1}- 1.→ 4p- 1 = -,fz（z，z）=4p（1- p） pPoi（2（1- p） （z+z）+2Poi（2p（z+z））=1+ 4便士Poi（2（1- p） （z+z））+2Poi（2p（z+z））∈ {0, 1}→ 4p=，fz（z，z）=4（1- p） pPoi（2（z+z））=1→ 0,fz（z，z）=4（1- p） pPoi（2（z+z））=1- 1.→ -因此，方向导数Dvf（0）和Dvf（0）存在于每v∈ RV+。然后选择示例v=（v，v）=（1，1），使Dvf（0）=-1/9和Dvf（0）=-根据引理3.3，我们由此导出z*= 0，因此S={0}。这允许我们应用定理4.2，因此修改后的系统确实具有弹性。同样，这可以通过数值验证。在与前一次模拟相同的框架上，但在如上所述的随机风险敞口情况下，模拟的最终违约分数现在都在区间[0.11%，0.63%]内，平均为0.20%。

因此，该系统确实具有弹性。虽然示例5.3过于简单，无法对真实的金融网络进行建模，但它仍然表明，依赖交易对手的风险敞口可能会对系统的稳定性产生重大影响。然而，一般来说，它们也可能增加系统的稳定性。6证明在本节中，我们将在第3节和第4节中提供结果的证明。定理3.4将分两步证明。在这一点上，基本思想与[19]相似，但在相当多的步骤中，必须使用新的方法，我们将特别详细地讨论它们。我们使用符号[a，b]：=\\（r，α，β）∈V{z∈ RV：ar，α，β≤ zr，α，β≤ br，α，β}对于由RVin中的向量a和b跨越的长方体，如下所示。进一步，让ζ∈ RV+，0由ζr，α，β定义：=E[W+，r，α1{A=β}]。6.1引理3.2的证明和3.3引理3.2的证明。最小节理根^z的存在性∈ [0，ζ]由KnasterTarski固定点定理确定。现在我们构造一个联合根S'z≤^z表示^z=(R)z∈ S、 特别是：对于所有（r，α，β），它保持fr，α，β（^z）=0∈ V，然后fr，α，β（z）≤ 0 forall^z≥ z∈ RV+，0使得zr，α，β=^zr，α，β通过引理3.1中fr，α，β的单调性。然后考虑以下顺序（zn）n∈N RV+，0：oz=0oz=（z1,1,1，0，…，0），其中z1,1,1≥ 0是可能的最小值，因此f1,1,1（z）=0。由于f1,1,1连续，f1,1,1（0），可以通过中间值定理找到这样的z1,1,1≥ 0和f1,1,1（^z1,1,1，0，…，0）≤ 通过引理3.1，它保持sfr，α，β（z）≥ fr，α，β（0）≥ 0表示所有（1，1，1）6=（r，α，β）∈ 五、特别是z∈ S、 oz=z+（0，z1,1,2，0，…，0），其中z1,1,2≥ 0是f1,1,2（z）=0的最小值。同样，由于f1,1,2连续，f1,1,2（z），可以通过中间值定理找到z1,1,2≥ 0和f1,1,2（z+（0，^z1,1,2，0，…，0））≤ 0

自z起∈ S、 byLemma 3.1然后保存fr、α、β（z）≥ fr，α，β（z）≥ 0表示所有（1，1，2）6=（r，α，β）∈ 五、特别是z∈ S、 ozi，i∈ {3，…，RT}，类似地，只改变相应的坐标zRT+1=zRT+（z1,1,1RT+1- z1,1,1RT，0，0），其中z1,1,1RT+1≥ z1,1,1是最小值，使得f1,1,1（zRT+1）=0，这同样可以通过中间值定理实现。特别是，它仍然保持z1,1,1RT+1≤ ^z1,1,1。与之前一样，zRT+1∈ S、 o继续zi，i≥ RT+2。序列（zn）n∈以这种方式构造的Nconstructed具有以下属性：它在每个坐标中都不递减，并且（zn）n∈N S、 此外，它在[0，^z]内有界。因此，通过单调收敛，zn的每个坐标收敛，因此z=limn→∞Zn存在。现在假设有（r，α，β）∈ 使fr，α，β（(R)z）>0。通过fr，α，β的连续性，然后也是fr，α，β（zn）> 对于某些 > 0和n足够大。然而，这与序列（zn）n的构造相矛盾∈Nsince fr，α，β（zn）=0，在每个RT-th步骤中。因此fr，α，β（(R)z）≤ 0表示所有（r，α，β）∈ 五、也是'z∈ S、 然而，由于这是一个封闭集。因此fr，α，β（(R)z）≥ 0表示所有（r，α，β）∈ 这表明z是所有函数fr，α，β，（r，α，β）的联合根∈ 五、现在来证明z*∈ 它是所有函数fr，α，β，（r，α，β）的联合根∈ V：首先为每个 > 0：秒() :=\\（r，α，β）∈V{z∈ RV+，0:fr，α，β（z）≥ -}进一步表示为S() S中0的连接组件(). 通过与^zabove相同的过程，我们现在得出存在一个最小（组件）点^z() ∈ S() 这样fr，α，β（^z()) = - 对于所有（r，α，β）∈ 五、很明显，^z() 在中未减少 （组件）因此▄z：=lim→0+^z() 存在（我们将显示▄z=z*事实上）。现在通过S的单调性(), 我们推导出^z（δ）∈ S（δ） S() 对于所有δ≤ .

SinceS公司() 是一个闭集，因此必须保持▄z=limδ→0+^z（δ）∈ S() 对于所有人 > 0，特别是z∈T>0秒(). 此外，通过fr，α，β的连续性，（r，α，β）∈ V，我们推导出t>0秒() T>0秒()  S、 此外，T>0秒() 是Hausdorff空间Rv中一系列连通紧集的交点，因此它本身就是一个连通紧集。因为它进一步包含0，所以我们可以得出结论>0秒()  因此，砂z∈ S、 我们现在要展示z≤任意z的z分量∈ S、 这清楚地证明了▄z=z*. 因此，有必要显示 [0，^z()]. 然后z≤^z() 和z≤ lim公司→0+^z() =~z.Hencesame，S6 [0，^z()]. 通过Swe FIND'z的连通性∈ Swith？zr，α，β≤ ^zr，α，β() 对于所有（r，α，β）∈ V和至少一个坐标的等式。W、 让这个坐标为（1，1，1）。通过f1,1,1相对于zr，α，β的单调性，对于每个（r，α，β）6=（1，1，1），我们得出f1,1,1（(R)z）≤ f1,1,1（^z()) = -.然而，我们也假设∈ 砂，因此f1,1,1（(R)z）≥ 0，矛盾。最后，我们得到fr，α，β（z*) = fr，α，β（~z）=lim→0+fr，α，β（^z()) = lim公司→0+(-) = 0，fr，α，β的连续性。因此z*实际上是所有函数fr，α，β，（r，α，β）的联合根∈ 五、引理3.3的证明。请注意，有必要构建序列（zn）n∈N RV+使LIMN→∞zn=(R)z和fr，α，β（zn）<0（r，α，β）∈ V，n∈ N、 根据fr的单调性，引理3.1中的αβ得出z*≤ z，因此z*≤？z.如果条件1。我们很满意→∞nfr，α，β\'z+n-1伏= Dvfr，α，β（(R)z）<0，因此我们可以选择zn：=(R)z+n-1伏。如果条件2。值得注意的是，Fubini的n>-1we衍生FR，α，β\'z+nv=锌- vr，α，β+Xr∈[R] E“W+，R，αXβ∈【T】vr，β，βW-,r、 β！1{A=β}×PXs∈[R] sPoiXγ∈【T】W-,s、 γ\'zs，β，γ+δvs，β，γ!∈{C- rC- 1}!#!dδ≤ -n-1(1 - κ） vr、α、β和lim supn→∞nfr，α，β\'z+n-1伏≤ (1 - κ） vr，α，β<0。

因此选择zn：=(R)z+n-再次为1v。6.2有限权重主要结果的证明在本节中，我们考虑一种特殊情况，即顶点权重wr、α、β和大写字母C仅取有限集中的值。要将其形式化，请考虑以下定义：定义6.1（有限正则顶点序列）。由（w）表示的正则顶点序列-,r、 如果存在J，则称α，w+，r，α，c，α∈ N和（▄w-,1,1j，w+、R、Tj）∈ R2RT+，0，j∈ [J] ，以及cmax∈ 确保所有n∈ N和i∈ [n] ，存在j=j（n，i）∈ [J] 使得w±，r，αi（n）=▄w±，r，αjand ci（n）∈ [cmax]∪ {0, ∞}.也就是说，在一个单位系统中，所有单位的集合被划分为T J（cmax+2）集合。特别是，在这种情况下，所有权重w±，r，α都是由某个常量w从上方限定的∈ R+，因此通过支配收敛，我们可以计算fr，α，β的偏导数：fr，α，βzr，α，β（^z）=-δr，rδα，αδβ，β+δβ，αE“W+，r，αW-,r、 β1{A=β}×PXs∈[R] sPoiXγ∈【T】W-,s、 γzs，β，γ！∈ {C- rC- 1}!#,其中δa，b：=1{a=b}。因此对于任何向量v∈ RV，fr，α，β的方向导数，在方向v中由以下连续表达式给出：Dvfr，α，β（^z）=-vr，α，β+Xr∈[R] E“W+，R，αXβ∈【T】vr，β，βW-,r、 β！1{A=β}×PXs∈[R] sPoiXγ∈【T】W-,s、 γzs，β，γ！∈ {C- rC- 1}!#然后，我们可以证明网络中最终违约分数的以下渐近结果。提案6.2。考虑一个由一元正则顶点序列描述的金融系统，并将^z设为函数{fr，α，β}（r，α，β）的最小联合根∈五、 那么它就是N-1 | Dn |≥ g（^z）+op（1）。如果另外存在v∈ RV+使Dvfr，α，β（^z）<0 forall（r，α，β）∈ V，然后n-1 | Dn |=g（^z）+op（1）。参见图2（a）中的示例∈ RV+分别存在于图2（b）中，但不存在。下面的定理6.3也将分析后一种类型的系统。证据

我们从证明下限开始：正如在[19]和[20]中，我们切换到一个顺序违约传染过程。其想法是收集违约机构，而不是一次将其全部披露（如（2.2）所示），而是在每一个时间段内统一随机选择一个违约机构≥ 1并将其暴露给其邻居（绘制边）。使用基本假设，在默认过程中，有必要跟踪以下集合和数量：Uα（t）：={i∈ [n] ：αi=α，且i为默认值，但在时间t}，Sαj，m，l（t）：=ni时未暴露∈ [n] ：αi=α，w±，r，βi=~w±，r，βj，ci=m，i在时间上的总暴露量为l，uα（t）：=| uα（t）|，cαj，m，l（t）：=Sαj，m，l（t）, wr，α，β（t）：=Xi∈Uβ（t）w+，r，αi。Let h（t）：=（Uα（t），cαj，m，l（t），wr，α，β（t））和h（t）=（h（s））s≤t、 对于足够大的n，使得所有pri，j<R-1（可能按基本权重），系统在时间t isE的预期演变cαj，m，l（t+1）- cαj，m，l（t）H（t）=Pβ∈[T]uβ（T）Xβ∈【T】十五∈Uβ（t）Xr∈[右]xi∈Sαj，m，l-r（t）w+，r，αvw-,r、 β英寸-xi∈Sαj，m，l（t）w+，r，αvw-,r、 β英寸=Xr公司∈[R] Pβ∈[T]wr，α，β（T）~w-,r、 βjPβ∈[T]uβ（T）cαj，m，l-r（t）- cαj，m，l（t）n.E[uα（t+1）- uα（t）| H（t）]=-uα（t）Pβ∈uβ（T）+Xj，mXr∈[R] Pβ∈[T]wr，α，β（T）~w-,r、 βjPβ∈[T]uβ（T）m-1Xl=米-rcαj，m，l（t）n，Ehwr，α，β（t+1）- wr，α，β（t）H（t）i=-wr，α，β（t）Pγ∈uγ（T）+Xj，mw+，r，αjXs∈[R] Pγ∈[T]ws，β，γ（T）~w-,s、 γjPγ∈[T]uγ（T）m-1Xl=米-右侧的表达式都是uα（t）、wr、α、β（t）、cαj、m、l（t）和asPβ的Lipschitz函数∈uβ（T）的界远离零。Wormaldtheorem【39】中的所有剩余条件可以通过与【19】中类似的方法进行检查。

因此，我们可以一致地近似-1cαj，m，l（t）=γαj，m，l（n-1t）+op（1），（6.1）n-1uα（t）=να（n-1t）+op（1），（6.2）n-1wr，α，β（t）=ur，α，β（n-1t）+op（1），（6.3），其中函数γαj，m，l（τ），να（τ）和ur，α，β（τ）定义为dτγαj，m，l（τ）=Xr的唯一解∈[R] Pβ∈[T]ur，α，β（τ）~w-,r、 βjPβ∈[T]νβ（τ）γαj，m，l-r（τ）- γαj，m，l（τ）, （6.4）ddτνα（τ）=-να（τ）Pβ∈[T]νβ（τ）+Xj，mXr∈[R] Pβ∈[T]ur，α，β（τ）~w-,r、 βjPβ∈[T]νβ（τ）m-1Xl=米-rγαj，m，l（τ），（6.5）ddτur，α，β（τ）=-ur，α，β（τ）Pγ∈[T]νγ（τ）+Xj，mw+，r，αjXs∈[R] Pγ∈[T]us，α，γ（τ）~w-,s、 γjPγ∈[T]νγ（τ）m-1Xl=米-rγαj，m，l（τ）。（6.6）近似值（6.1）-（6.3）对于t/n<τ：=inf{τ∈ R+，0:Pβ∈[T]νβ（τ）=0}。对于zr，α，β（τ）：=RτuR，α，β（s）/Pγ∈（6.4）-（6.6）的隐式解由γαj，m，l（τ）=P（W±，r，α=~W±，r，αj，C=m，A=α）PXs给出∈[R] sPoiXβ∈[T]~w-,s、 βjzs，α，β（τ）！=l！，να（τ）=E“PXs∈[R] sPoiXβ∈【T】W-,s、 βzs，α，β（τ）！≥ C1{A=α}#-Zτνα（s）Pβ∈[T]νβ（s），ur，α，β（τ）=E“W+，r，αPXs∈[R] sPoiXγ∈【T】W-,s、 γzs，β，γ（τ）！≥ C1{A=β}#- zr，α，β（τ）。特别是，请注意pα∈[T]να（τ）=g（z（τ））- τ和ur，α，β（τ）=fr，α，β（z（τ））。因此，对于τ<^τ，它保持fr，α，β（z（τ））=n-1wr，α，β（bτnc）+op（1）≥ 0+op（1）并让n→ ∞, 它遵循fr、α、β（z（τ））≥ 通过z（τ）的连续性，z（0）=0，因此z（τ）∈ S、 此外，fr，α，β（z（τ））=ur，α，β（τ）=n-1wr，α，β（bτnc）+op（1）≤ n-1wuβ（bτnc）+op（1）=wνβ（τ）+op（1）和as n→ ∞, fr，α，β（z（τ））≤ wνβ（τ）。Asτ→ ^τ，Pβ∈[T]νβ（τ）→ 0，因此通过z（τ）的连续性，fr，α，β（z（^τ））=0表示所有（r，α，β）∈ 五、再次通过z（τ）的连续性和S的闭合性，我们得出z（^τ）≥^z.特别是g（^z）≤ g（z（^τ））=limτ→^τg（z（τ））=limτ→^τXα∈[T]να（τ）+τ=^τ。（6.7）因此，我们只需显示^t/n≥ ^τ+op（1），以证明定理的第一部分，其中^t表示pα的第一次∈[T]uα（T）=0。定义Xn：=（b^τnc∧^t）/n- ^τ.则^t/n≥ ^τ+Xn。