金融时间序列的熵分析

对于大的n，这大约是lyn。对于pu=pd=的公平合理硬币的独立抛投，抽奖的预期长度和方差为1/2=2（3.7）var[ld]pu=pd=1/2=2（3.8）。在回顾了抽奖的基本理论结果后，我们回顾了Johansen在一系列论文中记录的金融市场抽奖的经验结果，Ledoit和Sornette（JLS）关于道琼斯工业平均指数、富时100指数、不同市场的一些单名股票、外汇美元/马克、美元/日元、美元/瑞士法郎和金价的每日变化。JLS发现，方程式（3.4）中引入的修正指数分布适用于高达98%的权益和大部分财务回报的提取和提取。最大下降的剩余1%-2%不能用简单指数或拉伸指数来解释。股票指数、股票价格、外汇汇率和大宗商品价格普遍出现比预期高出三倍的提款，CAC40是极少数例外。JLS表明，这些绘图是属于不同类别的异常值。只有一半的时间序列研究了草拟中的参展商异常值。此外，与提款相比，提款的a^z（见表3.1）更接近简单指数情况。提款的特征规模χ在一个资产类别内是稳定的，但在不同的资产类别中有所不同。FX作为一个组，具有最小的χ，并且具有z值≈ 0.84至0.91（见表3.1），对应于肥尾分布。对于股票指数，典型的价格变动有χ≈ 提取和提取的利率为1.05%-2.1%，高于外汇利率。例如，见索内特（2003）、约翰森和索内特（2001）以及约翰森和索内特（2000）。支取的z系数与货币的z系数范围相同，即0.80到0.90，但支取的z系数接近1，即。

简单指数分布。对于单个股票，特征大小要大得多，χ≈ 1.91%-7.61%。对于水位上升和水位下降，指数z都接近1。股票指数、黄金和外汇汇率的z<1指数与厚尾的每日回报分布相一致。与此不同的是，美国大型股票的减持分布≈ 1，与具有正常尾部大小的每日收益分布兼容。支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取支取0.987±0.022微软1.04±0.03 1.01±0.03 5y1.127±0.025 1.050±0.024Cisco 1.16±0.04 1.21±0.04 10y 1.154±0.025 1.052±0.023通用电气1.02±0.02 1.02±0.02 20y 1.188±0.025 1.060±0.024英特尔1.06±0.03 1.21±0.03 30y 1.144±0.026 1.063±0.023表3.1：外汇、股票和利率市场提款报告指数分布对于外汇的提取和提取，z（±标准误差），Johansen和Sornette（2001）的精选美国股票和利率回报。JLS认为，这种异常巨大的下降只能用罕见且连续的每日降幅来解释。当市场进入一个关键阶段时，就会发生这种情况，在这个阶段的过渡会导致理性、知情的交易者和吵闹、模仿的交易者之间的不同行为。Sornette（2003）引用了羊群行为和市场参与者模仿大多数人作为最佳策略，作为市场参与者不同特征的例子。

正是市场参与者之间互动模式的改变触发了价格变动的机制变化，产生了不同的系列相关性和幅度。其他行业惯例，如组合保险和保证金要求，进一步加剧了市场压力期间的羊群行为。Rebonato和Gaspari（2006年）对美国伦敦银行同业拆借利率和掉期利率的提取进行了广泛的研究，发现在短期利率中，无论是提取还是提取，都存在大量的异常值。总的来说，当水位下降的z系数接近1，水位下降超过1时，建议使用细尾（见表3.1）。与独立价格变动的无效假设相比，长度1的运行（即时价格反转）比预期的更频繁。另一方面，长度2和3的梯段比预期的要少。Rebonato和Gaspari（2006）对美元利率市场的研究是对提款的唯一双变量分析。众所周知，PCA分析的第一个特征向量占利率期限结构变动的80%-90%。该研究提供了一些证据，证明短期利率（3m、6m和1y）、中期利率（2y、5y和10y）和长期利率（20y和30y）区块内同时出现提款，但区块之间没有。特别是，短期利率中的九笔大额提款均未与其他两个区块的任何大额提款相关联。3.2.2熵计量经济学文献基于Shannon（1948）的信息理论的一个重要时间序列工具开始受到金融研究界的关注。这一研究领域的关键是找到与噪声相关的最佳数据编码。

这是一种分析不确定性下的信息或关系的非参数方法。Darbellay和Wuertz（2000）使用互信息来估计30分钟收益率对DEM/美元汇率和道琼斯工业平均指数每日收益率的依赖性。作者指出，在滚动固定窗口中衡量的回报率和波动率并不是独立的。Schreiber（2000）将互信息扩展到转移熵的概念中，转移熵考虑了转移概率。传递熵在检测系统间的信息流方面特别有用，自那以后，它在不同认知领域（如神经学和生态学）的时间序列多元分析中得到了应用。Marschinski和Kantz（2002）将传递熵应用于金融时间序列，他们在2000年5月至2001年6月期间的一分钟间隔内，发现了从道琼斯工业平均指数到DAX股票指数的信息流动证据。任何来自反向方向的信息都不太明显。Kwon和Yang（2008b）使用转移熵，并为25个综合股票指数的日收益率之间的信息流找到经验证据。来自美国和欧洲市场的传出转移熵值最高，似乎主要流向亚洲和太平洋地区。大陆内信息流不如大陆间信息流显著。同样，Kwonand Yang（2008a）发现了25种股票指数的每日回报率与各自市场的单名股票回报率之间信息流动的经验证据。Dimp Fl和Huergo（2011）使用转移熵，发现CDS和债券利差之间存在双向信息流的证据，从CDS市场到债券市场的信息转移略高。

由于缺乏acointegration关系，无法使用向量错误校正模型对数据进行建模。此外，还建立了从VIXto到iTraxx的单向信息流。Jizba、Kleinert和Shefat（2011）使用R'enyi熵S（R）q将转移熵扩展为R'enyi转移熵。S（R）q（定义如下）是有限集X上分布P的一系列熵测度，并按q>0的顺序进行索引：S（R）q（P）=1- qlogXx∈Xpq（x）（3.9）与香农熵不同，通过参数q的控制，R’enyi熵可以强调分布的不同部分，而不一定平等地考虑整个潜在的经验价格分布。A q∈ （0，1）聚焦于分布的尾部，当q>1时，聚焦于分布的主要部分。R’enyi转移熵是根据1990年至2009年期间欧洲、美国和亚洲的11个股票指数的日收益率进行估计的。作者发现，美国和欧洲市场更容易受到亚太地区价格动荡的影响，而不是相反。3.3计算2001年1月3日至2012年7月27日期间每日收盘和每小时欧元/美元和英镑/美元汇率的数据日志返回。每日观察3017次，每小时观察71039次。图3.1:2001年1月3日至2012年7月27日期间的欧元/美元、英镑/美元时间序列每日欧元/美元和英镑/美元汇率。样本期包括不同的市场制度和一些重大经济事件，如2007年的金融危机。表3.2列出了汇率回报和提取/提取的统计数据。表3.2的前四行报告了各自返回序列的四个第一中心矩（u，u，u，u）。

每日序列的平均值与两种货币对的每小时序列的平均值相当，每天24小时采样。在Chosen样本期内，欧元和英镑对美元均升值（更多每日收盘价来自彭博社。每小时数据可从www.fxhistoricaldata.com.EURUSD（h）gbpsud（h）EURUSD（d）gbpsud（d）Panel A：样本时刻u[10]下载-6] 3.624 0.644 86.413 15.937u0.002 0.002 0.007 0.006u0.07-0.263 0.006-0.306u12.814 15.481 4.201 5.33uρ0.6730 0.6736面板B：高斯模型高斯=4σ/√2π [10-3] 2.15 2.04 10.44 9.41E[d]高斯=2σ/√2π [10-3] 1.08 1.02 5.22 4.71 C组：提款统计，提款E[D]/E[D]=E[ld]1.98 1.96 1.85 1.98E[U]/E[U]=E[lu]2.02 2.01 1.96 2.04E[D][10-3] 1.7566 1.6288 9.2321 8.8101E[单位][10-3] 1.7711 1.6314 9.5508 8.8623σ（D）[10-3] 2.0492 1.9979 9.2219 9.4067σ（U）[10-3] 2.0533 1.9449 8.9 8.41σ（ld）1.33 1.31 1.26 1.36面板D：最大提款，提款最大D.D.%]2.68 3.93 7.94 10.68最大D.D日期05-Jan-09 08:00 24-Oct-08 07:00 29-Sep-08 17-Oct-08最大D.u.%]3.11 3 10.93 5.62最大D.u日期13-Nov-08 19:00 28-Oct-08 18:00 10-Dec-08 28-Oct-08表3.2欧元/美元和英镑/美元返回并提取统计数据。前四个样本矩^u。估计每小时（h）和每日（d）时间序列的μu。ρ是每小时和每日序列中货币对之间的相关性。在B组中，我们报告了预期的降水量E[D]高斯和日降水量E[D]高斯和iid高斯回波。C组列出了预计长度E[ld（E[lu）量级E[D]（E[U]）、标准偏差σ（D）（σ（U））和长度标准偏差σ（ld）。

panelD中报告了时间序列中最大的水位下降和水位上升，以及震级和开始时间。欧元兑英镑）对这两种货币对均产生积极影响。欧元/美元小时序列的波动率（u）可与每日序列相比较（应用时间标度的平方根）。对于英镑/美元系列，小时系列比每日系列波动更大。欧元/美元呈正偏态，反映出尽管存在欧洲主权危机，但在样本期内欧元普遍升值。英镑/美元呈负偏态，主要是由于2008年的大幅波动。所有序列的峰度都高于4，这是指每小时的收益率高于每日的收益率。对于每日和每小时数据，两种汇率之间的无条件相关性^ρ为0.673。表3.2下面板中报告了四个时间序列中的提款和提款统计数据。对于所有序列，如果序列是正态分布iid过程，则平均拉伸幅度低于，即[D]≤E[D]高斯，E[U]≤ 高斯。水位下降的平均长度低于高斯情况下的E[ld]≤ 除欧元/美元（h）英镑/美元（h）欧元/美元（d）英镑/美元（d）A组：提款^z（d）0.993 0.98 1.145 1.121σ^z（d）0.005 0.005 0.029 0.025^χ（d）[10-3] 1.765 1.616 10.03 9.255σ^χ（D）[10-3] 0.012 0.011 0.254 0.249面板B：图纸^z（U）0.986 0.959 1.026 1.033σ^z（U）0.005 0.005 0.022 0.025^χ（U）[10-3] 1.745 1.595 9.332 8.932σ^χ（U）[10-3] 0.011 0.011 0.268 0.256表3.3：拉长指数分布用于提取（提取），拉长指数Pse（D）=De-（| D |χ）zis使用最大似然法估计。每小时和每日系列的形状参数^z和尺寸参数^χ报告用于面板A中的提取和面板B中的提取。

继Rebonato和Gaspari（2006）之后，我们使用刀切程序计算估计值的标准误差。每日欧元/美元系列。大部分提款的长度为| ld |≤ E[ld]+σ（ld）≈ 3.3期间和类似数字适用于提款。平均水位下降幅度略低于平均水位上升幅度E【D】<E【U】。对于这两种货币对，每日系列中最大的抽奖发生在2008年秋季，即2007年开始的金融危机最严重的时候（表3.2中的D组）。每日欧元/美元系列的最大跌幅始于2008年9月29日，持续了六天，这是由对欧洲金融体系的新担忧引发的。两个月后，持续六天的最大规模提款于2008年12月10日开始，当时美联储将短期利率降至历史低点。2008年10月17日，观察到每日英镑/美元的最大降幅。由于宏观经济环境和对英国银行业的担忧，这场交易持续了七天，处于英镑抛售期。紧随其后，10月28日出现了持续三天的市场回调，形成了英镑/美元每日收益系列中最大的提款。所有系列的预期下降长度均低于高斯情形，E【ld】<2，这表明价格有反转趋势。除每日欧元/美元外，所有提款的预期长度都略高于高斯情况下的预期长度，E[ld]>2。表3.3显示了基于最大似然法的修正指数分布的形状参数^z和尺寸参数^χ，该分布符合水位下降和水位上升。这种方法已知是渐近无偏的，但需要大样本。估计误差^σ是通过自举技术计算的（见Rebonto和Gaspari（2006））。

通过将数据子集替换为从估计参数指定的指数分布中提取的数据，可以重复生成新的数据集。每日收益率的drawshape参数^z>1超过两个标准差。这表明尾巴比简单的指数分布要细。另一方面，日收益率序列图呈现出一个^z形状，该形状在简单指数分布的两个标准差范围内。同样，每小时水位下降的估计形状^z（D）在简单指数的两个标准偏差范围内。对于小时序列的绘制，^z（U）<1乘以两个以上的标准偏差，这表明尾部比简单指数更厚。对于每日和每小时的水位下降，确定预期水位E【D】的特征量表^χ（D）在平均值的两个标准偏差范围内，即|E【D】- ^χ（D）|<2·σχ（D）。同样的情况也适用于每日提取，但不适用于每小时提取，这低于预期提取E【U】。3.4信息论方法3.4.1熵测度在第二章中，我们介绍了熵测度、互信息和转移熵。这使我们能够检测时间序列之间的相关性和互相关效应。联合分布p（X，Y）的两个随机变量X和Y的互信息I（X；Y）定义为I（X；Y）=-Xx号∈十、 y型∈Yp（x，y）·logp（x，y）p（x）p（y）（3.10）互信息测量从观测中减少x的不确定性。我们在第2章中进一步看到，在一个观测值中引入时间延迟并不能区分实际交换的信息与对输入信号的共同响应或由外部因素驱动的共同历史。为了检测信息溢出，我们使用转移熵代替。设p（x。

xn）表示观察子序列（x，…xn）的可能性，则传递熵是决定性的→X（m，l）=Xp（xt，…xtm，ytm-l+1，ytm）·logp（xtm+1 | xt，…xtm，ytm-l+1，ytm）p（xtm+1 | xt，…xtm）（3.11），其中xt和YT表示时间t时X和Y的离散状态。参数SM和l分别表示X和Y中包含的过去观测值的数量。虽然互信息量化与X（或Y）的偏差是独立的，但传递熵量化与X的偏差仅由其自身的历史（通过条件概率）或Y的历史确定。与互惠信息不同，传递熵→X（m，l）不是对称的，只考虑源自变量Y的统计相关性，而不考虑来自公共信号的统计相关性。在文献中，基于核密度方法Schreiber（2000）、Blumentrit和Schmid（2011）以及最大似然方法Paninski（2003），对连续变量的传递熵和互信息进行了估计。在本章中，我们处理的是市场观察到的离散收益，离散值的数量对于任何实际目的来说都太高，需要在计算熵测度之前大幅减少。在本章中，所使用的分区是出于经济考虑，重点关注特定的市场情况，如大规模的提取和提取，这可能会或可能不会导致每个分区的边际概率相等。以返回序列为例，如图3.2所示，有九个时间步。图中第二行描述了{r，…，r}形式的缩编，缩编{D，…，D}。例如，连续的负值返回r、r、rform一次提取D。