风险度量组合理论

其他的则分别遵循g的连续性和u的Lebesgue连续性。备注7.11。这些性质表征了fu，gas在X上的偏差度量∩ K∞. 这加强了我们正在寻找“估计值”{ρQ（X）=Rρ（FX，Q），Q之间的可变性或离散度的解释∈ 一} 对于给定的X∈ L∞. 当然，这种推理可以外推到风险度量之外的其他概率功能主义者。从fu的性质出发，gwe直接推导出Mu，g的性质。nest推论揭示了这些结果。推论7.12。设ρI={ρQ:L∞→ R、 Q∈ 一} 是基于概率的风险度量和MU，g:L∞→ R+定义见（7.8）。那么我们有如下结果：（i）如果我是单态，那么μ，g（X）=0， 十、∈ L∞.（ii）如果ρIis组成具有平移不变性的风险度量s，那么Mu，gpossessesTranslation insensitivity。（iii）如果ρIis由具有平移不变性的风险度量组成，对于非常数R，g凸和内射，u（R）>fu（R），则Mu，g（C）=0， C∈ 对于任何X，R和Mu，g（X）>0∈ L∞ρW C（X）- ρBC（X）>0。（iv）如果ρI、u和g的成员具有正同质性，那么Mu、g也具有正同质性。（v）如果ρIis组成为法律不变性风险度量，那么Mu、gposses具有法律不变性。（vi）如果ρIis作为共单调风险测度与g和u一起构成可加性，则具有共单调可加性。（vii）如果g（x）≤ |x |， x个∈ R、 然后Mu，g（X）≤ ρW C（X）- ρu（X）， 十、∈ L∞.（viii）如果ρIis由点态有界风险测度组成，该测度具有从上、下、Fatou或Lebesgue连续的任何性质，g是连续的，u是Lebesgue连续的，则也进行Mu，g证明。这些权利要求直接来自命题3.5、3.9和7.10。备注7.13。Mu，g（X）的值越大，因为对于合适的g和u选择，I越大。

第（ii）项中的正确性与偏差度量的非负性密切相关，但通常它必须对任何非常数X有效。这里的区别是，即使是非常数X也可以有一个常数ρI（X）。在第（vi）项中，如果除此之外，ρIis还包括货币风险度量和ρI（X）≥ 均衡器[-十] 对于一些Q∈ P、 那么M是低范围支配的，即Mu，g（X）≤ 等式[X]- inf X， 十、∈ L∞. 这是因为在这种情况下，μ，g（X）≤ρW C（X）- ρu（X）≤ - inf X+等式[X]。这个属性对于偏差度量的双重表示起着关键作用。关于范数连续性，由于fu，gis不是单调的，我们没有Lipschitz连续性保持，如命题3.9的第（i）项。备注7.14。既然u，gis不是monotone，我们就不能再保证Mu，gis是凸的，即使u和g都有这个性质。因此，没有理由处理双重表示和其他凸相关概念。尽管如此，如果模型不确定性度量必须或不必须是凸（甚至准凸）泛函，还有很大的讨论空间。在这种情况下，财务状况如λX+（1- λ） 事实上，由于X，Y对的联合分布，Y比单个对应项表现出更多的模型不确定性。参考ACCIAIO，B.，斯文德兰，G.，2013年。分布上的法律不变风险函数是凹的吗？依赖建模1，54–64。Acerbi，C.，2002年。风险谱度量：主观风险厌恶的一致表示。《银行与金融杂志》第26期，第1505–1518页。Acerbi，C.，Szekely，B.，2017年。可回溯测试统计的一般属性。工作文件。Aliprantis，C.D.，英国边境，2006年。有限维分析。3 ed.，Sp ringer，柏林。Ang，M.，Sun，J.，Yao，Q.，2018年。关于一致风险度量的双重表示。运筹学年鉴26229–46。Artzner，P.、Delbaen，F.、Eber，J.、Heath，D.，1999年。

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