风险度量组合理论

我们为每个Q∈ I thatZ（0,1）ESQα（X）dmQ=supYQ~XEQ′型[-Y]，其中F-1dQ′dQ，Q（1- s） =Z（s，1）vdmQ（v）， s∈ [0, 1].通过将第（ii）项中的参数（这是第（iii）项的特例）替换为Q′，而不是Qα，我们可以证明→R（0,1）ESQα（X）dmQare G-可测任意X∈ L∞, 任意α∈ [0，1]和对于任何{mQ∈ M： Q∈ 一} 。在下面的命题中，我们建立了ρu和ESuα，oreven VuaRα之间的直接表示。这一事实将ρu与光谱风险度量联系起来。提案6.6。设ρI={ρQ:L∞→ R、 Q∈ 一} 是基于概率的风险度量，由凸风险度量和ρu：L组成∞→ 定义见（2.7）。那么：（i）ρu可以表示为：ρu（X）=supm∈M（Z（0,1）ESuα（X）dm- βρu（m））， 十、∈ L∞, （6.1）βρu：M→ R+∪ {∞} 定义见（4.9）。（ii）如果除ρQful fills外，每Q∈ 一、 正同质性，则表示为ρu（X）=supm∈cl（Mρu）Z（0,1）ESuα（X）dm， 十、∈ L∞, （6.2）其中Mρu的定义如（4.10）所示。（iii）如果ρQalso为，则对于每个Q∈ 一、 则表示为ρu（X）=Z（0,1）ESuα（X）dm， 十、∈ L∞, （6.3）其中m∈ cl（Mρu）。证据自L起∞ L∞（Q） ，则， Q∈ 一、 我们可以将每个ρqc视为L上泛函的限制∞（Q） 。因此，根据定理2.6和2.7，ρqc可以表示为概率m上ESQα的组合∈ M、 证明遵循定理4.7的类似步骤，注意到ZIZ（0,1]ESQα（X）dmQdu=ZIZ（0,1]ZIESQα（X）dudmQdu=Z（0,1]ESuα（X）dm，其中M=RImQdu∈ M、 备注6.7。第（iii）项中的表示具有类似于ρu（X）=ZV aRuα（X）φ（α）dα的光谱，其中φ如示例2.12所示。这是通过定义ESuα直接获得的。备注6.8。ρu的情况是一种特殊情况，而不是一条规则。例如，自ρW C（X）以来，ρW CI的此链接受阻≤ 卸荷点法∈M（Z（0,1）ESW Cα（X）dm- βρW C（m）），其中βρW C（m）=infQ∈IβminρQ（m）。

事实上，命题3.3和3.5表明，由于（2.6）中的上确界一般无法达到，所以ρW顺子可加性对于共单调随机变量。在基于概率的风险度量框架下，在集合I上的某些条件下，如紧密性，Bartl et al.（2019）提供了达到最高值的情况。此外，Wang和Ziegel（2018）的定理1表明，在I为有限基数的情况下，V aRW Cα具有共单调可加性。在Wang和Z iegel（2018）的定理3和4中，当I为有限集时，共单调和相干情况下基于I的风险度量的表示是公开的，并限制了p概率Q的假设∈ 一、 在下一个推论中，我们展示了一个适用于凸情况和一般I的表示，尽管仅限于由组合生成的表示。推论6.9。设ρI={ρQ:L∞→ R、 Q∈ 一} 是基于概率的风险度量，由凸风险度量组成，f:X→ R具有单调性、平移不变性、凸性和Fatou连续性，ρ：L∞→ 定义为ρ（X）=f（ρI（X））。

那么：（i）ρ可以表示为ρ（X）=supu∈五、 m级∈M（Z（0,1）ESuα（X）dm- βρ（m））， 十、∈ L∞, （6.4）式中，βρ如（4.13）所示。（ii）如果除初始假设外，f具有正同质性，则惩罚率变为βρ（m）=infu∈Vfβρu（m），其中Vfis如Re mark4.2所示。（iii）如果除了初始假设ρiPosses之外，对于任何∈ 一、 正均一性，则βρ（m）=∞,  m级∈ M \\∪u∈Vcl（Mρu）。（iv）如果除了初始假设外，我们还有（ii）和（iii）中的情况，则ρ的表示形式变为ρ（X）=supu∈Vf，m∈MVfρZ（0,1）ESuα（X）dm， 十、∈ L∞, （6.5）式中，MVfρ为（4.14）。（v） 如果i n除了初始假设ρiposs，f或任何i∈ 一、 共单调可加性，则βρ（m）=∞,  m级∈ M \\∪u∈V{mucc}，其中mucc=arg maxm∈cl（Mρu）Z（0,1）ESuα（X）dm， u ∈ 五、 （vi）如果除了（ii）和（V）的初始假设之外，ρ的表示变成ρ（X）=supu∈Vf，m∈MVfρ，ccZ（0,1）ESuα（X）dm， 十、∈ L∞, （6.6）其中MVfρ，cci是∪u∈Vf{mucc}。证据这些主张直接来自定理4.11、推论4.18和命题6.6.6.3随机顺序。考虑适合决策的风险度量是合理的。这通常是在随机序的单调性下解决的，例如Seebauerle和Muller（2006）。然而，在概率度量选择存在不确定性的情况下，必须进行调整。定义6.10。

我们考虑以下X、Y订单∈ L∞:（i） X个1，QY（基于Q的一阶随机优势）当且仅当F-1X，Q（α）≥ F-1Y，Q（α），α ∈[0, 1].（二）X2，QY（基于Q的二阶随机优势）当且仅当ifRαF-1X，Q（s）ds≥RαF-1Y，Q（s）ds， α ∈ [0, 1].（三）X1，IY（基于I的一阶随机优势）当且仅当F-1X，Q（α）≥ F-1Y，Q（α），α ∈[0, 1],  Q∈ 一、 （四）X2，IY（基于I的二阶随机优势）当且仅当ifRαF-1X，Q（s）ds≥RαF-1Y，Q（s）ds， α ∈ [0, 1],  Q∈ 一、 A风险度量ρ：L∞→ 如果X Y表示ρ（X）≤ ρ（Y）， 十、 Y型∈ L∞.备注6.11。当然，如果ρq方面1，Qor2、Qfor any Q∈ I和f是单调的，那么ρ=f（ρI）表示1，Ior分别为2、I。当I={P}且风险度量是L上的函数时∞(Ohm, F、 在标准情况下，出现了一些众所周知的结果：关于1，P；任意P-律不变凸风险测度方面2，P.更多详细信息，请参阅引言中引用的参考书。正如我们在下一个建议中所示，在一般I下，Remark6.11中的事实并不总是正确的。这些结果突出了这样一种讨论，即考虑到一个对概率测度选择稳健的框架可能会导致基于风险测度的决策出现悖论。尽管如此，当考虑由基于概率的风险度量的适当组合产生的风险度量时，这种情况是可以避免的。为此，我们需要以下辅助定义。定义6.12。A风险度量ρ：L∞→ 如果ρ（X）=supu，则R具有（ES，I）表示∈五、 m级∈M（Z（0,1）ESuα（X）dm- β（m））， 十、∈ L∞,式中β：M→ R+∪ {∞} 是一种惩罚条款。备注6.13。很容易注意到，这类泛函都是基于I的Fatoucontinuous凸风险测度。

从命题6.6和推论6.9中，我们发现这是由基于概率的风险度量与适当组合f组成的风险度量的情况。基于I的有限和相互单一I的一致性风险度量也是如此，如Wang和Ziegel（2018）的Theorem 4。提案6.14。设ρ：L∞→ R是一种风险度量。那么：（i）如果ρ1，I，那么ρ是基于I且单调的。反之，当I=P.（ii）时，如果ρ有（ES，I）表示（因此它是基于I的Fatou连续凸风险度量），则它会2，I.在ρmonetary和comonotone对的凸的附加假设下，反之成立，加上I是单态。证据（i） 设FX，Q=FY，Q Q∈ I表示任意X，Y∈ L∞. 然后通过hypothesis，我们得到ρ（X）=ρ（Y）。让X≥ Y然后是X1，IY，因此ρ（X）≤ ρ（Y）。相反，请注意，当I=P时，ρ始终是基于I的，因为FX，Q=FY，qf对于任何Q∈ Pimplies X=Y。让X1，IY。然后是X≥ Y，因此单调性意味着ρ（X）≤ ρ（Y）。（ii）让X2，IY。因此ESQα（X）≤ ESQα（Y）， α ∈ [0, 1],  Q∈ 一、 从积分的单调性和s上remum，以及罚项的非负性，我们得到ρ（X）≤ ρ（Y），对于具有（ES，I）r表示的任何ρ。关于相反的主张，这是文献中众所周知的结果，因为我们有单例I的标准案例，例如见命题5.1 inF–ollmer和Knispel（2013）。备注6.15。在（i）中，陈述conver se主张的困难在于1，IY并不意味着X≥ 明智的Y点。即使我们假设有一个参考测度P，我们也会研究L∞(Ohm, F、 P）在P几乎可以肯定的意义下，我们能得到的最好结果是用q取代P P、 由于并非每个基于I的凸风险度量都具有（ES，I）表示，因此不可能像在标准情况下那样，仅通过假设凸性来获得（ii）中的结果。

（ii）中的相反陈述需要加以限制，因为任何一方都不可能存在，Y∈ L∞, 一对单子ZX，ZY∈ L∞对于任何Q∈ 我们有FX，Q=FZX，Qand，FY，Q=FZY，Q，当我是一个单体时，这对于证明是必不可少的。6.4可引出性和最坏情况风险度量最近强调的统计特性是可引出性，它可以比较风险预测中的竞争模型。更多详情请参见Ziegel（2016）及其参考文献。在本小节中，我们将其改编为我们的框架。定义6.16。A地图S:R→ 如果R+具有以下性质，则称其为评分函数：（i）S（x，y）=0，当且仅当x=y；（ii）y→ 对于任何x，对于y>x，S（x，y）不递减，对于y<x，S（x，y）不递增∈ R（iii）S（x，y）在y中是连续的，对于任何x∈ R、 基于概率的风险度量ρI={ρQ:L∞→ R、 Q∈ 一} 如果存在scoringfunction S:R，则可导出→ R+使得ρQ（X）=- arg miny∈需求【S（X，y）】， 十、∈ L∞,  Q∈ 一、 （6.7）备注6.17。可引出性可能会受到限制，因为根据手头所需的财务属性，我们可能只会给出一个满足要求的风险函数示例，见Bellini和Bignozzi（2015）的定理4.9和Kou和Peng（2016）的定理1。例如，EL和VaR可在分数（x）下得出- y） 和α（x- y） ++（1-α） （十）- y）-, 而ES和ML则不是。在我们的框架中，当Q=Q′， Q∈ 一、 并且f具有平移不变性。很容易观察到ρ=f（ρI）继承了ρIsince RXis为常数的可导性f。然而，我们可以表示一个n上可引出的风险度量，在这种情况下，它是lqa的最坏情况组合（fW C），并且对于任何X都可以获得I上的上确界∈ L∞. 从其对偶表示的性质来看，这对于相干风险度量非常有用。提案6.18。

设ρI={ρQ:L∞→ R、 Q∈ 一} 是基于概率的风险度量，在评分函数S:R下可得出→ R+和ρW C:L∞→ 如（2.6）所定义，使得在Qxf中，每个X都能达到I中的最高值∈ L∞. 那么我们得到ρW C（X）=- arg miny∈需求X【S（X，y）】， 十、∈ L∞. （6.8）证明。对于任何X∈ L∞我们得到ρW C（X）=ρQX（X）=- arg miny∈需求X【S（X，y）】。备注6.19。例如，设I=QESPα，ρQ=ELQ，： Q∈ 一、 我们得到ρW C（X）=ESPα（X）=- arg miny∈需求X（十）- y）,其中QX=arg max{EQ[-十] ：Q∈ QESPα}，我们现在知道它有相对密度dqxdp=αX≤F-1X，P（α）。正如Inarbi和Szekely（2017）所述，可以为后测性和可识别性的概念开发类似推理，但我们在本文中不进行研究。7模型不确定性7.1初步在本节中，我们使用我们开发的框架来量化风险不确定性。我们这里的方法侧重于风险度量过程的可变性，而不是某些特定模型的准确性。SeeMller和Righi（2020）最近在此类文献中的讨论。我们现在将此类量化定义为ρI定义7.1上的函数。设ρI={ρQ:L∞→ R、 Q∈ 一} 是基于概率的风险度量，f:X∩ K∞→ R+。那么模型不确定性度量是一个函数M:L∞→ R+定义的asM（X）=f（ρI（X））。（7.1）备注7.2。很容易看出，在这种情况下，组合可以为f=f- f、 其中f，f:X∩ K∞→ R和f≥ f、 然后我们得到M（X）=f（ρI（X））- f（ρI（X））。为了简单起见，为了具有良好的一致性，我们将组合域限制为K∞. 可以对整个X进行调整。示例7.3。修复m∈ 五、 我们有以下模型不确定性度量的例子：（i）一个非常激进的例子是与范围相关的最坏情况，例如，inCont（2006）探索，其中我们有f（R）=supi∈IR（i）和d f（R）=单位：fi∈IR（i）。

在这种情况下，我们得到f=fW C- fBCandMW C（X）=supi∈IρI（X）- infi公司∈IρI（X）=ρW C（X）- ρBC（X），（7.2），其中BC代表最佳情况。（ii）最坏情况方法的变体是f=fW Cand f=fu对的一半，如Kerkhof et al.（2010）所述，或f=fu和f=fBC，如Breuer和Csisz\'ar（2016）所述。因此，我们得到了上限和下限模型不确定性度量asMUR（X）=supi∈IρI（X）-ZIρi（X）du=ρW C（X）- ρu（X），（7.3）MLR（X）=ZIρi（X）du- infi公司∈IρI（X）=ρu（X）- ρBC（X）。（7.4）（iii）文献中有大量关于前面示例中组合f的标准化。参见Barrieu和Scandolo（2015年）、Bernard和Vandu Offel（2015年）以及Danielsson等人（2016年），了解我们在此介绍的示例。在这种情况下，我们可以得到f asfW C的配方- fufW C- fBC，fu- fBCfW C- fBC、fW C- fufW C，fu- fBCfW C，fW C- fufBC，fu- fBCfBC、fW C- fufu，fu- fBCfu。（iv）常用p-规范，p∈ [1, ∞], 也可以考虑inMller和Righi（2020），以及他们的半负和半正对应项。在这种情况下，我们有fp（R）=RI | R- fu（R）| pdu将半副本扩展为fp-（R）=RI |（R- fu（R））-|pdupand fp+（右）=RI |（R- fu（R））+| pdup、 请注意，由于我们经营的是X，所以它们都很明确∩ K∞. 因此，我们得到了模型的不确定性度量sp（X）=ZI |ρI（X）- ρu（X）| pdup、 （7.5）Mp-（十）=ZI公司（ρI（X）- ρu（X））-pdup、 （7.6）Mp+（X）=ZI公司（ρI（X）- ρu（X））-pdup、 （7.7）备注7.4。请注意，在所有此类示例中，如果I是单态，则M=0，这反映了BSENCE模型的不确定性。此外，当Igets越大时，M（X）的值越大也是可取的。在最后一个示例中，第（i）、（ii）和（iii）项中的所有泛函都会出现这种情况。备注7.5。在前面的示例中，ρu对ben chmark起作用。在文献中，通常有一个支配度量或参考度量Q∈ 一、 在这种情况下，我们用fq（R）=R（Q）代替fu，因此用ρQin代替ρu。

这避免了选择特定u的不确定性∈ 五、 然而，另一方面，我们必须假设存在参考Q。备注7.6。直观地说，f起着色散的作用。事实上，这一概念与Rockafellar等人（2006）提出的偏差度量的通知有关。更多详情，请参见Grechuk等人（2009）、Rockafellar和Uryasev（2013）。与我们已经研究的风险度量相关，需要添加的关键特性是翻译不敏感，即M（X+C）=M（X）， C∈ R 十、∈ L∞.备注7.7。由M继承ρi和f的属性与第3节中所述的类似。此外，如果ρI={ρQ:L∞→ R、 Q∈ 一} 由具有翻译不变性和完全翻译不敏感性的风险度量组成。然后M:L∞→ R+还具有翻译插入性。直截了当的是，当nf=f时，翻译不敏感- F和F都具有平移不变性。此外，如果f是凸的且f是凹的，则f=f- fconvex。此外，由于f≥ 0，则没有与研究常规验收集相关的内容。7.2拟议方法我们现在通过提出一类新的模型不确定性度量，为量化提供了一些概括。我们在这里的目标是引入这样的概念，为将来的研究留下数值或实证分析。定义7.8。让u:X∩ K∞→ R如例2.13的（2.9）所示。也让g:R→ R+someBorel函数。我们假设u和g都被归一化为u（0）=g（0）=0。然后我们定义fu，g（R）=u（g（R- fu（R）））。在这种情况下，我们得到了模型不确定性度量u，g（X）=u（g（ρI（X）- ρu（X）））。（7.8）备注7.9。通过改变u和g，我们确定了整个类。请注意，示例7.3中的大多数度量值都位于此类中。

Jokhadze和Schmidt（2020）研究了u为体风险测度且g（x）=x的特殊情况。我们现在探讨拟议的Mu，g的一些性质。我们强调，我们的目的不是讨论这种度量必须满足哪一组性质，因为这是文献中的一个空白。然后，我们精确地关注那些描述偏差和分散的特征。在下面的内容中，我们定义了一个概率u∈ 五、 提案7.10。让fu，g:X∩ K∞→ R如定义7.8所示。然后我们有：（i）fu，gful fills翻译不敏感。（ii）如果对于非常数R和g凸，u（R）>fu（R），则fu，ghas非负性，即对于任何常数R，fu，g（R）=0∈ 十、∩ K∞对于任何非常数R，fu，g（R）>0∈十、∩ K∞.（iii）如果u和g都满足凸性、正齐性和可加性之间的任何性质，那么fu，g.（iv）如果g（x）≤ |x |， x个∈ R、 然后fu，gful填充上限D优势，即fu，g（R）≤ 辅助R-任何R的RIRdu∈ 十、∩ K∞.（v） 如果g是连续的，u是勒贝格连续的，那么fu，gful将填充勒贝格连续性。证据（i） 对于任何C∈ 我们有（R+C）-RI（R+C）du=R-RIRdu适用于任何∈ 十、∩ K∞.（ii）fu，g（C）=0， C∈ R是第（i）项的结果。让R∈ 十、∩K∞保持非常数。塞努gR-ZIRdu>ZIg公司R-ZIRdudu≥ gZI公司R-ZIRdudu= 第二步是由于Jensen不等式。（iii）由于u是m on otone和凸的，它与任何凸函数的组合也是凸的。对于正同质性和加性，结果是明显的。（iv）由于u是货币效用，我们对任何R∈ 十、∩ K∞thatu公司gR-ZIRdu≤ uR-ZIRdu≤ u辅助R-ZIRdu= 辅助R-ZIRdu。（v） L et{Rn} 十、∩ K∞有界并使limn→∞Rn=R∈ 十、∩ K∞. Thenfu，g（R）=ug画→∞（注册护士- fu（Rn））= u画→∞g（Rn- fu（Rn））= 画→∞fu，g（Rn）。我们在第一次平等中主导了趋同。