金融时间序列的熵分析

我们使用平方货币回报率作为每日波动率的代理。定义了一个两状态隐马尔可夫模型，利用该模型我们对高波动和正常波动状态进行建模。按照第3章中的步骤，我们使用熵框架和互信息和传递熵来评估各种相互依赖假设。估计的状态过程是一个离散的马尔可夫过程，它有助于用信息论工具进行分析。我们在样本中发现了货币对之间各种波动率制度关系的证据。在欧洲货币（欧元/美元、英镑/美元、瑞士法郎/美元）中，存在着可衡量的波动机制协动关系。加元/美元和澳元/美元表现出波动性协动关系，并在较小程度上与时滞相互依赖。我们还发现了货币对波动状态之间信息流动的证据。最值得注意的是从欧元/美元到英镑/美元的信息流动，这表明存在因果波动溢出关系，这与Inagaki（2006）的研究结果一致，Inagaki报告了1999年至2004年间从欧元到英镑的单向波动溢出的证据。我们的工作还展示了相互信息和传递熵的概念在分析波动溢出关系时的有用性。4.2隐马尔可夫模型4.2.1基础隐马尔可夫模型（HMM）由随机过程{y，…，yn}组成，其中概率分布取决于有限状态空间I={1，…，N}的“隐”马尔可夫链{q，…，qn}的实现。{yt}的分布取决于状态qt，因此P（yt | qt）。

隐马尔可夫模型表示为θ={P（q），P（qt+1 | qt），P（yt | qt）}：oP（q）是初始状态概率aij公司≡ P（qt+1=i | qt=j）为1≤ i、 j≤ N是状态之间的转移概率P（yt | qt）是发射概率。对于排放概率分布的选择没有任何限制。在许多应用中，使用了正态分布、正态分布和泊松分布的混合（西葫芦和麦克唐纳（2009））。setFigure 4.1：一个隐马尔可夫模型，其中{qt}表示隐藏状态，{yt}排放量和箭头描述依赖关系。图4.1描述了一个隐马尔可夫模型的up。图中的每个节点表示一个随机变量的值。连接两个节点的线表示独立，没有连接线表示条件独立。时间t+1时的隐藏状态qt+1仅取决于前一状态中的qt，如等式（4.1）所示，时间t+1的发射仅取决于时间t+1的qt+1，如方程（4.2）所示：P（qt+1 | q，…qt，y，…yt）=P（qt+1 | qt）（4.1）P（yt+1 | q，…qt，y，…yt）=P（yt 1 | qt+1）（4.2）方程（4.1）意味着马尔可夫过程{q，…，qn}完全由初始状态概率P（q）和转移概率P（qt | qt | qt确定-1). 这些关系允许在估计HMM参数时使用各种条件独立关系。

有关图形模型中的条件独立关系和d-separationfeature的更一般性讨论，请参见Barber（2012）。4.2.2 HMM估计我们将在本节中解释估计HMM模型的两种主要方法。期望最大化算法（EM），也称为鲍姆韦尔奇算法，使我们能够在无法观察所有数据时找到HMMmodel参数的最大似然估计（Barber（2012））。还有维特比算法，根据观察结果推断隐藏状态的最可能状态序列。首先，我们注意到，根据上下文，有两种索引时间序列的方法。从时间tand开始到时间t结束，序列{yt}表示为dytt=yt，yt+1，年初至今。对于观测值由y表示的特定时间参考点，我们用y回顾-ny-1，y向前，y。yn。在给定时间序列{yT}1中的所有观测值的情况下，前向-后向算法用于计算特定时间内隐藏状态的条件概率（qt，yT）≤t型≤T、 正演算法涉及所有T的p（qt，yt）的联合概率∈ {1，…T}和状态空间I={1，…，N}。在backward算法中，计算所有t的条件概率P（yTt+1 | qt）∈ {1，…T}。假设发射概率P（yT | qt）、跃迁概率P（qt+1 | qt）和初始分布P（q）已知，同时使用向后和向前算法，可以计算条件概率P（qt | yT）。

这遵循方程式（4.1）和（4.2）中的独立关系，如下所示：P（qt | yT）∝ P（qt，yT）=P（qt，yT，yTt+1）=P（yTt+1 | qt，yT）·P（qt，yT）=P（yTt+1 | qt）·P（qt，yT）=βt（qt）·αt（qt）（4.3）对于上述等式（4.3）中的最后一行，使用向后算法计算第一项P（yT+1 | qt），使用向前算法计算第二项P（qt，yT）。上述等式（4.3）中最后一行的术语解释如下。概率P（qt，yt）≡ αt（qt）对于给定的一组参数θ={P（q），P（qt+1 | qt），P（yt | qt）}遵循递归关系，可以使用独立关系（4.1）和（4.2）计算如下：P（qt，yt）=NXqt-1=1P（qt，qt-1，yt）=NXqt-1=1P（yt | qt，qt-1，yt-1） P（qt | qt-1，yt-1） P（qt-1，yt-1） =NXqt-1=1P（yt | qt）P（qt | qt-1） P（qt-1，yt-1） =NXqt-1=1P（yt | qt）P（qt | qt-1） ·αt-1（qt-1） =αt（qt）（4.4）对于给定的一组参数θ={P（q），P（qt+1 | qt），P（yt | qt）}，概率P（yTt+1 | qt）≡ βt（qt）类似地基于以下反向算法计算：P（yTt+1 | qt）=NXqt+1=1P（yTt+1，qt+1 | qt）=NXqt+1=1P（yTt+2 | qt+1，qt，yt+1）P（yt+1 | qt+1，qt）=NXqt+1=1P（yt+2 | qt+1）P（yt+1 | qt+1 | qt）=NXqt+1=1βt+1（qt+1）·P（yt+1 | qt+1）·P（qt+1 | qt）=βt（qt）（4.5）这两种算法的计算复杂度都为O阶（N·t）。我们解释了反向算法的缺点。在方程（4.5）中，βt（qt）是所有状态1，…，的和，N在每个时间点t重复∈ {1，…，T}，并且对于时间T的每个可能状态，给出了N·T计算。相比之下，如果对所有状态序列组合的P（qt，yt）求和如下：P（qt，yt）=NXq=1···NXqt=1P（qt，qt-1，yt），（4.6）计算涉及从时间1到时间t的所有可能状态路径以及某个状态的联合概率。对所有t重复此操作∈ {1, . . .

，T}给出了总的NT·T计算。HMM模型中的参数θ基于以下期望最大化算法进行估计：θ=arg maxθP（y，…，yT |θ）（4.7）该算法分两步迭代进行。首先，估计步骤计算给定观测值的缺失数据的条件期望和θ的当前估计。接下来，最大化步骤将整个数据集（包括隐藏状态）关于θ的日志可能性最大化。ξij（t）=P（qt=i，qt+1=j | yT，θ）（4.8）=αt（qt=i）·aij·P（yT+1 | qt+1=j）·βt+1（qt+1=j）P（yT |θ）（4.9）=αt（qt=i）·aij·P（yT+1 | qt+1=j）·βt+1（qt+1=j）P1≤t型≤TβT（qt）·αT（qt）（4.10）最后，使用估计的可能性对状态进行分类，特别是根据方程式（4.7）给出估计参数（^θ）：qt=arg maxqTP（yT，qt |^θ）（4.11）4.3数据。数据集包括彭博每日报的日志回报，包括澳元（Australialandollar）、巴西雷亚尔（Brazilian Real）、加元（Candadian Dollar）、瑞士法郎（瑞士法郎），1999年1月1日至2012年3月11日期间，欧元（欧洲货币联盟货币单位）和英镑（英镑）以美元计价。每个货币对有3180个数据点。样本期包括几个图4.2：货币时间序列1999年1月至2012年3月样本期内的所有汇率均以美元报价。市场机制和重大经济事件，如后dot。2007年的金融危机，2010年欧洲债务危机的开始。表4.1显示了所有货币对的无条件相关性。欧元和瑞士法郎之间的相关性最高，^ρ=0.875。欧洲货币欧元、英镑和瑞士法郎之间的相关性更高，澳元和加元也表现出更高的相关性。

BRL与样本中所有其他货币的相关性最弱。在本文中，我们将在大多数情况下仅根据其基础货币澳元、BRL、CAD、欧元、英镑来参考货币对澳元/美元、BRL/美元、CAD/美元、瑞士法郎/美元、欧元/美元和英镑/美元。澳元BRL加币CHF欧元GBPAUDBRL 0.333加币0.623 0.306CHF 0.395 0.075 0.303EUR 0.543 0.175 0.428 0.875GBP 0.505 0.176 0.416 0.57 0.651表4.1：样本中每日汇率回报之间无条件相关性的相关矩阵。澳元BRL加币CHF欧元GBP面板A：最小数量【10】-3] -72.8-99.76-33.08-29.76-25.22-34.65q（0.1）[10-3] -9.38-11.47-6.16-8.24-7.94-6.83q（0.25）[10-3] -3.98-4.61-2.95-3.91-3.86-3.3q（0.5）[10-3] 0.56 0 0.19 0.09 0.09 0.07q（0.75）[10-3] 4.88 5.13 3.37 4.18 3.8 3.37q（0.9）[10-3] 9.02 10.98 6.61 8.75 8.08 7.08最大值[10-3] 82.47 103.44 39.51 46.92 34.51 29.26面板B：力矩u[10-3] 0.16 -0.11 0.15 0.13 0.06 -0.02σ [10-3] 8.69 11.61 5.89 6.91 6.59 5.88u[10-5] 7.54 13.48 3.47 4.78 4.34 3.45u/σ-0.42 -0.36 -0.15 0.14 0.06 -0.28u/σ- 3 9.97 12.17 3.36 1.62 1.19 2.29表4.2：汇总统计数据该表显示了样本中汇率回报的基本统计数据。面板A显示了回报分布的各个分位数，包括最大值和最小值。面板B显示了一阶矩和二阶矩、标准偏差（σ）、标准偏斜度（uσ）和超额峰度（uσ- 3).表4.2总结了样本的返回统计数据。从表4.2可以看出，澳元和BRL的日波动率分别为0.87%和1.16%；样本中的最高波动率。这两种货币的极端回报率（最小值、最大值）也很高，而峰度则表明了显著的肥胖。

其他货币的回报分布具有可比性，以分位数和矩来衡量，欧元/美元是世界上最重要的货币对，波动性最低，尾部最短。4.4 HMM估计结果我们对波动性较高或较低的市场状态感兴趣。作为波动率的代理，我们使用每日回报平方RTA并估计两种波动率状态qt=1，2的HiddenMarkov模型。假设依赖于状态的发射分布为正态分布，如下所示：P（yt | qt=i）\'N（ui，σi）i=1，2（4.12），其中yt={rt}表示1≤ t型≤ THMM模型通过第4.2.2节中描述的最大似然法进行估计。然后在维特比算法中使用估计参数（见第4.2.2节），以识别最可能的隐藏状态序列。表4.3中报告了两种隐藏状态的估计HMM参数（转移矩阵aij、发射分布参数ui和σi）。估计参数旁边是标准误差，由估计的渐近协方差矩阵得出，该矩阵由有限差近似计算得出。从表4.3可以清楚地看出，州1的波动性水平远高于州2。“激发”态依赖于状态的平方回报分布的平均值在9.48[10]之间-5] 英镑至54.97[10-5] 对于BRL。“正态”状态分布的范围低于“激发”状态，介于0.89[10]之间-5] 英镑至2.74[10-5] 对于BRL。澳元和BRL的波动水平与集团、瑞士法郎、欧元、加元和英镑不同。在所有六种货币对中，巴西雷亚尔最为持久，最有可能长期保持不变（高波动或低波动），而澳元在低波动状态下的停留时间往往比其他所有货币都长。

就基础马尔可夫系列的动态而言，大多数货币在兴奋状态下的概率p（qt+1=1 | qt=1）介于0.318（澳元）至0.369（欧元）之间，但RL为0.452除外。对于所有货币，保持在“正常”状态的概率高于“兴奋”状态的概率。过渡矩阵排放分布^aij=p（qt+1=j | qt=i）Nuσ[10-5] N个uσ[10-5] 澳元0.318（0.024）0.683（0.024）0.146（0.008）0.855（0.008）！31.85（2.4）0.04（0.01）2.34（0.06）0.01（0.01）BRL0.452（0.023）0.549（0.023）0.142（0.008）0.859（0.008）！54.97（4.03）0.11（0.01）2.74（0.08）0.01（0.01）CHF0.368（0.018）0.633（0.018）0.374（0.013）0.627（0.013）！11.2（0.39）0.01（0.01）0.99（0.03）0.01（0.01）CAD0.341（0.021）0.66（0.021）0.21（0.01）0.791（0.01）！11.5（0.51）0.01（0.01）0.92（0.03）0.01（0.01）英镑0.362（0.02）0.639（0.02）0.272（0.012）0.729（0.012）！9.48（0.37）0.01（0.01）0.89（0.03）0.01（0.01）欧元0.369（0.018）0.632（0.018）0.364（0.013）0.637（0.013）！10.29（0.33）0.01（0.01）0.91（0.03）0.01（0.01）表4.3：隐马尔可夫模型估计Markovhidden状态的估计转移矩阵^aij=p（qt+1=j | qt=i）报告了从估计的渐近协方差矩阵得出的标准误差。在右栏中，报告了RTA的估计状态相关排放分布，括号中为standarderror，我们假设其为正态分布（Ni，statei=1，2）。所有参数估计值在99%置信水平上具有统计意义。通过基于动态规划方法的维特比算法确定与给定观测序列相关的最佳状态序列。图4.3中的上图显示了EUR时间序列的派生状态序列。图4.3中的下图描述了特定状态下的相关概率。该图允许“关注”各州的福利状况。

很明显，与其他时期相比，有些时期对国家的识别不太确定。为了简洁起见，我们省略了其他货币的诊断图。图4.4绘制了每日RTA和RTD分布的核密度估计图4.3：每日欧元/美元汇率的状态序列上图显示了每日欧元/美元汇率的维特比算法确定的最可能波动状态序列。低挥发性状态和高挥发性状态用{1，2}表示。下图显示了两种状态的平滑概率。欧元/美元。所有其他汇率的结果都非常相似，因此，此处不提供这些结果。图4.4显示了右图，在“兴奋”市场状态下，状态1中捕捉到了长尾巴，包括负尾巴和正尾巴。较小的正回报和负回报处于状态2，即“正常”市场状态。图4.4显示了两种挥发物的发射分布的小重叠和“激发”态的较小密度计数。在附录4.8中，所有货币的波动性状态序列以超时显示，高波动性状态以红色标记。2008年至2009年的金融危机可以清楚地确定为样本中所有货币对都处于波动期的时期。其他金融市场事件也显而易见。可以观察到2010年5月的崩盘、2007年8月金融危机的开始以及其他众所周知的动荡时期。

2006年8月至2007年5月是一个延长的平静期，样本中的所有货币对都只有很少的短期波动。图4.4：欧元/美元依赖于州的回报分布左图显示了依赖于州的平方回报分布。右图显示了回报分布。4.5隐藏状态之间的相关性在本节中，我们应用香农熵来衡量序列之间的相关性。我们使用第4.5.1节中的互信息来测量两个系列状态之间的相关性，并使用第4.5.2节中的传递熵来测量两个系列状态之间的信息流。我们首先分别分析每个状态序列的熵和信息含量。理解状态序列的熵，尤其是过程块的熵，是有帮助的，因为它们是计算互信息和传递熵的基本输入。他们还揭示了在当前事件状态下，过去包含了多少信息，可以用来预测未来的状态序列。在第2.3.3节中，我们引入了各种方法来确定一系列随机变量的信息含量，例如熵率h∞= 画→∞H（X | X-1.十、-（n+1）），它量化了过去预测未来观测所需的平均信息。