超边际价格的稳健估计

g是Lipschitz连续引理A.5R^PN1/kN时的AVg（r）- H（r- 1) -π^QN（g）- RP1/kN时的AVg（r）- H（r- 1) -π^QN（g）(6.2)≤CkNW（^PN，P）≤对于某些C>0的情况，CkNεN（βN）。注意，与定理6.1证明中的参数类似，我们可以假设（HN）N∈Nis有界，所以是（HN）N的子序列∈N（也可用（HN）N表示∈为方便起见）收敛到一些H∈ Rd.固定N∈ N、 那么对于所有M≥ N我们有SUPKDP/d^PNk∞≤kNEP[g（r）- HM（r- 1) -π^QM（g）- 1/米]≤ 2CkNεN（βN）+supkdP/d^PMk∞≤kNEP[g（r）- HM（r- 1) -π^QM（g）- 1/米]≤ 2CkNεN（βN）+supkdP/d^PMk∞≤kMEP【克（r）】- HM（r- 1) -π^QM（g）- 1/米]≤ 2kNCεN（βN）。设ε>0。然后supkdP/d^PNk∞≤kNEPhg（r）- HM（r- 1) -π^QM（g）- 1/Mi（6.3）- supkdP/dPk∞≤kNEPg（r）- H（r- 1) -πP（g）≤CkNW（^PN，P）+supkdP/dPk∞≤kNEPhg（r）- HM（r- 1) -π^QM（g）- 1英里/英里- supkdP/dPk∞≤kNEPg（r）- H（r- 1) -πP（g）≤ ε乘以（6.2）和N≤ M足够大，因为我们有SUPKDP/dPk∞≤千牛EPhg（r）- HM（r- 1) -π^QM（g）- 1英里/英里- EPg（r）- H（r- 1) -πP（g）≤ supkdP/dPk∞≤kN | HM- H | | EP【r】- 1] |+|πP（g）- π^QM（g）- 1/M |→ 0（米→ ∞).当ε>0时，对超边际价格的稳健估计是任意的，这意味着超边际价格为P/dPk∞<∞EPg（r）- H（r- 1) -πP（g）≤ 证明到此结束。7、多周期结果在本节中，我们将第2节和第3节的结果部分扩展到T>1的情况。如前所述，我们假设g：（Rd+）T→ R是Borel。设F由坐标映射rt（x）=xt，x生成∈ （Rd+）T。我们写ri:jfor the vector（ri，…，rj），1≤ i<j≤ T和r=r1:T。鞅测度mt现在通过mt={Q来定义∈ P（（Rd+）T）| EQ[rt | Ft-1] =1，对于所有t=1，T}。我们只考虑Rd+-值i.i.d.观测值r，R在这里。现在，我们通过以下步骤连接凹面封套：定义7.1。

我们定义（r1:t，·）：Rd+→ R、 R 7→ g（r1:t，~r）。然后我们递归地设置Ohm  （Rd+）克OhmT、 T（r）：=g（r）gOhmt、 t（r1:t）：=（dgOhmt+1（r1:t，·））Ohm（1） ，t=1，T- 1，克Ohm0，T：=（cgOhm(·))Ohm(1).与单周期情况类似，我们设置π^PNT（g）：=g{r，…，rN}0，Tfor ri∈ Rd+，i=1，N定义7.2。对于P∈ P（Rd+）我们定义，T（r）：=g（r）gPt，T（r1:T）：=（dgPt+1（r1:T，·））P（1），T=1，T- 1，gP0，T：=（cgP（·））P（1）和定义PT=P ··· P |{z}T次。此外，我们设置πPT（g）：=gP0，T。我们引用以下结果：引理7.3（参考文献[22][定理1.31，p.19）。设g：（Rd+）T→ R是可测量的。然后在NA（P）gP0下，T=supQ~PTEQ[g（r）]=inf（x∈ RH∈ H（F）s.t.x+TXs=1Hs（rs- 1) ≥ g（r）PT-a.s.）。我们现在可以对定理2.1进行以下多周期模拟：定理7.4。设P，P是Rd＋和g：（Rd＋）T上的概率测度→ R beBorel可测量。假设观测值r，r。i.i.d.样品是P.然后是P∞-a、 s.limN公司→∞π^PNT（g）=limN→∞g{r，…，rN}0，T=gP0，T=πPT（g）。更一般的马尔可夫案例可能需要一种真正新颖的方法，包括使用经验度量的修改定义，见【1】。我们把它留给未来的研究。22超边缘价格的稳健估计。我们用T上的归纳法证明了这一主张∈ N、 T=1的情况遵循定理2.1。因此，我们假设我们已经证明，对于每个r∈ Rd+limN→∞g{r，…，rN}1,2（r）=gP1,2（r），P∞-a、 根据Lusin定理，存在一个紧集序列Kn 支持（P），例如P（Rd+\\Kn）≤ 1/n和gP1,2 | Knis连续。在定理2.1的证明中，我们有gp0,2=\\（gP1,2（·））P（1）=limn→∞\\（gP1,2（·））Kn（1）。随着逐点递增函数的凹包络的增加，我们得出如下结论：g{r，…，rN}1,2（1）在N中增加∈ N

因此P∞-a、 s\\gP1,2（·）千牛（1）=\\画→∞g{r，…，rN}1,2（·）Kn（1）=limN→∞\\g{r，…，rN}1,2（·）千牛（1）。互换极限（因为它们是suprema）yieldsgP0,2=limN→∞画→∞\\g{r，…，rN}1,2（·）Kn（1）=limN→∞画→∞林姆→∞\\g{r，…，rN}1,2（·）千牛∩{r，…，rM}（1）=limN→∞limM公司→∞\\g{r，…，rN}1,2（·）{r，…，rM}（1）=limN→∞g{r，…，rN}0,2。这就是T=2的证明。一般归纳步骤如下所示。类似的推理可用于定理3.6withP中的估计量π^QN（g）∞N=1βN<∞.推论7.5。设P是Rd+和g：（Rd+T）上的概率测度→ R be1 Lipschitz，从下方开始有界。假设观测值r，r。阿雷伊。i、 d.关于P，则在NA（P）limN下→∞supq，。。。，qTZ（Rd+）Tg（r）qT（r1：T-1.drT）。q（r；dr）q（dr）=supQ∈MT，Q~PTEQ【g（r）】，P∞-a、 s.，其中（r，…，rt）7→ qt+1（r，…，rt；·）是从（Rd+）到^QN，t=0，T- 1.证明。我们通过反向归纳法证明了这一主张。修复r1:T-1.∈ （Rd+）T-在定理3.6的证明中，我们有P∈ 对于N足够大的P，BpεN（^PN）∞-a、 s.The“≥ ”-不等式如下定理3.6的证明。的确，supqT∈^QNZRd+g（r）qT（r1:T-1.drT）。q（r；dr）q（dr）≥ supqT公司∈M、 kdqT/dPk∞≤kNZRd+g（r）qT（r1:T-1.drT）。q（r；dr）q（dr）。因为g从下方有界，通过N到达极限→ ∞ 给出结果。现在我们展示“≤”-不平等这直接源于rT7→超边际价格的稳健估计23g（r1:T-1，rT）是1-Lipschitz，所以通过定理3.6supqT的证明∈^QNZRd+g（r）qNT（r1:T-1.drT）- supqT公司∈M、 qT~PZRd+g（r）dqT（r1:T-1.drT）≤ 2kNεN（βN）。对于归纳步骤，我们注意到对于某些集合C P（Rd+），t∈ 1.

T与some1-Lipschitz函数f：（Rd+）T→ R我们有supqt公司∈CZRd+f（r）dqt（r1:t-1，rt）- supqt公司∈CZRd+f（~r1:t）-1，rt）dqt（~r1:t-1，rt）≤ |r1:t-1.-r1:t-1|.特别是功能SUPQT∈M、 qT~PZRd+g（r）qT（r1:T-1.drT）和supqT∈^QNZRd+g（r）qT（r1:T-1.drT）是1-Lipschitz连续的。现在使用[4，Prop.7.34，p.154]提出了这一主张。备注7.6。类似的陈述对于惩罚估计量和有界函数g以及W都是有效的∞-连续g.8的估计量。渐近相合性、套利性和连续性我们现在讨论（3.2）中πQN（g）对于一般鞅测度集QN的相合性。这尤其为我们在定理3.6中构造改进的估计量提供了详细的动机。自始至终，我们假设NA（P）能够使用对偶公式（1.2），并回顾，根据资产定价的第一基本定理，NA（P）等价于Q的存在∈ M、 Q~ P、 显然，πQN（g）渐近一致性的第一个必要条件是qn6= 对于足够大的N。对于插件估计器，当QN={Q∈ M：Q~^PN}，这一点在命题2.4中确立，该命题概述了NA（P）和NA（^PN）之间的关系。证明主要依赖于以下事实：supp（^PN） 补充（P）。实际上，对于一般度量νN=> Pαffe hulla fff（supp（νN））的维数可能高于αfff（supp（P）），因此NA（P）和NA（νN）之间没有关系，如以下示例所示：示例8.1。取d=1，P=δ。显然νN：=δ/N+（1- 1/N）δ弱收敛于P。当NA（P）保持不变时，NA（νN）永远不会被填满。相反，νN：=δ/（2N）+δ/（2N）+（1-1/N）δ=> δ、 所以存在一个P-套利，而这里没有νN-套利。因此，保持QNand{Q之间的关系既自然又必要∈ M：Q~^PN}。

对于某些序列（kN）N，一个极小性质似乎是一个渐近性结论∈N和limN→∞kN=∞ wehave（8.1）P∞（{Q∈ M：Q~^PN&kdQ/d^PNk∞≤ 千牛} qn大N）=1。那么，定理2.1中插件估计量的一致性意味着lim infN→∞πQN（g）≥ 画→∞^πN（g）≥ πP（g）P∞-a、 s.24超边际价格的稳健估计目前的主要任务是识别满足（8.1）且逆不等式满足的集合序列→∞πQN（g）≤ πP（g）=supQ∈M： Q~PEQ【g】P∞-a、 s.（8.2）持有。为此，我们需要QNto渐近减少到集合{Q∈ M：Q~ P} 。更正式地说，用aε表示集合a的ε-邻域，当g是连续且有界的时，以下是（8.2）的必要条件：lim infN→∞对于某些序列（νN）N，νN（Aε）=0∈确保νN=> P暗示Limn→∞QN（A）=0表示所有（QN）N∈N、 这样QN∈ QN所有N∈ N、 （8.3）对于所有A∈ B（Rd+）和所有ε>0。如果qn={Q，则该条件可以满足∈ M | Q~^PN}，可解释为（νN）N上的连续条件∈Nand（QN）N∈N、 连续性的概念可以追溯到Le Cam（[47，Chp.5]），卡巴诺夫（Kabanov）和克拉姆科（Kramkow）（[38]）在连续时间的背景下用来描述大型金融市场。我们在这里引入了一个较弱的版本，它对我们的设置很有用：定义8.2。概率测度序列（QN）N∈Nis o-连续wrt。a序列（νN）N∈N、 如果对于所有ε>0和所有开集O∈ 硼（Rd+）限量→∞νN（Oε）=0表示limN→∞QN（O）=0。序列（νN）N∈Nand（QN）N∈如果（νN）N，则相互冲突∈Nis o-连续wrt。（QN）N∈Nand（QN）N∈Nis o-连续WRT。（νN）N∈N、 给定两组概率测度序列（PN）N∈Nand（QN）N∈Nwe saythe（QN）N∈Nis o-连续wrt。（PN）N∈每个序列QN的Nif∈ qn存在一个序列νN∈ Pn使（QN）N∈Nis o-连续wrt。

（νN）N∈N、 虽然（8.3）是πQN（g）渐近一致性的必要条件，但它并不有效，如以下示例所示：示例8.3。设P=1/3（δ+δ+δ），然后supQ~P、 Q∈MEQ（（1- r） +）=1/2。注意，对于νN=1/3（1- 1/N）（δ+δ+δ）+δN/N我们有νN=> P和Qn=（1- 3/N）δ+1/N（δ+δ+δN）~ νN.此外，关于νN，QNis o-连续。尽管如此，QN=> δ和等式（1- r） +）>3/4，对于N>12，因此渐近一致性不满足。上述示例表明，即使（QN）N∈Nis o-连续wrt。（νN）N∈N、 qn弱收敛于不是鞅测度的测度Q。解决这个问题的一种方法是要求（QN）N的一致可积性∈Nas是在连续时间内完成的。这允许建立以下内容：引理8.4。假设NA（P）成立。设pn为，对于每个序列（νN）N∈N带νN∈ Pn适用于所有N∈ N我们有νN=> P、 如果kN→ ∞ 和（1）{Q~^PN，Q∈ M、 kdQ/dPk∞≤ 千牛} 对于大N，（2）QNis o-连续wrt。PN，（3）QNis使得每个序列（QN）N∈N带QN∈ QN所有N∈ N是一致可积的，那么πQN（g）对于所有有界和连续的g都是渐近一致的。我们省略了证明，因为依赖一致可积性通常是不可能的：如果supp（P）是无界的（2）和（3），则引理8.4不能同时填充。下面的示例说明了这一点：超级边缘价格的稳健估计25示例8.5。考虑P，supp（P）=R+和g（R）=（1-r） +。然后limN→∞QN（{0}）=每个序列（QN）N有1个保持∈Nsuch thatlimN公司→∞方程[（1- r） +]=supQ∈MR+EQ[（1- r） +]=1。显然δ不是鞅测度，所以（QN）N∈nCa不能一致可积。（QN）N的一致可积性∈一般来说，Nis的要求过于严格。为了解决这个问题，我们加强了一个假设，即νnConverge弱收敛于真测度P。

相反，我们关注的是Wassersteindistance中的收敛性，它可以度量弱收敛性（参见[67，定理6.9，p.96]）。9、插件估计器的收敛速度我们现在更详细地研究了插件估计器^π在一维情况下的收敛速度。特别地，我们证明了定理2.11，并给出了一些推广。按照汉佩尔的方法，考虑超边缘函数的影响曲线是很自然的，它只是其在δrand方向上P处的Gateaux导数，表示当样本量变为整数时，附加观测值r的边际影响。然而，这会产生微不足道的结果：函数ε7→ π(1-ε） P+εδr（g）在（0，1）上是常数，因此影响曲线（r，P）将等于零或完整。发生这种情况的原因是（1-ε） P+εδr表示所有ε的相同支撑∈ (0, 1). 显然，为了评估P中πPto变化的敏感性，我们必须改变支持。为此，我们考虑πP（g）- infA公司Rd+：P（A）≥1.-επP | A（g）asε→ 0并研究其自然归一化。以下示例表明ε不是正确的归一化。示例9.1。再次取g（r）=| r- 1| ∧ 注意，我们可以通过设置dpndp来稀释P的尾部，而不是考虑P=λ[0,2]/2[0,1]=rnn+1和DPNDP[1,2]=(2 - r） nn+1自然，πP=πPn，但随着n的增加，概率质量在Pn支撑上的分布不太均匀。我们计算n≥ 2 FPn（r）=rn+r的1/2≤ 1因此F-1Pn（p）=n+1√2p表示p<1/2。这很容易暗示πP（g）- infA公司Rd+：P（A）≥1.-επP | A（g）=1- g（n+1√ε） =n+1√ε.上述例子促使我们使用分位数函数进行归一化，如定理2.11所述，我们现在证明了这一点。定理2.11的证明。如前所述，^πN（g）≤ πP（g）和^πN（g）在N中是不变的。让我们首先考虑有界支撑的P。

有必要证明这一点~P、 Q∈MEQ[克]≤ supQ公司~^PN，Q∈MEQN[g]+O（δ（κN））。在不丧失一般性的情况下，我们假设r≤ r≤ ··· ≤ RN用于其他证明。由dNF定义-1P（（p- dN）∨ 0+) ≤ F-1^PN（p）≤ F-1P（p+dN）26所有p的超边缘价格的稳健估计∈ [0, 1]. 因此，我们注意到，对于所有i=2，Nri公司- 国际扶轮社-1=F-1^PN在里面- F-1^PN我- 1N≤ supk=1，。。。b1/（3dN）cF-1P（3kdN）- F-1P（3（k- 1） dN∨ 0+) ≤ κN.接下来，我们注意到，通过定义πP（g）和命题2.8，存在C>0，使得πP（g）-πP（·|[r，rN]）（g）≤ Cδ（F-1P（dN）-F-1P（0）+Cδ（F-1P（1）-F-1P（1-dN）c））。以Q为例~ P（·|[r，rN]），Q∈ M、 我们想要应用一个简单的Balayage构造，在^PN的支持下重新分配Q的质量。因此我们设置qn（{r}）=Z[r，r）r- rr（右后）- rQ（dr），QN（{ri}）=Z[ri-1，ri）r- 国际扶轮社-1ri- 国际扶轮社-1Q（dr）+Z[ri，ri+1）1.-r- riri+1- 国际扶轮社Q（dr），对于i=2，N- 1.QN（{rN}）=Z[rN-1，rN]r- rNrN-1.- 注册护士。一个简单的计算表明QN（{r，…，rN}）=1和EQN[r]=1。我们有rNZrgdQN-rNZrgdQ=NXk=2rkZrk-1.g（rk）（r- rk公司-1) - g（rk-1） （r）- rk）rk- rk公司-1.- g（r）Q（dr）≤ δ（κN）。（9.1）对于P∈ 具有无界支撑的P（R+）和以D>0为界的g，我们注意到πP（g）- πP（·|[0，rN]）（g）≤2DrN公司≤2DF-1P（1- dN）。证据到此结束。为了改进定理2.11中的结果，并进一步详细说明这些结果，我们调用引理A.8并进行以下简单的观察：引理9.2。设C>0和P∈ P（Rd+）。然后集合{Q∈ M | kdQ/dPk≤ C} 是弱紧的。证据Aslim SUP公司→∞supn公司∈NEQn[| r | 1{| r|≥K} ]≤ lim SUP公司→∞CEP[| r | 1{| r|≥K} ]=0，声明如下。推论9.3。让P∈ P（R+）有界支撑，且设g:supp（P）→ R连续，使得| g（R）- g（￠r）|≤ δ（| r- 对于某些单调δ：r+→ R+带δ（R）→ r为0→ 0.如果（3.7）保持不变，则SUPQ~P、 Q∈MEQ[克]- supQ公司~^PN，Q∈MEQ【g】=O（d1/2N+δ（d1/2N））P∞-a、 美国超边际价格的稳健估计27Proof。

注意，根据假设，考虑鞅测度q是足够的~ P以便kdQ/dPk∞≤ 对于某些C>0。类似于定理2.11的证明，我们设置qn（{r}）=Z[r，r）r- rr（右后）- rQ（dr）+Q（[0，r）），QN（{ri}）=Z[ri-1，ri）r- 国际扶轮社-1ri- 国际扶轮社-1Q（dr）+Z[ri，ri+1）1.-r- riri+1- 国际扶轮社Q（dr），对于i=2，N- 1.QN（{rN}）=Z[rN-1，rN]r- rNrN-1.- rN+Q（（rN，∞)).注意QN（{r，…，rN}）=1和| EQN[r]- 1 |=|方程[r]- 公式[r]|=rZ | r- r | dQ（r）+∞Zrn | rn- r | dQ（r）≤ KDN对于某些K>0。也是πP（g）- ^πN（g）≤ supQ公司~P、 Q∈MEQ[克]- supQ公司~^PN，| EQ（r-1)|≤KdNEQ[g]+2δ（KdN）我们进一步假设g以D为界。然后（9.1）变成rNZrgdQN-rNZrgdQ=NXk=2rkZrk-1.g（rk）（r- rk公司-1) - g（rk-1） （r）- rk）rk- rk公司-1.- g（r）Q（dr）≤ δ（d1/2N）+2CDnk公司∈ {1，…，b1/（3dN）c}|κNk |≥ d1/2否3dN≤ δ（d1/2N）+6CDF-1P（1）dNd1/2N=O（d1/2N+δ（d1/2N））。证据到此结束。备注9.4。我们注意到，上述渐近结果可用于建立近似πP的基于自性的套期保值问题C（d1/2N+δ（d1/2N））对于凹形且严格递增的U和一些C∈ R+然后πP（g）≈ supQ公司~^PN，Q∈MEQ【克】+铀-1（αN）是基于效用的套期保值问题在^PNinf{x下的值∈ R |H∈ R s.t.U（x+H（R）- g（r））≥ αn r=r，rN}。现在让我们陈述引理2.13到马尔可夫链的推广，其中我们将定义a.2和符号从第2.4节：引理9.5（参见[42，定理11.24，p.228]）。假设r，r。是以指数衰减和不变量测度P为初始分布的平稳β-混合马尔可夫链的实现。然后，作为N→ ∞√N supx公司∈R+F^PN（x）- FP（x）=> supx公司∈R+| G（FP（x））|，其中G是[0，1]上的标准布朗桥。28超边缘价格的稳健估计。

设置F={1(-∞,x] ：x∈ R+}，我们可以在[42，定理11.24，p.228]中选择p=4，并立即检查对于具有几何混合速率ρ的p∞Xk=1kρk<∞以及J[](∞, F、 L（P））<∞, 其中J[](∞, F、 L（P））表示F和P=4的括号积分（参见示例[42，第17页]）。证据到此结束。对于具有指数衰减的平稳β-混合马尔可夫链的例子，参见引理A.3和推论A.4。上述引理可用于获得推论9.3的渐近置信界。更准确地说，对于N→ ∞, weobtainP公司∞（|πP（g）- πN（g）≥ ε) ≤ P∞（d1/2N+δ（d1/2N）≥ ε/C）≤ P∞（dN≥ f（ε/C））。P∞supx公司∈R+| G（FP（x））|≥ f（ε/C）√N对于某些常数C>0和f:R+→ R+是x的倒数的平方→ x+δ（x）。同样，在F上的一些正则性假设下-1P，可使用引理2.13给出定理2.11的类似但非渐近估计。为了结束这一节，我们考虑了在定理2.11不适用的某些情况下的收敛速度。请注意，定理2.11适用于连续的gwhenever P有界支撑，或者如果存在K>0这样的SUPQ~P |[0，K]，Q∈MEQ【g】=supQ~P、 Q∈MEQ[克]。（9.2）假设不存在此类K。如果g（r）/r→ ∞ 作为r→ ∞ 那么πP（g）=∞ 所以考虑线性增长的g:g（r）/r→ c∈ R作为R→ ∞. 由于Pnecessaly具有无限的支持，我们可以采用序列Kn→ ∞ 在上述条件下，一些（Hn）n∈确保πP（·|[0，Kn]）（g）+Hn（Kn- 1） =克（Kn）。AsπP（·|[0，Kn]）（g）→ πP（g）我们得出Hn↑ c、 因此πP（g）=maxλ∈[0,1]∩supp（P）（g（λ）-c（λ- 1） ）=克（r）- c（▄r- 1） 对于一些∈ [0, 1] ∩补充（P）。特别是πP（·|[0，Kn]）（g）≥千牛- 1Kn- ~rg（~r）+1- rKn- rg（Kn）。清晰^πN（g）≤ πP（·|[0，rn]）（g）因此，使用g在[0，1]上有界，上述结果意味着收敛速度最多为（9.3）maxi=1，。。。，Nri公司+c-g（最大值=1，…，Nri）最大值=1，。。。，Nri公司但速度可能会慢一些。