超边际价格的稳健估计

通常，例如，如果P的密度从下方以▄r为界，则分布P的尾部是^πNand（9.3）保持收敛速度的决定性特征。我们将在下面的示例中对此进行更详细的讨论。示例9.6。我们现在提供一些例子来说明在上述定理2.11或（9.3）中可能观察到的不同收敛状态。我们使用N=10实现1000次的数字图示。我们从一些例子开始，当定理2.11直接适用或因为（9.2）成立。超边缘价格的稳健估计29100101102103104103102101100C/N图4。g（r）=r-1 |，P=λ|[0,2]/2100102103104101008×1019×101ErrorN1/30图5。g（r）=r-1 |，P=P100101102103104102101100ErrorC/log（1 1/N）图6。g（r）=（2- r） 1{r≤1}+√r1{r≥1} ，P=Exp（1）100101102103104101100ErrorC/Exp（2log（N））图7。g（r）=（r-2） +，P=exp（N（0，1））1001011021031041002×100ErrorC/log（N）1/4图8。g（r）=r-1| +√r- 11{r≥1} ，P=| N（0，1）| 1001011021031041004×1016×101ErrorC/log（N）图9。g（r）=（1-r） 1{r≤1}-√r- 11{r>1}，P=Exp（1）og（r）=r- 1 |，P=λ|[0,2]/2。注意，P（最大值=1，…，Nri≤ x） =（r/2）N.ThusE最大值=1，。。。，Nri公司- 1.=ZNxN-1（x- 1） Ndx=2NN+1- 1 = 1 -N+1。收敛速度O（1/N）（图4）。og（r）=r- 1 |，P=示例9.1中的Pf。收敛速度O（1/N1/30）（图5）g（r）=（2- r） 1{r≤1}+√r1{r≥1} ，P=经验值（1）。请注意，2+x/8与√x英寸x=16。特别是πP（g）=2.125=πP（·|[0,16]）（g）。收敛速度O（F-1P（dN））=O(-日志（1- 1/√N） ）（图6）。30超边际价格的稳健估计我们现在来看一些例子，在这些例子中，我们不能依赖定理2.11，而是使用（9.3），并表明界限可能是尖锐的。maxi=1，…，的渐近分布，。。。，n可以用极值理论的经典结果来确定。

特别是，指数/正态/对数正态随机变量的标度最大值很快收敛到Gumbel分布的随机变量Y（见[63，示例2,3，p.199]）g（r）=（r-2） +，P=exp（N（0，1））。此处最大值=1，。。。，Nrid=Y exp(√2日志N）√2对数N+经验（p2对数N）~ exp（p2 log N）。收敛速度O（1/maxi=1，…，Nri）=O（1/exp(√2对数N））（图7）。og（r）=r-1| -√r- 11{r≥1} ，P=| N（0，1）|。此处最大值=1，。。。，Nrid~Y√2日志N+p2日志N-对数（4π对数N）√2 log N~plog N.收敛速度O（1/（maxi=1，…，Nri）1/2）=O（1/√对数N）（图8）。og（r）=（1- r） 1{r≤1}-√r- 11{r>1}，P=Exp（1）。此处最大值=1，。。。，Nrid=Y+对数N~ 对数N.收敛速度O（1/（maxi=1，…，Nri）1/2）=O（1/√对数N）（图9）。附录A.附加结果和证明A。第2节的附加结果和证明。定理2.1的证明。首先请注意，如果ANI是一个非递减的集合序列，且a=limnAn=∪nAnthen^gA=limn^gAn。“The”≥” 不等式很明显，反之亦然，因为^gAnis是凹函数的非递减序列，因此极限是a上支配g的凹函数。利用Lusin定理（见[12，定理7.4.3，第227页]），我们可以找到SUPPP（P）的紧致子集的递增序列kno，使得P（Rd+\\Kn）≤ 1/n和G |刀是连续的。K上g的连续性表示^gKn=^gP | Kn≤ ^总成。另一方面，根据上述论点，limn^gKn=^g∪nKn公司≥ ^gpp(∪nKn）=1。我们得出结论，limn^gKn=^gP。此外，通过Birkhoff的遍历定理（见[39，定理9.6，p.159]）和p 我们有[Nsupp（^PN）={r，r，…}在supp（P）中为a.s.稠密，因此为^gKn∩{r，r，…}=^gKna。s、 通过上述论证，我们就有了Limn→∞^g^PN=^g{r，…}=^g∪nKn公司∩{r，…}=画→∞^gKn=^gP，P∞-a、 其中，第二个等式自包含{r，r，…} ∪nKnholdsP公司∞-a、 我们总结使用（2.3）。命题2.4的证明。首先假设NA（P）成立。

表示集合a的凸包的相对内部 Rdby ri（A）。此外，为A的线性外壳写lin（A），为A的线性外壳写OFF（A）。我们记得1∈ ri（supp（P））当且仅当NA（P）成立。因此存在ε>0，0≤ k≤ d和R±i∈ conv（supp（P）），r±i=1±εei，i=1，k、 其中e。ekare空间lin的异常基（supp（P））- 1). 固定一些r±i。然后存在∈ N和￠r，rn∈ supp（P），使得r±i可以写为▄r，…，的凸组合，rn。表示所有r±i，i=1，…，的▄r的有限集合，k、 选择0<δ<ε足够小，我们得到1∈ ri（{r±i | i=1，…，k}）对于每个超边缘价格的可靠估计，31选择￠r±i∈ Bδ（r±i）∩a off（supp（P））。As supp（PN） supp（P）和PN=> P存在N∈ N使得Pn（Bδ（￠r）∩ a off（supp（P）））≥ PN（Bδ（￠r）∩ a fff（supp（PN））=PN（Bδ（￠r））>0表示所有￠r∈ A和N≥ N、 因此，1∈ ri（supp（PN））和NA（PN）保持不变。相反，如果存在H∈ Rd使得P（H（r- 1） >0）>0和P（H（r-1) ≥ 0）=1，然后通过连续性H（r- 1) ≥ supp上的0（P） supp（PN）和集合{r | H（r- 1） >0}已打开。因此存在N∈ N使得Pn（H（r- 1） >0）>0表示所有N≥ N推论2.5的证明。通过NA（~P），我们有inf{x∈ R |H∈ Rd+~ds。t、 x+H（e（r）-1) ≥ g（r）P-a.s.}=supQ~P、 Q∈M、 式（f）=fEQ【g】。因为e是连续的^PN=> P意味着D（~P）N=>P.下一个假设支持（^PN） 补充（P）。再次通过fwe的连续性得出e（supp（P））=图（f）∩ （supp（P）×Rd）关闭。因此，我们显然有supp（▄P） e（补充（P））。我们显示e（supp（P））supp（￠P）。假设一个矛盾存在e（r）∈ e（supp（P））\\ supp（￠P）。注意，对于任何序列（rn）n∈确认limn→∞rn=r我们有limn→∞e（rn）=e（r）。因此存在ε>0，使得e（Bε（r））∩supp（￠P）=. 但是▄P（e（Bε（r）））=P（Bε（r））>0，这是一个矛盾。因此，支持（c（￠P）N） 使{e（r），e（r）。

}在supp（~P）中密集，定理2.1仍然适用于扩大的市场。鞅约束EQ【~rd+i】- 1] =0表示i=1，则d等于q[fi（S）]=fi（S）。引理A.1。让P∈ P（Rd+），具有有限的一阶矩，ε>0。那么对于allx∈ Rd+1-Wasserstein度量中的球Bε（P）包含λδx+（1- λ） 某些λ的P∈ (0, 1). 特别是，任何P∈ P（Rd+）可以写成概率测度PN的弱极限，而supp（PN）=Rd+。引理A.1的证明。设ε>0。我们定义ν=λδx+（1-λ） u和recallthat lde注意到1-Lipschitz函数f:Rd+→ R、 thennw（u，ν）=supf∈LZRd+f（y）du（y）-ZRd+f（y）dν（y）= λsupf∈LZRd+f（y）- f（x）du（y）= λZRd+| x- λ>0非常小时，y | du（y）<ε。定理2.7的证明。修复P∈ P（Rd+）和一个pn收敛到P.Let{r，r，…}的序列在supp（P）中密集。修复n≥ 1注意，对于任何≥ 1，weakconvergence意味着对于所有足够大的n，PN（B1/n（ri））>0。特别是存在rni∈ B1/n（ri），使得^gPN（rni）≥ g（rni）。因此，根据上述定理2.1证明中的相同理由，lim infPN=>PπPN（g）=lim infN→∞^gPN（1）≥ 画→∞利姆→∞^g{rn，rn，…，rnk}（1）=πP（g）。32超边缘价格的稳健估计我们使用引理A得出结论。1因为对于supp（PN）=Rd+的序列，通过g的连续性，我们得到，对于所有N≥ 1，πPN（g）=inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+H（r- 1) ≥ g on Rd+}=supQ∈MRd+EQ[克]。对于定理的第二部分，假设P∈ P（Rd+）使得πP（g）<supQ∈MRd+EQ[g]=inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+H（r- 1) ≥ g在Rd+}上。取序列（PN）N∈N、 如上所述，supp（PN）=Rd+和PN=> P、 固定ε>0，使2ε<πPN（g）- πP（g）。对于每个δ>0，存在N∈ N使得对于所有N≥ Nwe有dL（PN，P）≤δ. 设tn是πP（g）的渐近一致估计。

然后，对于所有N largeenoughdL（LPN（TN），LP（TN））≥ dL（ΔπP（g），ΔπPN（g））- dL（LPN（TN），ΔπPN（g））- dL（ΔπP（g），LP（TN））≥ ε.因此，TN在P处不稳定，这表明了这一主张。命题2.8的证明。让我们fε>0。当g均匀连续时，存在δ>0，因此对于| r- r |≤ δ我们有| g（r）- g（￠r）|≤ ε/3. 现在让我们考虑一下▄P∈ P（Rd+），使dH（supp（P），supp（￠P））≤ δ. 然后πИP（g）<∞ 并且存在HP∈ Rd使得π▄P（g）+ε/3+H▄P（▄r- 1) ≥ g（▄r）表示所有▄r∈ supp（￠P）。接下来，我们注意到，根据[7，3.5号提案的证明]中详述的无套利论证，存在δ>0，因此对于所有▄P∈ P（Rd+）和dH（supp（P），supp（~P））≤ δ策略| H | P |可以选择为一个常数C>0，该常数依赖于g，但不依赖于| P。总之，考虑| P∈ P（Rd+）使得dh（supp（P），supp（～P））<min{ε/（3C），δ，δ}。然后每▄r∈ supp（▄P）存在r∈ 支持（P），使| H | P | r- r |≤ ε/3和| g（r）-g（￠r）|≤ ε/3. 因此，π▄P（g）+ε+H▄P（r- 1) ≥ πИP（g）+2ε/3+HP（r- 1) ≥ g（￠r）+ε/3≥ g（r）。因此πP（g）≤ πИP（g）+ε。交换P和▄P的角色会产生索赔。命题2.9的证明。我们给出以下反例：定义ω=（1，1，…），Pn=（1- 1/n）δ+（1/n）λ[0,2]和g（r）=1- r |∧ 1、明显Pn=> δ和SUPQ~δEQ【g】=0以及supQ~Pn，Q∈MEQ【g】=所有n的1∈ N、 根据稠度，我们必须有TN（ω）→ 0作为N→ ∞, 特别地，我们可以假设TN（ω）<1。砰的一声∞n（TN≥ 1代表所有N≥ N） =1- P∞n（对于某些n，TN<1≥ N）≤ 1.-PNn（{ω}）=1- (1 - 1/n）n→ 0（n→ ∞).超边际价格的稳健估计33A。1.1. 备注2.2的证明。关于备注2.2，现在让我们定义以下概念：定义A.2。假设{Xn | n∈ N} 是一个时间齐次马尔可夫链，初始分布P为其不变测度，转移核K。

如果存在0<ρ<1且c>0，使得zkkn（x，·），则{Xn}称为指数衰减的平稳β-混合- P（·）kTVP（dx）≤ cρnn∈ N、 式中，k·kT Vde定义了总变异标准。马尔可夫链{Xn | n∈ N} 如果存在概率测度P，则称为几何遍历∈ P（Rd+），常数0<ρ<1和P-可积非负可测函数g，使得kkn（x，·）- P（·）kTV≤ ρng（x）n∈ Nx个∈ Rd+。下面的引理列出了一些常见时间序列模型的平稳性和遍历性属性，如下所示【51、5、32、8、3、49、25】，为了简单起见，我们只考虑最简单的情况，并参考上面的参考文献以获得更全面的图：引理a.3。以下条件对于过程{rn | n的指数衰减（如果从不变分布开始）的β-混合特性是有效的∈ N} 和{hn | N∈ N} 定义如下，以及过程的几何遍历性{hn | N∈ N} ：o扩充GARCH（1,1）模型，其中rn=phnηN，N=0，1。Γ（hn+1）=c（en）Γ（hn）+g（en+1），而{ηn}是一个独立于hw的i.i.d.序列，E[ηn]=0，E[ηn]=1，关于Lebesgue测度的连续正密度，Γ是一个递增函数，en+1是ηn的一个可测函数。LGARCH：β+α<1，其中hn=ω+βhn-1+αηn-1小时-1和ω>0，β≥ 0, α ≥ 此外，如果存在整数s≥ 使（β+α）s<1或E[|ηn | 2s]<∞ β+α<1/（E[|ηn | 2s]）1/s，然后E[| rn | 2s]<∞.– MGARCH：|β|<1，其中log（hn）=ω+βlog（hn-1） +αlog（hn-1） ω>0，β≥ 0, α ≥ 0.-EGARCH:|β|<1，其中log（hn）=ω+βlog（hn-1） +α（|ηn-1 |+γηn-1） γ6=0–NGARCH：β+α（1+c）<1，其中hn=ω+βhn-1+α（ηn-1.- c） hn公司-1和ω>0，β≥ 0, α ≥ 0

此外，如果存在整数s≥ 1使E[（β+α（ηn- c） ）s]<1或E[|ηn | 2s]<∞ β+α<1/（E[|ηn- c | 2s）1/s，然后E[| rn | 2s]<∞.34超边际价格的稳健估计–VGARCH：β<1，其中hn=ω+βhn-1+α（ηn-1.- c） ω>0，β，α≥ 此外，如果存在整数s≥ 使β<1，E[|ηn | 2s]<∞, 然后E[| rn | 2s]<∞.– TSGARCH：β+αE |ηt |<1，其中phn=ω+βphn-1+α|ηn-1 | phn-1和ω>0，β≥ 0，α>0和α+α≥ 0。此外，如果存在整数s≥ 1使得E[（β+α|ηn |）s]<∞, 然后E[| rn | s]<∞.– GJR-GARCH：β+α+αE max（0，-ηn）<1，其中hn=ω+βhn-1+αηn-1小时-1+αmax（0，-η） hn公司-1和ω>0，β≥ 0，α>0和α+α≥ 0。此外，如果存在整数s≥ 1使得E[（β+αηn+αmax（0，-ηn））s]<∞, thenE[| rn | 2s]<∞.– TGARCH：β+α|ηn |+αE max（0，-ηn）<1，其中phn=ω+βphn-1+α|ηn-1 | phn-1+αmax（0，-η） phn公司-1和ω>0，β≥ 0，α>0和α+α≥ 0。此外，如果存在整数s≥ 1使得E[（β+α|ηn |+αmax（0，-ηn））s]<∞,然后E[| rn | s]<∞.o PGARCH（a，b）模型：Pbi=1αi+Paj=1βj<1和E（|ηn | 2δ）<∞, 式中，Rn=phnηn，n=0，1。hδn+1=ω+bXi=1αihδn+1-i |ηn+1-i | 2δ+aXj=1βjhδn+1-jand a、b≥ 1，δ>0，ω>0，αi≥ 0，i=1，b、 βj≥ 0，j=1，a、 这包括δ=1的GARCH（a，b）和δ=1/2的TSGARCH（a，b）。此外，E[| rn | 2δ]<∞.o 随机自回归波动率：E | un |<∞, E |β+αun |<∞, 式中，rn=σnzn，logσn=ω+βlogσn-1+（γ+αlogσn-1） unand{zn}n∈N、 {un}N∈Nare是具有零均值和单位方差的相互独立的i.i.d.变量，α+β>0，α+γ>0。作为直接结果，我们得到以下结果：推论a.4。设{rn}n的分布∈Nbe由满足引理A.3中关于平稳性的相应条件的模型之一给出，并设P=P。然后满足定理2.1的条件。

此外，假设3.5.1在以下情况下得到满足：oLGARCH：存在一个整数q>3p，使得（β+α）q<1矿石[|ηn | 2q]<∞ 和β+α<1/（E[|ηn | 2q]）1/q。我们注意到，GARCH传统上用于对数回报对数（Sn/Sn-1） notraw返回rn=序号/序号-1在计量经济学文献中。同于r 7→ log（r）是连续的，这对定理2.1没有限制，但对rn=log（Sn/Sn）施加假设3.5-1） 这意味着我们需要GARCH模型的指数矩。即使在参数设置下，重尾GARCH环境中的统计推断也是出了名的困难，参见例[29]。另一方面，对于短时间尺度，我们发现~ 1和近似对数（rn）~ 注册护士- 1非常准确。超边际价格的稳健估计35oNGARCH：存在一个整数q>3p，使得E[（β+α（ηn-c） ）q]<1或E[|ηn | 2q]<∞ β+α<1/（E[|ηn- VGARCH：存在一个大于3p的整数，使得β<1，E[|ηn | 2q]<∞.o TS-GARCH：存在一个大于6p的整数q，使得E[（β+α|ηn |）q]<∞.o GJR-GARCH：存在一个整数q>3p，使得E[（β+αηn+αmax（0，-ηn））q]<∞.o TGARCH：存在一个大于6p的整数q，使得E[（β+α|ηn |+αmax（0，-ηn））q]<∞.o PGARCH：δ>3p。证据第一种说法直接来自引理A.3。为了证明第二种说法，有必要检查E[| rn | q]<∞ 和（3.5）保持不变。再次使用引理A.3，在E[| rn | q]<∞ 在推论陈述中列出的条件下满足。

最后我们注意到kkn（r，·）- P（·）kTV=supkfk∞≤1 | E[f（rn）| r]- E[f（r）]|从而得出结论，对于0<ρ<1的β-混合，指数衰减性为（rn），如引理A.3所示，r~ P和所有kf k∞≤ 1我们有（E[（E[f（rn）| r]- E[f（r）]）]））1/2≤ （E[2 | E[f（rn）| r]- E[f（r）]|]）1/2≤E“2 supkfk∞≤1 | E[f（rn）| r]- E[f（r）]|#！1/2≤ （4E[kKn（r，·））- P（·）kTV）1/2≤ 2cρn/2，可求和。[24]中开发了GARCH模型（严格）平稳性测试。将他们的测试应用于1990年1月2日至2009年1月22日期间CAC、DAX、DJA、DJI、DJT、DJU、FTSE、Nasdaq、Nikkei、SMI和SP500的每日收益率，作者得出结论，时间序列的非平稳性是不合理的。A、 2。第3节的其他结果和证明。引理3.2的证明。有必要论证情况d=1，因为对于d≥ 2结果如【64，第1.1条】所示。Kiefer-Wolfowitz边界（见引理2.13）yieldP∞supr公司∈R+| FP（R）- F^PN（r）|≥ N-1/4!≤ 经验值(-2.√N） 。还记得A是连通的、开放的和有界的，满足假设3.1。因此，FP（x）+ε≤ x的FP（x+αε）∈ R、 因此，我们得出以下结论：∞-概率大于（1- 经验值(-2.√N） ）我们有，对于x∈ R、 FP（x- αN-1/4) ≤ FP（x）- N-1/4≤ F^PN（x）≤ FP（x）+N-1/4≤ FP（x+αN-1/4），尤其是W∞（P，^PN）≤ αN-1/4. 推论3.8的证明。“The”≤”-不等式如下定理3.6的证明。对于“≥ ”-不等式取QN∈ M和νN∈ Bpε+εN（^PN），使得kdQN/dνNk∞<36超边际价格的稳健估计Cn。假设存在鞅测度Q~ P以便kdQ/dPk∞≤C- δ对于某些δ>0。定义δN：=2 | CN- C |（C- δ） 中国大陆- C+δ∨2εNCNε+2εN- |中国大陆- C类|适用于所有N∈ N、 对于N∈ N足够大选择λN∈|中国大陆- C |+δNCN，δNC- δ.然后λN∈ （0，1），limN→∞λN=0和（1- λN）νN+λNP∈ 一组概率至少为1的Bpε（P）- βN.此外（1-λN）CN≤ C- δNand THOUS（1- λN）CN+λN（C- δ) ≤ C- δN+λN（C- δ） <C- δN+δN=C对于所有N∈ N

然后对于QN：=（1- λN）QN+λNQ我们有dQNd（（1- λN）νN+λNP）=d（（1- λN）QN+λNQ）d（（1- λN）νN+λNP）<坎德，如QN，Q∈ M和任意▄Q∈ MEQ[| r |]≤√dEQ[| max1≤我≤dri |]≤√ddXi=1EQ[| ri |]=√ddXi=1EQ[ri]=d3/2，存在M>0，使得eqn[g]≤ (1 - λN）EQN【g】+λNEQ【g】+λN | EQN【g】- 等式【g】|≤ supν∈Bpε（P），kdQ/dνk∞<CEQ[g]+λNM，其中最后一个不等式适用于P∞-概率至少为1-这就是证明。我们在此回顾了AV@RP1/kN（g）的连续性：引理A.5（[58]，Cor.11，p.538）。对于g∈ 土地P，~P∈ P（Rd+）我们有RP1/kN时的AV（克）- AV@RP1/kN（g）≤ kNW（P，~P）。这用于后续证明。推论3.11的证明。回想一下π^QN（g）=supP∈BpεN（βN）（^PN）supkdν/dPk∞≤克宁夫∈RdEν[g- H（r- 1)] .我们现在想交换上面的两个上确界和上确界，这可以通过与[2，定理3.1和引理3.2的证明]中相同的参数来完成。事实上，当NA（P）保持时，当P∈ BpεN（βN）（^PN）我们通过【22，定理1.48，p.29】得出结论，存在N∈ N这样1∈ ri（{Eν=[r]|）P∈ BpεN（βN）（^PN）s.t.kdν/dPk∞≤ kN}）对于所有N≥ N、 其中ri（A）表示集合凸包的相对内部∈ B（Rd+）。这意味着π^QN（g）=infH∈Rdsup▄P∈BpεN（βN）（^PN）supkdν/dPk∞≤kNEν[g- H（r- 1） ]=infH∈Rdsup▄P∈BpεN（βN）（^PN）AV@RP1/kN[克- H（r- 1)] .超边际价格的稳健估计37（3.8）中的第一个不等式微不足道，而第二个不等式来自g（r）的2 Lipschitz连续性- H（r- 1） 对于| H |≤ 1和▄P 7的连续性→AV@RP1/kN（g- H（r- 1） ）w.r.t.至w，见[58]或引理A.5。定理3.12的证明。ClearlylimN公司→∞supQ公司∈MEQ[克]- CNinf^Q~^PN，^Q∈Md^QdQ∞- 1.≥ 画→∞supQ公司~^PN，Q∈MEQ【g】=supQ~P、 Q∈MEQ【g】P∞-a、 它仍然需要建立反向不平等。首先假设CN=C.FixQ∈ M并考虑^Q~^PN，^Q∈ M使^Q Q