尾部风险、投资期限和资产价格

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然后，对于每个固定ω6=0 mod 2π，Im，rn，R（ω；τm，τR）（τm，τr）∈[0,1]=>2πDm（ω；τm）Dr(-ω; τr）（τm，τr）∈[0,1]，（28），其中Dm（ω；τm）和Dr（ω；τr），τ∈ [0, 1], ω ∈ R是中心的C值高斯过程，协方差结构为以下formCov（Dm（ω；τm），Dr（ω；τR））=2πfm，R（ω；τm，τR）。此外，族{Dm（ω；·），Dr（ω；·）：ω∈ [0，π]}是独立进程的集合。特别是，对于频率ω的任何有限集合，弱收敛（28）共同成立。对于ω=0 mod 2π，基于秩的copula交叉周期图的渐近行为如下：我们有djn，R（0；τ）=nτ+op（n1/2），其中余项的精确形式取决于过程中的联系数。因此，在命题1的假设下，我们有Im，rn，R（0；τm，τR）=n（2π）-1τmτr+op（1），其中1：=（1，1）∈ R、 A.1定理2Proof的证明。通过泰勒展开，我们得到，对于每个y，y>0，y-y=-y（y- y） +2ξ-3y，y（y- y） ，式中ξy，yis在y和y之间。设Rn（y，y）：=2ξ-3y，y（y- y） ，然后是XY-xy=xy-xy+xy-xy=y（y- y）-xy（x- x） +rn，（29），其中rn=xRn（y，y）+（x- x） /yWrite fa，bforfa，b（ω；τa，τb），Ga，bforbGa，bn，R（ω；τa，τb），Ba，bforba，b，（k）n（ω；τa，τb）和letx：=Ga，by：=Ga，ax：=fa，b+Ba，by：=fa，a+Ba，aBy定理1差异x-X和y-运营中的yare（（nbn）-1/2），关于τm，τr一致。假设nbn→ ∞, 作为n→ ∞, 这需要Ga，a-Ba，a→ fa，a，概率。对于ε≤ τ, τ≤ 1.- ε、 我们有fa，a>0，这样，根据连续映射定理，我们有（Ga，a- Ba，a）-3.→ f-3a，a，概率。当Ba，a=o（1），我们有y-3.- y-3=op（1）。

最后，由于ξ-3y，y≤ y-3个∨ y-3.≤ （y）-3个- y-3) ∨ 0+y-3=op（1）+O（1）=op（1），我们有Rn（y，y）=op（（nbn）-1).我们已经证明了bβm，rn，R（ω；τm，τR）-fa，b+Ba，bfa，a+Ba，a=fm，m[总经理，m-fm，m-Bm，m]-fm、rfm、m【总经理、总经理】-fm，r-Bm，r]+Op公司1/（nbn）,此外，注意设置x：=fa，b+Ba，by：=fa，a+Ba，ax：=fa，by：=fa，awe havefa，b+Ba，bfa，a+Ba，a-fa，bfa，a=fa，aBa，a-fa、bfa、aBa、b+ O（| Ba，a |+| Ba，b |）。通过引理1，我们得到了supτm，τr∈[ε,1-ε]d\'dω\'fm，r（ω；τm，τr）≤ Cε，`。因此，Bm，rsatis fi essupτm，τr∈[ε,1-ε]kX`=2b`n`！Zπ-πv`W（v）dvd`dω`fm，r（ω；τm，τr）= o（nbn）-1/4,这意味着| Ba，a |+| Ba，b |=o（nbn）-1/2.因此，pnbnbβm，rn，R（ω；τm，τR）-fa，bfa，a |{z}=：βm，r（ω；τm，τr）-fa，aBa，a-fa、bfa、aBa、b| {z}=：Bm，r，（k）n（ω；τm，τr）！和PNBNFM，m[总经理，r- fm，r- Bm，r]-fm，rfm，m[总经理，m- fm，m- Bm，m]在这个意义上是渐近等价的，如果其中一个弱收敛，那么另一个也弱收敛。接着是定理1、Slutzky引理和连续映射定理。A、 2定量光谱Beta点态置信带的构造根据Barun'k和Kley（2019）和定理2，我们构造了点态渐近（1-α） βm，rn，R（ω；τm，τR）实部和虚部的水平置信带如下：C（2）R，n（ωkn；τm，τR）：=<bβm，rn，R（ωkn；τm，τR）±<σm，R（2）（ωkn；τm，τR）Φ-1(1 - α/2），对于实部，andC（2）i，n（ωkn；τ，τr）：==bβm，rn，r（ωkn；τm，τr）±=σm，r（2）（ωkn；τm，τr）Φ-1(1 - α/2），分位数谱β的虚部。这里Φ代表标准正态分布的cdf，<σm，r（2）（ωkn；τm，τr）:= 0∨如果m=randτm=τr，则为0，Cov（Lm，r，Lm，r）+<Cov（Lm，r，Lr，m）否则，以及=σm，r（2）（ωkn；τm，τr）:= 0∨如果m=randτm=τr，则为0，Cov（Lm，r，Lm，r）- <Cov（Lm、r、Lr、m）否则式中，La，b=fa，a哈，a-fa、bfa、aHa、b.

σm，r（2）（ωkn；τm，τr）的定义是通过注意到对于任何复值随机变量Z，具有复共轭Z，Var（<Z）=Var（Z）+<Cov（Z，(R)Z）; Var（=Z）=Var（Z）- <C ov（Z，’Z）, （30）我们有Lm，r=Lr，m。此外，注意bβm，rn，r（ωkn；τm，τr）=1，如果m=r，τm=τr。我们使用Cov（La，b，Lc，d）表示Cov的估计量La，b（ωkn；τa，τb, Lc，d（ωkn；τc，τd）.回顾定理2中极限过程的定义，我们得出以下表达式：Cov（La，b，Lc，d）=fa，afc，cCov哈，a-fa、bfa、aHa、b、Hc、c-fc、dfc、cHc、d=Cov（Ha、a、Hc、c）fa、afc、c-fc、dCov（Ha、a、Hc、d）fa、afc、c-fa，bCov（Ha，b，Hc，c）fa，afc，c+fa，bfc，dCov（Ha，b，Hc，d）fa，afc，c，其中我们已经为分位数谱密度fi，j（ωkn；τi，τj）写了fi，jj，为极限分布Hi，j（ωkn；τi，τj）写了Hi，jj对于任何i，j=a，b，c，d。因此，考虑到a=c=m和b=d=r的特殊情况，我们有cov（Lm，r，Lm，r）=fm，mCov（Hm，m，Hm，m）-fr、mfm、mCov（Hm、m、Hm、r）-fm，rfm，mCov（Hm，r，Hm，m）+fm，r | fm，mCov（Hm，r，Hm，r）。对于a=d=m，c=b=r的特殊情况，我们有cov（Lm，r，Lr，m）=fm，mfr，rCov（Hm，m，Hr，r）-fm、rfm、mfr、rCov（Hm、m、Hr、m）-fm、rfm、mfr、rCov（Hm、r、Hr、r）+fm、rfm、mfr、rCov（Hm、r、Hr、m）。最后，我们用一致估计代替未知量。为了做到这一点，weabuse表示法使用fa，bto表示Ga，bn，R（ωkn；τa，τb），并根据Brillinger（1975）中的定理7.4.3，我们使用2πn·Wkn×”n-1Xs=1Wn2π（k-s） /不适用西尼罗河2π（k-s） /不适用Ga，cn，R（τa，τc；2πs/n）~Gb，dn，R（τb，τd；-2π序列号）+n-1Xs=1Wn2π（k- s） /不适用西尼罗河2π（k+s）/nGa，dn，R（τa，τd；2πs/n）~Gb，cn，R（τb，τc；-2π序列号）#（31）以估计Cov（Ha、b、Hc、d）。B罕见灾害风险模型和QS-betas我们展示了QS-betas如何与Nakamura等人的资产定价模型相关。

(2013).他们对Rietz（1988）和Barro（2006）最初提出的灾害风险模型的扩展使灾害能够在多个时期内展开，并在灾害发生后部分恢复。我们认为，QS Beta可以捕捉消费增长和股票回报之间复杂的联合动态。为了做到这一点，我们模拟了消费增长，并从罕见灾害模型的三种规格中求出了公平回报：1）模型中，灾难在多个时期内展开，然后发生部分恢复。2） 模型包含多个时期的灾难，但灾难是永久性的。3） 具有永久性单周期灾难的模型。我们假设Epsteinand Zin（1989）和Weil（1990）的偏好，并遵循Nakamura et al.（2013）的估计过程，使用他们的数据集、求解过程和偏好参数值。即，我们设置CRRA，γ=6.5，IES，ψ=2和贴现因子，β=exp(-0.034).图3显示了主要结果。图的第一行包含与去趋势消费和权益回报（非杠杆消费索赔回报）相关的典型灾难过程。我们观察到，在灾难开始时（消费首次下降），股本回报率也出现了明显的同期下降。如果灾难正在发生，灾难期结束后，股票回报率会出现明显的正跳。图的下面板包含QSβ及其90%置信区间，这些置信区间是根据各个模型模拟得出的。

每个模型模拟100次，每个模拟产生一个长度为50000年的时间序列（我们模拟每年的观测值）。我们可以看到，中位数的依赖性（由对应于τ=0.50的直线给出）在各规范中没有显著差异，并且在整个范围内是恒定的。这意味着，使用简单的基于协方差的度量，我们无法区分不同规格之间的关联动态。节理结构最重要的部分包含特定层位上节理分布的尾部。我们可以将一个时期和永久规范视为基准规范。在这种情况下，平均而言，极端事件是同时发生的，因此贝塔系数会跨越水平面。如果我们看一看正在发生灾难的情况，由于灾难的持续性，左尾的QSβ在更长的时间内达到峰值。对于多周期和暂时性灾害，上尾的QSβ与下尾的QSβ非常相似，因为在灾害结束后，消耗在多个时期内部分恢复，这反映了灾害发生时的联合动力学。另一方面，在多期永久性灾难的情况下，在灾难结束时，股票回报率出现正跳，但消费没有恢复。这使得QS Beta在更长的时间内达到峰值，因为在灾难结束时，消费增长和公平回报通常不会同时出现积极的跳跃。补充Nakamura等人（2013）的代码可从以下网站下载：https://eml.berkeley.edu/~enakamura/文件。htmlFigure 3：消费增长和股本回报之间的QS Beta。。第一行描述了Nakamura等人规定的各种罕见灾害风险模型的典型灾害。

(2013).第二行捕获这些规格的QSβ及其90%置信区间。对于每种规格，使用100个消费增长系列模拟和长度为50000的等长回归来估计QSβ。模型和参数值遵循Nakamura等人（2013）。5 10 150.0 0.5 1.0多期和过渡期典型灾害公平回报消耗5 10 150.0 0.5 1.0多期和永久性典型灾害公平回报消耗5 10 150.0 0 0.5 1.0一期和永久性典型灾害公平回报消耗0.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.4 0.6 0.8 1.0ω2πβ25Y 5Y0.050.500.950.0 0 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.0 8 1.0ω2πβ25Y 10Y5Y0.050.500.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.4 0.6 0.8 1.0ω2πβ25Y 10Y 5Y0.050.500.95C QS BetasC的特征。1分位数光谱β的汇总统计表3：描述性统计。表总结了两种分位数水平选择的完整模型中所有beta的基本描述性统计和相关性结构。贝塔值是使用1926年7月至2015年12月期间采样的CRSP数据库计算的。Presentedresults是根据我们最大的样本计算的，即使用至少有50年历史的股票。长周期由对应于3年周期和更长周期的频率给出。τ=0.05τ=0.10βCAP MβrellongβrelshortβEV RlongβEV RshortβCAP MβrellongβrelshortβEV RlongβEV RshortMean 1.068 0.310 0.098 0.726 0.016 1.068 0.197 0.051 0.632 0.015中等1.084 0.324 0.096 0.715 0.016 1.084 0.191 0.048 0.634 0.016St。开发人员。

0.372 0.208 0.083 0.296 0.065 0.372 0.164 0.064 0.212 0.051βCAP M1.000 0.234-0.188 0.595 0.041 1 1.000-0.040-0.100 0.435 0.066βrellong 0.234 1.000 0.147 0.688 0.032-0.040 1.000 0.275 0.595 0.055βrelshort-0.188 0.147 1.000-0.062-0.053-0.100 0.275 1.000 0.104-0.073βevlong 0.595 0.688-0.062 1.000 0.025 0.435 0.595 0.104 1.000 0.112βEVshort0.041 0.032-0.053 0.025 1.000 0.066 0.055-0.0730.112 1.000我们有兴趣了解估计分位数光谱β的分布揭示了什么，因此我们显示了TR、EVR和完整模型中使用的估计β的无条件分布。表3总结了所有估计beta的描述性统计数据。我们关注τ-0.05和0.10这两个值，并在顶部面板中给出估计参数的横截面平均值、中值和标准偏差。我们观察到所有beta平均为阳性。这对于相对trbeta尤其有趣，这意味着，粗略地说，平均股票对市场的尾部依赖性比简单的基于协方差的度量所建议的更高。表3的底部显示了TR、EVR和CAPMβ的相关结构。我们观察到长期beta之间以及长期EVRand-CAPM beta之间的更高相关值。然而，所有这些相关性都远低于1，这表明所有变量都可能拥有与资产相关风险相关的不同且潜在重要的信息。另一个有趣的观察结果是，长期和短期的相对β与CAPMβ几乎不相关，这正是我们希望看到的定义。为了进一步可视化分布特征，图4显示了分位数水平四个不同阈值的β的无条件分布。

我们观察到β的最大离散度为τ的最小值，对应于mostextreme情况。当我们移动到较高的τ值时，分布显示出较小的变化。此外，对于各自的风险，长期beta的分布比短期beta的分布更广泛。图4:TR和EVRβ在不同尾部的分布。图显示了短期和长期TR和EVRβ的无条件分布的核密度估计。给出的结果是根据我们最大的横截面计算的，即使用至少有50年历史的股票。长周期由对应于3年周期和更长周期的频率给出。0.0 0.5 1.0 1.50 2 4 6 8 QSβ分布，τ=0.01β密度βTRSβTRLβEVRSβEVRL0.0 0.5 1.0 1.50 2 4 6 8 QSβ分布，τ=0.05β密度βTRSβTRLβEVRSβEVRL0.0 0 0.5 1.0 1.50 2 4 6 8 QSβ分布，τ=0.1β密度βTRSβTRLβEVRSβEVRL0.0 1.0 1.50 2 6 8 QSβ分布β，τ=0.25β密度βTRSβTRLβEVRSβEVRLC。2稳健性检查：横向尾部风险和其他风险因素大量其他风险因素和公司特征已被文献记录为股票回报横向变化的重要驱动因素（Harvey et al.，2016）。虽然我们不试图包括所有详尽的控制措施，但我们想看看我们新定义的风险因素是否不包含在一组显著变量中，以及与收益分布的尾部和时刻相关的变量中。因此，我们自然关注下行指标，并使用Ang et al.（2006）提出的下行风险、Lettauet al.（2014）提出的下行风险β规格以及Farago和T’edongap（2018）最近提出的五因素广义失望厌恶（GDA5）模型。