尾部风险、投资期限和资产价格

Bandi和Tamoni（2017）使用类似的方法估计了不同投资期限的风险价格，并表明投资者在不同的经济周期中拥有不同的偏好，而不是只关注整个频谱上的平均数量。为了揭示更一般的依赖结构，我们建议研究指示函数γm，rk（τm，τr）协方差的fourier变换。通过这种方式，可以量化整个联合分布的地平线特定风险溢价。为了确定新的贝塔表示法，使我们能够描述此类一般风险，我们使用Barun'k和Kley（2019）提出的所谓分位数交叉谱密度，作为Dette等人（2015）分位数谱密度的推广。这种新贝塔表示法的基石在于分位数交叉光谱密度定义为fm，r（ω；τm，τr）≡2π∞Xk公司=-∞γm，rk（τm，τr）e-ikω（5）≡2π∞Xk公司=-∞Cov公司I{mt+k≤ qm（τm）}，I{rt≤ qr（τr）}e-ikω（6）带ω∈ R和τm，τR∈ [0, 1]. 分位数交叉谱密度是通过对等式4中定义的指标函数的协方差进行Fourier变换获得的，这将允许我们定义β，从而捕捉尾部风险和光谱风险。表征给定ω、τ和τ稀有水平和尾部特定市场风险的分位数谱（QS）β，然后定义为βm，r（ω；τm，τr）≡fm，r（ω；τm，τr）fm，m（ω；τm，τm），（7），将是我们分析中的关键量。为了估计分位数谱β，我们使用Barunik和Kley（2019）引入的基于秩的copula交叉周期图，Im，rn，R（ω；τm，τR）：=2πndmn，R（ω；τm）drn，R(-ω; τr），（8），其中dmn，r（ω；τm）：=Pn-1t=0I{bFn，m（mt）≤ τm}e-iωt和drn，R（ω；τR）：=Pn-1t=0I{bFn，r（rt）≤τr}e-iωtwithbFn，m（mt）和bfn，r（rt）分别是mt和rt的经验分布函数。

分位数互谱密度的一致估计量为thenbGm，rn，R（ω；τm，τR）：=2πnn-1Xs=1Wnω - 2π序列号Im，rn，R（2πs/n，τm，τR），（9），其中Wn表示一系列权重函数，将在下一节研究拟议估计量的渐近性质时精确定义。分位数谱β的估计量由bβm，rn，R（ω；τm，τR）：=bGm，rn，R（ω；τm，τR）bGm，mn，R（ω；τm，τm）。（10） 在证明bβm，rn，R（ω；τm，τR）是βm，R（ω；τm，τR）的合理估计之前，我们注意到，对于序列不相关变量（无论其联合分布或边际分布如何），Fre'chet/hoeffing界给出了QSβ在asmax{τm+τR的情况下可以达到的极限-1,0}-τmτrτm（1-τm）≤ βm，r（ω；τm，τr）≤最小值{τm，τr}-τmτrτm（1-τm）。3.3分位数谱β的渐近性质推导分位数谱β的渐近性质，需要作出一些假设。回想一下（参见Brillinger（1975），第19页），随机向量（Z，…，Zr）的第rth阶联合累积量（Z，…，Zr）定义为ascum（Z，…，Zr）：=X{ν，…，νp}(-1） p-1（p- 1)!EhYj公司∈νZji···EhYj∈νpZji，求和扩展到所有分区{ν，…，νp}，p=1，r、 在{1，…，r}中。关于xt的依赖范围∈ （mt，rt），我们做出以下假设：假设1。过程（xt）t∈Zare严格平稳和指数α混合，即存在常数K<∞ 和κ∈ （0，1），使得α（n）：=supA∈σ（x，x-1,...)B∈σ（xn，xn+1，…）P（A∩ （B）- P（A）P（B）≤ Kκn，n∈ N、 （11）请注意，假设1是Kleyet等人所做假设的双变量扩展。

（2016）并用于Barun'ik和Kley（2019）研究分位数光谱量。重要的是要注意，该假设不要求存在任何矩，这与经典假设形成鲜明对比，经典假设中必须存在达到各自累积量顺序的矩，而集合aj不要求像经典混合假设中那样是一般的borel集合。如Barun'ik和Kley（2019）所述，这一假设适用于广泛流行的线性和非线性、多变量和单变量过程，这些过程以指数速率进行α-混合，包括传统的阿尔瓦玛或向量拱模型。为了建立估计的一致性，我们还需要考虑渐近集中在2π倍数附近的权重序列。假设2。权重定义为Wn（u）：=P∞j=-∞b-1nW（b-1n[u+2πj]），其中bn>0，n=1，2。，是满足bn的缩放参数序列→ 0和nbn→ ∞,作为n→ ∞. 权重函数W是实值函数，甚至有支持[-π、 π）、有界变差和满意度π-πW（u）du=1。本节的主要结果将使Bβm，rn，R（ω；τm，τR）作为分位数谱（QS）βm，R（ω；τm，τR）的估计器合法化。估计值的合法性源于这样一个事实，即估计值在Hoffman-Jorgensen的意义上弱收敛（参见van der Vaart和Wellner（1996）的第1章）。我们将这种收敛模式表示为=>. 所考虑的估计量取（元素）有界函数空间中的值[0，1]→ Cd×d，我们用`∞Cd×d（[0，1]）（Kley等人，2016）。虽然经验过程理论的结果通常是针对实值有界函数空间，但这些结果通过识别`∞Cd×d（[0，1]），带`∞（[0，1]）2d。使用附录A中的命题1并遵循Kley等人。

（2016）和Barun'ikand Kley（2019），我们通过bgm、rn、r（ω；τm，τr）渐近地在以下定理中量化估计fm、r（ω；τm，τr）的不确定性。定理1。（Barunik和Kley（2019））假设1和2成立。假设边际分布函数fm和Frare是连续的，常数κ>0和k∈ N存在，因此bn=o（N-1/（2k+1））和bnn1-κ→ ∞. 然后，对于任何固定ω∈ R、 pnbn公司bGm，rn，R（ω；τm，τR）-fm，r（ω；τm，τr）-Bm，r，（k）n（ω；τm，τr）τm，τr∈[0,1]=> Hm，r（ω；·，·），（12），其中偏差由Bm，r，（k）n（ω；τm，τr）：=Pk`=2b`n`！Rπ-πv`W（v）dvd`dω`fm，r（ω；τm，τr）。过程Hm，r（ω；·，·）是一个以cov为特征的中心C值高斯过程Hj，j（ω；u，v）, Hk，k（λ；u，v）= 2πZπ-πW（α）dαfj，k（ω；u，u）fj，k(-ω; v、 v）η（ω- λ） +fj，k（ω；u，v）fj，k(-ω; v、 u）η（ω+λ）, （13） 其中η（x）：=I{x=0（mod 2π）}【比照（Brillinger，1975，第148页）】是Kroneckerδ函数的2π-周期延拓。族{H（ω；·，·），ω∈ [0，π]}是独立进程的集合。需要注意的是，与经典谱分析形成鲜明对比的是，经典谱分析需要高阶矩才能获得谱密度的平滑度【参见Brillinger（1975），第27页】，假设1保证分位数交叉谱密度是ω的分析函数。假设W是p阶核；i、 e.，对于一些p，这满足了rπ-πvjW（v）dv=0，对于所有j<p和0<Rπ-πvpW（v）dv<∞; e、 例如，Epanechnikovkernel是p=2阶的核。然后，偏差为bpn级。因为方差是有序的（nbn）-1，如果bn，则均方误差最小 n-1/（2p+1）。该最佳带宽符合定理1的假设。

Barun'k andKley（2019）对定理1如何用于构造渐近有效置信区间进行了详细讨论。极限{H（ω；·，·），ω）的独立性∈ [0，π]}有两个重要含义。一方面，对于任何固定的频率集合ω，弱收敛（12）共同成立。此外，根据不可观测的双变量时间序列确定的j、jandτ、τ、CCR周期图BGJ、jn、R（ω；τ、τ）和传统平滑交叉周期图I{Fj（Xt，j）≤ τ} ，I{Fj（Xt，j）≤ τ}, t=0，n- 1，（14）是渐近等价的。因此，定理1揭示了在分位数互谱密度估计的背景下，边际分布的估计对极限分布没有影响（参见Kley et al.（2016）评论3.5后的评论）。我们现在准备陈述本节的主要结果。定理2。假设1和2成立。假设边际分布函数fm和Frare是连续的，常数κ>0和k∈ N存在，因此bn=o（N-1/（2k+1））和bnn1-κ→ ∞. 假设对于某些ε∈ （0，1/2），我们有infτ∈[ε,1-ε] fm，m（ω；τm，τm）>0和infτ∈[ε,1-ε] fr，r（ω；τr，τr）>0。然后，对于任何固定ω∈ R、 pnbn公司bβm，rn，R（ω；τm，τR）-βm，r（ω；τm，τr）-Bm，r，（k）n（ω；τm，τr）（τm，τr）∈[ε,1-ε]=>fm，m嗯，m-fm、rfm、mHm、r,（15） 式中，bm，r，（k）n（ω；τm，τr）：=fm，mBm，m-fm、rfm、mBm、r（16） 我们已经写出了（5）中定义的分位数交叉谱密度fa，b（ω；τa，τb），Ba，b：=Pk`=2b`n`！Rπ-πv\'W（v）dvd\'dω\'fa，b（ω；τa，τb）和Ha，b对于Ha，b（ω；τa，τb定义了以COV为特征的以asa为中心的C值高斯过程Hj，j（ω；u，v）, Hk，k（λ；u，v）= 2πZπ-πW（α）dαfj，k（ω；u，u）fj，k(-ω; v、 v）η（ω- λ） +fj，k（ω；u，v）fj，k(-ω; v、 u）η（ω+λ）, （17） 其中η（x）：=I{x=0（mod 2π）}【比照（Brillinger，1975，第148页）】是Kroneckerδ函数的2π-周期延拓。

族{H（ω；·，·），ω∈ [0，π]}是独立进程的集合。证据证明内容冗长且技术性强，因此推迟至附录A.1。收敛到高斯过程可用于获得渐近有效的逐点置信带。附录A.2对如何进行推理进行了更详细的讨论。如果W是p阶核≥ 1，我们知道偏差为bpn阶。因此，如果我们选择均方误差最小化带宽bn n-1/（2p+1），偏差为n级-p/（2p+1）。关于ε>0的限制，请注意，如果（τ，τ）位于单位平方的边界上，则收敛（15）不成立，因为如果τj，则分位数相干度β（ω；τ，τ）不确定∈ {0，1}，因为这意味着Var（I{Fj（Xt，j））≤ τj}）=0.4跨频率域的极端风险定价模型前面章节中定义的分位数谱β将是我们经验模型的基石。我们假设，低阈值的QSβ将是整个投资期内风险定价不均匀的重要决定因素。我们将聘请QS betas研究与市场回报相关的两种风险。首先，我们将调查具体的市场风险（TR），这是一种风险，代表在给定范围内市场极端负面事件和资产回报之间的依赖关系。如果随机贴现因子为线性因子，并且我们将市场收益视为风险因子，那么我们将进一步研究资产收益和市场收益之间的依赖关系，阈值基于市场收益的分位数。将我们的风险概念和Nakamura等人（2013年）的成熟罕见灾害模型联系起来是有用的。消费增长和公平回报之间的QS Beta可能与多年或一段时间内发生的永久性和暂时性灾难直接相关。

QS-beta可以用来明确区分投资者看不见的这些类型的依赖结构。由于篇幅有限，模拟的详细讨论被归入附录B。我们对尾部风险的概念也与Ang等人（2006）的下行风险有关；Lettauet al.（2014）。虽然下行风险源于某些阈值下资产回报和市场回报的协变量，但我们的概念源于资产回报和市场回报同时出现极端负回报的联合概率。这更符合semibetas的方法（Bollerslev et al.，2020），但也有一个重要特征，即这种风险在整个投资期的持久性结构。其次，我们将研究极端市场波动风险（EVR），这是一种捕捉不愉快情况的风险，在这种情况下，极高水平的市场波动与极低的资产回报率相关联，同样是关于投资范围。我们认为，这两个概念都反映了投资者面临的资产风险的重要特征，因此应该在资产回报的横截面中进行定价。在本文定义的每个模型中，我们控制CAPMβ作为风险的基线度量。这确保了如果QS beta被证明是风险溢价的重要决定因素，它们不会简单地重复CAPM beta中包含的信息。此外，在尾部市场风险的情况下，我们定义了相关beta，该beta仅明确捕获CAPM beta的额外信息。4.1尾部市场风险为了更好地解释，我们为与合理经济周期相对应的给定频带构建了分位数谱β。

这一定义很重要，因为它允许我们定义覆盖相应频率的短期或长期频带，从而根据研究人员的特定需求分解β。我们预计，在极端负性联合事件期间，市场回报和资产回报之间的依赖关系将在资产中得到正定价。关系越密切，投资者要求的风险溢价就越高。此外，我们预计这种风险在不同的投资范围内会被不均匀地定价。为了捕获尾部市场风险，衡量在给定范围内市场和资产回报的（极端）负面事件之间同时发生的概率，我们定义了βrm、riTR(Ohm; τ) ≡十、Ohm≡[ω,ω)P∞k级=-∞Cov公司I{rm，t+k≤ qrm（τ）}，I{ri，t≤ qrm（τ）}e-ikωP∞k级=-∞Cov公司I{rm，t+k≤ qrm（τ），I{rm，t≤ qrm（τ）}e-ikω.（18） 式（18）的分子表示在给定时间段内负事件同时发生的概率，分母表示与给定时间段内市场尾部事件概率相关的信息，这与市场回报的变化有关。与Ang et al.（2006）和Lettau et al.（2014）类似，我们定义了相关β，这些β捕获了经典CAPMβ中未包含的额外信息。通过这种方式，我们可以测试分解为长期和短期组成部分的尾部市场风险的重要性，以分别获得其风险价格。由于我们想量化CAPMβ未捕获的风险，我们建议通过高斯白噪声假设所暗示的QSβ和QSβ的差异来测试尾市场风险的重要性。

我们称之为相对QSβ，我们计算给定频带的QSβOhmjand给定市场τ-分位数水平为βrm，rirel(Ohmjτ) ≡ βrm，riTR(Ohmjτ) - β-里格斯(Ohmj、 τ），（19），其中βriGauss(Ohmj、 τ）=cgaus（τ，τi；ρ）-ττiτ（1-τ） CGaussb是一个高斯copula，市场收益率和资产收益率之间的相关性ρ。假设所有相关定价信息都包含在CAPM beta中，则两个时间序列之间的同期协方差应捕获所有定价信息。此外，如果序列在整个时间内是联合正态分布和独立的，则CAPM beta包含有关依赖性的所有可用信息。因此，在市场和资产回报率是相关高斯噪声的假设下，βrm，rirel(Ohmjτ） 不会携带任何额外信息，CAPM描述了风险膨胀。注意，βriGauss(Ohmj、 τ）在频率上是常数，仅取决于所选的分位数和相关系数。另一方面，如果投资者的价格信息未被CAPMβ捕获，则无任何限制估计的QSβ可能会确定CAPMβ中未包含的额外风险维度。更具体地说，我们可以确定联合分销的特定部分和/或特定范围内的依赖性是否被显著定价。如果CAPM测试版捕获了横截面中定价的所有风险信息，则与相对QS测试版相对应的风险溢价将不显著。

此外，如果这源于分位数交叉谱密度对应于概率P r的差异这一事实ri，t≤rm（τ），rm，t≤ qrm（τ）- ττi，其中τ和τi为高斯分布下的概率水平，τiis为τi=Fri{qm（τ）}。返回是高斯的，在所有频率和分位数下，相对QSβ将为零。因此，我们的第一个模型是尾部市场风险（TR）模型，定义为asE[rei，t+1]=Xj=1βrm，rirel(Ohmjτ） λTR(Ohmjτ） +βrm，riCAPMλCAPM，（20），其中rei，t+1是资产i的超额收益，βrm，riCAPM是总CAPMβ，λCAPM是由经典β捕获的市场总风险价格，λTR(Ohmj、 τ）是给定分位数和水平（频带）的尾部风险价格（TR）。我们指定您的模型包括将风险分解为两个水平–长期和短期。长周期定义为3年及以上周期的相应频率，短周期定义为3年以下周期的频率。获取这些β的步骤解释如下。20中定义的TR模型背后的直觉是，在高斯数据的情况下，相对TRβ将为bezero，尾部风险和风险溢价之间不应存在关联，因为风险完全由方差描述。另一方面，如果数据分布不是高斯分布，相对TRβ将与零显著不同，估计风险价格的显著性反映了TR相对于基于同期相关性的传统依赖性度量的价格效应。