广义随机块模型中的金融传染

然后使用 表示随机支配，它认为n-1.DAk公司n n-1 | Dn | n-1.DBk公司n.因此，我们对最终违约分数n进行了限定-1 | Dn |从下方和上方使用基本近似值。我们现在想用定理6.3计算这些近似系统的精确最终默认分数。允许fA，黑色r、 α，β（z）=ZD∞hr，α，β（z，x，y，`，m）dFA，Bk（x，y，`，m）- zr，α，β，gA，Bk（z）=ZD∞h（z，x，y，`，m）dFA，Bk（x，y，`，m）fr，α，β和g的相应类似物。进一步，用^zAkand（z）表示*)Akresp公司。^zBkand（z*)bk所有函数的最小和最大联合根fAk公司r、 α、β分别为。fBk公司r、 α，β，（r，α，β）∈ 五、然后，我们将这些量与原始系统进行比较，得出以下结果：引理6.6。它保存lim infk→∞gAk公司^zAk≥ g（^z）和lim supk→∞gBk公司（z）*)黑色≤ g（z*).证据首先注意，对于所有z∈ Z和h∈ H保持不变ZDkh（z，x，y，`，m）dFA，Bk（x，y，`，m）-ZDkh（z，x，y，`，m）dF（x，y，`，m）=ZDkh（z，x，y，`，m）dFA，Bk（x，y，`，m）-ZDkh（z，x，y，`，m）dF（x，y，`，m）≤ k-1.→ 0，作为k→ ∞.自进一步发展以来→ 0和rdckyr，β1{m=α}dF→ 0，作为k→ ∞, 每小时∈ H以被积函数1或yr为界，β1{m=α}，它对所有z一致成立∈ Z和h∈ H thatRDckhdF公司→ 0。加上rdckhdfak=0，这意味着zd∞h（z，x，y，`，m）dFAk（x，y，`，m）-ZD公司∞h（z，x，y，`，m）dF（x，y，`，m）=o（1）（6.8），对于所有z∈ Z和h∈ H、 对于{FBk}k∈N、 我们还需要考虑术语rdckh（z，x，y，`，m）dFBk（x，y，`，m）。ThusZDckdFBk（x，y，`，m）=xα∈γαk，ZDckyr，β1{m=α}dFBk（x，y，`，m）=wr，α，βkγαk。所有这些量在k时趋于0→ ∞ （注意，如果γαk>0，则wr，α，βkγαk=2RDckyr，β1{m=α}dF）。由于每个功能h∈ H以上面的一个（无穷多个）被积函数为界，这意味着RDCKH（z，x，y，`，m）dFBk（x，y，`，m）→ 0，作为k→ ∞, 对所有z一致∈ Z和H∈ H

因此，我们可以得出结论，对于所有z∈ Z和h∈ H、 ZD公司∞h（z，x，y，`，m）dFBk（x，y，`，m）-ZD公司∞h（z，x，y，`，m）dF（x，y，`，m）=o（1）。（6.9）我们现在来看第一句话的证明：让 > 0和定义:=\\（r，α，β）∈V{z∈ RV+，0:fr，α，β（z）∈ [0, ]}.进一步让z∈ RV+，0由zr，α，β定义:= infz公司∈Dzr，α，β，（r，α，β）∈ 五、然后特别是z≤^z组件自^z起∈ D. 此外，z在组件方面明显增加 →0。因此，极限▄z：=lim→0z≤^z存在。现在请注意，对于固定值（r，α，β）∈ V，z的副定义, 我们发现一个序列（zn）n∈N D这样limn→∞zr，α，βn=zr，α，β和锌≥ z组件方面。利用D上fr，α，β的单调性和一致连续性, 然后我们得到fr，α，β（z) ≤ fr，α，β（z1,1,1n，…，zr，α，β, . . . , zR，T，Tn）=fr，α，β（zn）+o（n）≤  + o（n），因此fr，α，β（z) ≤ . 同样，通过fr，α，β的连续性，我们得到fr，α，β（~z）=lim→0fr，α，β（z) ≤lim公司→0 = 在引理3.2的证明中，将^z替换为^z，我们现在得到了一个jointroot'z的存在性≤所有函数fr，α，β，（r，α，β）的z∈ 五、由于^z是最小的关节根定义，因此^z=^z。现在注意，对于足够大的k，通过（6.8），我们得出（fAk）r，α，β（z）≥ fr，α，β（z）-  对于所有z∈ Z、 此外，通过FAk的构造，它认为（FAk）r，α，β（Z）≤ fr，α，β（z）。特别是，我们可以得出结论，^zAk∈ Dk足够大，因此^zAk≥ z. 因此，对于每个 > 0乘以（6.8）我们导出lim infk→∞gAk（^zAk）≥ 利姆→∞gAk（z) =g（z). 最后，利用g和lim的连续性→0z=^z，我们得到第一个声明：lim infk→∞gAk（^zAk）≥ g（^z）如果现在在定理6.3 z的证明中*() 是附加冲击系统的最大联合根，我们通过（6.9）推导得出，对于足够大的k，它能保持fBk公司r、 α，β（z*()) ≤ fr，α，β（z*())/2<0表示所有（r、α、β）∈ V，因此（z*)黑色≤ z*() 组件方面。（假设E[W+，r，α1{A=β}]>0表示所有（r，α，β）∈ 使fr，α，β（z*()) < 0

否则，我们可以在所有证明中省略坐标zr，α，β，因为所有关节根的（r，α，β）-坐标将为0。）再由（6.9）导出lim supk→∞gBk公司（z）*)黑色≤ 利姆→∞gBk（z*()) = g（z*()) 和byletting → 0，lim supk→∞gBk公司（z）*)黑色≤ g（z*).定理3.4的证明。允许 > 通过引理6.5，我们得到n-1 | Dn |- g（^z）<-≤ Pn-1.DAk公司n- g（^z）<-.进一步，通过引理6.6，对于足够大的k，我们得到gAk（^zAk）>g（^z）- /2和hencePn-1 | Dn |- g（^z）<-≤ Pn-1.DAk公司n- gAk（^zAk）<-/2..将定理6.3应用于基本系统，如n→ ∞ 我们导出Pn-1 | Dn |- g（^z< -) → 0，这显示了定理的第一部分。类似地，对于第二部分，通过引理6.5Pn-1 | Dn |- g（z*) > ≤ Pn-1.DBk公司n- g（z*) > 通过引理6.6，对于足够大的k，它认为gBk（（z*)Bk）<克（z*) + /因此，应用定理6.3得出n-1 | Dn |- g（z*) > ≤ Pn-1.DBk公司n- gBk（（z*)黑色）>→ 0，作为n→ ∞.6.4定理4.2第4节的证明。Letγ∈ （0，1）和定义（fγ）r，α，β（z）：=（1- γ） fr，α，β（z）+γζr，α，β- z.进一步，设Sγ：=T（r，α，β）∈V{z∈ RV+，0：（fγ）r，α，β（z）≥ 0}，并用Sγ表示Sγ中包含0的最大连通分量。最后，定义z*（γ） by（z*)r、 α，β（γ）：=supz∈Sγzr，α，β。通过引理6.4的证明，我们知道z*(γ) → 0，为γ→ 0，因此g（z*(γ)) → 0，使用g的连续性。现在选择γ>0，使g（z）足够小*(γ)) ≤ /3和δ>0足够小，使得（fM）r，α，β（z）<（fγ）r，α，β（z）对于所有0≤ z≤ ζ分量和P（M=0）<δ。然后特别是（z*)M≤ z*（γ） 和g（（z*)M）≤ g（z*(γ)) ≤ /如果我们现在可能减少δ，那么δ≤ /3，然后根据定理3.4，我们推导出了冲击系统n中违约银行的最终分数-1 | DMn |该w.h.p.n-1 | DMn |≤ gM（（z*)M） +/3.≤ g（（z*)M） +2个/3.≤ .引理4.6的证明。

让我们(, 一） 表示S的最大连通子集(, 一） ：=\\（r，α，β）∈Vnz公司∈ RV+，0:fr，α，β（z）≥ -1{（r，α，β）∈ 一} o包含0。然后将引理3.2的证明Sin替换为S(, 一） ，我们得到了最小（分量）点^z的存在性(, （一）∈ RV+，0使fr，α，β（^z(, 一） ）=- 对于（r，α，β）∈ Iand frα，β（^z(, 一） ）=0表示（r，α，β）∈ 特别是^z(, （一）∈ S(, 一） 。让我们不要(, 一） ：=\\（r，α，β）∈Vnz公司∈ RV+，0:fr，α，β（z）≤ -1{（r，α，β）∈ 一} o.那么很明显是^z(, （一）∈ T型(, 一） 。此外，为了证明^z的存在(, 一） 我们可以使用任何上界z∈ T型(, 一） ，这表明^z(, （一）≤ z分量。尤其是^z(, 一） ismonotone输入 因此，z（I）：=lim→0+^z(, 一） 存在。现在让我来“z”∈ T（I）任意。然后存在一个序列（zk）k∈N RV+，0，fr，α，β（zk）<0，用于（r，α，β）∈ I分别为fr、α、β（zk）≤ 0表示（r，α，β）∈ V\\I使limk→∞zk=(R)z。根据I的完整性，我们可以找到k> 0，使fr，α，β（zk）≤ -k1{（r，α，β）∈ 一} 对于任何（r，α，β）∈ V和k∈ N、 特别是zk∈ T型(k、 I）因此zk≥^z(k、 （一）≥z.为k→ ∞,因此，我们可以得出以下结论▄z≤“z”表示任何“z”∈ T（I）和▄z≤ z（一）。另一方面，z（I）∈ 定义T（I），因此z（I）=z（I）。最后，注意z（I）=lim→0+^z(, （一）∈T>0秒(, 一） =S，其中最后一个等式从t开始>0秒(, （一） S和that>0秒(, 一） 必须是一个包含0的连接集，因为S(, 一） 是包含0的连接紧集链。定理4.7的证明。设^zm表示事后冲击系统的^z类似物。然后fr，α，β（^zM）+E“W+，r，αPXs∈[R] sPoiXγ∈【T】W-,s、 γ（^zM）s，β，γ！≤ C- 1.1{A=β}1{M=0}#=（fM）r，α，β（^zM）=0，因此fr，α，β（^zM）≤ 当且仅当E[W+，r，α1{A=β}1{M=0}]=0时，等于0。定义Now := - 最大值（r，α，β）∈Ifr，α，β（^zM）>0，因此^zM∈ T型(, 一） ，其中T(, 一） 如Lemma 4.6的证明。

在^z的施工中(, 一） （见引理4.6），然后我们可以使用上界^zm并获得^z(, （一）≤^zM因此^zM≥ z（一）。至今δ：=gM（^zM）- g（z（I））≥ 总经理（z（I））- g（z（I））=Xβ∈[T]E“PXs∈[R] sPoiXγ∈【T】W-,s、 γzs，β，γ（I）！≤ C- 1.1{A=β}1{M=0}#>0，我们可以应用定理3.4得出limn→∞Pn-1 | DMn |<g（z（I））= 画→∞Pn-1 | DMn |<gM（^zM）- δ= 0，因此n-1 | DMn |≥ 现在假设z（I）6=0。因为z（I）是函数fr，α，β，（r，α，β）的联合根∈ 然后，我们推导出存在（r，α，β）∈ V使得e“W+，r，αPXs∈[R] sPoiXγ∈【T】W-,s、 γzs，β，γ（I）！≥ C1{A=β}#=zr，α，β（I）>0和henceE“PXs∈[R] sPoiXγ∈【T】W-,s、 γzs，β，γ（I）！≥ C1{A=β}#>0。特别地，g（z（I））>0。引理4.8的证明。由引理4.6明确z（~V）≤ z*. 现在假设z（≈V） z*. 然后对于一些（r，α，β）∈V它必须保持zr，α，β（PV）<（z*)r、 α，β，通过在引理4.6的顶部构造z（~V），我们可以发现 > 0，使zr，α，β（~V）≤ ^zr，α，β(,V）<（z*)r、 α，β。现在由z的定义*和S的连通性，我们发现Sz≤^z(,V）使得▄zr，α，β=^zr，α，β(,V）。但fr，α，β（~z）≤ fr，α，β（^z(,V））=- < 0，与z相矛盾∈ S、 参考文献【1】P.Aghion、G.-M.Angeletos、A.Banerjee和K。马诺瓦。波动与增长：信贷约束与投资构成。《货币经济学杂志》，57（3）：246–2652010。[2] I.Alves、S.Ferrari、P.Franchini、J.-C.Heam、P.Jurca、S.Lang field、S.Laviola、F.Liedorp、A.S\'anchez、S.Tavolaro和G.Vuillemey。欧洲银行间市场的结构和弹性。ESRB临时论文系列，（3），2013年。[3] H.Amini、R.Cont和A.Minca。金融网络中的沟通弹性。MathematicalFinance，26（2）：329–365，2016年。[4] K.Aoki、G.Benigno和N.Kiyotaki。调整资本账户自由化。预印本，2010年。[5] M.J.Artis和M.Ho Off mann。

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