超边际价格的稳健估计

让P∈ P（Rd+）和g：Rd+→ R是可测量的。除资产外，假设有d个交易期权，具有持续的f（r）收益和市场价格。确定评估图（r）=rrd，f（r）/f，fd（r）/fdT6超边缘价格的稳健估计P：=Po e-最后，假设无套利，NA（~P）成立。然后，在定理2.1的假设下，我们有P∞-a、 s.limN公司→∞inf{x∈ R |H∈ Rd+~ds。t、 x+H（e（r）-1) ≥ g（r）r∈ {r，…，rN}}=inf{x∈ R |H∈ Rd+~ds。t、 x+H（e（r）-1) ≥ g（r）P-a.s.}=supQ~P、 Q∈M、 公式[f]=fEQ[g]。值得强调的是，在定价和套期保值的经典方法中，历史收益被视为物理度量输入，并可用于提取模型应显示的风格化特征。相反，optionprices提供风险中性的度量输入，并将用于校准价格度量。据我们所知，以前从未在一个估计量中一致使用这两种方法。2.2. 统计稳健性。估计量的稳健性与它们对抽样测度P的扰动的敏感性有关。为了正式证明这一点，假设我们有一系列估计量tn，其可以表示为固定函数lt:P（Rd+）→ R根据经验测量序列进行评估，即TN=T（^PN）。（2.1）中的超边际价格插件估计器显然就是这种情况。汉佩尔[30]提出了以下统计稳健性定义：定义2.6（[36]，第42页）。设r，r。从P获得i.i.d∈ P（Rd+）。

如果每个ε>0都有δ>0和N，则估计量序列TN=T（^PN）在P处是稳健的∈ N使得对于所有▄P∈ P（Rd+）和N≥ Nwe havedL（P，~P）≤ δ ==> dL（LP（TN），LP（TN））≤ ε、 式中，Dl为L'evy-Prokhorov metricdL（P，~P）：=inf{δ>0 | P（B）≤对于所有B，P（Bδ）+δ∈ B（Rd+）}。（2.5）我们有时会说，TN对于DLS是稳健的，以强调对度量的特定选择的依赖性。Hampel的一个经典结果（见[36，Thm.2.21]）表明，如果T是渐近一致的，即TN=T（^PN）-→ T（P），对于所有P∈ P（Rd+）则当且仅当T（·）在P处连续时，tn在P处是鲁棒的。以下理论描述了超边际价格的弱连续性，因此也描述了其估计量的鲁棒性。特别是，它意味着，即使对于i.i.d.来说，也只对g和P的特殊组合返回^πNis鲁棒性。定理2.7。设g是连续的，P∈ P（Rd+）。然后是功能性第7页→πP（g）在P处是下半连续的，当且仅当πP（g）=supQ是连续的∈MEQ[克]。（2.6）因此，只有当上述等式成立时，任何渐近一致估计tn在P处才是鲁棒的。特别是我们看到，一般来说，插件估计器^πN（g）不是robustw。r、 t.dL。这一点适用于任何渐近一致性估计，这一事实强烈表明，稳健性的经典定义在当前环境下并不充分。超边际价格πP（g）与P的支持有关，在这个意义上，对于P，P∈ 具有相等支撑的P（Rd+），对于连续g，我们有πP（g）=πP（g）。相反，L'evy-Prokhorov传感器中的任何δ-扰动都会导致支承的任意变化，见引理A.1。特别是，即使PROBUST对超边际价格的估计7不满足套利要求，其邻近地区的衡量标准也可能不满足，也可能不采用（1.2）来衡量这些标准。

为了控制支撑，我们可以考虑dH（supp（P），supp（▄P）），对于P，▄P∈ P（Rd+），其中dh表示Rd+闭子集上的hausdorff度量。提案2.8。让g：Rd+→ R是一致连续的，设P∈ P（Rd+）使NA（P）保持不变。然后是功能P（Rd+）3P→ πрP（g）是连续的。r、 t.伪度量dH（supp（P），supp（￠P））。唉，这不允许我们恢复插件估计器的统计稳健性，因为上面的伪计量不允许控制P的尾部。相反，在第4.2节中，我们考虑了更强的W∞允许获得类似于汉佩尔稳健性结果的度量。2.3. 财务稳健性。如上所述，插件估计器^πnnt不仅缺乏统计稳健性，而且也不是一个财务稳健的风险估计。事实上，如果P P、 它从下方收敛到超边际价格，即^πN%πP。从风险管理的角度来看，我们希望找到从上方收敛的P-a.s.超边际价格的一致估计值。然而，正如我们现在所表明的，这在一般情况下是不可能的。由于超边缘函数相对于L’evy-Prokhorov度量dL的不连续性，在实际应用中无法在某种置信水平上实现上述收敛。提案2.9。让P∈ P（Rd+）满足NA（P）和g有界且lipschitz连续。然后，不存在πP（g）的一致估计，因此对于置信水平α∈ [0，1]存在N个∈ N和P∞田纳西州≥ supQ公司∈M、 Q~所有N的PEQ【g】≥ N≥ α（2.7）对于所有P∈ P（Rd+）。因此，为了实现上述性质（2.7），有必要对P和g进行额外的正则性假设。我们表明，这对于合适的保守估计量是可能的，见下文第3.2节。

在插件估计器的情况下，我们永远无法从上面实现收敛，但我们可以理解差异πP（g）的数量级- πN（g）。我们首先通过研究收敛速度来实现这一点，另请参见【55，第9节】。其次，我们通过适合插件估计器的统计稳健性概念来实现这一点，参见第4.2.2.4节。收敛速度。现在我们研究（2.4）中的收敛速度。虽然受到财务考虑的影响，但这个问题是一个独立的问题。我们关注一维情况。设fp为P的累积分布函数∈ P（R+）和dN=supr∈R+| F^PN（R）- FP（r）|表示^pn和P.defition 2.10之间的KolmogorovSmirnov距离。对于N∈ N和k=1，b1/（3dN）c我们确定了定量间距κNk=F-1P（3kdN）- F-1P（3（k- 1） dN∨ 0+，k=1。b1/（3dN）c。此外，我们设置κN=（F-1P（1）- F-1P（1- dN）如果P具有有界支撑，则为0。让κN=supk∈{0，…，b1/（3dN）c}κNk。8超边缘价格的稳健估计我们现在可以确定插件估计器的收敛速度。定理2.11。在定理2.1的设置中，假设NA（P）成立，且g有界且与| g（r）一致连续-g（￠r）|≤ δ（| r-对于某些δ：r+→R+使得δ（R）→ r为0→ 0。那么，作为N→ ∞,πP（g）- ^πN（g）=supQ~P、 Q∈MEQ[克]- supQ公司~^PN，Q∈MEQ[g]=（O（δ（κN）），如果P有有界支撑，Oδ（κN）+F-1P（1-dN）否则备注2.12。当P的支撑有界时，上述结果适用于所有连续的g。此外，k N等于0→ ∞.引理2.13（Dvoretzky-Kiefer-Wolfowitz，参见[42，第11.6条]）。假设返回r，r。i.i.d.样品是否来自P∈ P（R+）。然后，对于每ε>0P∞（dN>ε）≤ 2e类-2Nε。定理2.11和引理2.13给出了πP（g）分布的概率界- πN（g）。

[55，第9节]对此进行了探讨，我们还证明了定理2.11，并提供了引理2.13.3的扩展。P-a.s.超边际价格的改进估值器在上一节中，我们已经看到插件估值器是渐近一致的，但从统计和财务角度来看，它有重要的缺点。为了解决这些问题，我们现在提出了新的估计量，并研究了它们的症状行为及其稳健性。为了构造这些，我们考虑了经验测度^pn周围的“球”，并根据最近的^PNto P的收敛速度结果来选择半径。我们从考虑瓦瑟斯坦球场的球开始-∞ 指标，它提供了对支撑的良好控制，但我们需要对Pto做出强有力的假设，从而控制^PN的收敛速度。随后，在第3.2节中，我们考虑了Wasserstein-p指标，p≥ 1、使用较弱的指标允许我们处理所有允许适当时间的指标，但需要对双重（定价）指标进行处罚。事实上，我们的估计依赖于经验测度收敛结果的适当组合，以及对定价和鞅密度控制的见解。与上面推论2.5的精神类似，我们将物理度量和风险中性度量结合起来，参见（3.4）。我们注意到，使用Wasserstein指标，而不是较弱的指标，允许我们控制第一时刻，这对于无套利原因很重要，请参见【55，第8节】。最后，在第3.3节中，我们考虑更大的球，实际上是所有的M，并让惩罚选择适当的措施。此处给出了简短的证据，这些证据在附录A.2.3.1中报告。瓦瑟斯坦W∞球。

在考虑插件估计器的稳健性时，我们发现，要考虑^pn周围的球中的度量，我们必须考虑距离的概念，与L'evy-Prokhorov度量不同，该距离控制支撑。这是由Wasserstein实现的-∞ 距离W∞（P，~P）：=infγ∈π（P，~P）γ-ess sup | x-y |=infnε>0P（B）≤§P（Bε），§P（B）≤ P（Bε）B∈ B（Rd+）o，（3.1），其中∏（P，~P）表示所有概率测度γ的集合，其中，定义和第二种表示之间的相等是对超边际价格的可靠估计，这是斯科罗霍德表示定理的结果。（3.1）与（2.5）的直接比较表明，W∞以DLD不支持的方式控制支持。然而，考虑W∞如果P有无界支持，那么W∞（P，^PN）=∞ 适用于所有N∈ N因为^pn得到了完全支持。出于这个原因，也为了获得适当的置信区间，以便使用W∞-我们必须对球施加相对较强的假设P：假设3.1。测度P是连通、开放和有界集合A的P（A）的元素∈ 具有Lipschitz边界的B（Rd+）。此外，P允许密度ρ：A→ (0, ∞) 这样就存在α≥ 1，其中1/α≤ ρ（r）≤ αonA。在上述假设下，我们对W有明确的界∞（P，^PN）。cased=1遵循Kiefer-Wolfowitz边界，而case d≥ 2在【64，第1.1条】中建立。引理3.2。假设完整假设3.1和NA（P）成立。此外，r，r。如果d=1，则为P的i.i.d.样本，概率为0（exp(-2.√N） ），W∞（P，^PN）≤ lN（1，α，A）：=αN-1/4. 如果是d≥ 2，则除概率为O（N）的aset外-2） ，W∞（P，^PN）≤ lN（d，α，A）：=C（α，A）（log（N）3/4N1/2if d=2，log（N）1/dN1/dif d≥ 3、我们让B∞ε（P）表示a W∞-P周围半径为ε的球。

上面的引理允许我们根据这样的W推断估计量的一致性∞球：提案3.3。考虑P∈ 满足NA（P）和假设3.1的P（Rd+），并设α，lN：=lN（d，α，A）如引理3.2所示。设g是连续函数，r，r。来自P.Then^π的i.i.d.样品∞N（g）：=辅助∈B∞lN（^PN）πИP（g）和πP（g），如N→ ∞, P∞- a、 s.备注3.4。W的实际使用∞估值器需要很好地处理lN。它对集合A的依赖性很小——从[64]我们可以看到，如果一个双Lipschitz同胚φ：A→ [0，1]dexists，那么常数C仅通过Lipschitz常数φ依赖于域a。然而，α的知识需要对A上P的密度进行统一的先验估计。这应该与下面的wp估计相比，wp估计只需要某些矩的精确性。命题3.3的证明。根据引理3.2，Borel-Cantelli的一个应用表明，P∞-a、 N足够大P∈ B∞lN（^PN），尤其是^π∞N≥ πP.进一步表示为dH（supp（P），supp（￠P））≤ W∞（P，~P）乘以（3.1），对于所有~P∈ B∞lN（^PN）我们有供应（^P） supp（P）2lN，g一致连续的紧集。对于该紧集所支持的度量，命题2.8产生P的连续性→ πИP相对于W∞, 这反过来意味着^π的一致性∞Nand结束了该暂停。因此^π∞Nis不仅一致，而且财务稳健。我们将在下面的Incorrolary 4.6中看到，它在统计上对于W也是稳健的∞. 然而，这些结果仅适用于满足假设3.1的措施P。在下一节中，我们将介绍一系列估计量，这些估计量对一类更大的测度表现出类似的期望性质P.10超边际价格的稳健估计3.2。Wasserstein Wpballs和鞅密度。

我们假设无套利根（P）持有并利用（1.2）来考虑形式为（3.2）πQN（g）：=supQ的估计量∈QNEQ[g]对于基于^PN周围“球”的鞅测度集qn的不同规格。为了保证渐近一致性，我们必须确定真测度P包含在这些球中，并且我们对QN中鞅测度的尾部有一定的控制。继[21]最近的工作之后，我们的重要见解是与定义的Wasserstein指标合作≥ 1和P，~P∈ P（Rd+）和有限的pthmoment，byWp（P，~P）=inf公司ZRd+×Rd+| r- s | pγ（dr，ds）γ ∈ π（P，~P）1/P其中∏（P，P）是Rd+×Rd+上的一组概率测度，边缘为PandP。在P=1的情况下，[40]表明Kantorovitch-Rubinstein对偶（见[17，定理11.8.2，P.421]）有一个特别好的表达式：W（P，P）=supf∈LZRd+f（y）du（y）-ZRd+f（y）dν（y）,（3.3）式中，Ldenotes the 1-Lipschitz continuous functions f:Rd+→ R、 P周围的Wassersteinball表示为dbpε（P）={P∈ P（Rd+）| Wp（P，~P）≤ ε}.对于给定ε≥ 0和k∈ (0, ∞], letDpε，k（P）：=Q∈ MdQdP∞≤ k表示一些▄P∈ Bpε（P）.（3.4）人们的第一直觉可能是使用QN=DpεN，∞（3.2）中的（^PN）。有趣的是，这不起作用，因为球太大了。事实上，Wasserstein距离度量了weakconvergence，引理A.1表明，任何围绕^pn的球都包含有完全支撑的度量。事实证明，为了获得一致的估计量，ε和k之间需要（3.4）中的微妙相互作用。假设3.5。（1） r，r。

具有初始分布和唯一不变分布P的时间齐次遍历马尔可夫链的实现，使得P P和kdP/dPkL2s（P）<∞ 对于一些s>3。此外，EP[| r | q]<∞ 对于某些q>2ps/（s）- 2） 存在一个序列（ρN）N∈NwithPN公司∈NρN<∞ 如果r~ 体育课E[f（rN）- m（f）| r]≤ ρN，（3.5）适用于所有kf k∞≤ 1，全部N∈ N、 其中m（f）=E[f（r）]。（2） r，r。是P的i.i.d.样品，且存在a，c>0，使得EP[exp（c | r | a）]<∞.我们发展了所有p的理论≥ 在实践中，p的选择必须由统计学家做出。从定理4.2和上述推论3.7的方程式中可以明显看出，为了稳健性，我们希望将p取得尽可能大。然而，这使得力矩假设更具限制性。在文献中，p=1和p=2的情况是最常见的，尤其是p=1的良好对偶性和Lis是Hilbert空间的事实。超边际价格的稳健估计11我们再次参考[55，推论A.4]以获取满足消费3.5的过程示例。显然，假设3.5.2意味着3.5.1。在这一假设下，参见[21]，使用测量浓度技术获得P∞（W（P，^PN）≥ ε） ，参见引理A.6和[55，引理A.9]。这允许显式计算函数εN：（0，1）→ εN（β）&0为N的R+→ ∞, 如此之多∞（Wp（P，^PN）≥ εN（β））≤ β、 N个≥ 1、如果假设3.5.1成立，然后εNis在（A.8）中给出，或者假设3.5.2成立，然后εNis在（A.1）中给出，我们说假设3.5成立。我们在本节中陈述了主要结果。定理3.6。设g为Lipschitz连续且自下有界或连续且有界，p≥ 1和P∈ P（Rd+）满足NA（P）。假设假设3.5成立，βN∈ （0，1）满足limN→∞βN=0和limN→∞εN（βN）=0。Picka序列kN=o（1/εN（βN））。

那么，P中的极限∞-概率极限→∞π^QN=πP（g），（3.6）成立，其中^QN:=DpεN（βN），kN（^PN）。此外，如果（βN）N∈Nsatis FIESP∞N=1βN<∞ 那么极限（3.6）也保持P∞-几乎可以肯定。上述结果表明π^qn是πP的渐近一致估计。注意，我们假设无套利NA（P），因此，使用（1.2），上述收敛性等价于imn→∞supQ公司∈^QNEQ[g]=supQ~P、 Q∈MEQ[克]。当我们想要强调对p的依赖时，我们写下^QpN=^QN。如上所述，一致性在很大程度上取决于^QN的选择。我们在【55，第8节】中进一步讨论了这一点，并推动了上述选择。对于p>1，Dpε，k（p）是弱紧的，但Dε，k（p）通常不是弱闭的，见Lemma。7、当p=1时，取^qnCo的弱闭包会破坏估计量的渐近一致性，例如取g（r）=（r-1） 在引理A.7证明的例子中。对于βN=exp的特殊选择(-√N） 在假设3.5.2下，显式计算得出，对于足够大的N，我们有εN（βN）=log（cexp(√N） ）中国！1/min（最大（d/p，2），a/（2p））~N1/min（最大值（2d/p，4），a/p）。然而，βnar的许多其他选择是可行的。关键的一点是，对于可求和（βN），Borel-Cantelli论证意味着，对于足够大的N，真实分布P在^PN周围的εN（βN）-球内。这使我们能够推导出估计值财务稳健性的充分条件：推论3.7。在定理3.6的设置中，使用p∞N=1βN<∞, 让g是这样的C∈ R+s.t.supQ∈M、 kdQdPk∞≤CEQ【g】=supQ~P、 Q∈MEQ【g】=πP（g）。（3.7）然后π^QN（g）≥ πP（g）对于足够大的N，估计量是渐近一致的，并且从上面收敛。条件（3.7）由近似结果驱动，见引理A.8。