信息套利的价值

根据命题3.6，H-可测随机变量∧H，k（v）必须解ZT（朱）pp-1.∧H，k（v）p-1dκuH= v+k1.- E【ZHT | H】.因此，如果E[RT（ZHu）p/（p-1） dκu | H]<+∞ a、 那么我们有∧H，k（v）=v+k（1- E【ZHT | H】）p-1E级ZT（朱）pp-1dκuH1.-p、 30 HUY N.CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO FONTANABy p Proposition 3.6，相应的最优消费过程cH=（cHt）t∈[0，T]由cht=（λH，k（v）ZHt）1/（p）给出-1） ，对于所有t∈ [0，T]。如果E[RT（ZHu）p/（p-1） dκu | H]1-p∈ L（P），则最佳预期效用uH，k（v）是有限的，可以如（3.6）所示明确计算。推论3.12的证明。我们首先表明，对于everyv>vHk，方程（3.9）允许a.s.唯一解。为此，我们定义了H-可测量函数g：Ohm × (0, +∞) → R+byg（λ）：=αE“ZTZHu日志αλZHu+dκuH#，对于λ∈ (0, +∞).注意，g定义良好，因为g（λ）=αEZTZHulog公司αλZHu{朱≤α/λ}dκuH≤E[κT | H]λ<+∞ a、 显然，g是一个递减函数。此外，支配收敛定理表明g是连续的。再次通过控制收敛，它认为limλ→+∞g（λ）=0 a.s，Fatou引理的一个前瞻性应用产生limλ↓0g（λ）=+∞ a、 此外，对于所有0<λ′<λ<+∞, 它认为{g（λ）>0}上的g（λ′）>g（λ）a.s。通过矛盾论证，如果H-可测s et Gλ，λ′：={G（λ）=G（λ′），G（λ）>0}具有严格的正概率，则日志αλ′ZHu+-日志αλZHu+!dκuGλ，λ′上的H#=0。然而，由于log（α/（λ′ZHu））>log（α/（λZHu）），对于所有u∈ [0，T]，这与g（λ）>0的假设相矛盾。鉴于这些观察结果，v+k（1-E[ZHT | G]（ω））∈ {g（λ）（ω）：λ∈ (0, +∞)} 论坛。a、 ω∈ Ohm. 因此，根据[Ben70，引理1]，方程（3.9）允许一个唯一的严格正H可测解∧H，k（v），对于每一个v>vHk。在滥用符号的情况下，让U（x）：=-e-αx，对于x∈ R+，I（y）：=（1/α）（对数（α/y））+，对于y∈ (0, +∞).

可以很容易地检查（6.3）supx∈R+U（x）- xy型= UI（y）- yI（y），对于所有y>0。然后让我们定义消费过程cH=（cHt）t∈[0，T]bycHt：=α日志α∧H，k（v）ZHt+, 对于所有t∈ [0，T]，注意E[RTZHucHudκu | H]=v+k（1- E【ZHT | H】）a.s.，以便cH∈ CH，km（v）。考虑任意消费过程c=（ct）t∈[0，T]∈ CH，km（v），并注意到，由于（6.3），U（cHt）≥ U（ct）+∧H（v）ZHt（cHt- ct），对于所有t∈ [0，T]。在命题3.6的证明中采用的相同论点可以得出结论，CHI是最佳消费过程。公式（3.8）通过直接计算得出。信息套利价值316.3。第4节结果的证明。定理4.2的证明。（i） ：由于U的凹度（见假设3.3），假设ug，k（v）<+∞ 对于某些v>vgk意味着函数uG，kis是凹的，而uG，k（v）<+∞,对于所有v≥ vGk。引理3.2认为uG，k（v）≥ uF，k（v）=uF，0（v）>-∞, 对于每v>0。因此，对于每一个v>0，如果函数uG，kis连续，严格递增且满足limwvGkuG，k（w）<uF，0（v），则方程（4.1）允许唯一的非负解πU，k（v）。在目前的假设下，uG、Ksaties这些属性。实际上，通过凹度，函数uG，kiscontion（vGk+∞). 此外，根据条件（3.4），我们得到，y v>vgk，δ>0，EZTZGu公司我u、 ∧G，k（v+δ）ZGu- 我u、 ∧G，k（v）ZGudκuG= δ、 对于一些G-可测随机变量∧G，k（v+δ）和∧G，k（v）。由于ZG>0且I（ω，t，·）急剧减小，对于每一个（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]，这意味着∧G，k（v+δ）<∧G，k（v）a.s。回顾uG，k（v）=E[RTU（u，I（u，G，k（v）ZGu））dκu]，根据命题3.6，这意味着uG，kis严格增加。（ii）：如果E[1/qLT]<1，则E[ZGT]<1（见定理2.4）。

如备注3.7（w ithH=G）中所述，这需要在k 7处进行th→ uG，k（v）呈快速增加趋势。反过来，从定义4.1来看，这意味着k 7→ πU，k（v）不断增加，y v＞0。相反，如果映射k 7→ πU，k（v）是严格递增的，那么对于每一个v>vGk，它必然保持uG，k（v）>uG，0（v）。鉴于备注3.5和定理2.4，这意味着E[1/qLT]<1。（iii）：它必须表明，对于所有k，ifRE（E[RT{qxt=0}dκt]+kP（qxt=0））λ（dx）>0保持，则ug，k（v）>uF，0（v）∈ R+和v>0。在目前的假设下，根据表3.4，存在一对（θF，cF）∈ AF，0m（v），使cf解决问题（3.1）（H=F）。引理3.2认为（θF，cF）∈ AF，公里（v） AG，ksm（v），因此m：=EZTZGucFudκu+kZGTG≤ 通过公式（6.1），可以显式地计算G-可测随机变量mca。的确，leth:E→ 是一个任意的可测有界函数。ThenE公司h（L）ZTZGucFudκu+kZGT=ZEh（x）EqxTZTZFuqxu{qxu>0}cFudκu+kZFT{qxT>0}λ（dx）=ZEh（x）EZTZFu{qxu>0}cFudκu+kZFT{qxT>0}λ（dx），其中第二个等式来自【HWY92，定理5.32】。因此，我们知道M=E[RTZFu{qxu>0}cFudκu+kZFT{qxT>0}]x=La。s、 因为过程Cf是严格阳性的（dκP） -a.e.（作为假设3.3的结果），条件re（e[RT{qxt=0}dκt]+kP（qxt=0））λ（dx）>0意味着P（M<v+k）>0。然后确定O（G）-可测量过程^c=（^ct）t∈[0，T]by^ct：=cFt+v+k- MZGtE[κT | G]，对于所有T∈ [0，T]。32 HUY N.CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO Fontanasimily在引理3.4的证明的最后一部分，它认为^c∈ 重心，km（v）。此外，由于每t的P（^ct>cFt）>0∈ [0，T]，我们有thatuG，k（v）≥ EZTU（u，^cu）dκu> EZTU（u，cFu）dκu= uF，k（v），从而完成证明。命题4.3的证明。

结果来自推论3.10中获得的最优期望的显式表达式。更具体地说，考虑到方程式（3.5），第（i）部分通过求解πlog（v）方程式0=uF（v）- uG公司v- πlog（v）= 对数（v）E[κT]- 日志E[κT]E[κT]+EZTlog公司祖dκu- 日志v- πlog（v）E[κT]+E日志E[κT | G]κT-EZTlog公司qLuZu公司dκu.类似地，根据方程式（3.6），定理的第（ii）部分随后通过求解方程式0=uF（v）- uG公司v- π压水堆（v）=vppEZT（Zu）pp-1dκu1.-p-v- π压水堆（v）ppE“EZT公司Zu/qLu聚丙烯-1dκuG1.-p#。定理4.5的证明。首先请注意，由于U是凹的，Jensen不等式和假设s∈ Mloc（P，F）意味着对于每个效用函数U，uF，k（v）=U（v）∈ U和（k，v）∈ R+。（一）=>（ii）：设U是U，k的任意元素∈ R+和v>0。考虑消费过程cg=（cGt）t∈[0，T]由cGt=v1{T=T}给出，对于T∈ [0，T]。因为dκu=δT（du），P（qLT=q）=1，q≥ 引理3.4表示cG∈ 重心，公里（（v+k）/q- k） 。因此，我们得到了thatuG，k（（v+k）/q- k）≥ EU（cGT）= U（v），每v>0。另一方面，根据Jensen不等式，对于任何消费过程c∈ CG，k+（（v+k）/q-k） ，我认为U（cT）≤ UE[cT]= Uq EcT/qLT≤ Uq（（v+k）/q-k+k- k/q）= U（v），其中第二个不等式来自引理3.4的（i）部分，因为Q=P，dκU=δT（du）。因此，我们证明了uG，k（（v+k）/q- k） =U（v）=uF，k（v），对于每个U∈ U、 因此，假设（ii）成立，差值πk（v）如（4.4）所示。（二）=>（iii）：在（ii）中取k=0，这是一个简单的应用。（三）=>（i） ：考虑效用函数U（x）=log（x）和U（x）=xp/p，对于p∈ (0, 1). ForH公司∈ {F，G}和i∈ {1，2}，用uH，0i（v）表示对应的期望最大化问题（3.1）的值函数，对于v>0且k=0。

假设f或每v>0，存在一个值π（v），使得uG，0i（v-π（v））=uF，0i（v）=Ui（v），对于i∈ {1，2}和所有p∈ (0, 1). 特别是，这一影响在于uG，0i（v- π（v））<+∞, 对于i∈ {1，2}，π（v）=πlog（v）=πpwr（v），所有p的信息套利值33∈ （0，1），使用命题4.3中引入的符号。因此，命题4.3的假设是满足的，根据公式（4.2）-（4.3），它认为expE日志（qLT）= EEh（qLT）p1-pGi1-p1/p，适用于所有p∈ (0, 1). 根据Jensen不等式，它认为exp（E[log（qLT）]）≤ E[昆士兰]。另一方面，函数x 7→ x1/（1）-p） 是凸的，根据Jensen不等式，EEh（qLT）p1-pσ（L）i1-p1/p≥ EhE公司（qLT）pGi1/p=E（qLT）p1页。我们已经证明了（qLT）p1/p≤ EEh（qLT）p1-pGi1-p1/p≤ E[qLT]和E[（qLT）p]1/p<+∞, 对于所有p∈ (0, 1). 因此，E[E[（qLT）p1-p |σ（L）]1-p] 1/p接近E【qLT】asp→ 反过来，这意味着V1.- e-E[日志（qLT）]= πlog（v）=πpwr（v）=v1- EEh（qLT）p1-pGi1-p-1/p！→ v1.-E[昆士兰]作为p→ 因此，它认为E[log（qLT）]=log（E[qLT]）。从函数x 7开始→ 对数（x）是严格凹的，这意味着存在一个严格的正常数q，使得P（qLT=q）=1。事实上，q≥ 1自E【1/qLT】起≤ 1，根据1/qLon的supermartingale属性(Ohm, G、 P）。结果表明，在条件（i）、（ii）或（iii）下，问题（3.1）中的最优财富过程H=G，表示为VG=（VGt）t∈[0，T]如（4.5）所示。证明第一部分中构建的最佳消费计划CG属于CG，km（（v+k）/q- k） 。因此，vq=EcGTqLT燃气轮机=VGt+kqLt- EkqLT公司燃气轮机=VGt+kqLt-kqa。s、 尽管如此，t∈ [0，T]，其中第二个等式来自于集合CG的定义，km（（v+k）/q- k） 。命题4.8的证明。

与定理4.5的证明类似，对于每一个U∈ U、 k级∈ R+和v≥ 0、消耗过程cG=（cGt）t∈[0，T]由cGt=v1{T=T}定义，对于T∈ [0，T]，属于CG，k+（（v+k）/qmin-k） 。实际上，在目前的假设下，我认为E[（v+k）/qLT | G]≤ （v+k）/Q最小值。s、 因此，对于所有k∈ R+和v>0，我们有thatuF，k（v）=U（v）=E[U（cGT）]≤ uG，k（（v+k）/qmin- k） ，这意味着v- πU，k（v）≤ （v+k）/qmin- k、 从而得出（4.6）中的第一个不等式。然后考虑任意消耗过程c=（ct）t∈[0，T]∈ CG，k+（（v+k）/qmax- k） 。ByJensen不等式认为e[U（cT）]≤ U（E[cT]）≤ UQ轴cTqLT公司≤ U（v）=uF，k（v），其中第三个不等式来自引理3.4。根据c的任意性，这意味着ug，k（（v+k）/qmax- k）≤ uF，k（v），因此表明v- πU，k（v）≥ （v+k）/qmax-k34 HUY N.CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO FONTANA7。结论在本文中，我们在一个包含内幕信息的完整金融市场的半鞅模型中，对信息套利的价值进行了一般性研究。在我们的分析中，市场完整性假设起着核心作用。特别是，它可以自然地转移到最初扩大的过滤G中，从而使我们能够精确描述内部金融市场中NUPBR和NFLVR的有效性(Ohm, G、 P；S） 。反过来，这为最优消费投资问题的解决提供了一种通用且简单的对偶方法。在典型效用函数的情况下，市场的完备性导致了完全明确的解决方案，这揭示了信息套利价值的有趣特征。信息套利的价值也可以在一般不完全市场中定义和研究。

特别是，只要G中的最优投资消费问题是适定的，定理4.2的存在唯一性结果在不完全市场中仍然成立。更确切地说，如果G中的原始值函数和对偶值函数是有限的，并且(Ohm, G、 P；S） 满足NUPBR（但不一定是NFLVR），那么[CC FM17]的结果表明，价值函数具有充分的规则性，可以证明信息套利价值的存在性和唯一性。然而，除了特定模型外，人们无法获得信息轨道价值的明确描述。此外，在一般的不完全市场中，不存在一个简单的标准来确定内幕信息是否会在G中产生套利（与定理2.4相比）。在目前的工作中，我们考虑了一个无摩擦的金融市场，其中交易资产具有完全的流动性。我们认为，未来研究的一个有趣方向是，本着[KHS06]的精神，在更现实的市场结构下研究信息套利的价值，这些市场结构包括交易成本和价格冲击。在这些情况下，informedagent最好投资于套利机会，因为交易活动本身可能影响套利策略的可靠性，或者仅仅因为存在市场摩擦。参考文献【ABS03】J.Amendinger、D.Becher和M.Schweizer。portfoliooptimization中初始信息的货币值。财务Stoch。，7(1):29–46, 2003.【ACJ15】A.Aksamit、T.Choulli和M.Jeanblanc。关于一个可选的半鞅分解和一个扩大过滤中的扩散子的存在性。在C.Donati Martin、A.Lejay和A.Rouault中，编辑，InMemoriam Marc Yor-S’eminaire de Probabilit’es X LVII，第2137卷《数学课堂讲稿》，第187-218页。Springer，2015年。【ADI06】S.Ankirchner，S。

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