用机器方法降低均值-方差组合的估计风险

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英文标题：
《Reducing Estimation Risk in Mean-Variance Portfolios with Machine
  Learning》
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作者：
Daniel Kinn
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In portfolio analysis, the traditional approach of replacing population moments with sample counterparts may lead to suboptimal portfolio choices. I show that optimal portfolio weights can be estimated using a machine learning (ML) framework, where the outcome to be predicted is a constant and the vector of explanatory variables is the asset returns. It follows that ML specifically targets estimation risk when estimating portfolio weights, and that \"off-the-shelf\" ML algorithms can be used to estimate the optimal portfolio in the presence of parameter uncertainty. The framework nests the traditional approach and recently proposed shrinkage approaches as special cases. By relying on results from the ML literature, I derive new insights for existing approaches and propose new estimation methods. Based on simulation studies and several datasets, I find that ML significantly reduces estimation risk compared to both the traditional approach and the equal weight strategy.
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中文摘要：
在投资组合分析中，用样本替代总体矩的传统方法可能会导致次优的投资组合选择。我证明了可以使用机器学习（ML）框架估计最优投资组合权重，其中要预测的结果是一个常数，解释变量的向量是资产回报。因此，在估计投资组合权重时，ML专门针对估计风险，并且“现成”ML算法可用于在存在参数不确定性的情况下估计最优投资组合。该框架将传统方法和最近提出的收缩方法嵌套为特例。通过依赖ML文献的结果，我对现有方法有了新的见解，并提出了新的估计方法。基于仿真研究和多个数据集，我发现与传统方法和等权策略相比，ML显著降低了估计风险。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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关键词：Optimization Quantitative Traditional explanatory QUANTITATIV

用机器学习降低均值方差组合的估计风险*Daniel Kinn+2018年7月摘要在投资组合分析中，用样本替代人口动量的传统方法可能会导致次优的投资组合选择。我证明，可以使用机器学习（ML）框架估计最优投资组合权重，其中要预测的结果是常数，解释变量的向量是资产回报。因此，在估计投资组合权重时，ML Specifically以估计风险为目标，而“off-the-shelf”ML算法可用于在存在参数不确定性的情况下估计最优投资组合。该框架将传统方法和最近提出的收缩方法嵌套为特例。根据eML文献的结果，我对现有方法有了新的见解，并提出了新的估计方法。基于模拟研究和多个数据集，我发现与传统方法和等权策略相比，ML显著降低了估计风险。关键词：有监督机器学习、投资组合选择、估计风险Jel代码：G11、C52、C581简介在Markowitz（1952）开发的现代portf-olio理论框架中，最优投资组合是资产回报的总体均值和协方差矩阵的函数。给定收益数据，传统方法是估计最优投资组合权重*我要感谢Paul Ehling、Christian Brinch、Ragnar Juelsrud和Jo Saakvitne提出的宝贵建议和意见。+奥斯陆N-04 84 Nydalsveien 37号BI挪威商学院经济系。电子邮件：daniel。o。kinn@bi.no.20102011 2012 2013 2014 2015 2016 2017评估月-150-100-50图1：评估风险说明。基于传统方法的月度样本外投资组合回报。

每个投资组合回报都是基于使用前120个月估计的投资组合权重计算的。该数据是2000年至2017年标普500指数中20只股票的随机样本。通过处理样本均值和样本协方差矩阵，确定它们是否为真实总体矩。图1展示了该策略在标准普尔500指数（s&P500）20项资产的随机抽样中的应用。很明显，samplereturn的OUT在样本期结束时非常不稳定，这可以追溯到大型资产头寸。极端的资产权重和较差的样本外绩效是传统方法的缺陷，见Black和Litterman（1992）、Best和Grauer（1991）和Jo rion（19 85）。一个合理的解释是估计风险；样本矩可能是人口矩的不精确估计。自Ceklein和Bawa（1976年）以来，就已经认识到估计风险对组合cho ice的影响，他们指出，最佳组合选择不同于存在不确定性的传统选择。需要注意的是，估计风险问题不仅仅是小样本的一个特征。对于给定数量的观测，估计风险在投资组合的资产数量上增加。DeMiguel、Garlappi和Uppal（2007）的实证研究表明，即使投资组合规模不大，并且是根据五年的月度观察进行估计的，估计风险也很大。在本文中，我证明了最优投资组合权重可以在机器竞争中估计，Green和Holli field（1992）认为，由于股票回报的主导因素，人口中可能存在极端的投资组合头寸。在这种情况下，图1中的不稳定性可能是由主导因素引起的，而不是估算ris k。

这种不稳定性也可能是由于错误的投资组合造成的。学习（ML）框架。广义地说，ML框架可以被认为是一个惩罚回归问题，其中回归者是资产回报，系数是投资组合权重，要预测的结果是恒定的，并且施加惩罚以避免权重过大。使用ML框架估计最优投资组合权重有三个重要含义。首先，使用ML框架估计portfo lio权重相当于选择一个投资组合以最小化总风险，即最优（总体）投资组合固有的风险和估计风险之和。这一结果是因为在二次效用下，总风险相当于预期的样本外均方误差，这是ML算法的最小化目标。此均方误差是常数和portfo lio返回之间的预期平方差的简单值。通过使用样本分割，在一个样本上估计投资组合权重，并在另一个样本上进行测试。对于显示子样本间样本矩不稳定的资产（t hus面临较大的估计风险），基于一个子样本的估计权重可能会在均方误差的t项中推广到其他子样本。通过对权重施加界限（惩罚），可以改进样本外均方误差，从而降低总风险，从而降低估计风险。其次，估计风险可分解为偏差-方差权衡。这种分解在ML中很常见，我将讨论为什么权衡在Portfolio上下文中很重要。例如，根据传统方法得出的投资组合权重是不确定的，但在重复的回报样本中可能会表现出较大的方差。

相反，资产权重固定为相等的被动策略可能会导致较大的偏差，但这种权重在重复的回报样本中不会变化。在这两者之间，ML寻求选择投资组合权重来平衡偏差和方差，以最小化估计风险。Jag annathan和Ma（2003）认识到这种权衡，但将其称为规格误差和抽样误差之间的权衡。第三，“o off-the shelf”ML方法可用于估计最佳的港口重量。这些方法提供了进行交叉验证和评估的标准化方法，如Friedman、Hastie和Tibshirani（20 11）和Murphy（2012）对机器学习的出色讨论。我将使用机器学习作为一个通用术语，但具体而言，指的是要估计的函数为线性的升级机器学习。这一公式意味着从均值-方差的角度来推导MLmethods和po rtfolio理论之间的关系。现有文献大多关注最小方差投资组合。这种关注主要是由于估算方法的困难，参见Jorion（1985）。BothJagannathan和Ma（2003年）以及DeMiguel等人（2009年）认为，忽视“意义”并不会造成什么损失。另一方面，Jorio n（1986）利用模拟表明，对于适度的样本量，平均方差方法优于最小方差方法。此外，DeMiguel、Garlappi和Uppal（2007）表明，考虑到这两个时刻，忽略绩效评估的策略很少能超过均衡权重。我使用“现成”ML阐明了现有的方法，并介绍了新的投资组合估算方法。主要发现如下所述。传统方法是ML框架的特例，相当于无惩罚回归问题（OLS）。

我认为OLS公式提供了一种替代性解释，解释了为什么传统方法与较大的风险估计相关联。由于OL S是最佳线性无偏估计量，传统策略不允许在偏差和方差之间进行权衡。因此，对于大型投资组合，传统方法可能由于过度拟合回归感知而显示出较大的估计风险。施加约束可能会减少过度匹配问题。一种方法是L1正则化，其中要求投资组合权重的绝对值之和小于某个阈值。DeMiguel et al.（2009）建议将此约束添加到最小方差投资组合的权重中。他们表明，一个特例恢复了Jagannathan和Ma（20 03）分析的无卖空对账单。在均值-方差设置中，DeMiguel、Garlappi和Uppal（2007）指出，L1正则化相当于将预期收益缩小到平均收益。我的结果详细说明了均值-方差设置。由于L1相当于称为L asso的“off-t heshelf”ML方法，因此可以使用Lasso和OLScan之间众所周知的关系得出新的见解。本质上，L1正则化意味着传统方法（OLS）的权重估计会收缩相同的数量。对于该数量大于传统估计值的资产，套索权重设置为零。另一种方法是L2正则化，这意味着平方组合权重之和必须小于阈值。对于最小方差组合，D eMiguel et al.（2009）表明，L2调节相当于将协方差矩阵收缩到单位矩阵，类似于Edoit和Wolf（2004a，b）的方法。在均值方差设置中，L2正则化等效于Hoerl和Kennard（1970）提出的岭回归。

使用标准的ML结果，我表明岭回归通过相同的因子缩小了传统权重，对于penaltyBan，El Karoui和L im（2016）也研究了用于por tfolio优化的ML，但重点是他们标记为性能基d正则化的特定方法，而不是“有效”ML方法。他们使用交叉验证来确定权重惩罚，并对程序进行自定义，以使其以夏普比率为目标，并限制可能的惩罚值范围。他们认为这种方法对于降低小型投资组合的风险非常有效。相比之下，我的重点是更大的投资组合和标准的MLalgorithms，其中c-ross有效性和惩罚边界是使用标准软件实现的。Fan、Zhang和Yu（2012）以及Brodie et al.（2009）都研究了套索投资组合估计。然而，它们与传统方法没有这种联系。此外，他们没有使用c-ross验证来确定惩罚水平。DeMiguel等人（2009年）使用cros s验证，但将注意力限制在最小方差组合上。在特定范围内，岭回归在估计风险方面优于传统方法。因此，如果最优投资组合具有良好的多样性，则岭回归优于传统方法。我介绍了两种其他“现成”ML方法用于投资组合估计；主成分回归和峰板回归。前者假设资产回报是由一些低维模型生成的，例如因子模型。其想法是使用所有资产来估计投资组合权重，但仅使用可归因于低维模型的回报变量。低维模型的大小通过交叉验证确定。Spike和Slab是一种用于线性回归的Bayesian变量选择技术。

通过假设一个伯努利先验值（“峰值”），该方法使用一个二元规则来包含或排除回归中的资产，即对账单。在包含资产的条件下，假设端口对开权重为高斯先验（“Slab”）。Spikeand Slab公式得出了包含资产的后验值和投资组合权重的后验值，仅以包含资产为条件。通过使用吉布斯抽样，Idraw对这些后验概率进行了数千次计算，得出了每个资产的包含概率和后验投资组合权重分布。投资组合选择的尖峰板法与经验贝叶斯法有一些相似之处。我表明，后验por tfolio权重是传统方法和高斯先验均值的组合权重，仅以包含的资产为条件。因此，与经验贝叶斯一样，权重可以表示为样本均值和先验值的组合，但与经验贝叶斯不同，注意力仅限于资产的子集。基于模拟，我发现ML算法显著改进了传统方法和几个基准策略，包括无卖空均值方差投资组合、最小方差投资组合和等权重投资组合。与现有文献一致，我发现这些基准策略施加的约束可能适用于小样本。然而，约束的严格性质（不允许负权重，忽略平均值或相等权重）在更大的样本中可能有害，因为样本矩可能会得到更精确的估计。相比之下，ML算法施加了“软er”约束，即随着样本大小的增长，它们会导致估计的投资组合权重收敛到传统权重。

这是有益的，因为随着样本量的接近，传统方法显然是最佳选择。最后，我将ML应用于几个不同的真实世界数据集。使用theJorion（1985、1986）中的资产，将每个资产的样本平均值缩小为全球最小方差投资组合的投资组合平均值。S&P500，我发现所讨论的ML算法产生了相似的样本外夏普比率，显著优于传统方法、最小方差分析和等权策略。使用每种资产都是股票组合的行业投资组合，我记录了ML方法、最小方差投资组合和等权策略的类似结果，表明这种类型的投资组合的估计风险问题并不明显。我还考虑了一个涵盖200种加密货币的数据集。由于寿命较短，但此类货币数量较多，预计估计风险较大。当参数数量超过观测值数量时，由于协方差矩阵退化，传统方法和最小方差组合都不可行。在这种情况下，ML算法与等权策略的夏普比相似。本文的组织结构如下。第2节brie fly向不熟悉的读者介绍了ML，并提出了将ML与投资组合理论联系起来的框架。在第3节中，我从ML的角度分析了现有的方法，并介绍了新的方法。我根据第4节中校准到美国股市的人工数据，评估了ML在降低估计风险方面的表现。

最后，我将ML应用于几个不同的数据集，包括第5节中的标准普尔500指数、行业投资组合和加密货币投资组合。本文中命题和方程的详细推导可在附录A.2《投资组合环境中的机器学习》2.1《机器学习简介》中找到。让y是模型y=f（x）+ε（1）中的某个结果变量，其中x是协变量的m维向量，ε是均值为零和方差为φ的正态分布。ML的目标是学习函数f以预测y的未来值。ML算法q根据训练数据集T={yi，xi}ni=1输出f的估计值。^fq预测y的新值的程度可以使用阿蒙平方误差进行评估，我将其称为广义误差f（^fq）=E（y，x）[（y-^fq（x））]（2）式中（y，x）是一个未用于训练的新观察值，期望值是关于该新观察值的分布。在训练集上取期望值，给出了算法qFq=ET[F（^fq）]=ETnE（y，x）[（y）]的期望泛化误差-^fq（x））]o（3），其中期望ETI是关于生成函数^fq的训练集的。换言之，算法q的预期推广误差是指从绘制大量训练集、在每个训练集上使用算法q估计f以及在一个非常大的测试集上进行评估所产生的平方损失。为了进一步了解算法的性能，通常将（3）分解为偏差和方差之间的权衡fq=ETnEy[（y-^fq（x））]o=（f（x）- ET[^fq（x）]）|{z}平方偏差+VT[^fq（x）]|{z}方差+φ|{z}噪声（4），其中为简单起见，假设xis是非随机的。