风险度量组合理论

（4.11）第（iii）项中的表示相当于光谱表示，ρu（X）=ZV aRα（X）φu（α）dα，（4.12），其中φu（α）=RIφi（α）du，and dφi:[0，1]→ [0，1]与示例2.12中的任何i∈ 一、 mapi→ φi（α）对任何α都是G-可测的∈ [0, 1]. 要验证此声明，请注意∈ φI（α）=R（α，1）sdmi（s），mi∈ M、 然后dνidui=在（0，1）上定义一个有限的度量值。因此，有ηi∈ M使得νi=βηi，β∈ R+。从Lemma4.15开始，我→ ηi（α，1）是可测量的任何α∈ [0，1]，那么我也是→ νi（α，1）=φi（α）。现在，我们可以提出在法律不变性下对偶表示的一个结果。下一个推论揭示了这样的内容。推论4.18。设ρI={ρI:L∞→ R、 我∈ 一} 是定律不变凸风险测度的集合，f:X→ R具有单调性、平移不变性、凸性和法图连续性，ρ：L∞→ 定义为ρ（X）=f（ρI（X））。

那么：（i）ρ可以表示为ρ（X）=supm∈M（Z（0,1）ESα（X）dm- βρ（m））， 十、∈ L∞, （4.13）式中，βρ（m）=infu∈V{βρu（m）+γf（u）}，γfand和βρu分别如（4.2）和（4.9）所定义。（ii）如果除初始假设外，f具有正同质性，则惩罚率变为βρ（m）=infu∈Vfβρu（m），其中Vfis如Re mark4.2所示。（iii）如果除了初始假设ρiPosses之外，对于任何∈ 一、 正均一性，则βρ（m）=∞,  m级∈ M \\∪u∈Vcl（Mρu）。（iv）如果除了初始假设之外，我们还有（ii）和（iii）中的情况，那么ρ的表示变成ρ（X）=supm∈MVfρZ（0,1）ESα（X）dm， 十、∈ L∞, （4.14）其中MVfρ是∪u∈Vfcl（Mρu）。（v） 如果i n除了初始假设ρiposs，f或任何i∈ 一、 共单调可加性，则βρ（m）=∞,  m级∈ M \\∪u∈V{muc}，其中muc=arg maxm∈cl（Mρu）Z（0,1）ESα（X）dm， u ∈ 五、 （vi）如果除了（ii）和（V）的初始假设之外，ρ的表示变成ρ（X）=supm∈MVfρ，cZ（0,1）ESα（X）dm， 十、∈ L∞, （4.15）其中MVfρ，cis为∪u∈Vf{muc}。证据直接来自定理4.11和命题4.16。备注4.19。由于对X，Y的共单调性并不意味着对RX，RY具有相同的性质，从命题3.5和引理4.1来看，当{fu}u∈五、 在这种情况下，我们有ρ（X）=ρu（X）=Z（0,1）ESα（X）dmuc， 十、∈ L∞. （4.16）从（4.12）中，我们得到φu（α）=R（α，1）sdmuc（s），其中φu如Remark4.17所示。备注4.20。也可以研究一种情况，如例2.13所示，f在X上具有ES的表示，但我们不考虑（I，G）上的任何基概率。

然而，请注意，这些将是我们框架的特殊情况。5验收集5.1属性在本节中，我们根据ρI和f的性质揭示了关于组合风险度量ρ=f（ρI）b验收集的结果。为此，我们利用了前几节的结果。当然，当f具有单调性时，我们有一个ρI十、∈ L∞:  R∈ f-1（0）s.t.ρI（X）≤ R,其中不等式为X的逐点顺序。如果加法f是内射函数，那么从归一化，f（0）=0，我们得到十、∈ L∞:  R∈ f-1（0）s.t.ρI（X）≤ R= {X∈ L∞: ρI（X）≤ 0}=AρW C。然而，由于X中的逐点顺序不是全序，因此集AρIcan可能比导致X的非正锥中元素的位置大得多。因此，为ρIis提供一个通用特征并非微不足道。我们首先将第3节中金融资产保护的作用转化为验收集。推论5.1。设ρI={ρI:L∞→ R、 我∈ 一} 是风险度量的集合，f:X→ R、 和ρ：L∞→ 风险度量定义为ρ（X）=f（ρI（X））。然后：（i）如果由单调的风险测度组成的ρIis和f具有相同的性质，那么ρ是单调的，即X∈ Aρ，Y∈ L∞和Y≥ X表示Y∈ Aρ。

特别是，L∞+ Aρ。（ii）如果由具有平移不变性的风险度量组成的ρIis和f具有相同的性质，则ρ（X）=inf{m∈ R：X+m∈ Aρ}。（iii）如果第（i）项和第（ii）项中的条件已满，则ρ为非空，且符合最高范数，即ρ∩ {X∈ L∞: X<0}=, 和inf{m∈ R:m∈ Aρ}>-∞.（iv）如果由具有凸性的风险测度组成的ρIis和f在具有单调性的空气中具有相同的性质，则ρ是一个凸集。（v） 如果由正齐次风险测度组成的ρIis和f具有相同的性质，则ρ是一个锥。（vi）如果ρIis由变律风险测度组成，则ρ在x意义下是不变律∈ Aρ和X~ Y表示Y∈ Aρ。（vii）如果ρIis由共单调风险度量和全加性组成，则ρ对于随机变量的共单调对之和是稳定的。（viii）如果第（i）、（ii）和（iv）项中的条件已满，则ρIis由Fatou连续风险度量组成，f具有Fatou连续性和单调性，则ρ是弱*闭合的。证据通过注意到它们是OREMS2.3和2.4以及命题3.5的含义，可以直接获得这些主张。推论5.2。设ρI={ρI:L∞→ R、 我∈ 一} 是风险度量的集合，f:X→ R、 和ρ：L∞→ 风险度量定义为ρ（X）=f（ρI（X））。

然后：（i）如果由具有凸性的风险测度和f组成的ρIis具有单调性和拟凸性，则Aρ是一个凸集。（ii）如果ρIis由具有单调性和现金次加性的风险测度组成，且f具有单调性和平移不变性，则（ρ（X）≥ inf{m∈ R：X+m∈ Aρ}，如果ρ（X）≤ 0，ρ（X）≤ inf{m∈ R：X+m∈ Aρ}，如果ρ（X）≥ 0。（iii）如果ρIis由具有相关性的风险度量组成，且f具有严格的单调性，则aρ∩ {X∈ L∞-: P（X<0）>0}=.（iv）如果ρIis由具有盈余不变性的风险测度组成，且f与f具有单调性≥ fW C，然后是X∈ Aρ和Y-≤ 十、-暗示Y∈ Aρ， 十、 Y型∈ L∞.证据第（i）、（iii）和（iv）项是定理2.3和命题3.7的直接结果。对于第（ii）项，命题3.7暗示ρ具有现金次加性。注意，它可以重新表述为ρ（X- C）≤ ρ（X）+C， C∈ R+， 十、∈ L∞或m→ ρ（X+m）+m be n on-对于任意X，R+递减∈ L∞. 对于单调性，命题2.1 inCerreia Vioglio et al.（2011）确保ρ是Lipschitz连续的。修复X∈ L∞. 如果ρ（X）≤ 0，则ρ（X+ρ（X））=ρ（X- (-ρ（X）））≤ρ（X）-ρ（X）=0。因此，X+ρ（X）∈ Aρ和ρ（X）≥ 以f{m为单位∈ R：X+m∈ Aρ}。如果ρ（X）≥ 0，letk=inf{m∈ R：X+m∈ Aρ}。因此，k≥ 0.对于任何m∈ R带X+m∈ Aρ，我们得到ρ（X+k）+k≤ ρ（X+m）+m≤ m、 那么，ρ（X+k）+k是真的≤ 以f{m为单位∈ R： X+m∈ Aρ}=k。因此，ρ（X+k）≤ 0。因此，k≥ ρ（X+k）+k≥ ρ（X）。对于特殊情况，可以明确表示接受集的特征。示例5.3。我们得到以下关于Af（ρI）的例子：（I）对于f（R）=supi∈IR（i）我们得到f（ρi）=ρW C。在这种情况下，我们得到ρW C={X∈ L∞: ρi（X）≤ 0 我∈ 一} =\\I∈IAρi.（ii）对于f（R）=RIRdu，我们得到f（ρi）=ρu。

我们得到ρu=（X∈ L∞:Z{ρi（X）≤0}ρi（X）du≤ -Z{ρi（X）>0}ρi（X）du）。注意，根据假设2.8，两个{ρi（X）≤ 对于anyX，0}和{ρi（X）>0}在G中∈ L∞.（iii）通过选择ρi（X）=V aRi（X）和u，我们得到任何光谱（失真）风险度量ρφ（X）=RV aRα（X）φ（α）dα是ρu的特例<< λ，φ（i）=F-1dudλ（1-i） 。因为两个α→ V aRα和α→ φ（α）不增加，我们可以选择αX∈ [0，1]依赖于x∈ L∞使得V aRα（X）φ（α）≥ 0表示任何α<αX和V aRα（X）φ（α）≤ 0表示任何α>αX。在这种情况下，我们得到ρφ=十、∈ L∞:ZαXV aRαφ（α）dα≤ -ZαXV aRαφ（α）dα.从例子2.5、命题3.5和推论5.1中VaR的性质来看，该集是范数闭的、单调的、律不变的、锥的，对于共单调对的加法是稳定的。如果φ处的th也不增加，则接受集是凸的，弱*闭的。尽管如此，从组合产生的复杂性来看，ρIis的直接一般表征并不那么容易。在下一小节中，我们提供了凸风险测度的一般特征。5.2一般结果我们现在探索第4节中凸风险度量情况下f（ρI）的可接受集的更具信息性的特征。在这种情况下，下一个定理探讨了ρu在这种框架中的作用。定理5.4。设ρI={ρI:L∞→ R、 我∈ 一} 是Fatou连续凸风险测度的集合，f:X→ R具有单调性、平移不变性、凸性和法图连续性，ρ：L∞→ 定义为ρ（X）=f（ρI（X））。然后：（i）ρ的接受集由ρ=\\u给出∈V{Aρu- γf（u）}。（5.1）（ii）如果除了初始假设外，完全符合正同质性，则ρ的接受集由ρ=\\u给出∈VfAρu。（5.2）证明。

（i） 我们记得，任何Fatou连续凸风险测度ρ的可接受集都可以通过其惩罚项asAρ=（X∈ L∞: supQ公司∈Q均衡器[-X]- αmin（Q）≤ 0)=十、∈ L∞: 均衡器[-X]≤ αmin（Q） Q∈ Q.注意，这相当于aρ={X∈ L∞: 均衡器[-X]≤ α（Q） Q∈ Q} 对于任何表示ρ的惩罚项αρ，不一定是最小的。因此，从定理4.11我们得到ρ=十、∈ L∞: 均衡器[-X]≤ infu∈V{αρu（Q）+γf（u）} Q∈ Q= {X∈ L∞: 均衡器[-X]≤ αρu（Q）+γf（u）u ∈ 五、 Q∈ Q} =\\u∈V{X∈ L∞: 均衡器[-X]≤ αρu（Q）+γf（u） Q∈ Q} =\\u∈V{X∈ L∞: ρu（X）≤ γf（u）}=\\u∈V{Aρu- γf（u）}。（ii）这是直接从（i）中获得的，因为从引理4.1中，在这种情况下，我们有γf（u）=0，如果u∈ Vf和γf（u）=∞ 否则因此，我们得到ρ=\\u∈V{Aρu- γf（u）}=\\u∈Vf{Aρu- γf（u）}=\\u∈VfAρu。备注5.5。很明显，ρu在第4节的双重表示中扮演的关键角色也出现在接受集中。一种财务解释是，为了使位置X可接受组合f（ρI），它必须可接受所有可能的加权方案u，并通过γf表示的校正进行调整。如果不进行此类调整，该集将限制性太大。事实上，对于具有正同质性的f，我们可以减少对权重方案的限制，而不是Vf。备注5.6。最后一个定理中的结果与定理4.11中的四种情况一致。更准确地说，如果ρIis由一致的风险度量组成，那么ρ=十、∈ L∞: 均衡器[-X]≤ infu∈V{αρu（Q）+γf（u）} Q∈ ∪u∈Vcl（Qρu）.与一般凸面情况下的类似扣除导致ρ=Tu∈V{Aρu- γf（u）}。Fur thermore，当ρIis组成一致风险度量且f具有正同质性时，我们得到ρ=十、∈ L∞: 均衡器[-X]≤ 0 Q∈ clconv公司(∪u∈Vfcl（Qρu））=十、∈ L∞: 均衡器[-X]≤ 0 Q∈ ∪u∈Vfcl（Qρu）=\\u∈Vf{X∈ L∞: 均衡器[-X]≤ 0 Q∈ cl（Qρu）}=\\u∈Vf{X∈ L∞: ρu（X）≤ 0} =\\u∈VfAρu。备注5.7。

作为最后一个定理的例子，值得探讨ρu和ρW C的特殊情况。对于ρu，请注意，f（R）=RIRdu会导致γ值为0 inu，并且∞ 发票\\{u}。因此，Vf={u}，我们确实有ρu=Tν∈VfAρν=Aρu。当cerning为ρW C时，f（R）=sup R导致γf=0。因此，我们必须得到ρW C=Ti∈IAρi=Tu∈VAρu。实际上，ρW C（X）很简单≤ 0如果且仅当ifRIρi（X）du≤ 0表示任何u∈ 五、 这证实了这一说法。6基于概率的风险度量6.1准备工作从现在起，我们将致力于∞= L∞(Ohm, F） 有界随机变量的点空间(Ohm, F） 将前几节中的P-a.s.概念替换为逐点对应的概念。请注意，L∞ L∞（Q） ，则， Q∈ P、 我们表示F={FX，Q:X∈ L∞, Q∈ P} 。在这一节中，不确定性与概率联系在一起 P、 我们认为∞（Q） ，Q∈ 一、 是无原子的。I的极端选择是单个或整个P。其他可能的选择是围绕基于距离、度量、差异或关系的参考概率度量的封闭球，例如inShapiro（2017）。我们追求这些细节并不是为了以更普遍的方式实施我们的方法。我们在直观的想法下定义风险度量，即我们从表示场景的不同概率中获得相同的函数。这些可能有不同的解释，如模型、经济状况、异质信念等。定义6.1。基于概率的风险度量是一系列风险度量ρI={ρQ:L∞→ R、 Q∈ 一} ρQ（X）=Rρ（FX，Q），十、∈ L∞, Q∈ 一、 式中Rρ：F→ R被称为磁盘功能。备注6.2。苏奇风险函数法的灵感来自于康特等人（2010）的两步风险度量。这一定义意味着每个ρQ都具有Q定律不变性，或者基于Q，如果FX，Q=FY，Q，那么ρQ（X）=ρQ（Y），十、 Y型∈ L∞.

事实上，我们有很强的交叉定律不变性，如果FX，Q=FY，Q，那么ρQ（X）=ρQ（Y）， 十、 Y型∈ L∞, Q、 Q∈ 一、 如果X∈ AρQand FX，Q=FY，Q，然后Y∈ AρQ.有关交叉定律不变性的更多详细信息，请参见Laeven和Stadje（2013）。示例6.3。在示例2.5所示的所有情况下，都尊重交叉定律不变性。我们确实有：（i）预期损失（EL）：ELQ（X）=REL（FX，Q）=-等式[X]=-射频-1X，Q（s）ds。（ii）风险价值（VaR）：V aRQα（X）=RV aRα（FX，Q）=-F-1X，Q（α），α∈ [0, 1].（iii）预期短缺（ES）：ESQα（X）=RESα（FX，Q）=αRαV ARQ（X）ds，α∈ （0，1）andESQ（X）=RES（FX，Q）=V aRQ（X）=- ess infQX。（iv）最大损失（ML）：MLQ（X）=RML（FX，Q）=-ess infQX=-F-1X，Q（0）。我们可以考虑由基于Q的风险度量ρqq组成的风险度量，而不需要公共链接Rρ。然而，我们将非常接近前面章节的标准组合理论，但没有建模直觉。然后，我们对风险度量进行了检验，该风险度量考虑了整个集合I，因为它们是基于概率的风险度量的组合，ρ（X）=f（ρI（X）），其中f:X→ R是一个组合函数。如果FX，Q=FY，Q， Q∈ 一、 然后ρ（X）=f（ρI（X））=f（ρI（Y））=ρ（Y）。这种风险度量在Wang和Z iegel（2018）中被称为基于DI的功能性度量。备注6.4。将Qu定义为Qu（A）=RIQ（A）du， A.∈ F、 u∈ 五、 我们不必有那个Qu∈ 一、 然而，假设4.4确保了当每个ρQis为凸时，积分得到了很好的定义。在这一框架下，我们试图在e h上写出ρQu（X）=ρu（X）。然而，通常情况并非如此。根据Aciaio和Svindland（2013）的命题5，我们得到了定义I，当每个ρQis都是凸的时，Rρ在F中是凹的，即ρQu（X）≥ ρu（X）。当且仅当ρQ（X）=ELQ（X）时，存在质量。

这种结果是mapQ线性的结果→ 等式[X]， 十、∈ L∞以及Aciaio和Svindland（2013）的推论2，该推论声称EL是F.6.2表示中唯一的凸的法律不变凸风险度量。对于基于概率的风险度量的组合，不可能获得像定理2.7中那样的表示，因为这些风险度量不是由单一概率度量确定的。然而，尽管如此，仍有可能修改此类表述。为此，我们需要一个关于可测性问题的引理。引理6.5。设ρI={ρQ:L∞→ R、 Q∈ 一} 是由凸风险度量组成的基于概率的风险度量。那么下列映射是G-可测的：（i）Q→ V aRQα（X）， 十、∈ L∞,  α ∈ [0, 1].（二）Q→ ESQα（X）， 十、∈ L∞,  α ∈ [0, 1].（三）Q→R（0,1]ESQα（X）dmQ， 十、∈ L∞,  α ∈ [0，1]和对于任何{mQ∈ M： Q∈ 一} 。证据（i） 根据假设4.4，我们得到Q→ FX，Q（x）=Q（x≤ x） G-可测量 十、∈ L∞,  x个∈ R、 然后我们有一个固定对（X，α）∈ L∞×[0，1]对于任何k∈ RnQ公司∈ I:V aRQα（X）≥ ko=nQ∈ I：F-1X，Q（α）≤ -ko={Q∈ I：FX，Q(-k）≥ α} ∈ G、 因此，映射Q→ V aRQα（X）对于任何X都是G-可测的∈ L∞和任何α∈ [0, 1].（ii）我们有固定对（X，α）∈ L∞×[0，1]esqα（X）=αZαV aRQs（X）ds=supYQ~XEQα[-Y]，其中F-1dQαdQ，Q（1- s） =秒≤αα,  s∈ [0, 1].值得注意的是，Qα是相对于Q绝对连续的概率测度。根据假设4.4，我们得到Q→ 等式α[-Y]对任何q都是G-可测的~ 十、 通过重复引理4.15第（i）项中的推导，我们得出以下结论：→ ESQα（X）对于任何X都是G-可测的∈ L∞和任何α∈ [0, 1].（iii）按照第（ii）项中的类似步骤，fix一对（x，α）∈ L∞×[0，1]和{mQ∈ M： Q∈一} 。