信息套利的价值

在终端财富效用的情况下（对应于dκu=δT（du）），可以很容易地验证公式（4.2）-（4.3）在定理2.4第二部分的一个等效条件成立时，即当内部信息不会导致在(Ohm, G、 P；S） 。对于dκu=δT（du），公式（4.2）简化为πlog（v）=v（1- 经验值(-E[日志（qLT）]））。根据定理4.2（参见alsoRemark 3.11），这证实了如果内部信息L允许在(Ohm, G、 P；S） 。此外，当L是离散FT可测随机变量时，对数差值完全由L的熵确定。信息套利的价值取决于内幕信息的差异价值。一般而言，内部信息的差异值取决于所考虑的随机效用场。然而，在某些特殊情况下（例如，在导言中给出的示例中），差异值是一个通用值，它不依赖于偏好结构。这种情况由下一个定理来解释。我们用U表示所有严格递增和凹确定性效用函数的类U:R+→ R∪ {-∞}. 在以下定理的陈述中，我们用uH，k（v）表示与问题（3.1）相关的价值函数，前提是仅在T日消费的预期效用（即终端财富），以及效用函数U定理4.5。假设假设1中Q=P，dκu=δT（du）。

然后，以下三个条件是等价的：（i）对于某些常数q，它认为P（qLT=q）=1≥ 1.（ii）每k∈ R+和v>0时，存在一个普适值πk（v）∈ [0，v+k）使得ug，kv- πk（v）= uF，k（v），适用于所有U∈ U（iii）对于每一个v>0，存在一个普适值π（v）∈ [0，v）使得ug，0v- π（v）= uF，0（v），适用于所有U∈ U、 在这种情况下，对于每一个U∈ U、 k级∈ R+和v>0时，差值πk（v）总是由（4.4）πk（v）=（v+k）给出1.-q最优财富过程VG=（VGt）t∈在问题（3.1）中，H=G的[0，T]总是由（4.5）VGt=（v+k）qLtqLT给出- k、 对于所有t∈ [0，T]。在上述定理的设置下，知情主体的最优策略f由过程φ的倍数给出∈ L（S，G）出现在随机积分r表示qL=1+φ·S中（见备注2.6）。这显示了一个有趣的性质：在定理4.5的条件下，知情代理人的最佳投资组合将始终是金融市场中的总投资组合(Ohm, G、 P；S） ，而不考虑首选项结构。等效地，常数payoffv=v-πk（v）+（v+k-πk（v））（φ·S）t根据二阶随机优势系数（参见，例如，【Ing87，第5章】）确定可容许投资组合的所有可能结果。备注4.6。当L是有限集E上均匀分布的FT可测离散随机变量时，随机变量qLTis始终是确定性的，因此P（L=x）=1/| E |对于所有x∈ E、 实际上，在这种情况下，对于所有x，qxT=1{L=x}| E |∈ E、 所以qLT=| E |。这也是E x示例1.1的情况，我们将在第5.1节中详细解释。备注4.7。如果没有套利机会(Ohm, G、 P；S） ，那么定理4.5的条件（i）成立的唯一情况是当随机变量L独立于FT时。

事实上，如果NFLVR坚持(Ohm, G、 P；S） 随机变量qLTis a.S.常数，则qLT=1 a.S.，作为T heorem 2.4的序列。因此，它认为qxT=1（P λ） -a.e.，通过公式（6.1）表明，对于每个可测有界函数h:e，e[h（L）1A]=e[h（L）]P（a→ R18 HUY N.CHAU、ANDREA COSSO、CLAUDIO Fontana和A∈ FT，因此L独立于FT。相反，如果L独立于FT，则对于所有x，clearlyqxT=1∈ E、 在这种情况下，公式（4.4）意味着购买随机变量L的信息内容永远不会有吸引力，因为后者不能提供任何关于金融市场的有用信息。定理4.5的假设不能轻易放松。事实上，如果dκu=δT（du），但Q 6=P，则条件（i）不足以确保普遍差异值的存在，这可以通过对第5.1节给出的示例的简单修改来证明。类似地，即使Q=P，在存在中间消费的情况下，效用差异值也可以取决于偏好结构，即使Qlts是确定性的（除了L独立于FT的小情况）。在定理4.5的相同假设下，我们可以为信息套利的差异值建立一些通用的界限，如以下命题所示。提案4.8。假设假设1中Q=P，dκu=δT（du）。进一步假设存在两个严格正常数qminan和qmax with qmin≤ qmax这样的thatP（qLT∈ [qmin，qmax]=1。然后，对于每个效用函数U∈ U、 k级∈ R+和v>0，它认为（4.6）（v+k）1.-qmin+≤ πU，k（v）≤ （v+k）1.-最大尿流率.将在第5.1节和第5.2.5节讨论的示例中说明上述命题中得出的普遍界限。

示例在本节中，我们将在三个示例的上下文中说明一些主要概念和结果。第一个示例（第5.1节）由示例1.1的概括组成。第二个例子（第5.2节）考虑了二维不连续金融市场，其中内部信息对应于两种资产的终值比率。在这两个示例中，r和dom变量L是离散的。在第三个示例（第5.3节）中，我们考虑一个连续随机变量L生成信息套利。5.1. 一维几何布朗运动。设W=（Wt）t∈[0，T]是过滤概率空间上的一维布朗运动(Ohm, A、 F，P），其中F=（Ft）t∈[0，T]是W的自然过滤的缺失。我们考虑一个单一风险集合交易的金融市场，贴现价格过程S=（St）t∈[0，T]满足（5.1）dSt=StσtdWt，S>0，其中σ=（σT）T∈[0，T]是一个严格正的F-可预测过程，其Tσtdt<+∞ a、 根据第2.1节中介绍的符号，元组(Ohm, F，P；S） 表示普通金融市场，假设1满足Q=P。与[PK96，示例4.6]类似，我们假设内幕信息由随机变量L生成：=1{WT≥c} ，其中c是常数，使得P（WT≥ c） =r∈ (0, 1). 在这里，信息套利19的值，E={0，1}，L的无条件定律由λ（{0}）=1给出- r和λ（{1}）=r。由于L是离散的，假设2自动满足。特别是，它认为qt=P（L=0 | Ft）P（L=0）=1- rΦc- Wt公司√T- t型, qt=P（L=1 | Ft）P（L=1）=rΦWt公司- c√T- t型,每t∈ [0，T），其中Φ（x）：=Rx-∞√2πe-z/2dz。对于t=t，我们得到qt=1- r{WT<c}，qT=r{WT≥c} 。由于qand qhave continuous path，假设3是满足的。

此外，它认为qlt=1- r{WT<c}+r{WT≥c} 。根据定理2.4，内幕金融市场中的NUPBR h olds(Ohm, G、 P；S） 1/Q为相关ELMD。然而，由于E[1/qLT]<1，内幕信息导致套利，NFLVR不成立。qLTensures的有界性表明命题4.3的所有假设均已满足，因此，我们可以明确计算信息轨道的差异值。为了简单起见，让我们考虑k=0时终端财富预期效用最大化的问题（即，dκu=δT（du））。在这种情况下，对于每一个v>0，它保持πlog（v）=v1.- (1 -r） 1个-rrr和πpwr（v）=v1.-(1 - r） 1个-p+r1-p-1/p.观察到πpwr（v）相对于p增加，这意味着信息套利的差异值相对于风险规避降低。此外，πpwr（v）收敛到πlog（v）为p→ 0，对于每v>0。在风险规避α>0的指数效用函数的情况下，应用推论3.12表明ug，0（v）=-Ee-αvqLT= -(1 - r） e类-αv1-r- 重新-αvr，每v∈ R+。因此，在指数效用的情况下，信息套利的差异值由以下等式的唯一解π=πexp（v）给出：e-αv=（1- r） e类-α1-r（v-π） +re-αr（v-π).还请注意，在本示例的上下文中，对于每个严格递增和凹陷的确定性效用函数U:R+→ R∪ {-∞} 每k∈ 根据命题4.8，信息套利的差异值πU，k（v）满足以下界限：min{R，1- r}≤πU，k（v）v+k≤ 最大{r，1- r} ，对于所有v>0。示例1.1的分析。如果c=0（因此，r=1/2），则随机变量qLT将减少到常数qLT=2。

在这种情况下，与定理4.5的结果一致（另见备注4.6），k=0的信息套利值等于普适值π（v）=v/2。根据公式（4.5），相应的最优财富过程VG=（VGt）t∈[0，T]由vgt=vqLtqLT=v给出Φ-Wt公司√T- t型{WT<0}+ΦWt公司√T- t型{WT≥0},20 HUY N.CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO FONTANAfor all t∈ [0，T]。It^o公式的应用产生Φ（Wt√T-t）=+√2πRt√T-uexp(-Wu2（T-u） ）dWu，使最优策略θG=（θGt）t∈（5.2）θGt明确给出了知情代理人的[0，T]={WT≥0}- 1{重量<0}vσtStp2π（T- t） 经验值-Wt2（T- t）, 对于所有t∈ [0，T），不管考虑的是效用函数。特别是，策略是知情代理的一种仲裁策略。事实上，它认为（G·S）T=VGt-v/2>-v/2，适用于所有t∈ [0，T]，和（θG·S）T=v/2>0。这表明，通过以π（v）=v/2的价格获取内幕信息L，并遵循策略θG，知情代理人可以精确地获得最终财富v，这也对应于普通代理人的最佳最终财富。备注5.1（关于通用最优策略θG）。

在本例中，（5.2）中计算的最优策略θg具有几个有趣的特征：（i）根据交易开始时披露的内幕信息，该策略在风险资产中总是多头或短头；（ii）该策略是对风险资产的押注：如果资产价格下降，cr中风险资产的头寸就会下降，反之亦然，如果资产价格上升，cr中风险资产的头寸就会下降；（iii）它认为→TθGt=0，意味着风险资产的头寸在投资期结束时完全清算；（iv）实现最优套利的交易策略的倍数（见备注2.5），并与隐含的概率进行比较（i）=>（v） 在定理2.4中）。5.2. 二维泊松过程。第5.1节的示例考虑了具有连续路径的单个风险集。现在，我们给出了一个在具有两个不连续路径的风险资产的金融市场中导致套利的内幕信息示例。设N=（Nt）t∈[0，T]和N=（Nt）T∈[0，T]是滤波概率空间上公共强度为1的两个独立泊松过程(Ohm, A、 F，P），其中F=（Ft）t∈[0，T]是（N，N）自然过滤的P-增强。我们考虑两种风险资产，贴现价格过程=（St）t∈[0，T]和S=（St）T∈[0，T]满足DST=St-（dNt- dt），S>0；dSt=St-（dNt- dt），S>0，显式解Sit=Sie-特尼特，因为我∈ {1，2}和t∈ [0，T]。元组(Ohm, F、 P；（S，S））代表普通金融市场，因为（S，S）具有鞅表示属性(Ohm, F、 P），假设1满足Q=P。让我们定义过程N=（Nt）t∈[0，T]按Nt：=Nt-Nt，适用于所有t∈ [0，T]。我们假设内部信息是通过观察随机变量L：=NT生成的，对应于两种资产的终端价格的比率ST/STof的知识。

随机变量L的分布可以显式计算，由P（L=x）=e给出-2TI | x |（2T）=e-2TXk∈NT2k+| x | k！（k+| x |）！，对于所有x∈ Z、 信息套利21的值，其中I | x |（2T）表示第一类修正贝塞尔函数。由于L是离散的，假设2自动满足，并且与[CRT18]中类似，可以计算出qxt=P（L=x | Ft）P（L=x）=Pk∈氖-（T-t） （t-t） kk！e-（T-t） （t-t） k+x-Nt（k+x-Nt）！{k+x-Nt公司≥0}主键∈氖-2TT2k+| x | k！（k+| x |）！，对于所有x∈ Z和t∈ 对于T=T，我们有qxt={L=x}P（L=x）={L=x}e-2TPk∈NT2k+| x | k！（k+| x |）！，对于所有x∈ Z、 注意，对于所有t，qxt>0∈ [0，T）。此外，过滤F是准左连续的，因此，它表示wt<TFt=FT-= FT.根据L'evy向上定理，作为t→ 它认为e[1{L=x}| Ft]-→ E[1{L=x}|英尺-] = E[1{L=x}| FT]=1{L=x}a.s.因此表明qxd不会跳到零。因此，假设3得到满足，内部金融市场(Ohm, G、 P；S） 满足NUPBR（见定理2.4）。内幕信息L为知情代理人提供套利机会，因为E[1/qLT]=Px∈ZP（L=x）<1。然而，由于可接受性限制，这类套利机会无法通过两种资产中的天真多头和空头策略来实现，因为后者是不受上述限制的。在对数效用函数和幂效用函数的情况下，可以根据命题4.3明确计算信息性随机变量的差异值（为便于表述，我们只考虑dκu=δT（du）和d k=0的情况）：πlog（v）=v1- 经验值-Xx号∈ZP（L=x）对数P（L=x）!,πpwr（v）=v1.- EXx号∈Z{L=x}P（L=x）P/（P-1)!1.-p-1/p= v1.-Xx号∈ZP（L=x）1-p-1/p,对于每v>0。

特别要注意的是，在对数效用函数的情况下，信息套利的值由随机变量L的熵决定（见备注3.11）。在风险规避α>0的指数效用函数的情况下，推论3.12的应用表明，πexp（v）由以下方程的唯一解π=πexp（v）给出：e-αv=E经验值-αqLT（v- π)=Xx号∈ZP（L=x）e-α（v-π） P（L=x）。还请注意，作为命题4.8的一个推论，对于每个严格递增和凹效用函数U，信息套利πU，k（v）的微分值从下方以数量（v+k）P（L 6=0）为界，对于每个v>0。这是因为0=arg maxx∈ZI | x |（2T）。5.3. 由连续随机变量引起的信息套利。第5.1-5.2节中考虑的示例涉及离散ran dom变量。现在，我们给出了一个过滤的示例，该过滤最初针对满足假设2的绝对连续关系的连续随机变量L进行放大，并为知情代理人生成套利机会。22 HUY N.CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO FONTANALet W=（Wt）t∈[0，T]是上的一维布朗运动(Ohm, A、 F，P），其中F=（Ft）t∈[0，T]是W的自然过滤的P-增强。设U是一个均匀分布的随机变量，与布朗运动W无关，并假设a=FT∨σ（U）。我们考虑一个具有单一风险y资产的金融市场，贴现价格过程S=（St）t∈[0，T]如（5.1）所示。类似于第5.1节，元组(Ohm, F、 P；S） 表示普通金融市场，假设1满足Q=P。我们定义了随机变量L byL：=W*T2（1+W*T） +U1+W*T、 其中W*T： =支持∈[0，T]重量。

随机变量L取[0，1]中的值，并且有条件地在FT上均匀分布在[a（W*T） ，b（W*T） ，其中a（y）：=y/（2+2y）和b（y）：=（2+y）/（2+2y），对于y∈ R+。由于布朗运动的反射原理，L的无条件定律λ可以计算为λ（[0，x]）=P（L≤ x） =Ef（x，W*T）=rπTZ+∞f（x，z）e-z2Tdz，用于x∈ [0，1]，其中f（x，z）：=（z（x-1/2）+x）+∧1，适用于所有（x，z）∈ [0，1]×R+。类似地，f或everyt<T和x∈ [0，1]，可以显示（参见，例如，[JYC09，练习3.1.6.7]）νt（[0，x]）=P（L≤ x | Ft）=Ef（x，W*T） |英尺=sπ（T- t） f（x，W*t） ZW公司*t型-Wte公司-z2（T-t） dz+Z+∞W*tf（x，z）e-（z）-重量）2（T-t） dz！。对于z∈ R+，让我们定义函数g（·，z）：[0，1]→ R+x g（x，z）：=（1+z）1[a（z），b（z）]（x），对于所有x∈ [0, 1]. 然后，Ft条件密度QXT可以表示为QXT=rTT- tg（x，W*t） RW公司*t型-Wte公司-z2（T-t） dz+R+∞W*tg（x，z）e-（z）-重量）2（T-t） dzR公司+∞g（x，z）e-z2Tdz，适用于所有x∈ [0，1]，每t∈ [0，T）和，对于T=T，qxT=rπTg（x，W*T） R+∞g（x，z）e-z2Tdz，适用于所有x∈ [0, 1].通过引入函数γ：[0，1]\\{1/2}，可以更明确地计算密度qxc→ R+由γ（x）给出：=2x/（1）- 2x）对于x∈ [0，1/2）和γ（x）：=（2- 2x）/（2x- 1） 对于x∈ （1/2，1）。注意g（x，z）=（1+z）1[0，γ（x）]（z），对于所有x 6=1/2。