超边际价格的稳健估计

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英文标题：
《Robust estimation of superhedging prices》
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作者：
Jan Obloj, Johannes Wiesel
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We consider statistical estimation of superhedging prices using historical stock returns in a frictionless market with d traded assets. We introduce a plugin estimator based on empirical measures and show it is consistent but lacks suitable robustness. To address this we propose novel estimators which use a larger set of martingale measures defined through a tradeoff between the radius of Wasserstein balls around the empirical measure and the allowed norm of martingale densities. We establish consistency and robustness of these estimators and argue that they offer a superior performance relative to the plugin estimator. We generalise the results by replacing the superhedging criterion with acceptance relative to a risk measure. We further extend our study, in part, to the case of markets with traded options, to a multiperiod setting and to settings with model uncertainty. We also study convergence rates of estimators and convergence of superhedging strategies.
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中文摘要：
我们考虑在具有d交易资产的无摩擦市场中，使用历史股票收益率对超高价格的统计估计。我们引入了一种基于经验测度的插件估计器，结果表明它是一致的，但缺乏适当的稳健性。为了解决这一问题，我们提出了一种新的估值器，它使用一组更大的鞅测度，这些鞅测度是通过在经验测度周围的Wasserstein球半径和鞅密度的允许范数之间进行权衡来定义的。我们建立了这些估计器的一致性和稳健性，并认为它们提供了相对于插件估计器更好的性能。我们通过将超边缘标准替换为相对于风险度量的可接受性来推广结果。我们进一步将我们的研究部分扩展到具有交易期权的市场、多周期设置和具有模型不确定性的设置。我们还研究了估计量的收敛速度和超边缘策略的收敛性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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关键词：超边际 Applications Quantitative Multivariate Differential

超边缘价格的稳健估计Jan OB L’OJ和JOHANNES WIESELAbstract。我们考虑在具有d交易资产的无摩擦市场中，使用历史股票收益率对超高价格的统计估计。我们介绍了一种基于经验测度的插件估计器，并证明它是一致的，但缺乏适当的鲁棒性。为了解决这一问题，我们提出了一种新的估计方法，该方法使用一组更大的鞅测度，通过在经验测度周围的瓦瑟斯坦球半径和鞅密度的允许范数之间进行权衡来确定。我们建立了这些估计器的一致性和稳健性，并认为它们相对于插件估计器具有更好的性能。我们用相对于风险度量的可接受性来代替超边缘标准，从而推广了结果。我们进一步将我们的研究部分扩展到具有交易期权的市场、多周期设置和具有模型不确定性的设置。我们还研究了估计量的收敛性和超边缘策略的收敛性。简介计算与给定财务状况相关的风险是市场参与者必须执行的基本操作之一。对于银行等机构参与者而言，它受巴塞尔委员会（Basel Committee）的监管，该委员会规定了此类风险评估的规则和要求。长期以来，风险价值（VaR）一直是黄金标准，但最近这一标准正被凸风险度量（如平均VaR（预期缺口））或更复杂的方法（包括市场建模）所取代。因此，有大量关于VaR估计的文献和一些关于法律不变风险度量的统计估计的最新工作，请参见[13、44、45、43、58、19、20]。

所有这些工作都考虑了静态情况，不涉及交易。相反，在本文中，我们考虑了在市场中进行交易以提供其风险敞口的代理的风险估计。为了证明我们的设置的新颖性和相关性，我们专注于一种简单但规范的风险评估方法：超高价格。考虑一个单期无摩擦市场，其价格（St，St+1）以固定数字单位计价。当前的股票价格是已知的，未来的价格St+1被建模为随机变量，比如收益率r：=St+1/St来自于Rd+上的分布P。用于支付：Rd+→ R、 英国牛津大学伍德斯托克路ROQ牛津大学数学学院和圣约翰学院邮箱：1月1日。obloj@maths.ox.ac.uk，约翰内斯。wiesel@maths.ox.ac.uk.Date：2020年4月8日。关键词和短语。超边际价格、风险度量、统计估计、一致性、稳健性、股票回报、Wasserstein度量、定价对冲二元性、经验度量。感谢欧洲研究理事会根据欧盟第七框架计划（FP7/2007-2013）/ERC第335421号赠款协议提供的支持，以及伊诺克斯福德圣约翰学院提供的支持。我们感谢Daniel Bartl、Stephan Eckstein、Robert Stelzer、Ruodu Wang和三位匿名评论者的宝贵意见，这些意见使我们能够改进本文。JW进一步感谢德国学术奖学金基金会的支持。2超边际价格的稳健估计超边际价格由以下公式给出：（1.1）πP（g）：=inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+H（r- 1) ≥ g（r）P-a.s.}。在这个简单的环境中，套利策略是H∈ Rd使得P（H（r- 1) ≥0）=1和P（H（r- 1） >0）>0，如果不存在这样的策略，我们就说无风险NA（P）成立。

根据资产定价的基本定理，无套利等价于存在一个概率测度Q，等价于P，在此概率测度下S是鞅，即EQ[r]=1。这样的度量可能不止一个，它们都可以用于定价。取等式[g]上的上确界可以计算g的最大可行价格，通过基本定价对冲对偶，这与g的超边际价格相同：（1.2）πP（g）=supQ~P、 公式【r】=1EQ【g】，适用于所有钻孔g，参见【22，第1.31条】。尽管它具有理论重要性和实践相关性，但据我们所知，尚未尝试研究超边际价格的统计估计。我们的论文填补了这一重要空白。我们不是假设测度P，而是直接从收益率r，…，的历史观测值建立πP（g）的估计量，R并研究其性质。此外，我们扩展了估计量，以考虑期权价格数据。这在实践上是相关的，并且在方法上是新颖的，因为它允许将历史时间序列数据与当前期权价格数据或（用数学金融术语）物理度量数据和风险中性度量数据连贯地同时使用。相比之下，在现有的方法中，历史收益率（如果有的话）仅直接用于计算πP（g）。在经典数学金融中，第一个假设是一系列似是而非的模型{Pθ：θ∈ Θ}. 这种选择可能会受到历史回报的类型化特征的影响，最近的一个例子见[26]，以及其他考虑因素的影响，例如计算的可跟踪性。因此，不使用历史回报，仅利用“面向未来”的期权价格数据来选择候选定价度量Qθ。

最近，由Mykland[52、54、53]在连续时间设置中首创，并在所谓的稳健定价和对冲方法中追求，有人建议使用历史回报来选择预测集，即需要超边缘属性的路径集，然后计算出最终的最便宜超边缘，即股票和期权交易，见[33、6]。我们的方法继承了这一观点，但采用了统计视点，并将其发展为动态和渐进一致的方法。为了描述我们的方法，假设我们观察到d维历史返回Sr=S/S，rN=序号/序号-1为简单起见，假设这些是满足无套利条件的分布P的非负i.i.d.实现。我们可以通过其相关的经验测度^PN=NNXi=1δri等效地表示观测值，众所周知，这些测度弱收敛于P作为N→ ∞, 参见【66，定理19.1，第266页】。这表明用^PN代替P来近似超边际价格是一种非常自然的方法。我们在下面的定理2.1中表明，结果插件估计量^πN（g）：=πPN（g）是渐近一致的：limN→∞πN（g）=πP（g），P∞-a、 美国，超边际价格的稳健估计3p∞表示过程定律（rN）N≥然而，我们也表明^πNHA存在严重的缺点。首先，它不具有（统计）稳健性：P的小扰动可能导致^πN的分布发生大的变化。我们认为，在经典的统计稳健性定义（定义2.6）中使用的L'evy-Prokhorov度量在研究衍生工具定价的金融背景时是不合适的。在第4节中，我们提出并研究了替代指标和随后的统计稳健性概念。其次，从风险管理的财务角度来看，插件估计器也缺乏稳健性。

事实上，N中的^πNis单调且从下面收敛，所以它总是一个较低的风险估计：N^π≤ πP。在定理2.11中，以及在[55，第9节]中，我们研究了插件估计的收敛速度。在一维d=1的情况下，可以利用这一点来构建超边际价格πP的保守估计。改进插件估计量的第一个直觉可能是求助于P的支持估计量。实际上，超边际价格πP（g），例如对于连续g，仅通过其支持依赖于P。因此，我们可以将插件估计中的^PN-a.s.不等式替换为P的支持估计的不等式。此类估计在统计学中得到了很好的研究，可以追溯到[27，11，16，28]，参见[14，41，50，31，59，65，15，9]。不幸的是，这种方法似乎没有任何根据。首先，支持估计的收敛性通常对P施加强大的条件，例如，支持的紧性和凸性和/或密度的存在性。其次，对于超边际价格的收敛性，我们还需要对g施加一些一致的连续性假设。然而，在P和g的这种条件下，我们可以直接改进插件估计量，并考虑合适的^πN+aN，参见第2.4节。相反，为了解决插件估计器的缺点，我们提出了novelestimators，我们将在第3节中介绍它。他们利用了（1.2）中超边际价格的双重公式。为了实现财务稳健性并增加我们的点估计，我们需要考虑一类更大的鞅测度。因此我们考虑πQN（g）=supQ∈QNEQ[g]，其中QNis是所有鞅测度M的子集。插件估计量对应于取QN={Q∈ M：Q~^PN}，用qn={Q来代替它是很自然的∈ M：P∈ BN（^PN）s.t。

Q~P}，其中BN（^PN）是经验测度^PN周围概率测度空间中的某个“球”。我们表明，如果我们使用一个足够强的度量，例如，Wasserstein单位度量W，这可以得到一致的估计值∞. 但总的来说，这样的问题太大了。相反，我们的主要见解是考虑球半径和鞅密度行为之间的相互作用：^QN：={Q∈ M | kdQ/dPk∞≤ 对于一些▄P∈ BpεN（^PN）}，其中BpεN（^PN）表示半径为εNaround^PN和εN的p-Wasserstein球→ 0以及kN→ ∞. 通过选择合适的εN，kN，我们建立了正则g的π^QN（g）的一致性，见定理3.6，以及它们的财务稳健性，见推论3.7。这也使我们能够研究在关于P的模型不确定性下，估计器自然扩展到超边缘设置的情况，见推论3.8。π^QN（g）的统计稳健性如第4节所示，见定理4.2。在第5节中，我们将我们的分析扩展到风险评估的情况，即不使用超边际资本，而是通过通用风险度量ρ来接受Kusuoka表示（[46]，定义见（5.1））。我们强调，这是对超边际价格的稳健估计，与本介绍开始时回顾的所有作品基本不同，因为我们考虑的是一位能够交易并优化其头寸以提供风险的代理人。受π^QN（g）启发，我们提出了一个估计量，并证明了它的一致性。最后，我们还提出了另一个估计量：supQ∈MEQ[克]- CNinf^Q~^PN，^Q∈Md^QdQ∞- 1.其灵感来自于风险度量中使用的惩罚方法及其作为非线性期望的表示。该估计量的渐近一致性如REOM 3.12所示，并适用于任意可测有界g。本文的其余部分组织如下。

在第2节中，我们研究了pluginestimator^πN：其一致性、收敛速度和稳健性，包括统计和财务方面。在第3节中，我们提出了改进的估计量，并在不同的假设集下建立了所有估计量的一致性。随后，在第4节中，我们讨论了所有估计量的统计稳健性。我们特别表明，没有任何估值器能够在Tukey Huber-Hampel的经典意义上具有稳健性，并提出了修改经典定义的方法，使其更适合于超级对冲价格估值。然后详细介绍了主要结果的进一步应用。特别是，我们在第6节中讨论了超边缘策略的收敛性，并在第7节中部分地将结果推广到多周期设置。第8节讨论了广义鞅测度集的估计量πqn和估计量渐近相合的必要和充分条件。特别是，它激励了第3节中研究的估计量。最后，第9节更详细地研究了当d=1时插件估计量^πnw的收敛速度，并且是第2.4节的辅助。最后，附录A包含剩余的证明以及辅助结果。符号我们为A上的一组概率测度写P（A） Rd.Pn=> Pdenotes测度的弱收敛性。P∈ P（Rd+）是返回r的通用分布，因此EP[r]=RRd+xP（dx）。我们让M={Q∈ P（Rd+）：EQ[r]=1}表示股票价格的鞅测度集（St，St+1），其中St>0是固定的，St+1=rSt。我们把A上支持的鞅测度集写成maf∈ P（Rd+）不允许套利，或者NA（P）持有，如果{Q∈ M：Q~ P} 6=. 在上面和整个过程中，H是行向量，r是列向量，1表示标量或列向量（1，…，1）T.2。插件估计器回想一下，我们想为超边际价格πP（g）构建一个估计器。

做到这一点的最简单、可能也是最自然的方法就是用经验测量值^PN代替测量值。这就产生了插件估计器：（2.1）πN（g）：=πPN（g）。在这一节中，我们开发了必要的工具来证明这个估计量的渐近一致性并理解它的性质。证据见附录A。2.1. 一致性我们现在陈述本节的主要结果：定理2.1。设P，P∈ P（Rd+）和g：Rd+→ R是可测量的。假设r，r。具有初始分布和唯一不变分布P的时间齐次遍历马尔可夫链的实现，使得P P、 ThenlimN公司→∞^πN（g）=πP（g）P∞-a、 s.，（2.2），其中P∞表示从P开始的马尔可夫过程定律。超边际价格的稳健估计5备注2.2。上述定理中的假设是计量经济学理论中的标准假设，涵盖了金融回报数据建模常用的各种模型。我们参考[55]中的推论A.4，了解各种随机系数自回归模型的平稳性（指数衰减率）的充分条件，例如线性和幂次GARCH以及随机自回归波动率模型，这些模型经常用于期权定价。然而，我们注意到，这一假设排除了确定性趋势、结构突变和季节性因素，这些因素需要单独处理。一般g的证明遵循连续索赔g的Lusin定理，而连续索赔g又取决于使用凹面包络的超边缘价格的特征，我们现在回想起来。定义2.3。让g：Rd+→ 博雷尔。对于 Rd+和x∈ A我们定义了点凹包络线^gA（x）=inf{u（x）| u:Rd+→ R闭合凹面，u≥ A}上的g。我们定义了P-a.s。

凹面包络as^gP（x）=inf{u（x）| u:Rd+→ R闭合凹面，u≥ g P-a.s.}。众所周知，在上述凹包络的定义中，我们可以对一个函数取最小值，而不是凹函数。根据（1.1）中对超边际价格的定义，我们得到了（2.3）πP（g）=^gP（1）和^πN（g）=^g^PN（1）=^g{r，…，rN}（1）。许多应用科学研究了凹包络的性质和计算方法，或更一般地研究了离散点集凸包的性质和计算方法，并且有许多有效的数值例程可用于计算。自然，计算复杂性随着维数的增加而增加。尽管如此，仍然存在确定近似凸包的算法，其复杂性与维数无关，例如参见[61]。为了建立插件估计器的对偶公式，现在假设PP以及无P套利，NA（P），持有并收回这意味着定价享乐二元性，参见（1.2）。事实证明，自从supp（^PN） supp（P）这已经意味着NA（^PN）对于足够大的N是有效的。更一般地说，我们有：提案2.4。让P∈ P（Rd+）和（PN）N∈Nbe Rd+上的一系列概率测度，使得PN=> P和supp（PN） 补充（P）。ThenNA（P）<=> N∈ 所有N的N s.t.NA（PN）≥ N、 特别地，如果NA（P）成立，那么在定理2.1的设置中，我们也有limn→∞^πN（g）=limN→∞supQ公司~^PN，Q∈MEQ[g]=πP（g）P∞-a、 s.（2.4）我们在结束本节时，考虑到一个扩展的设置，其中除了交易资产s（我们观察其历史价格）之外，市场中还存在可用于对冲g的期权。如果使用这些期权扩大的市场不允许套利，则该市场中g的超边际价格也会被插件估计器近似，现在也允许期权交易。更准确地说，我们有以下内容：推论2.5。