广义随机块模型中的金融传染

在我们的渐近设置中，我们甚至可以选择任意小的M，如果最终的defaultfraction n-1 | DMn |随着P（M=0）趋于0→ 0如果另一方面n-1 | DMn |是某个正常数的下界，我们称该系统为非弹性系统（见下文定义4.3）。我们认为一系列事件（En）n∈如果p（En），则具有高概率（w.h.p.）的Nholds→ 1，asn→ ∞.定义4.1（弹性）。一个金融系统据说是有弹性的，如果对每一个 > 存在δ>0，因此对于P（M=0）<δ的所有M，它保持n-1 | DMn |≤  w、 事实证明，系统的弹性很大程度上取决于第3.1小节中介绍的集合的形式。我们的第一个结果是保证弹性的标准。定理4.2（弹性标准）。考虑一个由正则顶点序列描述的金融系统，并假设S={0}。那么系统就是有弹性的。特别是对于R=T=1，如果0=inf{z>0:f1,1,1（z）<0}，则确保弹性，并且定理4.2扩展了[19，定理2.7]中研究的一维设置。此外，如果对于某些v∈ RV+、Dvfr、α、β（0）存在，并且每个（r、α、β）均为负值∈ V，thenS={0}，定理4.2适用。图3显示了满足定理4.2中条件的二维示例。我们选择R=2，T=1，W±，1=W±，2=1和C=3，并让z：=z1,1,1和z：=z2,1,1。从图中可以看出，对于受冲击的系统，一个小的冲击（这里是所有气缸组的5%）使f（z，z）=f1,1,1（z，z）和f（z，z）=f2,1,1（z，z）的最小接合面接近（0，0）。

按gMas P（M=0）的连续性性质→ 0和g（0，0）=0，最终默认分数n-对于P（M=0）较小的冲击M，1dmn较小。另一方面，为了刻画非弹性网络，出现的困难是事后冲击M可能只针对某些子网络或具有特定特征（权重）的顶点。目标子网络（例如核心或外围）包含在（A，M）的联合分布中，后感染的影响取决于P（A=α，M=0）=e[1{A=β}1{M=0}]，这并不奇怪。然而，事实证明，这些信息并不足以完全确定冲击的影响，目标机构的权重也很重要，即目标机构是否利用风险敞口r建立优势∈ [R] 到类型为β的顶点∈ [T]。更准确地说，定义V：={（r，α，β）∈ V:E[W+，r，α1{A=β}]>0}，注意（r，α，β）∈V如果α类型的顶点构建边缘，且r暴露于β类型的顶点。冲击M，使得E[W+，r，α1{A=β}1{M=0}]=0（r，α，β）∈V只针对没有借贷的借贷人，这些冲击不会蔓延也就不足为奇了，即0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0Z1Z2图3：满足定理4.2条件的金融系统的函数f（z，z）（蓝色）和f（z，z）（橙色）的根集图。实心：未锁定的函数。虚线：受冲击的功能。金融体系对这些冲击具有弹性。对于所有其他冲击，可以通过检查每个（r、α、β）对其进行分类∈如果E[W+，r，α1{A=β}1{M=0}]等于0或严格大于0，则为V。例如，考虑一个由两类相互隔离的银行组成的金融网络。

此外，两个子网络中的一个子网络应具有弹性，而另一个子网络则不具有弹性（定义4.3（b））。为了使整个系统遭受巨大的破坏，那么有必要让M不仅感染弹性子系统中的银行，而且也感染非弹性子系统中的银行。这解释了为什么我们必须在以下M的不同选择之间进行区分，以充分理解我们模型中的非弹性。定义4.3（非弹性）。（a） 让我V：={（r，α，β）∈ V:E[W+，r，α1{A=β}]>0}。如果存在常数，金融系统被称为对I的冲击无弹性一> 0，使n-1 | DMn |≥ Iw。h、 p.对于E[W+，r，α1{A=β}1{M=0}]>0的所有冲击M（r，α，β）∈ 一、 （b）如果一个金融系统在某些IV。显然，如果一个系统对I上的冲击没有弹性，那么它对I上的冲击也没有弹性I.因此，当且仅当一个系统是非弹性的水下冲击波时，该系统才是非弹性的。备注4.4。定义4.3将网络描述为在银行违约率较低的情况下不具有弹性（关于冲击onI）。在许多应用中，可能需要在全球网络的不同部分之间进行区分，并且仅当某些重要部分发生下限损坏时，才称系统为非弹性系统。这可以通过备注2.1中引入的系统重要性值来实现：将si=0分配给全球网络中不重要部分的银行i，并替换n-1 | DMn |定义4.1和4.3中SMn：=n-1Pi∈DMnsi。让我们从考虑M感染系统每个部分的特殊情况开始（即V上的ashock）。例如，如果M独立于类型A、顶点权重W±、r、α和大写C，则会出现这种情况。然后，我们可以推导定理4.7的推论，如下所述：推论4.5。

考虑一个由规则顶点序列描述的金融系统和所有E[W+，r，α1{a=β}1{M=0}]>0的暴露感染M（r，α，β）∈V。然后是w.h.p.n-1 | DMn |≥ g（z*). 如果z*6=0（即S6={0}），然后g（z*) > 0且系统无弹性。0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.00.51.01.52.0z1z2S0z*图4：S6={0}的金融系统函数f（z，z）（蓝色）和f（z，z）（橙色）的根集图。实心：未锁定的函数。虚线：受冲击的功能。根据定理4.2和推论4.5，金融系统的弹性完全以S为特征。参见图4中S6={0}的示例。在本例中，我们选择了=2，T=1，权重W±，1=W±，2=3/2，大写C=2。图中显示了最小关节根从0到z以上的跳跃*对于任何小的冲击（这里是所有银行的10%）。f（橙色线）屋顶组的不连续性表明，尤其是暴露率为2的边缘使系统失去弹性。现在，我们的目标是描述I（~V）上冲击的非弹性。也就是说，我们考虑冲击M，使得E[W+，r，α1{A=β}1{M=0}]>0（r，α，β）∈ 对于（r，α，β），I但可能为[W+，r，α1{A=β}1{M=0}]=0∈~V\\I.为此，表示（I）：=\\（r，α，β）∈Inz公司∈ RV+，0:fr，α，β（z）<0o∩\\（r，α，β）∈V\\Inz∈ RV+，0:fr，α，β（z）≤ 0o通过zr、α、β（I）定义z（I）：=infz∈T（I）zr，α，β。引理4.6表明z（I）是fr，α，β，（r，α，β）的最小联合根∈ V，对于I坐标中的冲击是稳定的。引理4.6。它容纳z（I）∈ S∩ 因此它是fr，α，β，（r，α，β）的联合根∈ 五、我们可以用z（I）表示非弹性的一般定理，其中I表示受M影响的坐标集。定理4.7（非弹性标准）。考虑一个由调节顶点序列描述的金融系统和任何感染后的M，E[W+，r，α1{a=β}1{M=0}]>0（r，α，β）∈ 一、 在哪里 6=IV。

然后w.h.p.n-1 | DMn |≥ g（z（I））。如果z（I）6=0，则g（z（I））>0，因此系统对于I上的冲击是非弹性的。根据定理4.7，我们推导出了▄V上的冲击对于任何 > 0 w.h.p.n-1 | SMn |≥ g（z（￠V））-而在推论4.5中，我们声称n-1 | SMn |≥ g（z*) -  w、 通过下面的引理，这两者实际上是等价的。引理4.8。它保持z（≈V）=z*.恒等式z（I）=z*另一方面，并不一定意味着I=~V。5应用与现有文献相比，前几节中发展的理论可以研究许多有趣的小说背景。在本节中，我们将讨论其中一些问题，并强调其含义。此外，我们还通过数值模拟证明了我们的渐近结果对合理规模的有限网络的适用性。在第一个例子中，我们研究了全球系统中非弹性子系统的影响。不出所料，全球系统也是非弹性的，我们可以进一步证明，即使是弹性网络部分也会因其与非弹性子系统的连接而变得非弹性，也就是说，仅在系统弹性部分内发生的任何微小感染最终都会扩散到弹性子系统的下限部分。示例5.1。为简单起见，假设R=1，并在下面表示zα，β：=z1，α，β，fα，β（z）：=f1，α，β（z）和W±，α：=W±，1，α。然后考虑一个1型银行系统，由随机向量（~W）描述-,§W+，§C），其中P（§W+>0）=1，P（§C=0）=0，并假设其无弹性。在一维情况下，这可分解为▄z>0的存在，从而▄f（z）：=Eh▄W+PPoi公司W-z≥C我- z≥ 0，对于所有z∈ [0，~z]。现在为网络引入第二个子系统（可能有弹性）。

也就是说，系统现在由随机向量（W±，1,1，W±，1,2，W±，2,1，W±，2,2，C，A）描述，其中P（C=0）=0，A∈ {1，2}和αi=1表示银行i∈ [n] 在非弹性子系统中，而αi=2表示i是第二个子系统的一部分。为了保留非弹性系统的特性，我们要求-,1 | A=1d=~W-, W+，1 | A=1d=| W+/P（A=1）（考虑到银行数量的变化；由于（2.1）中的乘法形式，可以通过P（A=1）和C | A=1d=| C来调整进出权重。我们得出f1,1（z）=EW+，1PPoi公司W-,1z1,1+W-,2z1,2≥ C1{A=1}- z1,1≥fz1,1≥ 0对于所有z=（z1,1，z1,2，z2,1，z2,2）和z1,1∈ [0，~z]，尤其是z1,1（I）≥ ~z>0，其中i：={（1，1）}。然后，应用定理4.7得出，网络中最终违约银行的比例为g（z（I））=EhP的下界Poi公司W-,1z1,1（I）+W-,2z1,2（I）≥ C1{A=1}i+EhPPoi公司W-,1z2,1（I）+W-,2z2,2（I）≥ C1{A=2}iw。h、 p.对于任何事后感染，M满足p（M=0，A=1）>0（即感染非弹性子系统中的某些银行）。也就是说，如果非弹性子系统中的一小部分银行由于外部冲击事件而违约，那么这种感染会蔓延到整个系统，而第二个子系统中最终违约的银行的比例是w.h.p.下限EHPPoi公司W-,1z2,1（I）+W-,2z2,2（I）≥ CA=2i。（5.1）事实上，如果我们假设W+，2 | A=1>0几乎可以肯定，P（W-,1> 0，C<∞, A=2）>0（即，第二个子系统中有一些银行向非弹性系统中的银行放贷），则必须保持z2,1（I）≥ EhW+，2PPoi公司W-,1z1,1（I）≥ C1{A=1}i>0，因此下限（5.1）是严格正的。

也就是说，非弹性子系统中的每一个无论多么小的受感染部分都会扩散到第二个子系统中最终违约银行的下限部分。现在最后假设W+，1 | A=2>0几乎可以肯定，P（W-,2> 0，C<∞, A=1）>0（即，非弹性子系统中有一些银行向第二个子系统中的银行放贷）。通过考虑函数f1,2（z）=EW+，1PPoi公司W-,1z2,1+W-,2z2,2≥ 厘米1{A=2}- z1,2，我们推导出（^zM）1,2>0，对于任何感染后M，P（M=0，A=2）>0（即，感染第二个子系统中的一些银行），因此（^zM）1,1>0的形式为f1,1（z）（见上文）。通过与之前相同的方法，我们因此得出结论，实际上^zM≥ z（I）和以上导出的下界仍然成立。特别是，这意味着，对第二个子系统（可能有弹性）的每一次无论多么小的初始冲击都会导致第二个子系统中的银行下界部分违约。也就是说，通过连接到非弹性子系统，先验的可能具有弹性的第二个子系统也变得非弹性。为了更好地理解示例5.1中的现象，我们明确指定了所有参数：LetW-,1 | A=1=w，w+，1 | A=1=2w，C | A=1=1，w-,2 | A=2=w，w+，2 | A=2=2w，C | A=2=2，对于w>1和w>0。然后，这些参数将衡量各子系统的连接程度，很容易确定1类子系统实际上是无弹性的，而2类子系统是有弹性的。这两个子网都是Erd¨osR'enyi随机图。在第一个子网中，每条边都是有传染性的，由于w>1，存在一个巨大的分量（对于某些λ>0的分量，其大小为λn）。一旦巨构件中的一个顶点出现默认值，整个巨构件就会出现默认值。通过分析各自的功能，可以很容易地看出第二个子网络具有弹性。

此外，假设两个子系统具有相同的大小，从子系统1到子系统2的边与从子系统2到子系统1的边一样，即P（A=1）=P（A=2）=1/2和W±，1 | A=2=W±，2 | A=1=W>0。该参数用于衡量不同子系统之间的互联程度。特别是，wf1,1（z）+z1,1= 2瓦f2,1（z）+z2,1, wf2,2（z）+z2,2= 2瓦f1,2（z）+z1,2因此必须保持z2，1（I）=（2w）-1wz1,1（I）分别。z1,2（I）=（2w）-1wz2,2（I）。然后，问题简化为f（z，z）=0和f（z，z）=0，其中z：=z1,1，z：=z2,2和f（z，z）：=w1.- e-wz公司-（2w）-1wz- z、 f（z，z）：=w1.- e-（2w）-1wz-wz公司1+（2w）-1wz+wz- z、 根据权重wi的选择，i=1、2、3，系统显示的行为略有不同，如图5（a）、5（b）和5（c）所示。在所有情况下，z（I）=z*6=0，确定了最终违约分数的严格正下界，如示例5.1所示。此外，在所有三种情况下，2型子系统都具有弹性。然而，在5（b）和5（c）中，函数f（z，z）的根集即使沿z=0的轴也显示出不连续性。让我们详细说明这意味着什么。沿z=0，函数f（0，z）描述了弹性子系统2内的传染，而不考虑子系统之间的传染。0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.00.51.01.52.0z1z2S0z*（a）0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.00.51.01.52.0z1z2S0z*（b）0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.51.01.52.0z1z2z*（c）图5：函数f（z，z）（蓝色）和f（z，z）（橙色）的根集图系统（a）w=2，w=1和w=2，（b）w=2，w=2和w=3/4（c）w=2，w=2和w=1/2。轴z=0上集合的不连续性意味着：对于子系统2的小冲击，传染被抑制。

然而，随着冲击越来越大，SIS中的差距将被克服，违约的2类机构的最终比例将超过Son z=0的上限。再次考虑到整体情况，除了小的初始冲击外，子系统2还受到违约类型1机构正比例的冲击。虽然在5（c）中，它们的数量不足以克服沙中的差距，但在5（b）中，类型2机构的最终分位数保持较小（但为正值），在参数较大且子系统之间存在hencedenser连接的情况下，默认类型1机构对子系统2施加的冲击足以克服差距，并对子系统2造成严重损害。文献[33]中观察到了Erd¨os-R'enyi随机图的不连续现象。由于本文的所有主要结果和例5.1中的推导都是渐近的，我们从数值上证明了有限网络的适用性：对于图5中的每个场景（a）（c），我们对不同大小的网络进行了10次模拟∈ {100k:k∈ 【100】}初始违约银行占1%。结果与理论渐近最终违约分数（考虑1%的初始违约分数）一起绘制在图6中。对于案例（a），除n=100的6个模拟外，所有结果都非常接近≈ 87.98%，其偏差随n的增大而减小。对于案例（b）和n<10，一些模拟最终以55%左右的违约分数结束。（从图形上看，这些来自图5（b）中驼峰（f的根集，橙色）的偏差，因此驼峰与f的根（蓝色）相交）。对于所有其他模拟，尤其是n≥ 10，仿真结果明显收敛于≈ 94.25%.

最后，对于案例（c），n的一些模拟结果≤ 500个接近0，周围很少≈ 92.63%（三个节理根部中最大的一个插入g的值）。大多数模拟（尤其是n≥ 然而，导致最终违约分数接近理论值50.02%，并且随着n的增加，偏差再次减小，我们清楚地证实了理论收敛性。总之，我们得出结论，对于几千个顶点的细网络，我们的渐近结果具有良好的精度。特别是，我们从示例5.1中了解到，为了确保特定子系统的弹性，需要完全禁止与其他非弹性子系统的链接。然而，也有可能两个自身具有弹性的子系统一旦相互连接，就会形成一个无弹性的全局系统。因此，如何确保由各种弹性子系统组成的全球系统的弹性也是一个有趣的监管问题。一般来说，对于我们的模型，这个问题的答案由定理4.2提供。然而，在下面的示例中，我们陈述了一个更直观的标准。0 2000 4000 6000 8000 10 0000.700.750.800.850.900.951.00numberofbanksfinalfraction（a）0 2000 4000 6000 8000 10 0000.40.50.60.70.80.91.0numberofbanksfinalfraction（b）0 2000 4000 6000 8000 10 0000.40.50.60.70.80.91.0numberofbanksfinalfraction（c）图6：不同大小网络上的模拟结果图（蓝色）和具有（a）的系统的理论符号最终默认分数图（红色）w=2，w=1和w=2，（b）w=2，w=2和w=3/4（c）w=2，w=2和w=1/2。示例5.2。同样，为了简单起见，假设R=1。