风险度量组合理论

此外，fu满足Lebesgue连续性，如（iii）w hen X K∞, 例如，货币风险措施就是如此。4代表性4.1一般结果在本节中，我们根据ρI和f的性质揭示了关于组合风险度量ρ=f（ρI）代表性的结果。目的是强调这些术语的作用。我们从表示f的引理开始准备，它依赖于ρI引理4.1的性质。让X K∞. A函数f:X→ R、 具有单调性、平移不变性、凸性和Fatou连续性当且仅当它可以表示为f（R）=supu∈五、ZIRdu- γf（u）,  R∈ X，（4.1），其中γf:V→ R+∪ {∞} 定义为γf（u）=supR∈十、ZIRdu- f（R）. （4.2）证明。（4.1）具有单调性、平移变化性、凸性和Fatoucontinuity，这一事实很简单。对于唯if方向，可以将f（R）理解为π(-R） ，其中π是K上的Fatou连续凸风险测度∞. 请注意，它是有限的。因此，来自定理4.22 ofF¨ollmer and Schied（2016），它与定理2.4相似，但没有基本概率，f（R）=∞ 对于任何R∈ K∞\\我们有f（R）=π(-R） =supu∈五、ZIRdu- supR公司∈十、ZIRdu- f（R）= supu∈五、ZIRdu- γf（u）.备注4.2。当R=RXpoint-w仅适用于某些X∈ L∞, 我们的代表性为comesf（RX）=supu∈V{ρu（X）- γf（u）}。如果f具有正均一性，则γ值为0，单位为Vf={u∈ V:f（R）≥里尔德u， R∈ X}和∞ 否则例如，Vfu={u}和VfW C=V。请注意infu∈Vγf（u）=0，根据f的归一化假设。我们需要以下辅助结果，这可能是个人感兴趣的，用于在特定情况下交换上确界和积分，这在后验结果中很有用。followin-gLemma是集合和上确界（可数）可加性的推广。引理4.3。

设（I，G，u）为概率空间，hi:Y→ R、 我∈ 一、 非空空间Y上的一组有界泛函，使得I→ hi（yi）对任何{yi）都是G-可测的∈ Y、 我∈一} 。ThenZIsupy公司∈Yihi（y）du=sup{yi∈易，我∈一} ZIhi（yi）duwhere，对于任何I∈ 一： 易 Y、 Yi6=, 和supy∈Yihi（y）是G-可测的。证据注意，选择公理保证了{yi]的存在∈ 易，我∈ 一} 。对于每一个>0，我们就有另一个存在{yi∈ 易，我∈ 一} 这样的话∈伊希（y）-  ≤ 嗨（易）≤ 苏比∈Yihi（y）。然后，通过积分I与u的关系，我们得到了zisupy∈Yihi（y）du-  ≤紫黑（彝族）du≤ZIsupy公司∈Yihi（y）du。因此，我们得到了∈Yihi（y）du-  ≤ sup{yi∈易，我∈一} 紫黑（彝族）du≤ZIsupy公司∈Yihi（y）du。由于可以任意取，结果如下。我们还需要一个假设来规避一些可测量性问题，以避免后验测量相关概念的不确定性，如积分。假设4.4。当ρI={ρI:L∞→ R、 我∈ 一} 是Fatou连续凸风险测度的集合，我们假设以下映射对于任何集合{Qi都是G-可测的∈ P、 我∈ 一} ：（I）I→ EQi【X】， 十、∈ L∞.（二）一→ αminρi（Qi）。备注4.5。与假设2.8类似，作为一个单一的但不是唯一的例子，例如G，我们可以考虑由所有这些映射生成的sigma代数。请注意，地图i→ Qi（A），A.∈ F、 也是G-可测量的，因为通过选择X=1A，A∈ F、 对于任何Q，我们得到等式[1A]=Q（A）∈ P、 事实上，由于简单函数在L中是稠密的∞相反的含义也是正确的，可以对映射i作出可测性的假设→ Qi（A）， A.∈ F、 此外，还对映射i进行了G-度量→ αminρi（Q）， Q∈ P、 通过选取Qi=Q 我∈ 一、 注意，我们可以考虑扩展αminρ（Q）=∞,  Q∈ P\\Q，对于任何最小惩罚项。引理4.6。设ρI={ρI:L∞→ R、 我∈ 一} 是Fatou连续凸风险测度的集合。

然后A→RIQi（A）du定义任何{Qi]的概率度量∈ P、 我∈ 一} 。此外，对于任何{Qi，ERIQidu[X]=RIEQi[X]du∈ P、 我∈ 一} 和任意X∈ L∞.证据对于一些{Qi∈ P、 我∈ 一} 设Qu（A）=RIQi（A）du， A.∈ F、 bothQu直接() = 0和Qu(Ohm) = 对于可数可加性，设{An}n∈Nbe一组mutu allydisjoint集合。然后，自从我→ Qi（A）有界 A.∈ F我们有Qu(∪∞n=1An）=ZI∞Xn=1Qi（An）du=∞Xn=1ZIQi（An）du=∞Xn=1Qu（An）。因此，Qu是一个概率度量。考虑到我们对任何X的期望值∈ L∞那个x→ Qi（X≤ x） =FX，Qi（x）对于任何i都是单调且右连续的∈ I和，根据假设4.4，I→ Qi（X≤ x） 是G-可测量的。然后（x，i）→ Qi（X≤ x） is B（R） G可测量，确实可积。因此我们有了eRIQIDu[-十] =Z∞ZI（1- Qi（X≤ x） ）dudx+Z-∞子齐（X≤ x） dudx=ZIZ∞(1 - Qi（X≤ x） ）dx+Z-∞Qi（X≤ x） dx公司du=ZIEQi[-十] du。通过改变标志，我们得到了索赔。ρu所起的作用变得很清楚，因为它可以理解为元素RXu下的期望值∈ 十、因此，了解ρ的性质如何影响ρu的表示非常重要。Ang et al.（2018）的命题2.1探讨了一个具有有限个相干风险度量的案例，同时我们解决了一个具有任意一组凸风险度量的情况。定理4.7。设ρI={ρI:L∞→ R、 我∈ 一} 是Fatou连续凸风险测度和ρu：L的集合∞→ 定义见（2.7）。那么：（i）ρu可以表示为：ρu（X）=supQ∈Q{等式[-X]- αρu（Q）}， 十、∈ L∞, （4.3）具有凸的αρu：Q→ R+∪ {∞} 定义为αρu（Q）=infZIαminρi气du：ZIQidu=Q，Qi∈ Q 我∈ 我. （4.4）（ii）如果除ρiful fills外，每i∈ 一、 正均一性，则表示为ρu（X）=supQ∈cl（Qρu）等式[-十] ，则， 十、∈ L∞, （4.5）Qρu=Q∈ Q： Q=RIQidu，Qi∈ Qρi 我∈ 我凸面和非空。证据（i） 根据命题3.3和3.5，我们得到ρu是一个Fatou连续凸风险测度。

因此，我们有ρu（X）=ZIsupQ∈QnEQ公司[-X]- αminρi（Q）o！du=sup{Qi∈Q、 我∈I}ZI公司EQi公司[-X]- αminρi气du= supQ公司∈Q均衡器[-X]- inf公司ZIαminρi气du：ZIQidu=Q，Qi∈ Q 我∈ 我= supQ公司∈Q{等式[-X]- αρu（Q）}。我们使用引理4.3来交换supremu m，并使用引理4.6积分来交换期望。假设4.4用于保证积分有意义。请注意，αρu定义得很好，因为对于可能的组合的不同选择，不会改变上限，从而导致toRIQidu=Q。αρu的非负性很简单。我们还有αρu（Q）=∞ 对于任何Q∈ P\\Q.对于凸性，设λ∈ [0，1]，Q，Q∈ Q、 Q=λQ+（1- λ） Q，Qj={齐∈ Q、 我∈ 一} ：RIQidu=Qj, j∈ {1，2，3}和辅助集Qλ={（齐，齐）∈ Q×Q，i∈ 一} ：RI（λQi+（1- λ） Qi）du=Q. 我们得到λαρu（Q）+（1- λ） αρu（Q）≥ inf{Qi∈Q、 我∈I}∈Q、 {齐∈Q、 我∈I}∈QZIαminρi（λQi+（1- λ） Qi）du≥ inf{（Qi，Qi）∈Q×Q，i∈I}∈QλZIαminρi（λQi+（1- λ） Qi）du≥ inf{Qi∈Q、 我∈I}∈QZIαminρi（Qi）du=αρu（Q）。（ii）在此框架中，我们得到ρu（X）=ZIsupQ∈QρiEQ[-十] du=supnQi∈Qρi，i∈IoZIEQi公司[-十] du=supQ∈QρuEQ[-十] =supQ∈cl（Qρu）等式[-十] 。为了证明闭包不会影响上确界，让{Qn}∞n=1∈ Quρ等Qn→ 总变化定额中的Q。然后我们有EQ[-十] =limn→∞EQn[-X]≤ supnEQn公司[-X]≤ supQ公司∈QρuEQ[-十] 。由于每个Qρiis都是非空的，因此Qρu至少有一个元素Q∈ Q，因此Q=RIQidu，Qi∈ Qρi 我∈ 一、 让Q，Q∈ Qρu。那么，对于任何λ∈ [0，1]λQ+（1- λ） Q=RIλQi+（1- λ） Qi公司du。因为Qρiis对于任何i都是凸的∈ 我有λQ+（1- λ） Q∈ Qρu（根据需要）。S直到表明αminρuisan指示剂作用于cl（Quρ）。注意αminρi（Qi）=0， 气∈ Qiρ。因此，αρu在Qρu上定义得很好，我们得到了0≤ αminρu（Q）≤ αρu（Q）=0，Q∈ Qρu。由于lowersemi连续性，对于序列inQρu中的任何极限点Q，αminρu（Q）=0。

如果Q∈ Q\\cl（Qρu），然后αminρu（Q）=∞, 否则将违反双重表示。备注4.8。在这种情况下，我们可以将αρu理解为由理论测度和积分概念表示的任意项的inf卷积概念的某种扩展。事实上，有限风险度量的总和导致其惩罚函数的inf卷积。通过外推论证，这样的结果对于凸泛函任意混合的一般共轭也是有用的。备注4.9。注意，我们可以考虑家庭{Qi∈ P、 我∈ 一} 通过将αρu和Qρu归为u-a.s.的确定集，而不是I.中的逐点定义。这是因为标准是关于每个指定u的勒贝格积分∈ 五、 我们选择逐点选择，以保持模式，因为我们没有在文本旁边假设（I，G）的固定概率。此外，定义αρu和Qρu的积分也可以理解为Bochner积分，详情参见Aliprantis和Border（2006）第11章。备注4.10。我们得到αρu是下半连续的当且仅当它与αminρu重合。这是因为当αρu是下半连续的，由勒让德-芬切尔共轭的双对偶性和ρu=（αρu）的事实*, 我们得到αρu=（αρu）**= (ρu)*= αminρu。因此，αminρu是αρu的下半连续壳，在这个意义上，我们可以通过闭合Q×R中的αρu的曲线图来获得Firs t+∪{∞}. 在I的有限基数的情况下，Qρu闭合，如ofAng等人（2018）的命题2.1所示，这使得在这种情况下，可以在（4.5）上放弃闭合。我们现在有必要的条件来阐明本节中的主要结果，这是在定理2.4的通常框架中对组合风险度量的表示。定理4.11。

设ρI={ρI:L∞→ R、 我∈ 一} 是Fatou连续凸风险测度的集合，f:X→ R具有单调性、平移不变性、凸性和法图连续性，ρ：L∞→ 定义为ρ（X）=f（ρI（X））。那么：（i）ρ可以表示为ρ（X）=supQ∈Q{等式[-X]- αρ（Q）}， 十、∈ L∞, （4.6）式中，αρ（Q）=infu∈V{αρu（Q）+γf（u）}，γfand和αρu分别如（4.2）和（4.4）所定义。（ii）如果除初始假设外，f具有正同质性，则惩罚项变为αρ（Q）=infu∈Vfαρu（Q），其中Vfis如Remark4.2所示。（iii）如果除了初始假设ρiPosses之外，对于任何∈ 一、 正均一性，则αρ（Q）=∞  Q∈ Q \\∪u∈Vcl（Qρu）。（iv）如果除了初始假设之外，我们还有（ii）和（iii）中的情况，那么ρ的表示变成ρ（X）=supQ∈QVfρEQ[-十] ，则， 十、∈ L∞, （4.7）其中QVfρ是∪u∈Vfcl（Qρu）。证据根据假设和命题3.5，我们得出ρ是一个Fatou连续对流风险度量。（i） 根据引理4.1和定理4.7，我们得到ρ（X）=supu∈V（supQ∈Q[等式[-X]- αρu（Q）]- γf（u））=supQ∈Q均衡器[-X]- infu∈V[αρu（Q）+γf（u）]= supQ公司∈Q{等式[-X]- αρ（Q）}。（ii）如果f具有正均一性，则γ值为Vfand中的0∞ 否则因此，我们得到αρ（Q）=infu∈V{αρu（Q）+γf（u）}=infu∈Vfαρu（Q）。（iii）当ρIful的每个元素都具有正同质性时，我们得到αρu（Q）=∞  u ∈ V对于任何Q∈ Q \\∪u∈Vcl（Qρu）。通过加上非负项γf（u）并取V的最大值，我们得到了索赔。（iv）在这种情况下，生成的ρ与定理3.5一致。此外，在这种情况下，从引理4.1和命题4.7到项目（ii）和（iii），我们得到ρ（X）=supu∈VfsupQ∈cl（Qρu）等式[-十] =supQ∈∪u∈Vfcl（Qρu）等式[-十] =supQ∈QVfρEQ[-十] 。为了验证通过考虑闭凸包不会改变上确界，设Q，Q∈ ∪u∈Vfcl（Qρu）和Q=λQ+（1- λ） Q，λ∈ [0, 1].

ThenEQ公司[-X]≤ 最大值（等于[-十] ，EQ[-十] （）≤ su pQ∈∪u∈Vfcl（Qρu）等式[-十] 因此，凸组合不会改变上确界。对于闭包，该扣减与T heorem4.7证明中使用的扣减非常相似。我们还发现αminρ是QVfρ的指标。这一事实是正确的，因为在这种情况下，αρu（Q）=0表示至少一个u∈ Vffor anyQ∈ ∪u∈Vfcl（Qρu）。这同样适用于凸组合，极限点是由于αminρ的凸性和下半连续性。备注4.12。注意，当f=fu时，我们恢复定理4.7中的结果。此外，QVfρQρW Csince f≤ fW Cfor任何有界组合f。此外，当αρu为下半连续时，我们发现αρ与最小惩罚项重合，因为αminρ（Q）=supX∈L∞{等式[-X]- f（RX）}=supX∈L∞（等式[-X]- supu∈V{ρu（X）- γf（u）}）=infu∈五、γf（u）+supX∈L∞{等式[-X]- ρu（X）}= αρ（Q）。因此，Remark4.10中的推理在这里也是有效的。备注4.13。在现金次加性或相关性下，Q上的上确界可以分别用次概率（度量(Ohm, F） 带Q(Ohm) ≤ 1） 或与P等价的概率。在f的拟凸性下，去掉其凸性和平移不变性，我们得到表示ρ（X）=supu∈VRf（ρu（X），u），其中Rf:R×V→ R定义为RF（x，u）=inff（R）：RIRdu=x. 详见Remark3.8中的相关文件。关于ρW c的具体情况，命题9 inF¨ollmer和Schied（2002）指出，它可以由非必然凸的αρW c（Q）=infi表示∈IαminρI（Q）， Q∈ Q、 Undercoherence，定理2.1 of Ang et al.（2018）声称QρW C=conv(∪ni=iQρi），当i与基数n为整数时。我们现在给出一个结果，说明这些事实与我们的方法之间的等价性，并对其进行推广。提案4.14。设{ρi:L∞→ R、 我∈ 一} 是Fatou连续凸风险测度的集合，ρW C:L∞→ 定义见（2.10）。

然后：（i）αρW C（Q）=infu∈Vαρu（Q）=infi∈IαminρI（Q）， Q∈ Q、 （ii）如果除了初始假设ρiposses之外，对于任何i∈ 一、 正齐性，则QρW C=QVρ，这是∪我∈IQρi.证明。根据命题3.3和3.5，我们得到当所有ρialso都为时，ρW为Fatou连续凸风险测度。此外，从|ρW C（X）|≤ kXk公司∞< ∞ 我们发现ρW Ctakes仅为有限值。（i） 对于固定Q∈ P、 对于任何大于0的值，都是j∈ 我就是这样∈IαminρI（Q）≤ αminρj（Q）≤ infi公司∈IαminρI（Q）+。回想一下infi∈IαminρI（Q）≤ αρu（Q）≤任何u的RIαminρi（Q）du∈ 五、 那么，对于任何>0的情况，都有u∈ V su ch thatinfi公司∈IαminρI（Q）≤ αρu（Q）≤ infi公司∈IαminρI（Q）+。通过取V上的最小值，由于是任意取的，我们得到αρW C（Q）=infi∈IαminρI（Q）。（ii）从命题3.3和3.5中，我们得到当所有ρialso为时，ρW Cis为Fatou连续一致风险测度。因此，根据定理2.4，它具有双重表示。然后我们得到ρW C（X）=supi∈IsupQ∈QρiEQ[-十] =supQ∈∪我∈IQρiEQ[-十] 。通过考虑闭凸包不会改变supremu m的事实遵循与定理4.11中的证明类似的步骤。我们有∪我∈IQρiis非空，因为每个Qρi至少包含一个元素。此外，αminρW是Q之后的指示函数∈ ∪我∈IQρi，则αminρi（Q）=0，至少一个i∈ 一、 因此0≤ αminρW C（Q）≤αρW C（Q）=0。我们必须考虑Q是一个凸组合或来自并集的alimit点的情况。在这两种情况下，αminρW C（Q）=0，分别来自于αminρW C的凸性和lowersemi连续性。因此，QρW包括闭凸hullof∪我∈IQρi.关于与QVρ的等价性，请注意，对于任何i∈ 我有那个Q∈ Qρiif且仅当Q∈ clQρδi，w此处δi∈ V定义为δi（A）=1A（i）， A.∈ G、 因此，我们得到∪我∈IQρi ∪u∈Vcl（Qρu）。

通过考虑闭凸壳，我们得到qρW C QVρ。对于对流关系，请注意，如果Q∈ ∪u∈Vcl（Qρu），然后αminρW C（Q）≤infu∈Vαρu（Q）=infi∈IαminρI（Q）=0。因此，Q∈ QρW Cas d esir ed.4.2法律不变性情况根据ρI中各成分的法律不变性，生成的ρ可根据定理2.7中的公式表示。我们开始讨论可测量性问题。引理4.15。设ρI={ρI:L∞→ R、 我∈ 一} 是一组定律不变的凸风险测度。那么下面的映射对于任何{mi]都是G-可测的∈ M、 我∈ 一} ：（I）I→R（0,1）ESα（X）dmi， 十、∈ L∞.（二）一→ mi（B）， B∈ B（0，1），其中B（0，1）是（0，1）上的B orel-sigma代数。（iii）i→ βminρi（mi）。证据对于任何固定的{mi∈ M、 我∈ 一} 以下内容：（I）对于任何mi∈ M有气∈ Q使得r（u，1）vdmi=F-1dQidP（1- u） 。然后，从ES的定义和Hardy-Littlewood不等式来看，以下关系成立：Z（0,1）ESα（X）dmi=-采埃孚-1X（α）F-1dQidP（1- α） dα=supY~XEQi公司[-Y）]。根据假设4.4，我们得到→ EQi公司[-Y]对于任何Y都是G-可测的~ 十、 此外，对于任何n∈ N、 有Yn~ X使得gn（i）=EQi[-Yn]+n≥ 苏比~XEQi公司[-Y]≥ EQi公司[-Yn]=hn（i）。请注意，对于所有n，GN和HNA都是G-可测量的∈ N和u-任何u的整数∈ Vsince EQi公司[-Yn]有界。g=lim infn也是如此→∞G和h=lim supn→∞hn。在这种情况下，我们有g（i）≥ αminρi（Q）≥ h（i）， 我∈ 一、 此外，我们还有哈维齐（gn- hn）du≤n n∈ N u ∈ 五、 从Fatou引理可以看出，0≤ZI（g- h） du≤ lim信息→∞ZI（gn- hn）du=0。因此，对于任何u，g=hu-a.s∈ 五、 自δi起∈ 五、 我∈ 一、 δI（A）=1A（I）， A.∈ G、 我们是否明智地得到G=h点。那么我→R（0,1）ESα（X）dmi=supY~XEQi公司[-Y]=g（i）=h（i）对于任何{mi]是g-可测的∈ M、 我∈ 一} 。（ii）出租B∈ B（0，1）。然后我们可以写B=∪n（an，bn），即区间的可数并（an，bn） (0, 1].

现在，对于每个n，我们定义一对Xn，Yn∈ L∞使得P（Xn=-1） =bn，P（Xn=0）=1- bn，P（Yn=-1） =an，P（Yn=0）=1- 一因此，对于任何mi∈ Mwe have thatmi（B）=XnZ（0,1）（an，bn）dmi=XnZ（0,1）（0，bn）dmi-Z（0,1）（0，an]dmi！=XnZ（0,1]ESα（Xn）dmi-Z（0,1）ESα（Yn）dmi！。根据第（i）项，我们有→ mi（B）=PnR（0,1）ESα（Xn）dmi-R（0,1）ESα（Yn）dmiG-可测于任何{mi∈ M、 我∈ 一} 。（iii）从第（i）项到定理2.4和2.7，我们得到βminρi（mi）=sup（αminρi（Q）：dQdP~dQidP，Z（u，1）vdmi=F-1dQidP（1- u） ，Qi∈ Q） =αminρi（Qi）。因此，根据假设4.4，映射i→ βminρi（mi）=αminρi（Qi）是任何{mi的G-可测∈ M、 我∈ 一} 。当ρu是定律不变的时，我们现在需要一个辅助结果来表示。下一个建议就是沿着这个方向。提案4.16。设ρI={ρI:L∞→ R、 我∈ 一} 是定律不变凸风险测度和ρu：L的集合∞→ 定义见（2.7）。那么：（i）ρu可以表示为：ρu（X）=supm∈M（Z（0,1）ESα（X）dm- βρu（m））， 十、∈ L∞, （4.8）凸面βρu：M→ R+∪ {∞}, 定义为βρu（m）=infZIβminρi（mi）du：ZImidu=m，mi∈ M 我∈ 我. （4.9）（ii）如果除ρiful fills外，每i∈ 一、 正均一性，则表示为ρu（X）=supm∈cl（Mρu）Z（0,1）ESα（X）dm， 十、∈ L∞, （4.10）Mρu=m级∈ M： M=边缘u，mi∈ Mρi 我∈ 我非空且凸面。（iii）如果ρialso为，则对于每个i∈ 一、 则表示为ρu（X）=Z（0,1）ESα（X）dm， 十、∈ L∞, （4.11）其中m∈ cl（Mρu）。证据从假设和命题3.5到定理2.6，我们得出ρu是alaw不变的凸风险度量。Theorem2.6确保其Fatou连续性。证明遵循与定理4.7中mi相似的步骤→R（0,1）ESα（X）dmilinear与发挥气的作用→ EQi公司[-十] 。请注意，从Lemm a4.15，i→R（0,1）ESα（X）dmis G-可测。对于（iii）中的共单调情形，结果是由于（2.5）中每个ρi的上确界。备注4.17。