尾部风险、投资期限和资产价格

分位数光谱和交叉光谱密度以及其他数量可以使用R中的quantspec软件包进行估计，该软件包位于https://github.com/tobiaskley/quantspecKley（2016）介绍。2动机：为什么我们应该关注尾部风险跨越水平为了解释为什么不同的资产获得不同的平均回报率，实证研究围绕使用欧拉方程产生的回报系数模型展开。仅在“无套利”假设的情况下，存在一个随机贴现因子mt+1，并且在预期效用最大化框架下，对于第i个超额收益，ri，t+1满意度E【mt+1ri，t+1】=0，henceE【ri，t+1】=Cov（mt+1，ri，t+1）Var（mt+1）-Var（mt+1）E[mt+1]= βiλ（1），其中加载βi可解释为暴露于系统风险因素，λ为与因素相关的风险价格。方程式1假设资产组合的风险溢价可以通过其与一些参考经济或金融变量（如消费增长或市场回报率组合）的协方差来解释。这种简单的定价还假设经济中存在系统性风险的独立公共来源，对这些来源的暴露可以解释资产回报的横截面。这导致了所谓的因子筛选现象，即试图通过假设与风险资产具有非零协方差且相互独立的因子的线性组合，识别除CAPM假设的传统市场因子之外的其他风险因子。两个相关变量之间的协方差，γki，j=Covrj、t+k、ri、t≡ E[（rj，t+k- \'rj）（ri，t- “（ri）]，（2）这是资产定价文献的核心，在投资者关心其未来财富分配的不同部分的情况下，或在投资者关心特定投资期限的情况下，这可能是不够的。

经验文献默默地假设，风险因素在收益分配以及投资期限上聚合了信息。罗伊（1952）早期作品的部分文献；马科维茨（1952）；霍根和沃伦（1974）；Bawa和Lindenberg（1977）认为，我们没有从经验上找到对上述想法的支持，是因为定价关系从根本上来说过于简单。如果投资者只在波动性导致损失而非收益时才反对波动性，那么应将总方差作为风险的相关度量进行分类。Ang等人后来的工作（2006年）；Lettau等人（2014年）；Farago和T'edongap（2018）表明，投资者需要额外的溢价来补偿暴露于被称为下行风险的与应用相关的风险因素。最近，Lu和Murray（2019）认为，熊风险捕获左尾结果更为重要，Bollerslev et al.（2020）引入了基于半卵巢的beta。与预期结果相反，Levi和Welch（2019）得出结论，与标准的综合beta相比，估计的下行beta无法提供更好的预测，部分原因是难以从每日回报中准确确定下行beta。关于过于简单的定价关系的类似论点，另一部分文献着眼于频率分解，并探讨了消费风险索赔的风险因素应该与频率相关的事实，因为消费具有强烈的周期性成分（Bandiet al.，2021；Dew Becker和Giglio，2016）。最近，de Castro和Galvao（2019）领导的一系列新文献假设了分位数偏好。在资产定价中，此类投资者倾向于未来的公用事业分位数流，从而得出qt，τmτ，t+1（1+ri，t+1）- 1.= 0

假设quantilepreferences，我们的重点从寻找折扣因子的最佳代理转移到捕获揭示这种灵活偏好的一般依赖结构。本文介绍的措施允许我们识别与这种偏好相关的风险。认识到数据中偏离了过于简单的假设，我们需要检查更一般的依赖性度量，因为简单的协方差聚合分布和投资期限之间的依赖性将不是有效的依赖性度量。例如，这是Ross（1976）的套利定价理论（APT）的基石。图1：市场与SMB和MOM因子组合之间的依赖结构。曲线图显示了等式3定义的尾部和横向协方差，分别衡量市场回报与SMB和MOM因素之间的一般相关性。虚线表示在两个序列为联合正态分布相关随机变量的零假设下95%的置信区间。

数据每月采样一次。-30-20-10 0 10 20 30-0.005 0.000 0.005 0.010SMB，τ=0.05市场领先/滞后指标协方差-30-20-10 0 10 20 30-0.005 0.005 0.010 0.015 SMB，τ=0.1市场领先/滞后指标协方差-30-20-10 0 10 20 30-0.01 0.01 0.02 0.03SMB，τ=0.25市场领先/滞后指标协方差-30-20-10 0 10 20 30-0.02 0.00 0.02 0.04 0.06SMB，τ=0.5市场领先/滞后指标协方差-30-20-10 0 10 20 30-0.005 0.005 0.010MOM，τ=0.05市场领先/滞后指标协方差-30-20-10 0 10 20 30-0.010 0.000 0.010MOM，τ=0.1市场领先/滞后指标协方差-30-20-10 0 10 20 30-0.04-0.02 0.00 0.02MOM，τ=0.25市场领先/滞后指标协方差-30-20-10 0 10 20 30-0.06-0.02 0.00 0.02MOM，τ=0.5市场领先/滞后指标协方差为了说明这一讨论，我们考虑了市场回报与小负大组合（SMB）以及动量组合（MOM）之间的依赖关系。虽然文献假设这些因素代表了两个独立的风险来源，同时它们之间的相关性也很小，但通过调查它们在不同滞后和线索之间联合分布的各个部分的依赖性，可以发现有趣的关系。图1描述了由市场回报的τ分位数和给定的超前/滞后k给出的阈值的尾部和超前/滞后特定协变量，而不是市场回报和因子组合之间的累积协方差，其形式如下：I{rm，t-k≤ qrm（τ））}，I{ri，t≤ qrm（τ）}, （3） 其中rm，是市场因素的回报，ri，是SMB或MOM投资组合的回报，I{.}是一个指示函数，qrmis是市场回报的分位数函数。这个简单的度量捕获了在超前/滞后k给定的某个时间间隔内，两个收益都低于某个阈值的概率。

这可以从CovI{rm，t-k≤ qrm（τ））}，I{ri，t≤ qrm（τ）}= P代表rm，t-k≤ qm（τ），ri，t≤qm（τ）- ττi。因此，这种依赖性本质上衡量了两个变量在低于某个阈值的独立copula上的额外概率。通过观察市场回报对SMB或MOM投资组合回报的中位数依赖性（图的右栏τ=0.5），我们观察到，依赖性可以通过市场与SMB和MOM投资组合回报之间相当弱的同期协变量来充分表征，因为在任何超前或滞后关系中都不存在显著关系。将我们的注意力转移到联合分布的左尾，就会出现更复杂的依赖结构。左尾偏离联合高斯分布最强烈（τ=0.05的图的左列）。大负市场回报与大负SMB或MOM投资组合回报的共同发生是显著的，存在不同的领先/滞后。例如，如果我们在5%尾部观察市场与中小企业之间的依赖关系，我们可以观察到，如果市场低于该阈值，中小企业投资组合也很可能会低于该阈值，并有一定的延迟。同样，中小型企业的衰退先于市场的衰退，可能性很大。因此，结果表明，SMB投资组合在某些特定范围内捕获了更复杂的市场尾部风险，而不是认为SMB因素代表了独立的经济风险。换句话说，左尾依赖性表明，市场极端下跌与中小企业的极端负回报相关。这说明，大的负市场回报与大公司在中小企业投资组合中的表现大大优于小公司的情况相关。

因此，我们记录了市场极端左尾事件同时发生的联合概率，大公司表现优于小公司，导致经济违约风险增加（Chan et al.，1985）。早期研究中未记录的依赖性的一个重要特征是其自相关所显示的持久性结构，以及相互领导的相同强度。与此同时，尽管动量与市场呈负相关，但图1的第二行显示了动量因子与股市之间的显著超前滞后关系，这表明我们有一种直觉，即极低的市场回报率与动量低的公司表现优于动量高的公司具有交叉相关性。请注意，这些观察结果与有关市场摩擦、价格延迟和聚合及其资产定价影响的文献密切相关。从这个意义上讲，我们的思路与Bandi等人（2021）的思路相似，但我们的重要区别在于，我们特别关注下行风险。这种思路可能会让我们得出这样的结论：这种普遍的依赖结构很难用传统的基于同期相关性的度量来描述。这一例证表明，没有必要用许多因素来解释平均资产回报率，因为仔细衡量的市场风险敞口可以捕捉投资者关心的风险。总结这些领先/落后关系之间的依赖关系的一种自然方法是采用频率分析，并精确总结特定视野的这种联合结构。从经济学角度来看，有理由假设未来边际效用会受到当前低分位数回报实现的影响，因为这一事件可能导致破产或以其他方式显著影响经济主体未来的行为。

换句话说，极端市场事件可能对投资者的边际效用产生短期或长期影响。然而，之前的研究没有注意到，图中的虚线代表了零假设下的置信区间，即两个序列是联合正态分布的相关随机变量。Backus等人（2010年）对商业周期指标进行了类似的超前/滞后调查。例如，见Kamara等人（2016）；Hou和Moskowitz（2005）充分说明了地平线特定信息的细节，而无法衡量此类风险的主要原因之一。在此，我们提出了测量此类风险的稳健方法，并认为探索与尾部事件相关的风险以及频率特定风险至关重要。为了了解投资者如何跨视野对尾部特定风险进行定价，我们进行如下操作。首先，我们基于指标函数之间的协方差定义了分位数风险度量，它在概率方面具有自然的经济解释。其次，我们引入了它的频率分解，并将这两个框架结合到分位数谱风险度量中，分位数谱风险度量是我们的经验模型的基石。这一衡量标准使我们能够在资产价格的不同水平上有力地测试极端市场风险的存在。目的不是让读者相信偏好的功能形式完全符合我们的模型，而是表明投资者分配给不同投资期限和未来财富分配的不同部分的风险的权重存在异质性。通过估算短期和长期部分的风险价格，我们能够确定投资者最关心的领域。

此外，通过估计不同阈值的风险价格，我们能够确定投资者最厌恶风险的联合分布部分。这是通过控制CAPM beta来实现的，这些新措施的影响是作为增量信息来衡量的，而不是简化导致CAPM beta资产定价模型的假设。3测量跨视界的尾部风险：分位数谱β。在此，我们将讨论形式化，并提供更一般的度量，为从数据中推断所讨论的风险类型提供工具。3.1尾部风险让我们考虑一个双变量、严格平稳的过程xt=（mt，rt），其中包含一些参考经济或金融变量mtproxying风险和资产回报rt。MTA和RTA的边际分布函数将分别用Fm和Fr表示，用qm（τm）：=F表示-1m（τm）：=inf{q∈ R：τm≤ Fm（q）}，和qr（τr）：=F-1r（τr）：=inf{q∈ R：τR≤ Fr（q）}，其中τm，τr∈ [0，1]表示相应的分位数函数。由于我们对极端负面事件的定价感兴趣，我们想测量联合分布的低分位数中的依赖性和风险，这可以通过分位数互协方差进行评估（Kley等人，2016；Barun'k和Kley，2019）γm，rk（τm，τr）≡ Cov公司I{mt+k≤ qm（τm）}，I{rt≤ qr（τr）}, （4） 我们的调查补充了Delikouras（2017）和Delikouras and Kostakis（2019）的工作。这些研究调查了消费增长参考点的位置，并表明其正确位置对于建立基于广义失望厌恶的模型至关重要。k∈ Z、 I{A}表示事件A的指示函数。

该度量由两个指标函数之间的协方差给出，与fm和Fr一起，可以充分描述随机变量mt和rt对的联合分布，即为它们的序列和交叉依赖结构提供度量。如果变量的分布函数是连续的，则数量本质上是成对的总体Mt和Rt与独立的copula之间的差异，即P rmt+k≤ qm（τm），rt≤qr（τr）- τmτr。因此，指标之间的协方差测量了从copula到独立copula的额外信息，即序列联合小于或等于变量mt的给定分位数的可能性。它可以对随机变量的横截面结构和时间序列结构进行灵活测量。将这些新的量与其传统的对应量进行比较，可以发现协方差和均值基本上被copula和分位数所取代。然后可以使用公式4确定与尾部风险相关的市场β。该数量类似于Schreindorfer（2019）的尾部风险度量，这也是消费增长的τ分位数阈值的函数。然后，在消费增长低于阈值的情况下，计算资产回报与消费增长之间的相关性。这也与Bollerslevet et al.（2020）的负半贝塔相关，该半贝塔估计了市场回报和资产回报之间的依赖关系，前提是市场和资产的负事件同时发生。3.2跨领域尾部风险：分位数谱BetaIt很自然地进一步假设，经济主体不仅关心财富分布的不同部分，还关心预期回报和相关风险方面的长期和短期投资领域。

投资者可能对其投资组合的长期稳定性感兴趣，而不关心短期波动。然后，资产回报的频率相关特征对投资者起着重要作用。Bandi和Tamoni（2017）认为，两个收益之间的协方差可以分解为在不同时间尺度上演化的分解成分之间的协方差，因此这些成分上的风险可能会有所不同。因此，市场贝塔系数可以分解为贝塔系数的线性组合，以测量不同尺度下的相关性，即具有不同半衰期的函数之间的相关性。给定时间的特定频率风险在确定资产价格中起着重要作用，不同频段的风险价格可能不同，这意味着预期回报可以分解为不同频段风险的线性组合。将两个资产之间的协方差分解为不同视界之间的依赖关系的一种自然方法是在频域中。互协方差γkis的频域对应项，作为互协方差函数sm的傅里叶变换获得，r（ω）=2πP∞k级=-∞γm，rke-ikω。相反，互协方差可以从互谱的傅里叶逆变换中获得，即γm，rk=Rπ-πSm，r（ω）eikωdω，其中Sm，r（ω）是随机变量mt和rtand i的互谱密度=√-这种协变量表示允许我们将协方差和方差分解为频率分量，并将短期相关性与长期相关性分离开来。