信息套利的价值

换言之，当且仅当没有套利机会时，最优预期效用不取决于允许的杠杆率(Ohm, H、 P；S） 。为此，另见备注3.7。我们现在可以导出最优消费投资问题（3.1）-（3.2）的一般解。与[Ame00，ABS03]类似，我们依赖于对偶方法。然而，由于我们设定的套利机会可能存在，我们必须依赖ELMDs而不是鞅测度（与[KS98，第3章]和[FR13]相比）。由于效用随机场U的严格凹性和连续可微性（见假设3.3），存在唯一的随机场I=I（ω，t，y）：Ohm ×【0，T】×（0+∞) → (0, +∞ ) 使得U′（ω，t，I（ω，t，y））=y，对于所有（ω，t，y）∈ Ohm ×【0，T】×（0+∞). 根据假设3.3，对于每个严格积极的可选过程（Yt）t∈[0，T]，它认为（I（ω，T，Yt（ω）））T∈[0，T]∈ O+（H）。提案3.6。让H∈ {F，G}，k∈ R+和v≥ -k（1- kE[ZHT | H]k∞) =: vHk。假设存在一个H-可测的随机变量∧H，k（v）：Ohm → (0, +∞) 使（3.4）EZTZHuI公司u、 ∧H，k（v）ZHudκuH= v+k1.- E【ZHT | H】a、 使过程（I（t，λH，k（v）ZHt））t∈[0，T]令人满意-（u，I（u，λH，k（v）ZHu））dκu∈ L（P）。然后，最优消费过程cH=（cHt）t∈[0，T]对于所有T∈ [0，T]。可以很容易地表明，如果uH，k（v）<+∞, 那么，U的严格凹性意味着最优消费过程cH=（cHt）t∈[0，T]对a（dκ）是唯一的 P） -空集。

关联最优交易策略θH∈ L（S，H）由局部鞅M=（Mt）t的鞅表示（见命题2.3）中出现的被积函数给出∈[0，T]打开(Ohm, H、 P）定义Mt：=E【RTtZHucHudκu | Ht】+ZHtRtcHudκu+k（E【ZHT | Ht】-ZHt），适用于所有t∈ [0，T]。还请注意，如果NFLVR保持不变，则最佳解决方案不取决于允许的杠杆k(Ohm, H、 P；S） 。数量vHk=-k（1-kE[ZHT | H]k∞) 在提案3.6中引入了一个明确的经济解释。实际上，它代表了代理人在t=0时可以开始的最大负债额。如果v=vHk，则代理人可以通过借入kkE【ZHT | H】k的金额开始交易∞,因此，耗尽了他的信贷额度，并投资于复制持续支付的自我融资策略。该策略确保在T日全额偿还所有债务，并要求在T=0时投资kE【ZHT | H】（见定理2.4的证明）。剩余资源k（kE[ZHT | H]k∞-E【ZHT | H】）可能用于资助消费。对于v<vHk，不存在能够完全确保代理人免于其责任的策略，因此CH，k+（v）=.备注3.7。让0≤ 对于某些v，假设存在满足（3.4）的两个H-可测随机变量∧H，k（v）和∧H，k（v）≥ vHk。由于P（κT>0 |σ（L））>0 a.s.，可以显示∧H，k（v）≥ ∧H，k（v）a.s.，严格不等式保持在{E[ZHT | H]<1}。为了便于记法，我们省略了在随机领域I.12中对ω的依赖性。HUY N.CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO Fontana表示，在存在套利的情况下，更深的信贷额度会产生更高的消费率。就内部而言，这意味着，如果E【ZHT】<1，则uH，k（v）在k中严格增加（另见备注3.5）。备注3.8。

用ifRTZHuI（u，yZHu）dκu证明了H-可测随机变量∧H，k（v）解方程（3.4）的存在性∈ L（P），对于所有y>0。这对应于预期效用最大化理论中的一个经典条件（例如，参见[KLSX91，KS98]和[Ame00，引理5.2]）。备注3.9。pr ob lems（3.1）-（3.2）的结构以及本节的结果表明，如果存在F停止时间τ，则κτ=κTa。s、 ，则可放宽假设2-3，且仅假设保持[[0，τ]]。特别是，这允许考虑假设2保持[0，T），但在最终日期T失败的情况（例如，当L是一个可测量的连续随机变量，在这种情况下，在日期T财富的预期效用最大化问题在G中没有解，请参见[PK96，GP98，AIS98]）。3.3. 明确的解决方案。在本节中，我们推导了对数、幂和指数效用函数情况下最优消费投资问题的显式解。除了中间消费之外，本节还将[ABS03，推论4.7]概括为内幕信息可以产生套利机会的情况。第4节将使用本节的结果明确计算信息套利的价值。推论3.10和3.12本身可能会有一些兴趣，因为它们在存在非平凡初始信息和杠杆的情况下，为允许套利机会的一般完整金融市场中的最优投资组合问题提供了合法的解决方案。推论3.10。让H∈ {F，G}，k∈ R+和v>vHk。

对数和幂效用函数的最优预期效用问题（3.1）明确给出如下：（i）设U（ω，t，x）=log（x），对于所有（ω，t，x）∈ Ohm ×【0，T】×（0+∞).IfRTlog（1/ZHu）dκu∈ L（P），然后（3.5）uH，k（v）=E日志v+k（1- E【ZHT | H】）κT- E日志E[κT | H]κT+ EZTlog公司朱先生dκu.（ii）设U（ω，t，x）=xp/p，对于某些p∈ （0，1），对于所有（ω，t，x）∈ Ohm ×【0，T】×（0+∞).如果E[RT（ZHu）p/（p-1） dκu | H]<+∞ a、 s.，然后（3.6）uH，k（v）=pE“v+k（1- E【ZHT | H】）体育课ZT公司朱先生聚丙烯-1dκuH1.-p#和uH，k（v）<+∞ 如果E[RT（ZHu）pp-1dκu | H]1-p∈ L（P）。观察最优预期效用不依赖于k，当且仅当(Ohm, H、 P；S） ，符合备注3.5。另一方面，在存在套利的情况下，最优预期效用在k中严格增加，这反映了在套利策略中采取更多杠杆头寸可以为更高水平的消费融资的事实。信息套利的价值13备注3.11。考虑经典设置，其中dκu=δT（du），u（ω，T，x）=log（x），对应于终端财富预期对数效用的最大化。假设ug，k（v）<+∞, 对于一些k∈ R+和v>0。推论3.10则意味着ug，k（v）- uF，k（v）=E日志v+k（1- E【ZGT | G】）+ E日志1/ZGT- 日志（v）- E日志1/ZFT= E日志1+kv1.- Q（qxT>0）x=L+ E日志（qLT）,（3.7）用允许的杠杆k表示知情代理人的效用收益。该结果推广了[AIS98，定理3.7]，其中关系式（3.7）是在密度qxare a.s.严格正且连续（且k=0）的附加假设下得出的。

还要注意UG，k（v）- uF，k（v）≥ uG，0（v）- uF，0（v）≥ -日志（E【1/qLT】）≥ 根据定理2.4，这表明，如果L表示的内部信息允许在(Ohm, G、 P；S） 。此外，如第5.1-5.2节所述，如果L是一个离散的可测量随机变量，且k=0，则知情代理人的效用收益等于L的熵，即[对数（qLT）]=-二甲苯∈EP（L=x）对数（P（L=x））。现在让我们考虑一下指数偏好的情况。即使指数效用不满足假设3.3（0 f故障时的Inada条件），最优消耗过程的特征也可以类似于命题3.6。下一个推论可以看作是[CH89，定理2.4]的半鞅版本（也可以参见离散时间设置中的[MW12，定理3.2]）。推论3.12。让H∈ {F，G}，k∈ R+和v>vHk。假设U（ω，t，x）=-e-αx，对于所有（ω，t，x）∈ Ohm ×【0，T】×R+，对于α>0。然后，问题（3.1）中的最优预期效用由（3.8）uH，k（v）=-αEZT公司∧H，k（v）ZHu∧ αdκu,其中，H-可测随机变量∧H，k（v）是方程（3.9）αE“ZTZHu）的a.s.唯一解日志α∧H，k（v）ZHu+dκuH#=v+k1.- E【ZHT | H】.方程3.9可以在一些简单模型中显式求解。特别是，如果dκu=δT（du）和k=0，一个有效条件是log（ZHT）≤ E[ZHTlog（ZHT）| H]/E[ZHT | H]a.s.如果Q=P和L是一个离散的FT可测随机变量，则后一个条件总是满足的，在(Ohm, G、 P；S） （也可与第5.1-5.2节中给出的示例进行比较）。4、内幕信息的效用无差异价值根据上一节的结果，我们现在可以研究和计算内幕信息的价值，这有可能使知情代理人获得套利机会。

受[ABS03]的启发，我们引入以下定义。定义4.1。对于k∈ R+和v>0，内部信息的效用差异值定义为一个解π=πU，k（v）∈ R+下式：（4.1）uF，k（v）=uG，k（v- π).14 HUY N.CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO FONTANAAs在导言中解释道，πU，k（v）的值表明投资者在两种选择中是不同的：（i）根据公开信息对初始总财富v进行最佳投资；（ii）以πU，k（v）的价格获取内幕信息L，并对剩余财富v进行最佳投资-πU，k（v），可能利用L的知识产生的套利。内部信息L允许投资者实现套利，如第5节的示例所述，那么我们将数量πU，k（v）称为信息套利的差异值。效用差异值πU，k（v）存在，并且在最优消费投资问题的自然假设下是唯一的，只要知情代理人的预期效用最大化问题是适定的（即，它不会导致有限效用）。定理4.2。假设uF，0（v）>-∞, 对于每一个v>0，并且每k满足命题3.6的假设∈ R+，v>VHK和H∈ {F，G}。进一步假设ug，k（v）<+∞, 对于某些v>vGk。然后，对于每一个v>0，以下保持不变：（i）如果limwvGkuG，k（w）<uF，0（v），则效用差异值πU，k（v）存在且唯一。（ii）地图k 7→ πU，k（v）严格增加i f，且仅当E[1/qLT]<1时。（iii）如果re（E[RT{qxt=0}dκt]+kP（qxt=0））λ（dx）>0，那么它总是认为πU，k（v）>0。上述定理第（i）部分中出现的条件在没有平均值的情况下总是满足的（即，如果k=0）。

实际上，∧G，0（0）：=limw0∧G，0（w）通过单调性存在（参见第6.3节中给出的第4.2条的证明），其值为（0+∞]. 通过I（ω，t，·）的连续性和支配收敛，条件（3.4）给出ZTZGuIu、 ∧G，0（0）ZGudκuG= 因此，回顾I（ω，t+∞) := 石灰→+∞I（ω，t，y）=0，对于所有（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]，作为INDA条件的一个序列（见假设3.3），它必须保持∧G，0（0）=+∞ a、 根据命题3.6和反法图引理，这意味着，对于每一个v>0，limw0uG，0（w）=limw0EZTU公司u、 I（u，∧G，0（w）ZGu）dκu≤ EZTU公司u、 I（u，∧G，0（0）ZGu）dκu= EZTU公司u、 0个dκu< EZTU公司u、 vE[κT]ZFudκu≤ uF，0（v），其中我们使用了一个事实，即消费过程（v/（e[κT]ZFt））T∈[0，T]是严格正的，属于CF，0+（v）（见引理3.4）。另一方面，如果k>0，则条件limwvGkuG，k（w）<uF，0（v）可能不一定成立，因为杠杆和风险的组合可能性可能导致知情代理始终优于未知情代理，即使从t=0的负债头寸开始。在这种情况下，初始财富为v的代理人更愿意以不超过v的任何价格获取内幕信息- vGk。另请注意，假设uF，0（v）>-∞, 对于每一个v>0，如果效用随机场U由实值函数从下方限定（特别是，如果U是确定性的），则始终保持不变。信息套利的价值15定理4.2的一个含义是，无论内部信息L产生套利，那么信息套利的差异价值在允许杠杆k中严格增加。

经济直觉是，如果有机会获得更深的信贷额度，informedagent可以在套利策略中占据更多的杠杆头寸，从而产生套利利润，套利利润可以扩大到允许的杠杆限度。反过来，这使知情代理人能够为更高水平的消费融资。注意，如果k>0，则可能发生πU，k（v）>v。条件re（E[RT{qxt=0}dκt]+kP（qxt=0））λ（dx）>0意味着知情机构可以为任何消费计划提供资金c∈ CF，km（v），成本小于v，利用剩余资源增加消耗。这是可能的，因为知情代理人不需要在与观察到的L实现不兼容的状态下为消费融资。特别是，假设P(κT>0）=1（或k>0），且P（qxT=0）>0，对于属于λ（B）>0的某个setB的所有x。这对应于这样一种情况，即在终止日期T，财富的权重为严格正，随机变量L产生套利（见定理2.4）。在这种情况下，定理4.2的第（iii）部分意味着信息套利的差异值总是严格正的：投资者总是愿意付出严格正的价格来了解内幕信息，而不管具体的偏好结构如何。在适当的可积条件下，定理4.2的结论始终适用于第3.3节中考虑的效用函数。这使我们能够在对数和幂效用函数的k=0的情况下，获得内幕信息L效用差异值的显式表达式，如下一个命题所示，该命题将[ABS03，定理5.3]推广到内幕信息收益率套利机会和中间消费的情况。提案4.3。假设k=0。

然后，内部信息l的效用差异值明确给出如下：（i）让U（ω，t，x）=log（x），对于所有（ω，t，x）∈ Ohm ×【0，T】×（0+∞).IfRTlog（qLu/Zu）dκu∈ L（P），那么，对于每v>0，（4.2）πlog（v）=v1.- 经验值E[κT]χG- χF- EZTlog（qLu）dκu,其中χH：=E[对数（E[κT | H]）κT]，对于H∈ {F，G}。（ii）设U（ω，t，x）=xp/p，对于某些p∈ （0，1），对于所有（ω，t，x）∈ Ohm ×【0，T】×（0+∞).如果E[RT（Zu/qLu）pp-1dκu |σ（L）]1-p∈ L（P），那么，对于每v>0，（4.3）πpwr（v）=v1.-ERTZpp-1udκu1.-ppE“ERT（Zu/qLu）pp-1dκuG1.-第1页/页.通常，对于k>0，内部信息的效用差异值不能以对数和幂首选项的显式形式计算，如（3.5）-（3.6）所示。然而，从推论3.10来看，当随机变量k E[ZT/qLT | G]是a.s.常数，或者等效地，当k Q（qxT>0）不依赖于定理4.2的x.16 HUY N.CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO FONTANAby第（ii）部分时，可以获得效用差异值的完全明确表示，公式（4.2）和（4.3）分别表示对数和幂效用函数k>0时内部信息差异值的下限。命题4.3给出了对数和幂效用函数情况下信息套利价值的几个有趣结果。特别是：o如果ree[RT{qxt=0}dκt]λ（dx）>0，则πlog（v）和πpwr（v）始终严格地相对于v递增。该性质是定理4.2和d公式（4.2）-（4.3）的直接结果。

换言之，信息套利的价值相对于初始财富严格增加，这与CRRA公用事业公司的[LPS10]分析一致在对数效用的情况下，当偏好定义为中间消费而非仅为长期最终财富时，差异值πlog（v）较低，这证实了[LPS10]的经验结果。这是根据观察得出的结论ZTlog（qLu）dκu≤ EZTlog（qLT）dκu= E对数（qLT）κT,其中，不等式后面是log（qLT）的G-可选投影，并注意到，通过Jensen不等式和1/qL的G-超鞅性质，E日志（qLT）| Gt≥ 日志E【1/qLT | Gt】-1.≥ 所有t的日志（qLt）a.s∈ [0，T]。oJensen不等式在凸函数x 7中的应用→ x log x表示术语χG-（4.2）中出现的χf是非负的，χG=χFif，并且只有当E[κT |σ（L）]=E[κT]a.s.反过来，这意味着如果内部信息L对κT有预测能力，那么差异值πlog（v）低于L对κT没有预测能力的情况。虽然这一结果乍一看似乎违反直觉，但可以用偏好特征来解释。我们可以将κT（ω）视为ω状态下[0，T]上的消耗分配给效用的总重量。根据对数效用最优消耗过程的特殊结构（见推论3.10的证明），如果P（E[κT |σ（L）]6=E[κT]>0，则知情代理在ω状态下消耗更多，而ω状态更有可能加权更少，反之亦然。然而，由于风险厌恶，代理人会先验地倾向于在不同的状态下平滑消费。这直观地解释了为什么L对κT的预测能力降低了信息的差异值。注意，χG=χFifκ是确定性的，就像终端财富的效用一样。备注4.4。