信息套利的价值

我们假设内部信息是由一个可测量的随机变量L生成的，该变量在一个Lusin空间（E，BE）中取值，其中Bedenotest是E的Borel sigma场。相关的初始大过滤G=（Gt）t∈[0，T]被定义为包含F的最小过滤，并且L是G-可测量的，即Gt：=Ft∨ σ（L），对于所有∈ [0，T]。我们用λ表示：BE→ L的无条件定律，因此λ（B）=P（L∈ B） 所有B的保持架∈ 是的。对于每个t∈ [0，T]，设νT：Ohm×BE→ [0，1]是L的Ft-conditionallaw的常规版本（由于（E，be）是Lusin，因此始终存在）。在整篇论文中，我们将假设以下条件的有效性，这是雅科德在扩大过滤理论中的密度假设（见[J ac85]）。长期假设2。对于所有t∈ [0，T]，νT<< λ在a.s.意义上成立。为了证明H′-假设的有效性，假设2被引入到s-eminal工作[Jac85]中，即每个F-半鞅也是一个G-半鞅。在无摩擦金融市场中，semimartin gale属性的失效与NUPBR不相容（见[KP11]），而NUPBR又是解决投资组合优化问题的必要条件（见[KK07，建议4.19]）。因此，H′-假设的有效性代表了我们框架中的一个必要要求（在这方面，另见备注3.9）。我们工作的一个中心特点是，假设2只需要作为一个绝对连续性关系而不是作为一个等价关系来保持，如导言中所解释的那样。事实证明，这一事实与G中是否存在套利机会密切相关（见定理2.4）。首先，下面的引理给出了假设2的一些基本结果。市场完整性假设的相关性将在第7.6节HUY N中讨论。

CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO FONTANALemma 2.2。过滤G是右连续的，且每个半鞅(Ohm, F、 P）也是半鞅on(Ohm, G、 P）。存在一个（BE O（F））-可测函数E×Ohm ×【0，T】（x，ω，t）7→ qxt（ω）∈ t中的R+、c\'adl\'ag∈ [0，T]这样：（i）对于每个T∈ [0，T]，νT（dx）=qxtλ（dx）保持a.s。；（ii）每x∈ E、 过程qx=（qxt）t∈[0，T]是上的鞅(Ohm, F、 P）。此外，对于所有t，它认为P（qLt>0）=1∈ [0，T]。在目前的假设条件下，我们可以建立以下命题，该命题提供了初始放大过滤G的基本鞅表示结果。命题2.3。设M=（Mt）t∈[0，T]是上的局部鞅(Ohm, G、 P）。然后存在一个过程K=（Kt）t∈[0，T]∈ L（S，G）使mt=ZtqLtM+（K·S）ta、 s.适用于所有t∈ [0，T]。上述命题证明了s的martin gale表示性质(Ohm, F、 Q）可以转移到P下最初扩大的过滤G，直至适当的“数量变化”，由过程Z/qL表示。此外，过程Z/qL在研究S的（无）套利性质方面起着关键作用(Ohm, G、 P），我们将在第2.3.2.3节中看到。内幕信息下的市场生存能力。拥有内幕信息的代理人（知情代理人）应该能够访问L生成的信息，即最初扩大的过滤。知情代理人可以交易普通金融市场上可用的同一组证券，但在构建投资组合时可以依赖信息流。

我们称之为元组(Ohm, G、 P；S） 金融市场内幕人士回顾，假设2确保S是上的半鞅(Ohm, G、 P）（见引理2.2）。我们特别感兴趣的是，byL产生的额外信息会产生套利机会，因此NFLVR不会在内幕市场中占有一席之地(Ohm, G、 P；S） 。然而，我们需要确保(Ohm , G、 P；S） 仍然代表着一个可行的金融市场，因为投资组合优化问题可以得到有意义的解决。为此，鉴于[KK07，命题4.19]，最小无套利要求由名词有界利润和有界风险（NUPBR）条件表示，定义为集合概率的有界性（Д·S）T:Д∈ L（S，G）和d（Д·S）t≥ -1 a.s.适用于所有t∈ [0，T]. 根据【TS14，定理2.6】（也可参见【Kar12，定理2.1】，在d=1的情况下），满足NUPBR(Ohm, G、 P）如果且仅如果：=Z∈ Mloc（P，G）：Z>0，Z=1和ZS∈ Mloc（P，G）6= ,Z表示S上的等价局部鞅导数集（ELMDs）(Ohm, G、 P）。以下结果提供了投资者市场（无）套利性质的完整特征(Ohm, G、 P；S） ，从NUPBR和NFLVR的角度来看。定理2.4。假设空间L(Ohm, FT，P）是可分离的。然后，NUP B R保持不变(Ohm, G、 P）当且仅当集合{qx=0<qx-} 对于λ-a.e.x，是消失的∈ E、 在本例中，它认为Z={Z/qL}。此外，以下属性是等效的：信息套利的价值7（i）满足NFLVR(Ohm, G、 P）；（ii）对于所有t∈ [0，T]，λ<< νa.s.意义上的tholds；（iii）对于λ-a.e，P（qxT>0）=1。

x个∈ E（iv）E【1/qLT】=1；（v） E【ZT/qLT】=1；（vi）过程1/qL=（1/qLt）t∈[0，T]是上的鞅(Ohm, G、 P）；（vii）过程N/qL=（Nt/qLt）t∈[0，T]是上的鞅(Ohm, G、 P），每N∈ M（P，F）。{qx=0<qx的条件的有效性-} 对于λ-a.e.x，是消失的∈ 【AFK16，定理1.12】（另见【ACJ15，定理6】）中显示了G中NUPBRto保持的E。在我们的背景下，金融市场的完整性使我们能够证明，同样的条件也是NUPBR持有的必要条件(Ohm, G、 P；S） 。我们指出，在定理2.4中，分离性假设仅在必要性部分的证明中需要。受上述定理的启发，我们现在介绍我们的最后一个长期假设，这将贯穿全文。长期假设3。集合{qx=0<qx-} 对于λ-a.e.x，是消失的∈ E、 我们对密度Qx可以达到零的情况特别感兴趣，因为这与内部金融市场中存在的套利机会密切相关(Ohm, G、 P；S） 。总的来说，密度Qxc可以连续达到零，也可以由于跳到零而达到零。假设3排除了ju mp归零的行为。如图2.4所示，在我们的假设下，S的ELMD集合(Ohm, G、 P）非空，由一个单态组成。特别是，鉴于【SY98，推论2.1】，后者意味着内幕金融市场(Ohm, G、 P；S） 继承了普通金融市场的完整性(Ohm , F、 P；S） 。定理2.4的最后部分给出了内幕信息何时为知情代理人产生套利机会的精确表征。当且仅当FTconditional lawνTof L不能与无条件lawλ等价时，才会发生这种情况。

等价性的失败意味着，存在一些场景，从普通代理的角度来看，这些场景是先验可能的（即，它们具有严格的正λ-测度），但之后可能被证明是不可能的（即，它们可以被分配为零νT-测度）。对于知情的代理人来说，在交易开始之前就已经排除了这种情况，从而提供了明确的信息优势。这一现象也将通过第5节中考虑的示例得到澄清。备注2.5（关于最佳套利）。定理2.4表明NFLVR在(Ohm, G、 P；S） 当且仅当E[ZT/qLT]=1时。观察到，E【ZT/qLT】对应于在(Ohm, G、 P；S） ，如定理2.4的证明所示。在[CT15]的术语中，如果E[ZT/qLT]<1，则数量1/E[ZT/qLT]是最佳套利利润。从这个意义上讲，定理2.4表明NFLVR在(Ohm, G、 P；S） 当且仅当不存在最优套利时。备注2.6（关于num’eraire投资组合）。uniqu e ELMD Z/Ql是可交易的，因为存在一个过程φ∈ L（S，G），使得qL/Z=1+φ·S（这是第2.3项的直接结果，取M≡ 1). 换句话说，根据[KKS16]的术语，过程1+φ·S是内部金融市场的局部鞅数(Ohm, G、 P；S） 。8 HUY N.CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO FONTANA3。内部信息下的最优消费投资问题在这一部分中，我们利用对偶技术研究了一般的最优消费投资问题，考虑了状态相关的效用和中间消费。与[ABS03]类似，我们考虑了非平凡的初始信息，由随机变量L生成的内部信息表示。

然而，由于我们对L的知识产生套利机会的情况特别感兴趣，因此我们必须背离基于鞅测度的经典对偶方法。本节的结果代表了计算信息套利价值的基本要素，将在第4.3.1节中讨论。可接受的投资组合。我们假设一个随机时钟k=（k t）t∈[0，T]，这是一个k=0且P（k T>0 |σ（L））>0 a.s.的非递减C ` adl ` ag F适应有界过程。随机时钟k表示假设消耗发生的时间概念。投资组合定义为三元组∏=（v，θ，c），其中v∈ R表示初始资本，θ=（θt）t∈[0，T]是一个Rd值S-可积过程，表示d风险资产的持有量，c=（ct）T∈[0，T]是表示消耗率的非负过程。对于普通代理，策略θ和消耗过程c需要分别相对于P（F）和O（F）进行测量。另一方面，知情代理人可以通过选择P（G）-可测量策略θ和O（G）-可测量消费过程来构建投资组合。数值过程Vv，θ，c=（Vv，θ，ct）t∈投资组合∏=（v，θ，c）的[0，T]定义为Vv，θ，ct：=v+ZtθudSu-Ztcudκu，适用于所有t∈ [0，T]。定义3.1。让H∈ {F，G}，k∈ R+和v∈ R、 初始资本为v且允许信用额度为k的H-容许投资组合集，用AH，k+（v）表示，定义为H，k+（v）：=n（θ，c）∈ L（S，H）×O+（H）：Vv，θ，ct≥ -k a.s.适用于所有t∈ [0，T]和Vv，θ，cT≥ 0 a.s.o.根据定义3.1，我们假设投资者在整个投资期内有权获得固定的信贷额度[0，T]，并且需要在到期日T前完全修复其债务。

注意，在没有套利机会的情况下，要求Vv，θ，cT≥ 0 a.s.自动表示Vv、θ、ct≥ 所有t均为0 a.s≤ T（见[DS94，命题3.5]），因此，对于所有k∈ R+。然而，在存在仲裁的情况下，这不再是事实。对于k=0，我们从定义3.1中恢复了非负投资组合可采性的通常概念，如[KS98、GP98、Ame00、GK03、Mos15、CCFM17]中所述。为了便于记法，我们定义了过程ZF=（ZFt）t∈[0，T]和ZG=（ZGt）T∈[0，T]byZFt：=Zt，ZGt：=Zt/qLt，对于所有T∈ [0，T]。为了便于以后使用，我们还要定义以下两类投资组合：AH，ksm（v）：=（（θ，c）∈ L（S，H）×O+（H）：ZTZHucudκu∈ L（P）、Vv、θ、cT≥ 0 a.s.和ZHVv+k，θ，c+Z·Zucudκuis a supermartingale on(Ohm, H、 P）），信息套利价值9AH，km（v）：=（θ，c）∈ 啊，ksm（v）：ZHVv+k，θ，c+Z·ZHucudκu∈ M（P，H）.如下一小节所示，AH、ksm（v）和AH、km（v）类自然出现在最优投资消耗问题的解决方案中。要求Tzhucudκu∈ L（P）确保消耗过程c=（ct）t∈[0，T]可以通过自融资交易从一些初始资本开始融资，即存在一对（ζ，Д）∈ L+（P，H）×L（S，H），使得Vζ，Д，ct≥ 所有t均为0 a.s∈ [0，T]，其中L+（P，H）表示H-可测可积非负随机变量集（与引理3.4相比）。在当前以两个金融市场为特征的环境中，根据经济直觉，对可接受性的适当定义应确保每一个可接受为普通代理人的投资组合也可接受为知情代理人。这个性质以及集合AH、k+（v）、AH、ksm（v）和AH、km（v）之间的关系将在下一个引理中阐明。引理3.2。

对于每v∈ R和k∈ R+，以下公式成立：（i）AH，k+（v）=AH，ksm（v），对于H∈ {F，G}；（ii）AF，k+（v） AG，k+（v），因此，AF，ksm（v） AG，ksm（v）。此外，夹杂物AF，km（v） AG，km（v）每v保持一次∈ R当且仅当E[1/qLT]=1。根据定理2.4，上述引理表明包含AF，km（v） AG，km（v）holdsif，且仅当在(Ohm, G、 P；S） 。如果我们认为鞅是公平博弈，那么这一性质背后的经济直觉就会变得清晰。事实上，如果信息代理人有可能实现套利，那么对于普通代理人来说公平的投资组合可能会被认为过于昂贵（因此不公平）。这种直觉与含义（一）是一致的=>（v） 在定理2.4中，如果E[ZT/qLT]<1（相当于E[1/qLT]<1），那么将总财富投资于无风险资产对信息代理人来说不是一个公平的策略，因为后者可以从初始资本v<1.3.2开始，实施恒定的支付。最优消费投资问题。我们假设，偏好是针对【0，T】的中间消费和/或在终端日期T的财富而确定的。更具体地说，与[71z05，Mos15，CCFM17]中类似，我们引入了效用随机场U=U（ω，t，x）：Ohm ×【0，T】×R+→ R∪{-∞} 满足以下要求。假设3.3。对于每个（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]，函数x 7→ U（ω，t，x）是严格凹的，严格递增的，在（0+∞) 并满足INDA条件SLIMX↓0U′（ω，t，x）=+∞ 和limx→+∞U′（ω，t，x）=0，其中U′表示U相对于x的导数。通过连续性，我们假设U（ω，t，0）=limx↓0U（ω，t，x）。

最后，对于每个x≥ 0，随机过程U（·，·，x）是O（F）-可测的。在下文中，除非另有说明，否则我们将始终假设效用随机场满足假设3.3。对于H∈ {F，G}，我们定义了以下一组消耗过程：CH，k+（v）：=nc∈ O+（H）： θ ∈ L（S，H）S.t.（θ，c）∈ AH、k+（v）o、10 HUY N.CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO Fontana对应于所有可由初始资本v满足允许信用额度k的投资组合融资的消费计划。一个能够访问信息流H且初始资本v为t=0的代理的最佳消费投资问题定义如下：（3.1）uH，k（v）：=supc∈CH，k+（v）EZTU（u，cu）dκu,按照约定E[RTU（u，cu）dκu]=-∞ 如果E[RTU-（u，cu）dκu]=+∞ . 我们还定义了相关的H-条件优化问题（可能具有非平凡的初始信息）：（3.2）ess supc∈CH，k+（v）EZTU（u，cu）dκuH,有类似的惯例。注意，元素c∈ 如果CH，k+（v）达到问题（3.2）中的上确界，则其达到问题（3.1）中的上确界（参见，例如，【ABS03，第4节】）。我们还注意到集CH，k+（v）在测度收敛拓扑（dκ）中是闭合的P） 只要NupBroholds打开(Ohm, H、 P；S） （参见【CCFM17】并与引理3.4进行比较）。上面的首选项结构非常通用，允许依赖于状态的实用程序。通过合理地指定κ，可以从当前设置中恢复有无中间消费的最优投资问题的几种不同公式（与[71z05，第2.8节]和[Mos15，示例2.5-2.9]相比）。

特别地，通过设置dκu=δT（du），得到了终端财富期望效用最大化的经典问题。为了便于记法，让我们定义以下消费过程集，对应于第3.1节中考虑的不同可接受投资组合集：CH，ksm（v）：=nc∈ O+（H）： θ ∈ L（S，H）S.t.（θ，c）∈ AH，ksm（v）o，CH，km（v）：=nc∈ O+（H）： θ ∈ L（S，H）S.t.（θ，c）∈ AH，km（v）和Vv，θ，cT=0 a.s.o。很明显，th在CH，km（v）处 CH，k+（v），每k∈ R+和v∈ R、 在下面的引理中，我们证明了如果一个人在属于较小类别CH，km（v）的所有消费过程中最大化，则最优预期效用不会改变。这个结果的经济直觉很清楚，asa鞅是达到给定终值的最便宜的超鞅（与[PH06，引理10.4.1]相比）。此外，条件Vv、θ、cT=0 a.s.代表了一个简单的事实，即所有可用资源都用于为消费融资。引理3.4。让H∈ {F，G}，k∈ R+和v∈ R、 然后，CH，k+（v）=CH，ksm（v），对于每个消耗过程c∈ O+（H），以下情况成立：（i）c∈ CH，k+（v）当且仅当E[RTZHucudκu | H]≤ v+k（1- E【ZHT | H】）a.s。；（ii）c∈ CH，km（v）当且仅当E[RTZHucudκu | H]=v+k（1- 此外，它认为（3.3）uH，k（v）=supc∈CH，km（v）EZTU（u，cu）dκu=: 嗯，公里（v）。为便于记法，我们将省略在效用随机场U中明确写出对ω的依赖。信息套利的价值11备注3.5。重要的是要注意，信贷额度（或允许的杠杆）k p在可融资消费计划的特征描述中不起作用，当且仅当ZH∈ M（P，H）。从（3.3）来看，这意味着对于每一个v∈ R+，当且仅当ZH∈ M（P，H）。