超边际价格的稳健估计

当我们不确定真正的衡量标准时，它也允许我们考虑这种情况，相反，我们更愿意在所有的衡量标准下，在它的小邻里里进行超级边缘化。12超边际价格的稳健估计3.8美元。在定理3.6的设置中，fix C>0，并假设存在sq∈ M、 kdQ/dPk∞< C、 考虑CN→ C和a固定ε>0。ThenlimN公司→∞supQ公司∈Dpε+εN，CN（^PN）EQ【g】=supQ∈Dpε，C（P）EQ【g】在P中保持不变∞-概率和P∞-a、 s.wheneverP公司∞N=1βN<∞.我们用两个例子来结束这一节，说明定理3.6中关于g正则性的假设不容易放松。例3.9（g无界，非Lipschitz）。设置g（r）=（r- 1） 并考虑（rN）N≥1i。i、 d.从P=δ。对于rN≥ 2考虑测量值νN=εN（βN）δ+1.-rNεN（βN）2（rN- 1)δ+εN（βN）2（rN- 1） δrNandQN=εN（βN）pεN（βN）δ+1-rNεN（βN）2（rN- 1） pεN（βN）！δ+εN（βN）2（rN- 1） pεN（βN）δrN。然后W（νN，δ）≤ εN（βN），dQNdνN∞≤pεN（βN）并选择rN=1/εN（βN），我们得到N【g】≥pεN（βN）2（1/εN（βN）- 1） （1/εN（βN）- 1)→ ∞, 作为N→ ∞.示例3.10（g有界，不连续）。设置g（r）=1{r6=1}，并考虑（rN）N≥1i。i、 d.从P=δ。设νN=δ1-εN（βN）/2+δ1+εN（βN）/2，然后W（νN，δ）=εN（βN）/2。我们得出结论→∞supQ公司∈^QNEQ[克]≥ 画→∞supQ公司νN，Q∈MEQ【g】=1 6=0=supQ~P、 Q∈MEQ[克]。让我们注意到，作用于有限维空间的π^QN（g）受更复杂版本的插件估计器的限制。要了解这一点，请确定1/k级的g风险平均值，对于k≥ 1，byAV@RP1/k（g）=最大P~P、 kdP/dPk∞≤kEP【克】。在尺寸1中，d=1，可以重新表示，见[22，Thm.4.47]，asAV@RP1/k（g）：=kZ1-1/kF-1便士og-1（x）dx，这使得与经典风险值的联系显而易见。如果我们现在包括交易和优化最终头寸的能力，那么通过AV@RP1/k（·）的平移不变性，我们可以写出∈RP1/k时的RdAV（g（r）- H（r- 1） ）=infnx∈ R |H∈ Rds。t。

RP1/k时的AV（g（r）- H（r- 1) -x）≤ 0o，这是一个超边际价格，其中验收锥由AV@Rconstraint给出。π^QNfollow的类似表示和界限：超边际价格的稳健估计13图1。插件估计器πN（虚线）和WassersteinestimatorπQN（虚线）收敛到N的真值（实线）→ ∞ 对于g（r）=（1-r） 1{r≤1}-√r- 11{r>1}，P=Exp（1）（左）和g（r）=（r-2） +，P=exp（N（0，1））（右）。结果平均超过10次。推论3.11。在定理3.6的设置中，设g为1-Lipschitz和P∈ P（Rd+）满足NA（P）。然后存在N∈ N使得对于所有N≥ 九小时∈RdAV@R^PN1/kN（g（R））- H（r- 1))≤ infH公司∈Rdsup▄P∈BpεN（βN）（^PN）AV@RP1/kN（g（R）- H（r- 1） ）=π^QN（g）=inf（x）∈ R |H∈ Rds。t、 （3.8）支持∈BpεN（βN）（^PN）AV@RP1/kN（g（R）- H（r- 1) -x）≤ 0)≤ inf | H|≤1AV@R^PN1/kN（g（R））- H（r- 1） ）+2kNεN（βN）在一组大于或等于1的概率上-βN.注意π^QN（g）=supP∈BpεN（βN）（^PN）supkdν/dPk∞≤克宁夫∈RdEν[g- H（r- 1)] .通过使用最小-最大参数交换两个上确界和上确界，并使用P 7的连续性进行证明→ AV@RP1/kN（g-H（r-1） ）w.r.t.至w，详见【58】和附录A.2。我们提供了一种直接计算TensorFlow中实现的Wasserstein估计量的方法，该方法基于[18]中获得的最新对偶结果。由于使用大样本时，这种近似在计算上相当昂贵，因此我们选择计算（3.8）中给出的π^QN（g）的上界。如图1.3.3所示。一种惩罚方法：不连续支付的估计量。

在上一节中，我们介绍了基于WassersteinOur Python实现的估计器π^QNwhere^QNwere，本文中的所有数值示例都可以找到athttps://github.com/johanneswiesel/Stats-for-superhedging.14超边缘价格的稳健估计10010111021031041051002×1013×1014×1016×101图2。定理3.12中的惩罚估计量（虚线）和插件估计量^πN（虚线）收敛到真值（实线）为N→ ∞ 对于g（r）={r≤0.5}，P=Pfrom【55，示例9.1】（左），g（r）=1{r≤0.5}，P=Exp（1）（右）。结果平均超过10次。^PN周围的球。该估计器使我们能够解决插件估计器的基本缺点，但正如反例所示，它仅在g的适当正则性假设和/或P的进一步假设下是符号一致的。要构造一个估计器，该估计器在保持π^QN的一些期望鲁棒性的同时，对非连续支付也是一致的，将风险度量中使用的惩罚方法及其表示作为非线性期望是很自然的。也就是说，我们在惩罚项中使用Radon-Nikodym导数的最大范数，而不是Wasserstein距离。定理3.12。在定理2.1的设置中，让NA（P）保持不变，让g:Rd+→R+是Borel可测的，并且有一个常数C>0的界。那么对于任何CNN→∞-→ C我们有Limn→∞supQ公司∈MEQ[克]- CNinf^Q~^PN，^Q∈Md^QdQ∞- 1!!= supQ公司~P、 Q∈MEQ【g】（3.9）P∞-a、 其中，对于两个概率度量Q，^Q表示d^QdQ∞= ∞ 如果^Q不是绝对连续的w.r.t.Q，（3.9）的直接实现证明了由于分数kd^Q/dQk，在数值上昂贵且不稳定∞出现在处罚期内。因此，在图2中，我们给出了附录A.2中定理3.12的证明中得出的惩罚估计量的上界。

在本文的其余部分，我们重点讨论插件和瓦瑟斯坦估计量的更易处理的性质。4、超边际价格估计的统计稳健性在定理2.7中我们指出，除非（2.6）中的超边际价格微不足道，否则经典稳健性在hampel意义下无法成立。这与L'evy Prokhorov度量的属性密切相关，参见引理A.1，我们自然会考虑比dL更强大的度量，这有助于更好地控制支持。下面，我们将研究Wasserstein距离的使用。首先，我们考虑WPP≥ 1这有助于建立第3.2节中的估计器π^qn的稳健性。然后我们转向一个更强的度量W∞这是研究插件估计器所需要的。超边际价格的稳健估计154.1。关于Wasserstein-Hausdorff度量的稳健性。在[48]之后，我们考虑了Wasserstein Hausdorff距离，即配备Wp的P（Rd+）子集之间的Hausdorff距离：定义4.1。设P，~P P（Rd+）。集合p和▄p之间的p-Wasserstein-hausdorff度量由wp（p，▄p）给出：=maxsupP∈品脱▄P∈PWp（P，▄P），sup▄P∈PinfP∈PWp（P，~P）！。在这种一般性中，Wp（P，~P）可以取单位值。[48]中讨论了该量的性质，假设P和P的紧性和一致可积性。我们将该距离应用于形式为^QN=DpεN（βN），kN（^PN）的集合，请参见（3.4），并且我们注意到DεN（βN），kN（^PN）既不紧也不一致可积，请参见引文A.7。我们在第3.2节中使用这些集合来定义一致估计量π^QN，参见（3.2）和定理3.6。以下内容确定了它们的稳健性：定理4.2。修复p≥ 定理3.6中研究的估计量π^qn对于p-Wasserstein-hausdorff度量是鲁棒的，在这个意义上，supg∈Lπ^QN（g）- π^QN（g）≤ Wp（^QN，^QN），其中^QiN=DpεN（βN），kN（^PiN）表示Pi∈ P（Rd+），i=1，2。证据

注意，对于所有g∈ 土地Qi∈^QiN，i=1，2，我们有eq[g]- 等式[g]=ZRd+×Rd+g（r）- g（s）dγ（r，s）≤ZRd+×Rd+| r- s | dγ（r，s），其中γ∈ π（Q，Q）是Rd+×Rd+上的概率测度，边缘为QandQ。对所有这些概率测度取最小值γyieldsEQ【g】- 等式【g】≤ 所有p的Wp（Q，Q）≥ 1、权利要求如下。备注4.3。特别是，如果P，Padmit无套利thenlimN→∞Wp（^QN，^QN）=0表示SUP（P）=SUP（P）。实际上，否则存在一个Lipschitz连续函数g，这样SUPQ~P、 Q∈MEQ【g】6=supQ~P、 Q∈MEQ【g】，因此，根据一致性，limN→∞Wp（^QN，^QN）>0，P∞-a、 s.4.2。相对于W的稳健性∞以及支撑的扰动。我们现在重新考虑第2节中插件估计器的稳健性。与前一节类似，简单考虑^PN和^PN支撑之间的Hausdorff距离似乎很自然。在命题2.8中，我们建立了P（Rd+）3P的连续性→ 伪计量dH中的π▄P（g）（supp（P），supp（▄P）），但指出它不足以产生稳健性结果。回顾（2.5）中的L'evy指标，ifdL（P，~P）≤ ε那么可以通过将ε质量重新分布到Rd+上的任意点，从P中得到P，而（1- ε） 质量只能在P分配质量的ε-邻域（欧氏距离）内移动。正如我们之前所观察到的，前一个操作会导致问题，因为它会不可控地更改度量值的空集。在我们的伪度量下，这不再可能。然而，为了获得稳健性，我们必须将所有集合的质量再分配限制为ε-邻域，而不仅仅是整个支撑。这是通过W∞从（3.1）中的第二个表示可以清楚地看出，metric16对超边缘价格的稳健估计。这导致了以下健壮性扩展概念：定义4.4。让P P（Rd+）和r，r。身份证号码。

带分布P∈ P、 估计量序列TN=T（^PN）在P∈ P w.r.t.w∞在P上，如果所有ε>0，则存在δ>0和N∈ N使得对于所有N≥ Nandall▄P∈ PW公司∞（P，P）≤ δ ==> dL（LP（TN），LP（TN））≤ ε.下面断言插件估计器在上述意义上的稳健性，这是本节的主要结果。定理4.5。让P∈ P（Rd+）使NA（P）保持不变。然后，对于一致连续的g，插件估计量^πN（g）在P w.r.t.w下是鲁棒的∞在P（Rd+）上。定理4.5的证明见【55，第A.3节】。有几种方法可以在g上接受连续性假设，并在某些P上获得鲁棒性 P（Rd+），见【55，推论A.11】。我们以^π稳健性的结果结束本节∞提案3.3中的N（g）。推论4.6。设g为连续函数，P∈ 满足NA（P）和假设3.1的P（Rd+）。然后，估计量^π∞命题3.3中的N（g）是稳健的atP w.r.t.w∞在P（Rd+）上。5、风险度量估计P-a.s.超边际价格πP（g）是对有支付的负债中的空头头寸风险的非常保守的评估。相反，我们可以使用风险度量ρpf进行此类评估，如【10】所述，从而得出πρP（g）：=inf{x∈ R |H∈ Rd使得ρP（g- x个-H（r- 1)) ≤ 0}.请注意，我们将上述在市场上交易的能力包括在内，以（最佳）降低g的风险。我们考虑ρPwith Kusuoka的表示ρP（g）=supu∈PZAV@RPα（g）du（α），（5.1），对于[0，1]上的一组概率测度P。这并不是很严格，因为这种表述（首次在[46]中获得）适用于任何法律不变的相干风险度量，请参见[37]。重要的是，它使我们能够将ρP（g）视为基本度量值P的函数。就像我们对πP（g）所做的那样，我们希望直接从观察到的股票收益来估计πρP（g）。

为此，我们引入了以下估计量πρBpεN（βN）（^PN）（g）：=infnx∈ R |H∈ Rd，以便支持∈BpεN（βN）（^PN）ρИP（g- x个-H（r- 1)) ≤ 0oas是π^QN（g）的自然等效物。特别是，如果P={Δα}，其中α∈ [0，1]表示ρP（g）=AV@RPα（g）和相应的估计量πρBpεN（βN）（^PN）（g）类似于固定水平1/kN的Wasserstein Wpestimator：=α。我们得到了以下一致性结果：超边际价格的稳健估计17命题5.1。假设g满足| g（r）-g（￠r）|≤ Lγ| r-对于某些γ，r |γ≤ 1和Lγ∈ R和supu∈PRu（dα）/αγ/p<∞. 然后，对于满足NA（P）和假设3.5的任何P，P中的极限∞-概率极限→∞πρBpεN（βN）（^PN）（g）=πρP（g）保持不变。如果满足假设3.5.2，则该限制也适用于P∞-a、 美国证明。“The”≥”-定理3.6的证明遵循不等式。我们现在用[58][推论11，p.538]证明了反不等式。固定ε>0。请注意，存在∈ Rd使得ρP（g-πρP（g）-ε-H（r-1)) ≤ 0。那么对于所有▄P∈ BpεN（βN）（^PN）πρИP（g）≤ ρИP（g- H（r- 1） ）=ρИP（g- πρP（g）- ε - H（r- 1） ）+πρP（g）+ε=[ρ▄P（g- πρP（g）- ε - H（r- 1)) - ρP（g- πρP（g）- ε - H（r- 1） ）]+ρP（g- πρP（g）- ε - H（r- 1） ）+πρP（g）+ε≤~LγWp（~P，P）γsupu∈PZu（dα）αγ/p+πρp（g）+ε。由于ε>0是任意的，因此声明如下。最后，我们对估计量的性能进行了简单的实证检验。我们根据GARCH（1，1）模型模拟每周收益率：rn=ru- 2uηnphn，hn=ω+βhn-1+αrn-其中ω=0.02，β=0.1，α=0.8，ηnis标准student-t以u=5自由度分布。我们从上述P中抽取1000个样品~ GARCH（1，1）并计算插件估计量πAV@R0.95^PN（（r- 1） +）和Wasserstein估计量πAV@R0.95BpεN（βN）（^PN）（（r- 1)+).

我们将其与π的参数估计进行比较AV@RP0.95（（r- 1） +），其中我们首先估计GARCH（1,1）模型的参数，然后计算πAV@RP0.95（（r- 1） +）考虑到估算模型P。对于每一个估算，我们使用50周的运行窗口，这符合巴塞尔协议III中计算10天的规定AV@R（见[57，MAR33，p.89]），其中规定历史观察期的最小长度为一年。我们还考虑了观测时模型参数变化的情况330- 三个估计器的行为如图3所示。theWasserstein和plugin估计器都能很好地逼近真值，theWasserstein估计器是最保守的估计器。参数估计表现出最不稳定的行为，这是由于GARCH（1,1）参数的估计不稳定，只有50个数据点。这表明，与参数方法相比，即使模型选择正确，我们提出的估计量也具有优势。图3中的最后一个窗格使用2006年1月1日至2015年1月1日的标普500周收益数据，移动窗口为50周。GARCH（1,1）估计器（该模型被错误地定义）没有检测到任何市场运动，而Plugin和Wasserstein估计器都检测到了金融危机及其后果。对于类似的图，但GARCH（1,1）使用对数返回，我们参考[55，第A.4节]。虽然是初步的，但我们认为，这项简单的实证研究表明，我们的方法具有明显的优势。特别是，令人鼓舞的是，在最后一个窗格中，瓦瑟斯坦估计数清楚地选择了金融危机和欧元区债务危机时期。

显然需要对不同估计器的比较性能进行进一步深入研究，这对于未来的研究是很有帮助的。18超边缘价格的稳健估计0 200 400 600 800 10000.000.020.040.060.080.100.120.14真值插件历史wasserstein历史插件GARCH（1,1）0 200 400 600 800 10000.050.100.150.20真值插件历史wasserstein历史插件GARCH（1,1）2006 2007 2009 2011 2012 2014 20150.020.040.060.080.10插件历史wasserstein历史插件GARCH（1,1）图3：。π估计值的比较AV@RP0.95（（r- 1)+). 估计使用50个数据点的滚动窗口，我们绘制了最后10个（前两个窗格）或5个（最后一个窗格）估计的平均值。数据来自P~ GARCH（1，1）（第一个窗格）及其变量，中间三分之一时间序列的参数发生变化。最后一个窗格使用S&P500返回。超边际价格的稳健估计196。超边际战略的趋同为第2节和第3节建立超边际价格趋同的一致性结果，我们现在转向相应超边际战略的趋同。我们从插件估计器的情况开始。定理6.1。考虑P∈ P（Rd+）满足NA（P）。假设n≥1supp（^PN）=supp（P）。然后对于任何交易策略序列（HN）N∈N满足πN（g）+HN（r- 1) ≥ g（r）^PN-a.s.存在一个子序列（HNk）k∈n接近H∈ Rd满足πP（g）+H（r-1) ≥ g（r）P-a.s.证明。注意，我们可以在不丧失一般性的情况下假设HN∈ lin（辅助（P）-1） 适用于所有N∈ N、 NA（P）表示序列（HN）N∈Nis有界。事实上，假设HN→ ∞. 显然HN/| HN |→小时∈ Rd，其中H=1。也因为πN（g）+HN（r- 1) -g（r）≥ 0^PN-a.s-1) ≥ supp（P）上为0。按NA（P）~H（r）-1） =0遵循P-a.s.和▄H∈ lin（辅助（P）- 1） ）我们有▄H=0，这与▄H▄=1相矛盾。

这表明（HN）N∈Nis有界。因此，存在一个子序列（HNk）k∈Nof（HN）N∈确认HNk→ H、 最后，我们注意到∈ {r，…}我们有πP（g）+H（r-1） =limk→∞（π）Nk（g）+HNk（r）- 1)) ≥ g（r）。因此，连续g的要求如下。在定理2.1的证明中，我们可以使用Lusin定理将结果推广到一般g。证据到此结束。备注6.2。如果我们用支配^πN的任何一致估计量来代替^πnb，则上述说法仍然成立。特别是，它对W∞-估计量^π∞9在命题3.3中介绍，而惩罚估计在定理3.12中介绍。一般来说，不能用HNk代替索赔→ HN在定理6.1中的H→H∈ Rdas如下例所示。示例6.3。取d=1和^PN=1- 2NNXk=1-kδ1-(-2)-k+1。设g（r）=1-|r-1|. 请注意，PN=> P：=P∞k=1-kδ1-(-2)-k+1和πPN（g）=1--N+2↑ πP（g）=1。然后是超边缘策略序列（HN）N∈Nis唯一确定为通过点（1）的线的斜率- (-2)-N+2，g（1- (-2)-N+2）），（1-(-2)-N+1，g（1- (-2)-N+1），即HN=| 1- (-2)-N+2- 1| -|1.- (-2)-N+1- 1|1 - (-2)-N+1- 1 + (-2)-N+2=-N+2- 2.-N+1-(-2)-N+1+(-2)-N+2=3(-1） N+2=(-1） N，它发散。20超边际价格的稳健估计下一步，我们建立了Wasserstein估计量π^QN（g）的相应结果。回顾定义AV@R第3节给出。定理6.4。设g为Lipschitz连续且从下有界。同样，letW（^PN，P）≤ εN（βN）表示大N∈ N、 kN=o（1/εN（βN））和limN→∞π^QN（g）=πP（g）。然后对于每个交易策略序列（HN）N∈NsatisfyingAV@R^PN1/kNg（r）- HN（r- 1) -π^QN（g）- 1/N≤ 0（6.1）存在子序列（HNk）k∈n接近H∈ Rd满足πP（g）+H（r-1) ≥ g（r）P-a.s.证明。在推论3.11中，我们看到π^QN（g）≥ infnx公司∈ R |H∈ Rds。t、 R^PN1/kN时的AV（g- H（r- 1) - x）≤ 0度。召回limN→∞π^QN（g）=πP（g）。