超边际价格的稳健估计

定义ε≥ 0到HQ（r/∈ supp（^PN））+NXi=1（Q（ri）-^Q（ri））+=ε。注意，对于一些Radon-Nykodym导数f和一些度量值ν，我们可以写出Q=f（r）^Q+ν，其中ν（Rd+）≤ ε. 设J：={i∈ {0，…，N}|^Q（ri）≥Q（ri）}。那么我们必须有XI∈J^Q（ri）- Q（ri）=ε。特别地f∞=d^QdQ∞≥1.- ε、 因为其他原因XI∈J^Q（ri）- Q（ri）<ε1- εXi∈JQ（ri）=ε1- ε1.- Q（r/∈ 支持（^PN））-NXi=1（Q（ri）-^Q（ri））+-xi∈{1，…，N}\\J^Q（ri）≤ ε、 矛盾。此外，通过ε的定义，等式[g]- E^Q[克]≤ Cε。ThusEQ[克]- Cd^QdQ∞- 1.- E^Q[克]≤ Cε -1.- ε+ 1=-Cε1- ε≤ 0，因此移动质量没有任何收益，尤其是UP^Q~^PN，^Q∈MEQ[克]- Cd^QdQ∞- 1.≤ sup^Q~^PN，^Q∈ME^Q[克]。对于CN→ C我们有eq[g]- 中国大陆d^QdQ∞- 1.- E^Q[克]≤ Cε- 中国大陆1.- ε- 1.= Cε- 中国大陆ε1 - ε,ε为非负≤ 1.-CN/C.最后，当^Q相对于Q不是绝对连续的情况是微不足道的，因为kd^Q/dQk∞= ∞. 38超边缘价格的稳健估计a。2.1. 定理3.6的证明。为了便于说明，我们首先在假设3.5.2下证明了定理3.6。我们采用第3节的符号。引理A.6（【23】定理2）。根据假设3.5.2，我们有∞（Wp（P，^PN）≥ ε) ≤cexp(-如果ε≤ 1，cexp(-cNεa/（2p）），如果ε>1或N≥ 1，d 6=2p且ε>0，其中c表示仅依赖于p、d、a、c和EP的正常数[exp（c | r | a）]。因此，对于某些置信水平β∈ （0，1）我们可以选择εN（β）：=对数（cβ-1） 中国大陆1/min（最大值（d/p，2），a/（2p）），如果N≥对数（cβ-1） c、，对数（cβ-1） 中国大陆（2p）/aif N<log（cβ-1） c（A.1），产生P∞（Wp（P，^PN）≥ εN（β））≤ β.引理A.7。修复N∈ N和p≥ 1、让Qn∈ DpεN（βN），kN（P），使Qn=>Q∈ n的P（Rd+）→ ∞. 然后| EQ[r- 1]| ≤ KkNεN（βN）对于某些K>0。当P＞1时，DpεN（βN），kN（P）是弱紧的。一般来说，DεN（βN），kN（P）不是弱环化的。证据取序列Qn∈ DpεN（βN），kN（P），使Qn=> Q

对于每n∈ n存在νn∈ BpεN（βN）（P）使得kdQn/dνnk∞≤ 千牛。首先注意，对于任何n，我们有（A.2）方程n[r∧ K]≤ kN（EP[r∧ K] +εN（βN））≤ kN（EP【r】+εN（βN））<∞.根据弱收敛和单调收敛定理，公式[r]≤kN（EP【r】+εN（βN））<∞. 接下来，我们显示| EQ[r- 1]| ≤ 常数·kNεN（βN）。同于| EQ[r- 1]| ≤√d最大值1≤我≤d | EQ[ri- 1]| ≤√ddXi=1 | EQ[ri- 1] |考虑情况d=1就足够了。然后| EQ[r- 1]| ≤公式[（r- 1) ∧K]- 方程[（r- 1) ∧K]+均衡器（r）- 1.-K） 1{r≥K+1}- EQn（r）- 1.-K） 1{r≥K+1}（A.3）现在考虑RHS上的条款。第三项可以通过取大K任意变小，因为Q允许第一时刻。第四项可以有界，类似于（A.2），如下所示：EQn[（r- K） 1{r≥K} ]≤ kNEP[（r- K） 1{r≥K} ]+kNεN（βN）≤ 2kNεN（βN），我们取K足够大。最后，对于固定的K，由于测量值的弱收敛性，可以通过取n大来减小前两项之间的差异。界| EQ[r- 1]| ≤ 常数·kNεN（βN）如下。如果p>1，则球BpεN（p）是弱紧的（参见[67，定义6.8，p.96]），特别是一致可积的，因此（A.3）中的第四项也收敛到零，在N中一致，如K→ ∞方程[（r- 1.-K） 1{r≥K+1}]≤ kNlim supK公司→∞supnEνn[r1r≥K] =0。此外，可能在子序列上，（νn）n∈n弱收敛到极限ν∈BpεN（P）。通过概率测度的正则性，可以针对有界连续函数检验dQ/dν，我们很容易得出结论kdQ/dνk∞≤ 千牛。这表明DpεN（βN），kN（P）的密实度。超边际价格的稳健估计39现在考虑p=1。我们给出以下反例：取P=δ，设为rn≥ 2νn=εn（βn）δ+1.-rnεN（βN）2（rn- 1)δ+εN（βN）2（rn- 1） δrn。此外，letQn=εN（βN）pεN（βN）δ+1-rnεN（βN）2（rn- 1） pεN（βN）！δ+εN（βN）2（rn- 1） pεN（βN）δrn。然后W（νn，δ）≤ εN（βN）和dQNdνN∞≤pεN（βN）。假设limn→∞rn=∞.

然后是QN=>pεN（βN）δ+1-pεN（βN）！δ/∈ M采用DεN（βN）的闭包，kN（P）将确保紧致性，但估计量supQ的一致性∈定理3.6中的^QNEQ[g]通常会丢失，因为闭包可能包含非鞅测度。要看到这一点，以g（r）=（r）为例-1） 在引理A.7证明的例子中。假设3.5.2下定理3.6的证明。让我们假设假设3.5.2已经满足。请注意“≥”-不等式来自引理A.8。的确，莱玛。8表示对于所有N∈ 存在一个鞅测度QN~ 带KDQN/dPk的P∞≤ KNUSCH thatsupQ公司~P、 Q∈MEQ[克]≤ 方程n[g]+aN，带aN→ 0作为N→ ∞. 带P∞-概率（1-βN）我们有P∈ BpεN（βN）（^PN），因此QN∈^QN。此给定SP∞supQ公司~P、 Q∈MEQ[克]- 一≤ supQ公司∈^QNEQ[克]！≥ 1.-βN，N≥ 我们记得NA（P）给出πP（g）=supQ~P、 Q∈MEQ【g】，因此，对于任何ε>0且N足够大的情况，P∞（π^QN（g）- πP（g）≤ -ε) ≤ βN→ 0作为N→ ∞.对于“≤”-不等式，我们假设g是从Belo开始有界的Lipschitz连续，我们取H∈ Rd使得πP（g）+H（r-1) ≥ g P-a.s.取序列QN∈^qn带EQN[g]≥ π^QN（g）- 一根据定义，存在νN∈ BpεN（βN）（^PN）使得kdQN/dνNk∞≤ 千牛。尤其是P∞概率（1- βN）我们有νN∈ Bp2εN（βN）（P）。让我们定义={πP（g）+H（r-1) - g级≥ 0}.新的[g]≤ 方程n[（πP（g）+H（r-1） ）1A+g1Ac]=πP（g）+EQN[H（r- 1） ]+EQN（g）- H（r- 1) - πP（g））1Ac（A.4）40超边际价格的稳健估计由于QNis是鞅测度，RHS上的第二项消失。要在RHS上创建最后一个术语，请考虑函数▄g：=（g- H（r- 1) -πP（g））∨ 0这是非负的，对于一些C>0和{g>0}=Ac的C-Lipschitz。SinceP（Ac）=0，我们特别有ZAc▄gdνN=ZAc▄gdνN-ZAcgdP=Z▄gdνN-ZgdP其中，Kantorovitch-Rubinstein对偶（3.3）由CW（νN，P）控制≤CWp（νN，P）。

我们得出结论，对于任何ε>0的情况，P∞π^QN（g）- πP（g）≥ ε≤ P∞（aN+CkNWp（νN，P）≥ ε) ≤ βnN足够大，因为εNkN→ 这建立了P中π^QN（g）到πP（g）的收敛性∞-可能性此外，当ERP∞N=1βN<∞, Borel-Cantelli引理的一个简单应用，类似于[21，引理3.7]，表明收敛性保持P∞-a、 这就得出了假设3.5.2下Lipschitz连续边界的证明。还有待争论”≤”-g有界连续时的不等式。我们确定一个较小的δ>0，并确定QN：=nQ∈ P（Rd+）P∈ BpεN（βN）（^PN），使得kdQ/dPk∞≤ 千牛/（1）- δ） 并设置π^QN，[0，K]d（g）：=supQ∈QN，Q∈M、 补充（Q）[0，K]dEQ（g）。类似于推论3.11，我们看到当K>1时，足够大的π^QN，[0，K]d（g）=inf（x∈ R |H∈ Rds。t、 supQ公司∈QN，supp（Q）[0，K]dEQ[g（r）- H（r- 1) -x]≤ 0).因此存在序列HN∈ RDS这样的SUPQ∈QN，supp（Q）[0，K]dEQ[g（r）- HN（r- 1) -π^QN，[0，K]d（g）]≤ 1/N（A.5）适用于所有N∈ N、 取K足够大，使d/K<δ。对于符号简单化，我们假设P具有完全支持。回想一下，g是有界的，| g |≤ C、 我们现在证明Hin是有界的。让我们首先看看下限：为此，我们∈ {1，…，d}假设HiN≤ 0（否则，我们将HiNfrombelow简单地绑定为0）。我们研究集合{P∈ BpεN（βN）（^PN）}，其中P∞-概率至少1-βN。现在我们取足够大的N，使得kn·P（sjrj≥ 1对于所有j 6=i，K/2<ri<K）≥ 1对于所有，…，si-1，si+1，sd）∈ {-1，1}d-1、然后定义sj=-符号（HjN）表示所有j 6=i和Dqs，。。。，硅-1，si+1，sddP：={sjrj≥1对于所有j6=i，K/2<ri<K}P（sjrj≥ 1对于所有j 6=i，K/2<ri<K），我们有（A.5）-欣（K/2-1) ≤ -HNEQ【r】- 1] ≤N- 等式[g（r）]+π^QN（g）≤ 2C+1对超边际价格41和HiN的准确估计≥ -（2（C+1））/（K/2-1).

另一方面，假设HiN≥ 0和设置dqs，。。。，硅-1，si+1，sddP：={sjrj≥对于所有j6=i，0<ri<1/2}P（sjrj≥ 1对于所有的j 6=i，0<ri<1/2），我们得到了与上面相同的参数hin/2≤ -HNEQ【r】- 1] ≤N- 等式[g（r）]+π^QN（g）≤ 2C+1对于一个可能更大的N。因此得出结论-（2（C+1））/（K/2-1) ≤ 欣≤ 4C+2。现在我们设置▄HiN：=（C- π^QN，[0，K]d（g））/（K- 1) ∨ 欣，我∈ {1，…，d}。显然是▄HiN≥ 0和π^QN，[0，K]d（g）+HiN（ri- 1) ≥ C（A.6）表示ri≥ K、 此外，as（C- π^QN，[0，K]d（g））/（K- 1) ≤ 2C/（K）- 1） 安德欣≥ -2（C+1）/（K/2- 1） 我们为ri≤ 10≥ （欣- HiN）（ri- 1) ≥ -（欣- HiN）≥ -4（C+1）/（K/2- 1).（A.7）现在考虑QN∈^QN。注意，通过马尔可夫不等式，我们得到了qn（[0，K]d）≥ 1.-丹麦≥ 1.-δ4C+2≥ 1.-δ.新NHG（r）-HN（r- 1) -π^QN，[0，K]d（g）- 4d（C+1）/（K/2- 1) -d（4C+2）/Ki≤ EQNh公司g（r）-HN（r- 1) -π^QN，[0，K]d（g）- 4d（C+1）/（K/2- 1)[0，K]di+EQNhg（r）-HN（r- 1) -π^QN，[0，K]d（g）- d（4C+2）/K（[0，K]d）ci≤ EQNh公司g（r）- HN（r- 1) -π^QN，[0，K]d（g）[0，K]di≤ supQ公司∈QN，supp（Q）[0，K]dEQhg（r）- HN（r- 1) -π^QN，[0，K]d（g）i≤N、 我们使用了（A.6）和（A.7）以及| HjN | QN（（[0，K]d）c）≤ 第二个不等式中j 6=i的d（4C+2）/K。在上一个不等式中，我们使用了（A.5）。根据π^QN（g）的定义，以及自EQN【~HN（r- 1） ]=0，表示π^QN（g）≤4d（C+1）K/2-1+d（4C+2）K+N+π^QN，[0，K]d（g）。在没有完全支撑的情况下，我们得到了相同的结果，在RHS上可能有一个常数乘以εnk的项。注意，我们要么haveri=1 P-a.s.，要么通过NA（P），P将质量放在1的任一侧。如果riisbounded在P下，我们可以取▄HiN=HiN，参数保持不变，但我们有额外的误差项，因为QNcan可以在无界r上放置小质量。最后，我们fixε>0，K>1，这样4d（C+1）K/2-1+d（4C+2）K≤ ε取一个序列（QN）N∈n满足π^QN，[0，K]d（g）≤ ε+方程n【g】表示所有n∈ N、 请注意，所有（QN）N∈[0，K]d上支持的Nare鞅测度。

由于超边缘价格的鲁棒估计sg在[0，K+1]d上一致连续，存在一个常数L>0，使得| g（r）- g（￠r）|≤ ε+L | r- r |对于所有r，~r∈ [0，K+1]d.定义g（r）：=supu∈[0，K]d（g（u）- （L）∨ 2C）| u- r |-ε） 注意g（r）- ε ≤ [0，K]das上的^g（r）以及^g（r）≤ [0，K+1]上的g（r）和^g（r）≤ -C在（[0，K+1]d）C上。结论为^g（r）≤ g（r）。对于固定u∈ [0，K]dwewriteg（u）- （L）∨ 2C）| u- r |-ε ≤ g（u）-（L）∨ 2C）| u- r |- ε+（L∨2C）| r-r |接管u的最高权力∈ [0，K]在双方，我们得出^g（r）≤ ^g（r）+（L∨ 2C）| r- r |。交换r的角色，最终产生| g（r）- ^g（r）|≤ （L）∨ 2C）| r- r |对于r，r∈ Rd+。因此，我们可以在定理3.6中证明Lipschitzcontinuous权利要求（并使用相同的符号），以获得π^QN（g）- πP（g）≤ π^QN，[0，K]d（g）- πP（g）+ε+N≤ 方程n【g】- πP（g）+2ε+N≤ 方程式【^g】- πP（g）+3ε+N≤ πP（^g）- πP（g）+3ε+^CkNWp（^PN，P）+N≤ πP（g）- πP（g）+3ε+^CkNWp（^PN，P）+N。对于某些^C>0。尤其是RP∞π^QN（g）- πP（g）≥ ε≤ P∞3ε+^CkNWp（^PN，P）+N≥ 4ε≤ βN.Asε是任意的，εNkN→ 0声明如下。我们使用了以下引理：引理A.8（[60]，Cor.3.3）。对于从belowsupkdQdPk有界的可测函数g∞<∞, Q∈MEQ【g】=supQ~P、 Q∈MEQ[克]。在我们完成定理3.6的证明之前，我们首先给出假设3.5.1下^pn的收敛速度。这是对[23]中结果的轻微修改，但其证明与其中定理15的证明基本相同，特此证明。引理A.9（[23]，定理15的证明）。

在假设3.5.1下，存在一个常数C>0，使得EP[Wp（P，^PN）P]≤ κN：=CN-1/2+N-（qs-p） /qsif p>ds/（2s），qs6=2p，N-1/2对数（1+N）+N-（qs-p） /qsif p=ds/（2s）和qs6=2p，N-p/d+N-（qs-p） /qrif p∈ （0，ds/2）和qs6=ds/（ds- p） 和qs：=q（s- 2） /（2s）和ds：=d（3s+2）/（2s）。根据【23，定理14和15之后的注释】，【23，定理15】中所述的L-L-衰变性质实际上太强了，因为我们的假设中只考虑了以一为界的函数。超边际价格的稳健估计43在假设3.5.1下定理3.6的证明。根据假设3.5.1，我们得到ε≥ 0P（Wp（P，^PN）≥ ε) ≤ κN/εpusing-Markov不等式，因此我们可以选择εN（β）：=κNβ1/p.（A.8）根据假设3.5.2，其余证明如下。A、 3。第4节的其他结果和证明。在证明定理4.5之前，我们回顾以下结果：引理A.10（【62】定理26.1，p.828&Ex.26.2，p.833）。设C表示Rd+中的所有闭球。然后∞画→∞supB公司∈C |^PN（B）-P（B）|=0！=所有P均为1∈ 定理4.5的P（Rd+）证明。设ε>0和fix P∈ P（Rd+）使NA（P）保持不变。Asg是一致连续的，它的P-凹包络算子在P，seeProposition 2.8处是连续的，我们可以取足够小的δ，以便对于所有的'P，'P∈ P（Rd+）带DH（supp（(R)P），supp（(R)P））≤ 2δ我们有|π'P（g）- πИP（g）|≤ ε/9.我们首先认为，我们可以限制为一个紧集。实际上，我们有|π^PN（g）- π^PN（g）|≤ |π^PN（g）- πP（g）|+|πP（g）- πP（g）|（A.9）+πP（g）- π^PN（g）|。我们选择W∞（P，P）≤ δ/4，即P（B）≤ P（Bδ/4）和P（B）≤P（Bδ/4）表示所有B∈ B（Rd+）。

Thussupp（P） supp（P）δ/2和supp（P） supp（P）δ/2。还要注意，通过选择δ，我们得到了|πP（·|[0，L]d）（g）- πP（·|[0，L]d）（g）|≤ ε/9和|πP（g）- πP（g）|≤ ε/9（A.10）通过单调极限变元，见定理2.1的证明，我们有SUPL∈NπP（·|[0，L]d）（g）=πP（g），所以对于所有足够大的L，πP（·|[0，L]d）（g）- πP（g）|≤ ε/9.修正这样的L并设置K：=[0，L]d。注意，（A.10）我们现在有πP（g）- πP（·| K）（g）≤ πP（g）- πP（g）+πP（g）- πP（·| K）（g）+πP（·| K）（g）- πP（·| K）（g）≤ ε/9 + ε/9 + ε/9 = ε/3.特别是对于i=0，10≤ πPi（g）- π^PiN（g）=πPi（g）- πPi（·| K）（g）+πPi（·| K）（g）- π^销（g）（A.11）≤ ε/3+πPi（·K）（g）- π^销（g）≤ ε/3+πPi（·K）（g）- π^销（·| K）（g）。我们继续限制RHS上最后两个术语的差异。让我们写下supp（^PiN）={ri，…，riN}，i=0，1。我们现在认为P∞（dH（{ri，…，riN}∩ K、 供应商（Pi）∩ K） >2δ）≤ ε/2，i=0，1，（A.12）44所有N≥ N*对于某些N*与P无关。为此，取M∈ N和确定性点▄r，rM∈ 供应商（P）∩ K这样∪Mk=1Bδ/2（￠rk） supp（P）δ/2∩ K 供应商（P）∩ K、 式中，Bδ（￠r）={r∈ Rd：| r- r |<δ}。那么，当M是有限的时，就存在N∈ 确保所有N≥ NP∞({k∈ {1，…，M}j∈ {1，…，N}s.t.|rk- rj |≤ δ}) ≥ 1.-ε/2.设置α：=水貂=1，。。。，MP（Bδ/4（￠rk））>0。然后P（Bδ/2（￠rk））≥ P（Bδ/4（￠rk））≥ α对于所有k=1，M.引理A.存在N*≥ 确保所有N≥ N*和所有P∈ P（Rd+）P∞supB公司∈C |^PN（B）-P（B）|≥ α!< ε/2，如果存在k∈ {1，…，M}这样对于所有j∈ {1，…，N}| rk- rj |≥ δ然后|^PN（Bδ/2（￠rk））- P（Bδ/2（～rk））|=P（Bδ/2（～rk）≥ α、 特别是supB∈C |^PN（B）-P（B）|≥ α. 砰的一声∞k∈ {1，…，M}j∈ {1，…，N}s.t.|rk- rj |≤ δ}≥ 1.-ε/2.另一方面，对于任何i∈ {0，1}和任意j∈{1，…，N}带rij∈ K存在K∈ {1，…，M}这样| rij- rk |≤ δ.

请注意{r，…~rM} 供应商（P）∩我们得出结论（A.12）成立。然后，根据我们对δ的选择，对于所有N≥ N*我们有∞πP（·| K）（g）- π^PN（·| K）（g）≤ ε/9，πP（·K）（g）- π^PN（·| K）（g）≤ ε/9> 1.-ε.因此，通过（A.11），我们推断出P∞πP（g）- π^PN（g）≤ 4ε/9，πP（g）- π^PN（g）≤ 4ε/9> 1.-ε.将上述内容与（A.9）和（A.10）相结合，我们得到了∞π^PN（g）- π^PN（g）> ε< ε.利用Strassen定理（[35，定理2.13，第30页]），我们推导出thatdL（LP（^πN），LP（^πN））≤ ε.证据到此结束。推论A.11。让P∈ P（Rd+）使NA（P）保持不变。（i） 设g是连续的，P P（Rd+）。如果P∈ 对于所有δ>0，存在一个紧集K Rd+这样的支持∈PπИP（g）- πИP（·| K）（g）≤ δ、 那么^πN（g）在P wrt下是鲁棒的。W∞关于P.（ii）设g是线性增长和P的连续函数 P（R+）。如果P∈ P、 P是一致可积的，对于所有δ>0的情况，存在C>0，这样supP∈PπИP（g）- supkdQ/dPk∞≤C、 Q∈MEQ[克]！≤ δ、 （A.13）然后^πNis在P wrt下稳健。W∞关于P.超边际价格的鲁棒估计45Proof。（i） ：设ε>0。通过假设，我们可以找到一个紧集K Rd+这样的支持∈PπИP（g）- πИP（·| K）（g）≤ ε/3.其余的证明如下所示，在上述定理4.5的证明中，使用g在K.（ii）上的一致连续性：设ε>0，并选择C>0，以使∈PπИP（g）- supkdQ/dPk∞≤C、 Q∈MEQ[克]！≤ ε/3，假设存在一个常数D>0，使得g（r）≤ D（1+| r |）表示| r |足够大。由于P是一致可积的，因此存在L>0使得supP∈PsupQ公司∈M、 kdQ/dPk∞≤CEQ[g1{| r|≥五十} ]≤ sup▄P∈PCEP[D（1+| r |）1{| r|≥五十} ]≤ ε/3.请注意，存在一个>0的对冲策略{H∈ Rd |π▄P（·|[0，L]d）（g）+H（r-1) ≥ g（r）~P（·|[0，L]d）-a.s.}包含一个元素，该元素以某个常数a>0为界，对于所有足够大的L>0：否则存在序列（Ln）n∈N、 （Hn）N∈Nand（▄Pn）n∈确认Hn→∞.

注意，通过▄Pn的一致可积性，我们得到了▄Pn=>P和▄Pn（·|[0，Ln]d）=>P，其中NA（▄P）保持不变。取▄Hn：=Hn/▄Hn▄，然后在可能取子序列▄Hn之后→H，其中|  H |=1和▄H（r- 1) ≥ 0▄P-a.s.，这导致▄H=0 byNA（▄P），这是一个矛盾。取L>0，使其SUPP∈PsupQ公司∈M、 kdQ/dPk∞≤CEQ[A | r | 1{| r|≥五十} ]≤ sup▄P∈PCEP[A | r | 1{| r|≥五十} ]≤ ε/3.那么对于所有的▄P∈ PπИP（g）- ε ≤ supkdQ/dPk∞≤C、 Q∈MEQ[克]- 2ε/3≤ supkdQ/dPk∞≤C、 Q∈MEQ[g1{| r|≤五十} ]- ε/3≤ supkdQ/dPk∞≤C、 Q∈MEQ[g1{| r|≤L}- A | r | 1{| r|≥五十} ]≤ supQ公司~P，Q∈MEQ[g1{| r|≤L}- A | r | 1{| r|≥五十} ]=πИP（g1{| r|≤L}- A | r | 1{| r|≥五十} （）≤ πрP（·|[0，L]d）（g）≤ πИP（g）。因此，我们可以再次限制K=[0，L]das，并按照第4.5条的证明进行。推论4.6的证明。回想一下，P是紧支持的，比如supp（P） BR（0）对于某些R>0，因此我们可以假设g是一致连续的。请注意，我们还有那个supp（^PN） BR（0），P∞-a、 定理4.5则显示了^πN的稳健性。因此，对于任何ε>0，都存在δ>0和N∈ N使得对于所有N≥ Nand all▄P∈ P（Rd+）我们有：W∞（P，P）≤ δ => dL（LP（πN），LP（πN））≤ ε/3.观察W∞（P，P）≤ δ表示dH（supp（P），supp（￠P））≤ δ. 命题2.8指出地图P 7→ π▄P（g）在伪度量dH（supp（P），supp（▄P）中是连续的。根据[4，Prop.C.2]，配备Hausdor ff度量的BR+1（0）闭子集的集合是紧凑的，因此特别存在N≥ 确保对所有46个超边缘价格的稳健估计n≥ Nand适用于所有▄P∈ B∞lN（^PN）我们有|π▄P（g）-π^PN（g）|≤ ε/3. 这就是证明。A、 4。第5节的其他结果。在本节中，我们将介绍一些模拟，以补充本文中的图3。