风险度量组合理论

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英文标题：
《A theory for combinations of risk measures》
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作者：
Marcelo Brutti Righi
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We study combinations of risk measures under no restrictive assumption on the set of alternatives. We develop and discuss results regarding the preservation of properties and acceptance sets for the combinations of risk measures. One of the main results is the representation for resulting risk measures from the properties of both alternative functionals and combination functions. To that, we build on the development of a representation for arbitrary mixture of convex risk measures. In this case, we obtain a penalty that recalls the notion of inf-convolution under theoretical measure integration. As an application, we address the context of probability-based risk measurements for functionals on the set of distribution functions. We develop results related to this specific context. We also explore features of individual interest generated by our framework, such as the preservation of continuity properties, the representation of worst-case risk measures, stochastic dominance and elicitability. We also address model uncertainty measurement under our framework and propose a new class of measures for this task.
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中文摘要：
我们研究了在非限制性假设条件下的风险度量组合。我们制定并讨论了有关财产保护和风险度量组合验收集的结果。主要结果之一是从替代函数和组合函数的性质来表示结果风险度量。为此，我们建立在凸风险度量的任意混合表示的基础上。在这种情况下，我们得到了一个惩罚，它在理论测度积分下唤起了inf卷积的概念。作为一个应用，我们讨论了分布函数集上泛函基于概率的风险度量。我们制定了与这一特定背景相关的结果。我们还探讨了我们的框架所产生的个人利益的特征，如连续性的保持、最坏情况风险度量的表示、随机优势和可诱导性。我们还讨论了在我们的框架下的模型不确定性度量，并为此任务提出了一类新的度量。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
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2022-6-10 05:54:14 上传

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关键词：风险度量 风险度 Combinations Presentation Mathematical

风险度量组合理论Marcelo Brutti Righi*苏尔马塞洛格兰德河联邦大学。righi@ufrgs.brAbstractWe在无限制性假设的情况下，研究备选方案集上的风险度量组合。我们发展和讨论了关于风险度量组合的性质和接受集的保留的结果。主要结果之一是从替代函数和组合函数的性质得到的风险度量的表示。为此，我们建立在c onvex ris k度量的任意混合表示的基础上。在本文中，我们得到了一个惩罚，即在理论测度积分下，inf-c进化不存在。作为一个应用，我们讨论了分布函数集上泛函基于概率的风险度量的上下文。我们开发了与此规范上下文相关的结果。我们还探索了我们的框架所产生的个人利益特征，如连续性的保持、最坏情况风险度量的表示、随机优势和合法性。我们还讨论了在我们的框架下的模型不确定性度量，并为此任务提出了一类新的度量。关键词：风险度量、不确定性、组合、表示、基于概率的泛函。1简介数学函数中的风险度量理论已成为主流，尤其是自Artzner等人（1999）的里程碑式论文以来。有关全面的评论，请参阅弗莱格和罗米施（2007）、德尔巴恩（2012）、鲁申多夫（2013）以及福尔默和希德（2016）的著作。尽管如此，对于要拥有的最佳理论属性集，仍然没有达成共识，对于最佳风险度量，更没有达成共识。参见Emmer et al.（2015），了解风险度量的比较。

这种现象推动了新方法的提出，例如inRighi和Ceretta（2016）以及Righi et al.（2019）。在缺乏从一组备选方案中选择最佳风险度量的普遍性的情况下，on e可以考虑考虑多个候选人的联合，以从不同的品质中获益。*我们要感谢主编Ulrich Horst教授和匿名副主编兼评论员的建设性意见，这些意见对提高手册的技术质量非常有用。我们还要感谢王若渡教授和施维泽教授的评论，这有助于改进手稿。我们感谢FAPERGS（Rio Grande doSul State Research Council）项目编号17/2551-0000862-6和CNPq（巴西研究委员会）项目编号302369/2018-0和407556/2018-4的财政支持。然而，这种选择可能会导致多维甚至无限维的问题，这些问题带来的复杂性可能使风险度量的处理无法处理。例如，在一个投资组合优化问题中，为了考虑不同风险度量的各种特征，代理最终可能会得到非常复杂的多目标函数，甚至是大量的约束。这种情况将导致计算成本增加，甚至无法找到可行的解决方案。因此，另一种选择是考虑所有候选人的组合，而不是所有候选人的单独组合。在投资组合优化的背景下，我们将有一个具有更大可行性空间的单一约束或目标。考虑这种组合的缺点是，我们可能最终没有定义风险度量的主要特征。

更准确地说，风险度量的公理化理论强烈依赖于一组与双重表示和接受集相关的财务和数学属性。因此，了解如何以一般方式保留这些属性对于保证组合的有用性至关重要。从这个意义上说，建立一个风险度量组合的理论体系至关重要。一般方法必须处理任意的候选人集，尤其是不可数的候选人集。当定义信用额度的参数依赖于实际额度的子集时，可能会出现这种情况，例如风险价值的显著水平或信贷风险的某种违约概率。主要挑战在于执行此类任务所需的一般性，因为我们无法依赖文献中出现的有限维空间的方法。例如，在处理一些不可数的候选集时，我们甚至无法考虑通常的求和，这对于求平均至关重要，必须用积分来代替。然而，在这种情况下，我们需要考虑可测量性问题，这可能会变得复杂。此外，集合操作可能不会保留拓扑属性，例如，闭集的u不可数不必是闭的。由于不存在规范泛函空间，因此，即使在有限空间中为组合函数选择合适的域，其本身也可能是一个复杂性的问题。另一个困难和复杂性的来源是组合可能采用任何函数形式，例如平均或基于上确界的最坏情况。事实上，可以考虑在候选风险度量集合上应用的任何函数。

因此，要研究这种组合在属性、接受集、对偶表示以及其他特性中的影响并不简单。由于特定的组合函数更适合不同的上下文，因此进行一般处理非常有益。从这个意义上说，存在一种理论，以提供一种可靠和实用的方式来保持所需的资产，获得接受集或双重代表性风险度量的总体组合，可以帮助改善数学金融的其他领域。在此背景下，本文研究了ρ=f（ρI）形式的风险度量，其中ρI={ρI，I∈ 一} 是一组备选风险度量，f是一些组合函数。我们提出了一个框架，在此框架中，除了非空性之外，不对索引集I进行任何假设。通常，这种程序使用一组有限的候选对象，导致f的域是一些欧几里德空间。在我们的例子中，f的域是由I上创建的适当可测空间上的随机变量的s子集获得的。由此，我们的主要目标是建立关于属性的一般结果，开发对偶表示，并研究基于ρI和f在一般意义上的属性的此类组合风险度量的接受集。为此，我们公开了一些特殊情况的结果，这些特殊情况也具有特殊的重要性，例如最坏情况和风险度量的混合。有关于f、I和ρI的特殊情况的研究，如最坏情况inF¨ollmer和Schied（2002），Righi（2019）的货币和偏差度量之和，inAng等人的有限凸组合。

（2018），Wang和Ziegel（2018）中基于情景的聚合，Jokhadze和Schmidt（2020）中基于非加性度量的模型风险加权。我们的主要贡献是不对备选风险度量集和我们考虑的组合函数的一般性施加限制。此外，这些文件都没有考虑到我们所考虑的所有特性。值得一提的是，Barrieu和El Karoui（2005）或Jouini et al.（2008）中众所周知的风险度量的inf卷积概念不适用于本文中的方法，因为即使在两个风险度量的最简单情况下，我们也不能将其写成f（ρ（X），ρ（X））=infY{ρ（X）的直接组合-Y）+ρ（X）}，因为它不仅是X的函数。更准确地说，inf卷积取决于每个分配X+X=X。Righi（2020）的工作重点是inf卷积和任意风险度量集的最优风险分担。风险度量的经典理论是在代表世界信念的给定概率度量的假设下发展起来的。然而，我们经常不知道是否有正确的概率度量。然后，我们将我们的框架应用于特殊情况，其中我是一组概率度量，因为我们经常不知道是否有正确的度量，但我们有一组候选度量。我们考虑基于概率的风险度量的概念，这是一个由概率生成的分布集上的函数的风险度量集合。因为概率的选择可能会影响大量的风险值，我们希望有稳健的风险度量，即职能部门不会因公司能力度量的变化而影响其价值的相关变化。

这就是我们方法中组合的情况，因为它们依赖于整个交替概率集。基于概率的风险度量与模型不确定性或模型风险的概念直接相关，与模型选择的不确定性相关，Kerkhof et al.（2010）、Bernard and Vandu ffel（2015）、Barrieu and Scandolo（2015）、Danielsson et al.（2016）、Kellner and Rosch（2016）、Frittelli and Maggis（2018）对风险度量进行了详细研究，Maggis等人（2018年）等。从实践的角度来看，特纳回顾了模型的模糊性问题，通常被称为K-nightian不确定性。尽管有人认为，更好地处理模型不确定性的方法对于改进风险管理至关重要，但量化模型不确定性的措施并没有与市场风险的措施统一在同一水平上。然后，我们探讨了基于概率的ap方法如何处理此类模型不确定性测量，并提出了一类灵活的测量方法。巴特尔等人（2019）、贝利尼等人（2018）以及郭和徐（2019）的工作重点是特定的风险措施，而不是一般框架。Laeven和Stadje（2013）、Frittelli和Maggis（2018）、Jokhadze和Schmidt（2020）、Wang和Ziegel（2018）以及Qian等人（2019）探讨了考虑多重概率的风险度量框架。然而，他们并没有开发出与我们完全相同的功能。在这些研究中，对集合I进行了限制性假设，例如它是有限的，并且具有参考度量。反过来，我们只假设非空。asCont et al.（2010）、Kratschmer et al.（2014）和Kiesel et al.等论文探讨了稳健的风险度量流。

（2016）以更具统计意义的方式探讨了这种不确定性，而我们的方法是概率性的。我们对本文的其余部分的结构如下：在第2节中，我们介绍了初步定义符号，简要介绍了风险度量理论的背景，以支持我们的框架和我们提出的方法，并举例说明；在第3节中，我们介绍了关于组合函数性质的结果，以及它们如何影响财务和连续性性质中的最终风险度量；在第4节中，我们发展并证明了我们在结果风险度量表示方面的结果，即候选集的属性以及一般凸和法律不变情况下的组合，以及最坏情况风险度量的表示；在第5节中，我们介绍了组合函数的性质如何影响所产生的风险度量接受集的结果，并为凸和相干情况提供了一般特征；在第6节中，我们探讨了基于概率的风险度量的特殊框架，将特定结果暴露在这种背景下，如表示、随机顺序和可引出性；在第7节中，我们通过揭示如何考虑我们的概率框架来解决模型不确定性问题，并提出了一类新的模型不确定性度量。2准备工作2.1注释考虑无原子概率空间(Ohm, F、 P）。所有的等式和不等式都是P-a.s.意义上的。我们有L=L(Ohm, F、 P）和L∞= L∞(Ohm, F、 P）分别是有限和基本有界随机变量的空间（P-a.s.等式下的等效类）。我们将1AA定义为事件A的指标函数∈ F、 我们用实数识别常数随机变量。我们说一对X，Y∈ Lis comonotone if（X（w）- X（w′）（Y（w）- Y（w′）≥ 0保持P×P-a.s。

我们用Xn表示→ L中的X收敛∞本质上确界范数k·k∞, 而limn→∞Xn=X表示P-a.s.收敛。设P为上的所有概率测度集(Ohm, F） 。我们表示等式[X]=ROhmXdQ，FX，Q（x）=Q（x≤ x） 和F-1X，Q（α）=inf{x:FX，Q（x）≥ α} 分别是Q下X的期望值、概率函数（非递减且右连续）及其逆∈ P、 我们编写XQ~ 当FX时，Q=FY，Q。当Q=P时，我们放弃关于概率度量的建议。此外，让Q P是相对于P绝对连续的概率测度的集合，具有Radon-Nikodym导数sdqdp。2.2背景定义2.1。A泛函ρ：L∞→ R是一种风险度量。其验收集定义为ρ={X∈ L∞: ρ（X）≤ 0}. ρ可能具有以下性质：（i）单调性：如果X≤ Y，然后ρ（X）≥ ρ（Y）， 十、 Y型∈ L∞.（ii）平移不变性：ρ（X+C）=ρ（X）- C 十、 Y型∈ L∞,  C∈ R、 （iii）凸度：ρ（λX+（1- λ） Y）≤ λρ（X）+（1- λ） ρ（Y）， 十、 Y型∈ L∞,  λ ∈ [0, 1].（iv）正均一性：ρ（λX）=λρ（X）， 十、 Y型∈ L∞,  λ ≥ 0。（v）定律不变性：如果FX=FY，则ρ（X）=ρ（Y）， 十、 Y型∈ L∞.（vi）共单调可加性：ρ（X+Y）=ρ（X）+ρ（Y）， 十、 Y型∈ L∞与X，Y共单调。（vii）Fatou连续性：if limn→∞Xn=X∈ L∞和{Xn}∞n=1 L∞有界，然后ρ（X）≤lim信息→∞ρ（Xn）。如果ρ满足单调性和平移不变性，则称为货币；如果ρ满足货币性并尊重凸性，则称为凸；如果ρ满足正同质性，则称为相干；如果ρ满足法律不变性，则称为法律不变性；如果ρ满足共单调可加性，则称为共单调；如果ρ满足Fatou连续性，则称为Fatou连续。在本文中，我们正在研究ρ（0）=0意义上的归一化风险度量。除了通常的标准和基于Fatou的连续性之外，（a.s.）逐点与风险度量相关。定义2.2。

A风险度量ρ：L∞→ R被称为：（i）从上方连续：limn→∞Xn=X且{Xn}在ρ（X）=limn中不增加意味着→∞ρ（Xn）， {Xn}∞n=1，X∈ L∞.（ii）从下方连续：limn→∞Xn=X且{Xn}在ρ（X）=limn中不递减→∞ρ（Xn）， {Xn}∞n=1，X∈ L∞.（iii）Lebesgue连续：limn→∞Xn=X表示ρ（X）=limn→∞ρ（Xn） {Xn}∞n=1 L∞有界和 十、∈ L∞.对于有关su ch属性解释的详细信息，我们推荐有关经典理论的传统书籍。关于验收集，我们有以下直接影响。定理2.3（命题4.6 inF¨ollmer and Schied（2016））。设Aρ为ρ：L确定的验收∞→ R、 然后：（i）如果ρful满足单调性，则X∈ Aρ，Y∈ L∞和Y≥ X i mplies in Y∈ Aρ。特别是，L∞+ Aρ。（ii）如果ρful满足平移不变性，则ρ（X）=inf{m∈ R：X+m∈ Aρ}。（iii）如果ρ是一个货币风险度量，那么ρ是非空的，相对于supremumnorm关闭，ρ∩ {X∈ L∞: X<0}=, 和inf{m∈ R:m∈ Aρ}>-∞.（iv）如果ρ具有凸性，则ρ是一个凸集。（v） 如果ρful填充正同质性，则ρ为圆锥体。在凸性和Fatou连续性下，众所周知的凸对偶对风险度量起着重要作用。在f act中，我们有以下内容。定理2.4（Delbaen（2002）的定理2.3，F¨ollmer和Schied（2016）的定理4.33）。设ρ：L∞→ R是一种风险度量。那么：（i）ρ是Fatou连续凸风险测度当且仅当它可以表示为：ρ（X）=supQ∈Q均衡器[-X]- αminρ（Q）,  十、∈ L∞, （2.1）式中αminρ：Q→ R+∪ {∞}, 定义为αminρ（Q）=supX∈AρEQ[-十] ，是一个称为惩罚项的下半连续凸函数。这等于ρbe弱*闭，即。