信息套利的价值

使用此符号，对于所有t∈ [0，T），它认为qxt=1{W*t型≤γ（x）}（1+W*t）√2πΦW*t型-Wt公司√T-t型-√2πΦγ（x）√T-+√T1.- e-γ（x）2T+（1+重量）√2πΦγ（x）-Wt公司√T-t型- ΦW*t型-Wt公司√T-t型+√T- t型e-（W）*t型-重量）2（T-t）- e-（γ（x）-重量）2（T-t）√2πΦγ（x）√T-+√T1.- e-γ（x）2T,信息套利23的价值对于所有x 6=1/2，而对于x=1/2qxt=√2π（W）*t型- Wt）ΦW*t型-Wt公司√T-t型++ Wt公司-W*t型+√T- t e公司-（W）*t型-重量）2（T-t） pπ+√T、 在结束日期T=T时，它认为qxt=1{W*T≤γ（x）}1+W*T2Φγ（x）√T- 1.+q2Tπ1.- e-γ（x）2T,对于所有x 6=1/2，对于x=1/2，qxT=1+W*T1+q2Tπ。因此，我们得到了qlt=1+W*T2Φγ（L）√T- 1.+q2Tπ1.- e-γ（L）2Ta、 s.，γ（L）=1+W*T | 1- 2U型|- 1、在本例中，νt<< λ保持所有t的a.s∈ [0，T]，因此满足假设2。然而，对于每T∈ （0，T）.这只是从观察中得出的结论，即ν在区间[a（W）]之外为null*t） ，b（W*t） ，以及以下事实：*t） t型∈[0，T]在增加，函数a（·）和b（·）分别在增加和减少。此外，过滤F的连续性意味着假设3已满足。根据定理2.4，内部金融市场(Ohm, G、 P；S） 虽然NUPBR令人满意，但确实存在套利机会。注意，对实现L（ω）的观察对应于W*T（ω）≥2L（ω）/（1- 2L（ω）），如果L（ω）<1/2，或W*T（ω）≤ 2(1 - L（ω））/（2L（ω）-1） ，如果L（ω）>1/2。此信息表示知情代理在时间t=0时的信息优势。本例可以推广到具有任意累积分布函数fu和密度gU的绝对连续随机变量U，与布朗运动无关。设H:R×R+→ R是一个函数，使得H（u，z）=x当且仅当u=H（x，z），对于所有（u，z）∈ R×R+，对于某些函数h:R×R+→ R允许偏导数hx：=xh。

如果我们确定随机变量L：=H（U，W*T） ，可以很容易地验证，可以通过与上述相同的计算获得L的Ft条件d密度，将f（x，z）替换为FU（h（x，z）），将G（x，z）替换为gU（h（x，z））hx（x，z）。6、证明6.1。第2节结果的证明。我们首先给出第2.2节和第2.3节中所述的过滤结果放大的证明。引理2.2的证明。G的右连续性源自[Fon18，引理4.2]，而半鞅性质的稳定性则建立在[Jac85，定理1.1]中。密度{qx；x的存在性∈ E} 可以类似于[Jac85，引理1.8]和[Ame00，引理2.2]中的证明（详见[Fon18，引理2.3]）。引理的最后一部分来自【Jac85，推论1.11】。24 HUY N.CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO Fontanate引理2.2的以下含义将不断使用：对于每一个∈ [0，T]和（BEFt）可测函数E×Ohm  （x，ω）7→ fxt（ω）∈ R+，它认为（6.1）EfLt公司= EZEfxtqxtλ（dx）=ZEE[fxtqxt]λ（dx）。通常，公式（6.1）可以推广到实值可积（beFt）-可测量的功能。命题2.3的证明。让我们定义Rd+1值半鞅X：=（1，S），并注意zx∈ Mloc（P，F）。我们首先证明了ZX在上具有鞅表示性质(Ohm, F、 P）。为此，设N=（Nt）t∈[0，T]是上的bou-nded鞅(Ohm, F、 P）N=0 su ch THANZX∈ Mloc（P，F），指新西兰∈ Mloc（P、F）和NZS∈ Mloc（P，F）。自从Q~ P、 我认为N∈ Mloc（Q，F）和NS∈ Mloc（Q，F）。根据[Jac79，定理11.3]，假设1在N处的th是平凡的Q-a.s。因此，P-a.s。再次根据[Jac79，定理11.3]，我们得出结论，ZX在(Ohm, F、 P）。

设M=（Mt）t∈[0，T]∈ Mloc（P，G）。根据[Fon18，P Proposition 4.10]，存在一个过程H∈ L（ZX，G）使得（6.2）Mt=qLtM+（H·（ZX））t=ZtqLtM+（H·（ZX））tZta。s、 尽管如此，t∈ [0，T]。此外，由于S的鞅表示性质(Ohm, F、 Q），存在一个过程θ∈ L（S，F）表示每个n的1/Z=1+θ·S∈ N、 让我们定义Hn：=H1{kHk≤n} 。利用分部积分和随机积分的关联性，我们得到M+Hn·（ZX）Z=M+M+（Hn·（ZX））-·Z+HnZ-· （ZX）+Hn·ZX，Z= M级+M+（Hn·（ZX））-θ· S+Hn·X-（Hn）十、-Z-·Z=M+Kn·S，其中Rd值过程Kn=（Knt）t∈[0，T]由kn定义，它：=（M+（Hn·（ZX））T-- （Hn）tXt文件-Zt公司-)θit+Hn，i+1t，对于所有i=1，d和t∈ [0，T]。类似于[RS97，命题8]中的论证，f行为∈ L（ZX，G）表示半鞅拓扑asn中的Hn·（ZX）收敛于H·（ZX）→ +∞. 因此，根据[JS03，命题III.6.26]，Kn·S=（M+Hn·（ZX））/Z- 对于某些K，Malso在半鞅拓扑中收敛到K·S∈ L（S，G），从而提供了（M+H·（ZX））/Z=M+K·S。再加上（6.2），这就完成了证明。我们现在证明了我们关于内幕金融市场（无）套利性质的主要结果(Ohm, G、 P；S） （定理2.4）。作为初步结果，我们回顾了以下关于初始过滤放大下局部鞅行为的结果。在现有假设2-3下，这是[ACJ15，提案9]的直接结果（另见[AFK16，提案3.6]）。引理6.1。设M=（Mt）t∈[0，T]是上的局部鞅(Ohm, F、 P）。然后M/qL∈ Mloc（P，G）。信息套利的价值25定理2.4的证明。该定理的第一个断言的效率部分直接来自【AFK16，定理1.12】。

为了证明这一必要性，让我们定义F-停止时间ζx：=inf{t∈ [0，T]：qxt=0}和ηx：=ζx{qxζx->0}+ (+∞)1{qxζx-=0}，对于x∈ E、 假设存在一个集合B∈ beithλ（B）>0，使得P（ηx<+∞) > 0，用于allx∈ B、 根据[Jac85，推论1.11]，它认为ηL=ζL=+∞ a、 s.对于每个x∈ B、 定义鞅Mx=（Mxt）t∈[0，T]通过Mx：=-（1[[ηx，T]]-（1[[ηx，T]]）p），其中（1[[ηx，T]]）p表示过程1[[ηx，T]]的双F可预测预测预测。自L起(Ohm, FT，P）是可分的，[SY78，命题4]保证了a（P（F）的存在 BE）-（1[[ηx，T]]）p的可测版本。由于假设1与[Fon18，命题4.9]一起，存在a（p（F）BE）-可测量过程Hx∈ L（S，F）使得Mx=Hx·S，对于每x∈ E、 [Fon18，命题4.10]证明中使用的相同论点允许证明G-可预测过程HL属于L（S，G），并认为HL·S=ML=（1[[ηx，T）]）px=L。过程（1[[ηx，T）]）px=Lis非负，非递减，它保持eh（1[[ηx，T]]）pTx=Li=ZEEqxT（1[[ηx，T]]）pTλ（dx）=ZEEZTqxu公司-d（1[[ηx，T）]）puλ（dx）=ZEEqxηx-{ηx≤T}λ（dx）>0，其中第二个和第三个等式来自【HWY92，定理5.32-5.33】。这与NUPBR的有效性相矛盾(Ohm, G、 P），从而证明了该定理的第一个断言。假设NUPBR保持不变(Ohm, G、 让我们证明Z={Z/qL}。SinceS公司∈ Mloc（Q，F）和Z是F上Q相对于P的密度过程，Z和Z是F上的局部鞅(Ohm, F、 P）。因此，引理6.1意味着Z/qL∈ Mloc（P、G）和ZS/qL∈Mloc（P，G），表示Z/qL∈ Z、 为了证明Z={Z/qL}，设D=（Dt）t∈[0，T]是Z和（τn）n的任意元素∈将a.s.增加至（Z/qL）τn的Na G停止时间序列∈ M（P，G）和Dτn∈ M（P，G），对于所有n∈ N

对于每个n∈ N、 确定过滤系数=（Gt∧τn）t∈[0，T]和概率测度QG，nandbQnby，dQG，n=ZT∧τn/qLT∧τndP和dbqn=DT∧分别为τndP。它认为Sτn∈ Mloc（QG、n、Gn）∩ Mloc（bQn，Gn）。设N=（Nt）t∈[0，T]∈ M（QG，n，Gn），所以n（Z/qL）τn∈ M（P，Gn）。根据命题2.3和[HWY92，引理13.8]，对于某些γ，它将th保持在N=N+γ·SτN∈ L（Sτn，Gn）。因此，Sτnhas themartingale表示性质为(Ohm, Gn、QG、n）。鉴于[Jac79，推论11.4]（扩展到一个n个平凡的初始西格玛场），该影响在于QG，n=bQn，f或每个n∈ N、 等效YZT∧τn/qLt∧τn=Dt∧τna。s、 ，每t∈ [0，T]和n∈ N、 自停止时间（τN）N起∈九里萨。s、 最后，我们得到了一个消失集的Z/qL=D，从而证明了Z={Z/qL}。现在我们来证明定理的第二部分：（ii）<=> （iii）：这种复制很明显（与[Ame00，引理2.2]相比）。（三）<=> （iv）：需要注意的是，根据引理2.2和公式（6.1），E昆士兰= EqLT{qLT>0}=ZEP（qxT>0）λ（dx）。26 HUY N.CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO FONTANA（三）<=> （v） ：同上，它认为ZTqLT公司= EZTqLT{qLT>0}=ZEE[ZT{qxT>0}]λ（dx）=ZEQ（qxT>0）λ（dx）。自从Q~ P、 对于λ-a.e.x，性质（iii）等于Q（qxT>0）=1∈ E、 从而证明了这一主张。（四）<=> （vi）：引理6.1表示th为1/qL∈ Mloc（P，G）。作为一个严格正的局部鞅，因此是一个超鞅，当且仅当E[1/qLT]=1时，1/ql是一个真鞅。（三）=> （vii）：定义集合B：={x∈ E:P（qxT=0）>0}，λ（B）=0。让N∈ M（P，F）取任意0≤ s≤ t型≤ T，Fs可测集as和有界BE可测函数h:E→ R

根据公式（6.1），我们可以计算：NtqLth（L）1As= ENtqLth（L）1As{qLt>0}=ZEh（x）E[NtAs{qxt>0}]λ（dx）=ZE\\Bh（x）E[NtAs]λ（dx）=ZE\\Bh（x）E[NsAs]λ（dx）=ZEh（x）E[NsAs{qxs>0}]λ（dx）=ENsqLsh（L）1As.由于西格玛场GSI是由形式为h（L）1As的随机om变量生成的，这证明了N/qL∈ M（P，G）。（七）=> （i） ：我们已经知道Z/qL∈ Z、 自Z起∈ M（P，F），属性（vii）表示z/qL∈ M（P，G）。因此，dQG定义的概率测度QGde：=ZT/qLTdP是S on的等效局部鞅测度(Ohm, G、 P）。根据[DS98]，S Saties NFLVR on(Ohm, G、 P）。（一）=> （v） ：我们通过矛盾论证，并明确构建了一个套利机会。假设E[ZT/qLT]6=1。因为Z/ql是(Ohm, G、 P），必须是E[ZT/qLT]<1。定义M=（Mt）t∈[0，T]∈ M（P，G）乘以Mt：=E【ZT/qLT | Gt】，对于所有t∈ [0，T]。根据命题2.3，存在K∈ L（S，G），使Mt=Zt/qLt（M+（K·S）t）a.S.对于所有t∈ [0，T]。注意，（K·S）t=qLtZtMt- M≥ -M≥ -1 a.s.适用于所有t∈ [0，T]，其中最后一个不等式来自于Z/qL的G-超鞅性质。因此，在[DS94]的意义上，策略K是1-可容许的。此外，还发现（K·S）T=1- M≥ 0a。s、 E[M]<1意味着P（（K·s）T>0）>0。这表明K是一个套利机会，因此与NFLVR在(Ohm, G、 P）。6.2. 第3节结果s的证明。我们首先证明了引理3.2和3.4，它们共同提供了可容许投资组合集的完整对偶描述。引理3.2的证明。（i） ：让H∈ {F，G}和（θ，c）∈ 啊，k+（v）。为了简化旋转，让usdenote V：=Vv+k，θ，c，c：=R·cudκuandeC：=R·ZHudCu。

通过分部积分公式（参见[JS03，命题I.4.49]），我们得到了∈ [0，T]，ZHtVt+eCt=ZHtv+k+（θ·S）t- ZHtCt+ZtZHudCu=ZHtv+k+（θ·S）t-（C）-· ZH）自ZH起∈ Mloc（P，H）和ZHS∈ Mloc（P，H），这意味着ZHV+eC是sigma鞅(Ohm, H、 P）（参见，例如，【Fon15，引理4.2】）。由于非负，它也是信息套利27的一个超级大赢家（参见[Kal04，命题3.1]）。为了证明（θ，c）∈ 啊，ksm（v），还有待证明∈ L（P）。类似于[CCFM17，引理1]，let（τn）n∈Nbe C的H停止时间本地化序列-· 中弘∈ Mloc（P，H）。那么，对于每n∈ N、 它保持V+k≥ EZHT公司∧τnv+k+（θ·S）T∧τn≥ EZHT公司∧τnCT∧τn= EZT公司∧τnCu-dZHu+ZT∧τnZHudCu,其中，我们使用了ZH（v+k+θ·S）的超鞅性质和分部积分。自（C）起-· ZH）τn∈ M（P，H），对于所有n∈ N、 单调收敛定理得出v+k≥ 画→+∞E发射型计算机断层扫描仪∧τn= E发射型计算机断层扫描仪.Conver sely，let（θ，c）∈ 啊，ksm（五）。根据定义，ZHVv+k、θ、c+R·Zucudκuis过程是(Ohm, H、 P）。因此，对于所有t∈ [0，T]，ZHtVv+k，θ，ct+ZtZHucudκu≥ EZHTVv+k，θ，cT+ZTZHucudκuHt公司≥ EZTZHucudκuHt公司,所以ZHtVv+k，θ，ct≥ E【RTtZHucudκu | Ht】≥ 0。这表明Vv，θ，ct≥ -k a.s.适用于所有t∈ [0，T]，从而提供（θ，c）∈ 啊，k+（v）。（ii）：引理2.2与[Jeu80，命题2.1]一起意味着L（S，F） L（S，G），f，其中包含AF，k+（v） AG，k+（v）紧随其后。反过来，在引理的第（i）部分中，这意味着AF，ksm（v） AG，ksm（v）。现在让我们来看引理最后一个断言的证明。首先假设E[1/qLT]6=1，或等效地，E[ZT/qLT]6=1（见定理2.4）。

由于Z/qLis是一个三次正局部鞅(Ohm, G、 P）（见引理6.1），必须是E[ZT/qLT]<1和Z/qL/∈ M（P，G）（即Z/qLis astrict局部鞅）。考虑这对（0，0）∈ AF，km（1），生成定值过程v1,0,0=1。自ZGV1,0,0=Z/qL/∈ M（P，G），这表明（0，0）/∈ AG，km（1），从而提供AF，km（1）*AG，km（1）。相反，假设E[1/qLT]=1，let（θ，c）∈ AF，km（v）。让u s表示V：=Vv+k，θ，candeC：=R·ZFucudκu，并注意E“eCTqLT#=E”eCTqLT{qLT>0}#=ZEEeCT{qxT>0}λ（dx）=E发射型计算机断层扫描仪< +∞,其中，我们使用了公式（6.1）和等价物（iii）<=>（iv）定理2.4。同样根据Theorem2.4，它认为1/qL∈ M（P，G）。因此，取1/qLT的G-可选投影（参见，例如，[HWY92，定理5.16]），我们可以为所有t∈ [0，T]，E“eCTqLTGt#=E“ZTtqLTdeCu+eCtqLTGt#=EZTTQLUDEC公司燃气轮机+eCtqLt=EZTqLudeCu燃气轮机-ZtqLudeCu+eCtqLt，因此表明EC/qL-R·（1/qLu）deCu∈ M（P，G）。自（θ，c）起∈ AF，km（v），它认为ZFV+eC∈M（P，F）。根据定理2.4，E[1/qLT]=1的事实意味着（ZFV+eC）/qL∈ M（P，G）。28 HUY N.CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO Fontana根据部件积分公式，我们得到了thatZGtVt+ZtZGudCu=Zftvqlt+ZtqLudeCu=ZFtVt+eCtqLt-eCtqLt+ZtqLudeCu，适用于所有t∈ [0，T]。这证明了ZGV+R·ZGucudκu∈ M（P，G），所以（θ，c）∈ AG，km（v）。引理3.4的证明。CH，k+（v）=CH，ksm（v）这一事实是引理3.2第（i）部分的直接结果。如果是c∈ CH，k+（v），则存在θ∈ L（S，H）使得（θ，c）∈ AH，k+（v）=AH，ksm（v）（见引理3.2）。因此，由于过程ZHVv+k，θ，c+R·ZHucudκuan的超马氏性，以及Vv，θ，cT≥ 0 a.s.，它保持V+k≥ EZHTVv+k，θ，cT+ZTZHucudκuH≥ EkZHT+ZTZHucudκuH,所以E[RTZHucudκu | H]≤ v+k（1-E[ZHT | H]）a.s.相反，设C：=R·cudκu，并假设E[RTZHudCu | H]≤ v+k（1-E【ZHT | H】）a.s。

考虑进程bv=（bVt）t∈[0，T]由BVT定义：=v+ZHtCt-ZTZUDCU+EZTZHudCuHt公司- EZTZHudCuH+ k1.- E【ZHT | H】+E【ZHT | Ht】- ZHt公司,对于所有t∈ [0，T]。过程bv被定义为Mloc的一个元素（P，H）。作为假设1（以及命题2.3，在H=G的情况下）的结果，存在ψ∈ L（S，H）使得BVT=ZHtv+（ψ·S）ta、 s.适用于所有t∈ [0，T]。过程Vv+k，ψ，c=（Vv+k，ψ，ct）t∈与对（ψ，c）相关的[0，T]满足zhtvv+k，ψ，ct+ZtZHudCu=v+k+EZTZHudCuHt公司- EZTZHudCuH+ kE【ZHT | Ht】- E【ZHT | H】a、 s.适用于所有t∈ [0，T]。通过构造，它认为ZHTVv，ψ，cT≥ 0 a.s.这表示（ψ，c）∈ AH，km（v） 啊，k+（v）（见引理3.2），从而证明了c∈ CH，k+（v）。断言（ii）后面是类似的论点，使用s et CH，km（v）的定义，并用鞅性质替换上鞅性质。还有待证明（3.3）。自AH起，km（v） 啊，k+（v），很明显，呃，k（v）≥ 嗯，公里（v）。为了克服逆不等式，让c∈ CH，k+（v）。根据引理的第（i）部分，它认为e[RTZHucudκu | H]≤ v+k（1-E[ZHT | H]）a.s.定义H-可测非负随机变量v：=v+k（1- E【ZHT | H】）- E【RTZHucudκu | H】和定义▄c=（▄ct）t∈[0，T]∈ O+（H）乘以▄ct：=ct+▄vZHtE[κT | H]，对于所有T∈ [0，T]。通过构造，它认为E[RTZHucudκu | H]=v+k（1-E【ZHT | H】）a.s.，因此▄c∈ CH，km（v）。此外，对于每t∈ [0，T]，我们有P（~ct≥ ct）=1，当且仅当ifc时，P（~ct>ct）>0/∈ CH，km（v）。由于假设U在不断增加（假设3.3），这意味着EZTU（u，cu）dκu≤ EZTU（u，~cu）dκu,严格不等式条件下信息套利的价值当且仅当c/∈ CHm（v）。由c的任意性∈ CH，k+（v），我们有uH，k（v）≤ km（v），从而证明了等式（3.3）。我们现在可以证明命题3.6。

尽管证明遵循了一个众所周知的主题，但为了方便读者，我们给出了全部细节。命题3.6的证明。在当前假设下，过程cH=（cHt）t∈[0，T]satifiese[RTZHucHudκu | H]=v+k（1-E[ZH | H]）a.s.，以便∈ CH，km（v），引理3.4。考虑任意消耗过程c∈ CH，km（v）。根据U的凹度（假设3.3），它认为U（t，cHt）≥ U（t，ct）+U′（t，cHt）（cHt- ct）=U（t，ct）+∧H（v）ZHt（cHt- ct），每t∈ [0，T]。因此，EZTU（u，cHu）dκuH≥ EZTU（u，cu）dκuH+ ∧H（v）EZTZHucHudκuH- ∧H（v）EZTZHucudκuH= EZTU（u，cu）dκuH,式中，等式来自以下事实，根据引理3.4的第（ii）部分，v+k1.- E【ZHT | H】= EZTZHucHudκuH= EZTZHucudκuHa、 这一主张是由c的任意性引起的∈ CH，km（v）以及引理3.4中的等式（3.3）。推论3.10的证明。根据命题3.6，为了计算uH，k（v），有必要明确找到满足方程（3.4）的H-可测随机变量∧H，k（v）。注意，无论何时存在，随机变量∧H，k（v）都是唯一确定的（直到P-nullset）。（i） ：如果U（ω，t，x）=log（x），那么i（ω，t，y）=1/y，对于所有（ω，t，y）∈ Ohm ×【0，T】×（0+∞). 因此，方程（3.4）可以显式求解，它认为∧H，k（v）=E[κT | H]/（v+k（1-E【ZHT | H】）。根据命题3.6，最优解cH=（cHt）t∈[0，T]由cht=∧H，k（v）ZHt=v+k（1）给出- E【ZHT | H】）ZHtE【κT | H】，对于所有T∈ [0，T]。在推论中所述的可积性假设下，可通过简单的计算获得（3.5）给出的最佳预期效用uH，k（v）。注意，（3.5）右侧的前两项始终是有限的，这是κT.（ii）有界性的结果：如果U（ω，T，x）=xp/p，那么I（ω，T，y）=y1/（p-1） ，对于所有（ω，t，y）∈ Ohm ×【0，T】×（0+∞).