金融时间序列的熵分析

HMM模型的一个假设是，隐藏状态形成一个马尔可夫过程。虽然隐藏状态序列通常不是马尔可夫过程，但使用估计状态序列的熵度量来测试马尔可夫特性是很有趣的。Spreij（2001）证明了隐状态序列是马尔可夫过程的条件。由于马尔可夫链是不可约和非周期的，n个随机变量的分布趋于平稳分布，如n→ ∞. 在第2.3.3节中，我们推导了马尔可夫过程的平稳分布和相应的熵。给定估计的转移矩阵，我们可以计算马尔可夫过程的平稳分布。在表4.4的面板A中，列出了不同货币对的状态概率。对于所有货币，“激发”态π的相对频率都低于“正常”态π的相对频率。澳元和BRL的π最低，而欧元的π最高。AUD和BRL在样本中的剩余峰度最高，EUR的剩余峰度最低（见表4.2）。在我们的设置中，我们为具有正态分布的两个状态的平方回归系数规定了一个简单的模型。在尾较重的AUD和BRL的情况下，“激发”态的发射分布平均值更倾向于尾，捕捉到了更极端、更不频繁的波动性区域。马尔可夫过程的熵和熵率可以从平稳分布中推导出来（见第2.3.3节）。表4.4的面板B列出了马尔可夫过程H（X）的熵，给出了转移概率和assuminga平稳分布。^H（X）是通过维特比算法得出的状态序列测量的熵。对于所有货币，H（X）都大于^H（X）。

因此，估计的状态序列比平稳的马尔可夫序列更规则，熵更低。对此的一种可能解释是“小样本效应”，我们在第2章中提到了这一点。计算出的平稳分布是理论熵，它不支持经验熵的偏差。这两个图之间差异的另一种可能解释是，估计的状态序列实际上不是马尔可夫过程。上一节中估计的HMM状态序列被假定为马尔可夫过程。这意味着，考虑到现在，未来是独立于过去的。这种与过去历史的条件独立性超过一天，意味着序列的熵可以简化为H（Xn | Xn-1.十） =H（Xn | Xn-1). 在表4.4的面板C中，隐马尔可夫过程的熵率h∞, 假设平稳，则列出。估计熵率^h∞=^H（X | X-1） 略低于平稳分布熵率H（X）。这是意料之中的，因为对于我们只有有限样本的过程来说，平稳性是一个极限情况。此外，小样本偏差也是低估的一部分（Grassberger（2003））。在估计较长历史的熵时，也可以观察到这种小样本效应。最高关联利率AUD BRL CAD CHF EUR GBP面板A：平稳分布频率π0.177 0.206 0.241 0.372 0.366 0.299π0.824 0.795 0.76 0.629 0.635 0.702面板B：过程熵（X）0.6715 0.733 0.7964 0.9515 0.9471 0.8789^H（X）0.6363 0.7049 0.7613 0.9253 0.9198 0.8406面板C：熵率∞0.6526 0.6723 0.7846 0.9515 0.9471 0.8732^H（X | X）0.6199 0.6535 0.7517 0.9252 0.9197 0.8351表4.4：熵率H∞样本^H（X | X）in（bit）用于HMM过程的平稳分布。CHF为0.9515位，接近最大值1。

只有欧元具有类似的高熵率。这与观察结果有关，即对于两种货币对，平稳分布的权重更相等，因此状态不太可预测。4.5.1隐藏状态依赖在第2章中，我们引入了互信息I（X，Y）τ=H（Y）-H（Y | Xτ）作为两个随机变量X和Y之间相关性的度量。它通过观察Xτ来测量关于Y的信息的平均增益。我们在第2章中已经看到，I（X，Y）=I（Y，X），因此X提供了与X相同的Y信息量。从这个意义上讲，它不是方向度量。我们估计滞后τ=0，1，-1，分析波动率协动（τ=0）和波动率溢出（τ=±1）。格拉斯伯格（2003）对单位样本的估计有偏差。这些偏差与样本量有关，AUDT+τBRLt+τEURt+τGBPt+τCADt+τCHFt+τ面板A：τ=0AUDt16.611（1.442）44.18（1.512）43.649（1.523）63.445（1.537）32.566（1.532）BRLt6.082（1.484）4.979（1.502）10.154（1.506）1.785（1.555）EURt74.079（1.475 4）16.987（1.468）305.02（1.5）GBPt25.378（1.536）60.996（1.504）CADt12.19（1.475）CHFtPanel B：τ=-1AUDt4.578（1.447）3.805（1.526）5.673（1.517）5.118（1.542）0.437（1.526）BRLt0.035（1.526）1.663（1.509）2.589（1.512）0.001（1.548）EURt1.127（1.47）2.289（1.476）0.532（1.498）GBP T6.417（1.53）0.048（1.505）CADt0.162（1.509）CHFtPanel C：τ=+1AUDt3.947（1.568）0.839（1.529）7.525（1.517）7.305（1.521）1.027（1.526）BRLt0.136（1.512）0.664（1.509）3.872（1.489）0.191（1.526）EURt0.292（1.47）0.173（1.488）0.11（1.522）英镑T5.197（1.5）0.07（1.495）加元T0.552（1.509）瑞士法郎表4.5：波动状态协动和相互依赖此表显示了互信息^I（X，Y）τ的估计值[10-3] （以位为单位）用于具有不同时滞的隐藏状态序列。

波动率协动（τ=0）如图A所示，波动率状态相互依赖关系（τ=±1）如图B和C所示。误差估计值如括号所示。这些是通过生成其中一个系列的reshu-ed系列来生产的。99%分位数报告为q0.99（^I（Xsh，Y））[10-3]. 在面板A中，所有测量的互信息^I（X，Y）都是重要的。面板B和C中的重要测量值以粗体显示。状态空间的大小和底层进程的熵率。在这里，我们遵循第4章中的方法，通过计算相互信息来量化这种偏差，其中一个进程被重新创建，从而破坏其所有时间序列模式。通过充分重复该恢复过程，我们生成了一个互信息包含小样本噪声的样本。作为对噪声的估计，我们取reshu-free ed系列q0.95（^I（Xsh，Y））测得的相互信息的99%分位数，并将其报告在表中的括号中。表4.5中的面板A、B和C显示了不同滞后τ=0的结果，-1, +1.我们在第2.3节中看到，互信息衡量两个随机变量的独立性差异。在这个特定的设置中，对于二进制值序列，互信息是四项的总和，表示两个随机变量Xτ，Y中值的可能组合：I（X；Y）τ=-Pxτ，y∈{1,2}p（xτ，y）·logp（xτ，y）p（xτ）p（y）。^I（X，Y）τ>0的任何统计显著性测量都意味着，与这些变量是独立的相比，随机变量更经常处于同一状态、高波动性或低波动性，以及在特定时间（X情况下滞后于τ）。对于所有货币对，互信息在滞后τ=0时达到峰值，其中所有估计值都高于“噪声”的99%分位数。

观察到的最强关系是欧元和瑞士法郎之间的相互信息为305.02[10-3] 位。这大约是其他任何货币的五倍。下一个最强的联动关系是英镑和欧元之间的联动关系，为74.079[10-3] 位。英镑和瑞士法郎之间的联系，^I=60.996[10-3] bits完成了样本中欧洲货币的三角形强链接。在这个欧洲集团三角之外，另一个强大的联动关系是澳元和加元之间的联动关系为63.445[10-3] 测量的位。对于所有货币对，当τ6=0时，互信息急剧下降。这意味着在同一天，一个系列的波动率制度变化对另一个系列的波动率制度影响最大。面板B和C显示，在τ±1时，30对中只有13对在99%置信水平下具有统计意义的互信息。最强的双向leag lag连接为AUD-GBP、AUD-CAD、AUD-BRL、CAD-GBP，其次为CAD-BRL。薄弱环节包括澳元-欧元-1，BRL-GBP-1和EUR-CAD-1.4.5.2隐藏状态信息流互信息量化与X和Y的偏差是独立的，传递熵量化与X的偏差是由其自身的历史决定的（通过条件概率）。与互信息不同，传递熵→在第2章中介绍并在下文中定义的X（m，l）是非对称的，只考虑来自Y的统计相关性，而不考虑来自公共信号的统计相关性。泰→X（m，l）=H（X | X-1.十、-m）- H（X | X-1.十、-m、 Y型-1.Ym公司-l） 为了度量由HMM模型估计的波动状态的任何依赖性，估计了两个序列的隐藏状态序列之间的转移熵。

传递熵TY→X从Y到X是Y对X未来的不确定性小于X已经给出X未来解析信息的程度。在这种情况下，从Y到X的检测信息表明Y中过去的波动状态（达到规定长度l）包含信息，这使得X中第二天的波动状态更具可预测性。在当前情况下，我们将使用维特比算法确定的最可能的隐藏状态。我们使用两个字母的字母表示波动率状态，并使用方程（3.15）中的格拉斯伯格估计量^Hψ估计转移熵。为了计算估计误差，我们遵循Marschinski和Kantz（2002）（如第3章所述）的方法，通过自举方法估计平均值和标准误差，包括预测序列，破坏其所有时间序列模式。该过程重复足够多次，然后计算平均值u（^Tsh）和标准偏差σ。有效传递熵（ET）（详见第2章）是通过从估计的传递熵ETY中扣除shu-freing模拟的平均值而形成的→X（m，l）≡ 泰→X（m，l）-u（^Tsh）。对于ETY→X（m，l），m指的是预测中包含的X自身过去历史的数量，而l指的是预测X时使用的Y过去历史的数量。此外，如第3章所述，我们使用Marschinski和Kantz（2002）的A（添加了相对解释）度量来计算传递熵带来的相对信息增益。下面定义的REA将TE的信息增益表示为序列的熵：REA（m，l）=ETY→X（m，l）H（X | X-1.十、-（m） ）表4.6显示，通过有效传递熵ET测量的最大信息流是BRL和CAD之间的信息流，带有^ETBRL→CAD（4，4）=21.521[10-3]. 该信息流在REA方面也是最强的。

它将SREA=2.963[%]添加到CAD本身波动状态历史中已经包含的信息中。这与Marschinski和Kantz（2002年）报告的REA=1.32%相比，道琼斯指数对道琼斯指数的信息流基于2000年5月至2001年6月期间一分钟的日内回报率。与整个样本相比，BRL、CAD和AUD组成了三组货币，产生了最强的信息流。澳元和加元可以清楚地看到货币对之间的直接联系，这两种货币具有更高的相关性^ρ=0.623（表4.1），我们测量的相互信息^I（澳元，加元）τ=0=63.445（表4.5）。传输熵在BRL和CAD之间拾取大量信息流，BRL→ CAD比CAD更强大→ BRL带^ETCAD→BRL（4，4）=15.666[10-3]. 因此，虽然BRL和CAD的波动状态之间的相互作用较弱，但我们可以通过传递熵检测到一个强大的波动，指出RLL波动会影响CAD波动。欧洲强劲的信息流在瑞士法郎、欧元和英镑之间，其中包括^ETCHF→欧元（4，4）=19.038[10-3] 和^ETEUR→英镑（4，4）=15.889[10-3]. 稻谷（2006）研究了1999-2004年间英镑和欧元对波动溢出的影响。与我们的结果一致，作者发现支持欧元对英镑的单向波动溢出，欧元对英镑具有单边影响。在前一章中，我们研究了英镑和欧元每日和小时提取之间的关系。挥发性状态之间的转移熵^ETEUR→英镑（4，4）=15.889[10-3] 与第3章的结果相当。我们估计的每日收益率→英镑（2，4）=11.451[10-3] ，有两天英镑的历史记录。

这与Rebonato和Chen（2009）中的发现相对应，该发现指出了大额提款和激发波动状态之间的联系。Rebonato和Gaspari（2006）推测，美元利率市场中至少存在两种制度（“正常”和“兴奋”）。根据这一观点，Rebonatoand Chen（2009）使用隐马尔可夫模型计算利率。作者指出，大的吸引主要来自激发态，特别是如果吸引是短的。激发态表现出正的自相关（连续爆发），在“正常”和“安静”状态下，返回具有负的自相关，在正常状态下反转的比例很高。