风险度量组合理论

σ（L∞, 五十） 已关闭。（ii）ρi是Fatou连续一致风险度量，当且仅当它可以表示为：ρ（X）=supQ∈QρEQ[-十] ，则， 十、∈ L∞, （2.2）其中Qρ Q是非空的、闭的和凸的，称为ρ的对偶集。示例2.5。风险度量的示例：（i）预期损失（EL）：这是一个Fatou连续ou定律不变的协方差风险度量，定义为EL（X）=-E[X]=-射频-1个ds。我们有AEL={X∈ L∞: E[X]≥ 0}和QEL={P}。（ii）风险价值（VaR）：这是一个法图连续定律不变的货币风险度量，定义为V aRα（X）=-F-1X（α），α∈ [0, 1]. 我们有AV aRα={X∈ L∞: P（X<0）≤ α}.（iii）预期短缺（ES）：这是一个法图连续定律不变的共单调一致风险度量，定义为ESα（X）=αRαV aRs（X）ds，α∈ （0，1）和ES（X）=V aR（X）=- ess inf X.我们有AESα=十、∈ L∞:RαV aRs（X）ds≤ 0QESα=nQ∈ Q：dQdP≤αo.（iv）最大损失（ML）：这是一个法图连续定律不变的相干风险度量，定义为M L（X）=-ess inf X=F-1X（0）。我们有AML={X∈ L∞: 十、≥ 0}和qml=Q。当存在定律不变性时（大多数实际应用中都是这种情况），就会出现有趣的特征。定理2.6（Jouini et al.（2006）的定理2.1和Svindland（2010）的建议1.1）。设ρ：L∞→ R是一个定律不变的凸风险测度。那么ρ是法头连续的。定理2.7（Kusuoka（2001）的定理4和7，Acerbi（2002）的定理4.1，Ritelli和Rosazza Gianin（2005）的定理7）。设ρ：L∞→ R是一种风险度量。

那么：（i）ρ是一个定律不变的凸风险测度当且仅当它可以表示为：ρ（X）=supm∈M（Z（0,1）ESα（X）dm- βminρ（m））， 十、∈ L∞, （2.3）其中M是（0，1）上的概率测度集，βminρ：M→ R+∪ {∞}, 定义为βminρ（m）=s upX∈AρR（0,1）ESα（X）dm。（ii）ρi是一个定律不变的相干风险度量，当且仅当它可以表示为：ρ（X）=supm∈MρZ（0,1）ESα（X）dm， 十、∈ L∞, （2.4）其中Mρ=m级∈ M： R（u，1）vdm=F-1dQdP（1- u） ，Q∈ Qρ.（iii）ρ是一个规律不变的共单调相干风险测度，当且仅当它可以表示为：ρ（X）=Z（0,1）ESα（X）dm， 十、∈ L∞, （2.5）其中m∈ Mρ。2.3拟用方法ρI={ρI:L∞→ R、 我∈ 一} 是一些（先验指定的）风险度量集合，其中我是一个非空集。我们为固定的X写∈ L∞, ρI（X）={ρI（X），I∈ 一} 。我们希望将风险度量定义为ρ（X）=f（ρI（X）），其中f是某种组合（聚合）函数。当I与维数n限定时，我们有f:Rn→ R、 这种情况在实际问题中很常见，它简化了框架。然而，正如介绍中所揭示的，当我是一个任意集时，我们需要一个更复杂的设置。这种复杂性的例子是，在这种情况下，我们可能需要处理积分和可测性，一些集合操作可能需要注意保持拓扑性质，并且没有一个正则泛函空间作为f的域。考虑可测空间（I，G），其中G是I中子集的sigma代数。我们定义K=K（I，G）和K∞= K∞（I，G）分别为（I，G）上的逐点有限和有界随机变量空间。在这些空间中，我们从点的角度理解等式、不等式和极限。我们将V定义为（I，G）中的概率度量集。为了避免可测量性问题，我们做出以下假设。假设2.8。

地图RX:I→ R、 定义为RX（i）=ρi（X），可对任意X进行G-测量∈ L∞.备注2.9。一个可能但并非唯一的选择是当G=σ（{i→ ρi（X）：X∈ L∞}) =σ（{R-1X（B）：B∈ B（R），X∈ L∞}), 其中，B（R）是R的Borel集。当然，其他可能性是幂集2I。感兴趣的一种情况是，G是Borel-sigma代数，而i→ ρi（X）对于任何X都是连续的。例如，i=R和ρi由V aRior ESi组成的情况就是这样。因此，我们可以将f的域与X=XρI=span（{R∈ K：十、∈ L∞s、 t.R（i）=ρi（X），我∈ I}∪{1} ）=跨度（{R∈ K： R=RX，X∈ L∞}∪{1}). 线性范围是为了保留向量空间运算。我们可以用RXbyρI:L来识别ρI（X）∞→ 十、通过归一化，我们得到R=0。当ρI（X）有界时，这是自ρ（X）以来任何货币风险度量的情况≤ ρ（ess inf X）=- ess inf X<∞, 类似于ρ（X）≥ - ess sup X>-∞ ,我们有X K∞. 在此框架下，组合是一个函数f:X→ R、 必要时，我们使用f（R）=∞ 对于R∈ K\\X。我们认为归一化组合函数为f（R）=f（0）=0。示例2.10。第一种情况下的风险度量是一个函数ρW C:L∞→ 定义为ρW C（X）=supi∈IρI（X）。（2.6）当代理人（投资者、监管机构等）寻求保护时，通常会考虑这种风险度量。当我确定时，上确界当然是最大值。这个组合是点-w ise supremu m fW C（R）=sup{R（i）：i∈ 一} 。如果X K∞, 然后ρW C<∞. 当I=QandρQ（X）=EQ时[-X]- α（Q），带α：Q→ R+∪ {∞} inf{α（Q）：Q的此类th∈ Q} =0，我们得到ρW c是一个Fatou连续凸风险测度，如定理2.4中的（2.1）。类似地，对于非空闭凸I Q和ρQ（X）=等式[-十] ，我们将ρW c表示为与定理2.4中的（2.2）相同的Fatou连续一致风险度量。

可以进行类似分析，以获得定理2.7中分别如（2.4）和（2.3）所示的不变性凸风险测度和一致风险测度。示例2.11。加权风险度量是一个函数ρu：L∞→ 定义为ρu（X）=ZIρi（X）du，（2.7），其中u是（i，G）上的概率。该风险度量代表了关于u的Rx预期。自从我→ ρi（X）是G-可测的，积分定义良好。此外，当∈ K∞. 当I为有限时，ρu是构成ρI的泛函的凸混合。组合函数为fu（R）=RIRdu。我们有|ρu（X）- ρu（X）|≤ |ρW C（X）| ku-ukT V，其中k·kT为总变化范数。因此，在选择概率度量u方面，它在某种程度上是连续的（稳健的）∈ 五、 如果I=（0，1）且ρI（X）=ESi（X），则ρu（X）将一个定律不变的共单调凸风险度量定义为（2.5），由于定理2.6，它是Fatoucontinuous的。示例2.12。光谱（失真）风险度量是一个函数ρφ：L∞→ 定义为ρφ（X）=ZV aRα（X）φ（α）dα，（2.8），其中φ：[0，1]→ R+是一个非增函数，使得Rφ（u）du=1。任何定律不变量都可以用这种方式表示。该表示与（2.5）中的表示之间的关系由r（u，1）vdm=φ（u）给出，其中m∈ Mρ。当φ不为非递增时，我们发现风险度量不是凸的，并且表示为ES d oes的组合不成立。设I=[0，1]，λ为勒贝格测度，u<< λ，φ（i）=F-1dudλ（1- i） 。ThusRIφdλ=1，ρφ（X）=RIρi（X）φ（i）dλ。通过选择ρi（X）=V aRi（X），我们得到任何光谱风险度量都是ρu的特例。示例2.13。考虑风险度量ρu（X）：L∞→ 定义为ρu（X）=u（ρI（X）），（2.9），其中u:X→ R是一种货币效用，如果R≥ S、 然后u（R）≥ u（S）和u（R+C）=u（R）+C，C∈ R、 在这种情况下，组合为fu=u。

请注意，u（R）可以用π表示(-R） 这里π是X上的风险度量。例如，可以选择π作为EL、VaR、ES或ML。在这些情况下，我们将获得一些基本概率u，分别为以下组合：fu，f-1R，u（1- α） ，αRαF-1R，u（1- s） ds和ess supuR。示例2.14。对于本例，考虑L∞上逐点有界随机变量空间(Ohm, F） 。我们表示F={FX，Q:X∈ L∞, Q∈ P} 。在这种情况下，不确定性与我 P我们可以根据直觉的想法来定义风险度量，即我们从代表情景的不同概率中获得相同的函数。在这种情况下，基于概率的风险度量是一系列风险度量ρI={ρQ:L∞→ R、 Q∈ 一} ρQ（X）=Rρ（FX，Q）， 十、∈ L∞,  Q∈ 一、 （2.10）其中Rρ：F→ R称为风险函数。这是第6节和第7节的框架。它可以用来处理概率问题和不确定性。事实上，在与离散度和偏差相关的F的适当选择下，可以使用我们的方法来量化模型的不确定性。3属性3.1组合属性在本节中，我们根据ρ和f的属性揭示了组合风险度量ρ=f（ρI）的属性保留结果。我们首先定义组合f的属性。定义3.1。组合f:X→ R可能具有以下性质：（i）单调性：如果R≥ S、 然后f（R）≥ f（S）， R、 S∈ 十、（ii）平移不变性：f（R+C）=f（R）+C， R、 S∈ 十、 C∈ R、 （iii）正均质性：f（λS）=λf（S）， R∈ 十、 λ ≥ 0。（iv）凸度：f（λR+（1- λ） S）≤ λf（R）+（1- λ） f（S）， λ ∈ [0, 1],  R、 S∈ 十、（v） 可加性：f（R+S）=f（R）+f（S）， R、 S∈ 十、（vi）Fatou连续性：If limn→∞Rn=R∈ K∞, 使用{Rn}∞n=1 X有界，然后是f（R）≤lim信息→∞f（Rn）。备注3.2。

组合函数f的此类属性与定义2.1中所示的风险度量的属性平行。从那里注意标志中的调整。我们不分青红皂白地将相同的术语用于f和ρ，并进行推理以适应上下文。我们可以为这一组合强加一套明确的支持关系。然而，我们选择保留一个更一般的框架，在那里它可能具有或不具有这样的属性。提案3.3。让X K∞. 我们有：（i）fW Cde定义如示例2.10所示，完整地描述了单调性、平移不变性、正同质性、凸性和Fatou连续性。（ii）如例2.11所定义的fu，ful fills单调性、平移不变性、正同质性、凸性、可加性和Fatou连续性。证据（i） 单调性、平移不变性、正齐性和凸性直接从上确界的定义中获得。关于Fatou连续性，让{Rn}∞n=1 X有界，使得limn→∞Rn=R∈ K∞. 那么我们得到fw C（R）=sup limn→∞注册护士≤ lim信息→∞sup Rn=lim infn→∞fW C（Rn）。（ii）从积分的性质来看，fu尊重单调性、平移方差、正齐性、凸性和可加性。对于Fatou连续性，设{Rn}∞n=1 X有界，使得limn→∞Rn=R∈ K∞. 然后我们从支配收敛得到fu（R）=ZIlimn→∞Rndu≤ lim信息→∞ZIRndu=lim infn→∞fu（Rn）。备注3.4。注意，对于具有有界性的任意组合f，即| f（R）|≤fW C（R）， R∈ X，我们有ρ（X）≤ ρW C（X）。因此，ρW C Aρ。从T heorem2.4应用于K上的泛函∞, 我们有{fu}u∈Vare the only combination functions that full all properties in definition3.1.3.2金融资产我们现在专注于金融资产的保护。提案3.5。设ρI={ρI:L∞→ R、 我∈ 一} 是风险度量的集合，f:X→ R、 和ρ：L∞→ 风险度量定义为ρ（X）=f（ρI（X））。

然后：（i）如果由单调风险测度组成的ρIis和f具有相同的性质，则ρ也具有相同的性质。（ii）如果由具有平移不变性的风险度量组成的ρIis和f具有相同的性质，则ρ也具有相同的性质。（iii）如果由具有凸性的风险度量和f组成的ρIis在具有单调性的情况下具有相同的性质，那么ρful将填充凸性。（iv）如果由具有正同质性的风险度量组成的ρIis和f具有相同的性质，则ρ也具有相同的性质。（v） 如果ρIis由法律不变性风险度量组成，那么ρful将定义法律不变性。（vi）如果ρIis由共单调风险度量和全加性组成，则ρ具有共单调加性。（vii）如果ρIis由Fatou连续的逐点有界风险测度组成，且f具有Fatou连续性和单调性，则ρ也具有Fatou连续性。证据（i） 设X，Y∈ L∞带X≥ Y然后ρi（X）≤ ρi（Y）， 我∈ 一、 因此，RX≤ Ry和ρ（X）=f（RX）≤ f（RY）=ρ（Y）。（ii）让X∈ L∞和C∈ R、 ρi（X+C）=ρi（X）- C 我∈ 一、 因此，ρ（X+C）=f（RX+C）=f（RX- C） =f（RX）- C=ρ（X）- C、 （iii）设X，Y∈ L∞和λ∈ [0, 1]. 然后ρi（λX+（1- λ） Y）≤ λρi（X）+（1- λ） ρi（Y）， 我∈ 一、 因此，ρ（λX+（1- λY））=f（RλX+（1-λY））≤ f（λRX+（1- λ） RY）≤ λρ（X）+（1- λ） ρ（Y）。（iv）让X∈ L∞和λ≥ 然后ρi（λX=λρi（X）， 我∈ 一、 因此ρ（λX）=f（RλX）=f（λRX）=λf（RX）=λρ（X）。（v） L et X，Y∈ L∞使FX=FY。当ρi（X）=ρi（Y）， 我∈ 一、 因此RX=RYpoint-w isely。因此，RX和RY在X上属于相同的等价类，ρ（X）=f（RX）=f（RY）=ρ（Y）。（vi）设X，Y∈ L∞成为一对伴侣。那么ρi（X+Y）=ρi（X）+ρi（Y）， 我∈ 一、 因此，ρ（X+Y）=f（RX+Y）=f（RX+RY）=f（RX）+f（RY）=ρ（X）+ρ（Y）。（vii）Let{Xn}∞n=1 L∞用limn装饰→∞Xn=X∈ L∞. 然后ρi（X）≤ lim信息→∞ρi（Xn）， 我∈一、 自supn起∈NρI（Xn）≤ supn公司∈NkXnk∞< ∞, 我们得到{RXn}是有界的。

因此ρ（X）=f（RX）≤ f（lim信息→∞RXn）≤ lim信息→∞f（RXn）=lim infn→∞ρ（Xn）。备注3.6。逆向关系并不总是有保证的。例如，示例2.12中的光谱风险度量是凸的，尽管集合{V aRα，α∈ [0，1]}不是通用的。此外，次可加性的保持，即ρ（X+Y）≤ ρ（X）+ρ（Y）， 十、 Y型∈ L∞, 与通过替换属性获得的凸性相似。seeKou等人（2013）也提出了相同的共单调凸性和共单调次可加性，这是共单调对的宽松对应。为完整起见，我们现在研究风险度量文献中其他属性的保存。提案3.7。设ρI={ρI:L∞→ R、 我∈ 一} 是风险度量的集合，f:X→ R、 和ρ：L∞→ 风险度量定义为ρ（X）=f（ρI（X））。然后：（i）如果由具有凸性的风险测度和f组成的ρIis具有单调性和拟凸性，即f（λR+（1- λ） S）≤ 最大{f（R），f（S）}， λ ∈ [0, 1],  R、 S∈ X，然后ρful填充拟凸性。（ii）如果ρIis由具有现金次加性的风险度量组成，即ρi（X+C）≥ ρi（X）-C C∈ R+， 十、∈ L∞, f具有单调性和平移不变性，ρ具有Cash次可加性。（iii）如果ρIis由具有相关性的风险度量组成，即X≤ 0和P（X<0）>0表示ρi（X）>0， 十、∈ L∞, f具有严格的单调性，即R>S意味着f（R）>f（S）， R、 S∈ X，则ρ具有相关性。（iv）如果ρIis由具有盈余不变性的风险度量组成，即ρi（X）≤ 0和Y-≤ 十、-隐含ρi（Y）≤ 0,  十、 Y型∈ L∞, f对f具有单调性≥ fW C，则ρ具有剩余不变性。证据（i） 设X，Y∈ L∞和λ∈ [0, 1]. 然后ρ（λX+（1- λ） Y）=f（RλX+（1-λY））≤f（λRX+（1- λ） RY）≤ 最大值{ρ（X），ρ（Y）}。（ii）取X∈ L∞和C∈ R+。然后ρ（X+C）≥ f（RX- C） =f（RX）- C=ρ（X）- C、 （iii）让X∈ L∞这样X≤ 0和P（X<0）>0。

然后ρI（X）>X中的0点。因此，从f的严格单调性我们得到ρ（X）=f（RX）>0。（iv）设X，Y∈ L∞使得ρ（X）≤ 0和Y-≤ 十、-. 因此，从假设中我们得到ρi（X）≤ fW C（RX）≤ f（RX）≤ 0表示任何i∈ 一、 这导致ρI（Y）≤ 明智的0分inX。因此，ρ（Y）=f（RY）≤ 0、备注3.8。参见Cerreia Vioglio等人（2011）、El Karoui和Ravanelli（2009）、Delbaen（2012）和Koch Medina等人（2017），分别了解准凸性、现金次加性、相关性和盈余不变性的详细信息。不幸的是，ρIis不保持iff的拟凸性是单调的、拟凸的（甚至是凸的）。这种主张的证明依赖于这样一个事实，即X没有一个总的顺序，与实数行的情况相反，其中fo ρ将是准凸的。此外，即使在最后一个建议的第（i）项中所揭示的情况下，为了保证现金次可加性的保留，这是拟凸性的典型伴随，我们必须假设f具有平移不变性。由于这将意味着合作，我们将回到论文的原始框架。3.3连续性属性在本小节中，目标是保持法图连续性之外的连续性属性。提案3.9。设ρI={ρI:L∞→ R、 我∈ 一} 是按点有界风险度量的集合，f:X→ R、 和ρ：L∞→ 风险度量定义为ρ（X）=f（ρI（X））。然后：（i）如果ρIis由Li-pschitz连续风险度量和f-ful-fills单调性、次加性组成，即。

f（R+S）≤ f（R）+f（S），R、 S∈ X和有界性，那么ρ是lipschitz连续的。（ii）如果ρIis由从上、下或Lebesguef具有连续性的风险度量组成，且f是Fatou连续的，则ρ分别对于非递增序列、非递减序列或任何序列是Fatou连续的。（iii）如果ρIis由从上到下或从Lebesgue连续性中具有任何性质的风险度量组成，并且f是Lebesgue连续的，即limn→∞Rn=R意味着f（R）=limn→∞f（Rn）， {Rn}∞n=1 X有界且任意R∈ 十、∩ K∞, 那么ρ也是。证据（i） 从f和RX的单调性和次可加性≤ RY+| RX- RY |我们有| f（RX）- f（RY）|≤ f（| RX- RY |）。此外，|ρi（X）- ρi（Y）|≤ kX公司- Y k公司∞,  十、 Y型∈L∞,  我∈ 一、 然后从f的有界性得到|ρ（X）- ρ（Y）|≤ f（| RX- RY |）≤ fW C（| RX- RY |）≤ kX公司- Y k公司∞,  十、 Y型∈ L∞.（ii）Let{Xn}∞n=1 L∞布恩这样做，limn→∞Xn=X∈ L∞ρiLebesgue continuous对于任何i∈ 一、 那么我们有{RXn}有界和limn→∞RXn=RXpoint-w ise。因此ρ（X）=f画→∞RXn公司≤ lim信息→∞f（RXn）=lim infn→∞ρ（Xn）。当每个ρiis从上方或下方连续时，分别限制为非递减或非递增序列的相同推理是有效的。（iii）类似于（ii），但在这种情况下为f画→∞RXn公司= 画→∞f（RXn）。备注3.10。第（i）项可推广为ρi均匀等连续，即δ- 标准不依赖于i∈ 一、 其中Lipschitz连续性是一个特例。此外，letI=Q，ρQ（X）=EQ[-十] f=fW C。在这种情况下，我们有ρ=ML，这不是从ρqp以下连续的，甚至没有这样的性质。然而，ML是Fatou continuou s。这个例子说明了最后一个命题中的项目（ii）。