SINH加速度：概率分布的有效评估，

卖出价格由相同的积分给出，但带有ω∈ （0，u+）和受保看涨期权的价格用相同的整数表示，但用ω表示∈ (-1, 0).对于调用，我们使用与上面相同的方案，将u+替换为-1，对于put，u-替换为0，对于覆盖呼叫，我们使用u-= -1, u+= 0. 如果x′=0，我们使用sinh加速度13γ-< 0<γ+从定义sinh正则过程到定义ω=（γ++γ-)/2和使用圆锥Cγ-,γ+得出选择ζ和N的建议；如果x′>0，则替换γ-使变形轮廓的翼向上，因子eix′ξ衰减为ξ→ ∞ 在圆锥C0中，γ+用于推导选择ζ和N的建议，并设置ω=γ+/2；如果x′<0，我们将γ+替换为0，使变形轮廓点d的机翼向下，因子eix′ξ衰减为ξ→ ∞ 在圆锥Cγ中-,0用于导出选择ζ和N的建议f，并设置ω=γ-/注意，在所有情况下，A（ω）：=-x′sinω≥ 0，B（ω）=τRe c∞(ω) > 0.截断误差的界为（3.5）Errtr（∧）≤eτCπZ+∞∧e（x′sinω）ρ-τRe c∞(ω)ρνρ-2dρ。我们可以使用更严格的界限（3.6）Errtr（∧）≤eτCπ∧e（x′sinω）∧-τRe c∞(ω)Λν.给定误差容限>0，我们得到∧的方程：（3.7）F（λ）：=A（ω）λ+B（ω）∧ν+ln∧- C=0，其中C=τC-ln（π）。由于不需要达到高精度，该方程可以轻松快速地求解。3.3. 赫斯顿模型中的欧洲看跌期权和看涨期权定价。考虑到赫斯顿模型[19]，股票（或汇率）St的无风险和股息率r和δ为常数。为了更具体，我们假设，在选择用于定价的EMM Q下，股票波动率遵循随机微分方程（SDE）系统dStSt=（r- δ） dt公司+√vtd^W1，t，（3.8）dvt=κ（m- vt）dt+σ√vtdW2，t，（3.9），其中^W1，t，W2是二维布朗运动的分量，具有单位方差和相关系数ρ。

从[19]开始，赫斯顿模型中的欧式期权价格是使用傅立叶变换技术计算的（这是首次在金融中使用这种标准技术）。有关定价公式不同实现的概述，请参见【28】；我们使用[28]中导出的实现。设Vput（T，K；T，St，vt）和Vcall（T，K；T，St，vt）为行使K和到期日T，时间T<T的St上的期权和看涨期权。定理3.1（【28】）。设τ=T- t是到期时间，让λ-(τ) < -1<0<λ+（τ）为实数，使得等式[Sλ±（τ）T | St，vt]<∞. 那么，对于任何ω∈ （0，λ+（τ）），（3.10）Vput（T，K；T，St，vt）=-Ke公司-rτ2πZImξ=ωeiξzt+（vtB（τ，ξ）+C（τ，ξ））/σξ（ξ+i）dξ，和f或任何ω∈ (λ-(τ), -1） ，（3.11）Vcall（T，K；T，St，vt）=-Ke公司-rτ2πZImξ=ωeiξzt+（vtB（τ，ξ）+C（τ，ξ））/σξ（ξ+i）dξ，14 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKIIwhere zt=log（St/K）- （ρ/σ）vt+uτ，u=r- δ - κmρ/σ，B（τ，ξ）=（κ- R（ξ））1- D（ξ）e-τR（ξ）1- D（ξ）e-τR（ξ）（3.12）C（τ，ξ）=κm（κ- R（ξ））τ- 2 ln1- D（ξ）e-τR（ξ）1- D（ξ）！，（3.13）R（ξ）=qκ+（σ- 2ρκ）iξ+σ（1- ρ） ξ（3.14）D（ξ）=ρσiξ- κ+R（ξ）ρσiξ- κ - R（ξ）（3.15）D（ξ）=D（ξ）κ+R（ξ）κ- R（ξ）（3.16）备注3.1。a） 设{Imξ∈ (λ-（τ） ，λ+（τ））}是特征函数的最大解析条。引入一个二次多项式P（β）=κ-(σ-2ρκ)β -σ(1 -ρ） β和d烯醇化物乘以λ-< 0<λ+其值。文献〔28〕证明λ-(τ) ≤ λ-和λ+≤ λ+（τ），以及λ的计算程序-（τ） 推导了λ+（τ）。如【28】中的数值示例所示，通常λ-和λ+非常接近λ-（τ） 和λ+（τ），因此，使用相当复杂的程序计算λ没有明显的优势-（τ） 和λ+（τ）。

在本文的数值过程中，我们使用λ-和λ+。b） 正如在[35]中所证明的，（条件）特征函数允许对复杂平面进行解析延拓，其切割i(-∞, λ-（τ） ]和i[λ+（τ）+∞), 因此，到复杂的p车道和CUT ts i(-∞, λ-] 和i[λ++∞).选择解析性条带S（λ-,-1） ，S(-1,0）或S（0，λ+），并将积分线移动到条带中；当被积函数的一个极点（或两个极点）相交时，使用留数定理。除非条带太窄或太宽（见备注2.4），否则如果zt>0，应在上半平面中选择曲线，如果zt<0，应在下半平面中选择曲线。否则，选择截断参数的普遍建议变得不准确：必须添加变形轮廓部分的长度，该部分位于“不正确”的半平面中，其中系数eiztξ的绝对值较大。让S（u-,u+）为所选条带。

从R emark 3.1可以看出，价格的条件分布为ν=1阶的sinh正则型（（u-, u+); C-π/2，π/2，C-γ-,γ+，其中γ±定义为ν=1阶椭圆L'evy过程，x′=ztandc∞（Д）=σlimρ→+∞ρ-1（vtB（τ，ρeiД）+C（τ，eiД））。SINH-加速度15至终点c∞（Д），我们计算R（ξ）、D（ξ）、B（τ，ξ）和C（τ，ξ）的渐近性为ξ→ ∞保持在右半p车道：R（ξ）=σ（1- ρ)1/2ξ1 +σ- 2ρκσ(1 - ρ） iξ-1+O（ξ-2)1/2(3.17)= σ(1 - ρ） 1/2ξ+iσ- 2ρκ2σ(1 - ρ） +O（ξ-1)1 - D（ξ）=-2R（ξ）ρσiξ- κ - R（ξ）=-2ρσiξ/R（ξ）- 1+O（ξ-1)(3.18)=1 - iρ/（1）- ρ） 1/2+O（ξ-1） vtB（τ，ξ）+C（τ，ξ）=（vt+κmτ）（κ- R（ξ））+2κm ln（1- D（ξ））+O（ξ）-1)(3.19)= -（vt+κmτ）σ(1 - ρ)1/2ξ - κ+iσ- 2ρκ2σ(1 - ρ)1/2+2κm ln（1- D（ξ））+O（ξ）-1） e2κm ln（1-D（ξ）=1.- iρ/（1）- ρ)1/22κm.（3.20）如下，作为ξ→ ∞ 在右半平面中，（3.11）的RHS上的被积函数具有以下渐近性：（3.21）C∞eiztξ-c∞（0）ξξ（1+O）（ξ-1） ），其中c∞=Ke公司-rτ2πiρ/（1）- ρ)1/2- 1.2κm（3.22）·exp（vt+κmτ）κ - iσ- 2ρκ2σ(1 - ρ)1/2,c∞（0）=（vt+κmτ）σ（1- ρ)1/2.（3.23）注意（3.24）| C∞| =Ke公司-rτ2πe（vt+κmτ）κ4(1 - ρ)κm.SetД=-arctan（zt/c∞（0）），和（i）γ-= -π/2 - ν，γ+=π/2，如果zt>0（因此，Д<0），（ii）γ-= -π/2, γ+= π/2 - 如果zt<0（因此，Д>0）。因此，γ-∈ [-π/2, 0), γ+∈ （0，π/2）。我们用（2.13）定义ω和dby，然后ω+d=γ+，ω-d=γ-. 接下来，我们必须确保虚轴与S的图像的交点(-d、 d）在χω、ω下；bis i（u）的子集-, u+，相当于ω+ba+≤ u+, ω- 文学士-≥ u-,其中a-= -sinγ-, a+=sinγ+。因此，我们定义ω和bby（2.14）。

我们选择d<d，b<b分别与d，b接近，例如，d=0.95d，b=0.95d，对于给定的误差容限，设置ζ=2πd/（ln（H（f，d）/）~ 2πd/E，其中E=ln（1/）。16 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKI其截断误差的近似界为（3.25）Errtr（∧）≤ 2 | C∞|e-（ztsinω+c∞（0）cosω∧/λ。假设>0，我们找到了方程（3.26）解的现代精确近似值（ztsinω+c∞（0）cosω）∧+ln∧- ln（| C∞|/）=0，然后计算∧=ln（2∧/b），N=ceil（λ/ζ）。3.4. 方案的复杂性。As↓ 0, Λ ~ ln E，其中E=E（）=ln（1/），和ζ~ E/（2πd），其中d<（γ+- γ-)/2已固定。因此，该方案的复杂性为A（d）E lne的数量级，其中，如果选择的d充分接近（γ），则A（d）=1/（2πd）<2/π+- γ-)/2 > π/4.3.5. 数值结果。在A.2节表3-8中，我们得出了欧洲put-intheheston模型的结果，并将sinh加速度的性能与变量的分数随机变化进行了比较。我们调整建议的ζ和∧=Nζ，将ζ除以kζ，并将∧乘以k∧。我们显示了ζ、N以及、kζ和k∧的每种选择的结果误差。误差（四舍五入）根据基准价格（四舍五入）计算。后者是使用数值格式的多组参数获得的；结果低于E-13。在表9中，我们比较了sinh accelerationmethod与Lewis-Lipton和Carr-Madan实现的FL-iFT方法的性能。在所有情况下，标准规定（ζ=0.125，N=4096）意味着可忽略的截断误差，因此，所示的不可忽略误差本质上是离散化误差。CIR模型中的债券期权4.1。特征函数。

在CIR模型中，状态空间为R+，短速率的动力学由（4.1）drt=κ（θ）给出- r） dt+σ√rtdWt，其中κ、θ、σ>0，dwt是标准维纳过程的增量。对于t<t和r>0，特征函数w（t，t；r，ξ）=EQ，rt经验值-ZTtrsds公司eiξrT, ξ ∈ R、 其形式为（4.2）W（t，t；R，ξ）=exp[B（τ，ξ）R+C（τ，ξ）]，其中τ=t-t、 B，C可以通过求解与模型相关的Riccati方程组找到。下面，我们以便于应用正弦加速度法的形式再现了众所周知的解：B（τ，ξ）=B+B-+ iξB+，n（τ）B++（τ）- iξ，（4.3）C（τ，ξ）=κθB-τ+σlnB+- B-1.- e-τ√κ+2σ-σln（B++（τ）- iξ）,（4.4）SINH-加速度17，其中B±=（κ±√κ+2σ）/σ，B+，n（τ）=B+e-τ√κ+2σ- B-1.- e-τ√κ+2σ，（4.5）B++（τ）=B+- B-e-τ√κ+2σ1 - e-τ√κ+2σ.（4.6）引理4.1。a） 特征函数在C\\i中是解析函数(-∞, -B++（τ）]。b） Asξ→ ∞ 仍在C\\i中(-∞, -B++（τ）]，（4.7）eB（τ，ξ）r+C（τ，ξ）~ C∞（τ，r）|ξ|-2κθ/σ，其中（4.8）C∞（τ，r）=B类+- B-1.- e-τ√κ+2σ2κθ/σexp“rB+- B-eτ√κ+2σ1 - eτ√κ+2σ+κθB-τ#.证据a） 从（4.3）和（4.4）可以看出，B（τ，ξ）在C中是亚纯的，在方程iξ的根上只有一个简单的lepole- B-- （iξ）- B+eτ√κ+2σ= 0.根是-B++（τ）和C（τ，ξ）在C i中是解析的(-∞, B++（τ）]。b） Asξ→ ∞, Λ(ξ) → 因此，（4.7）-（4.8）遵循（4.3）和（4.8）。4.2. 债券价格。我们在特征函数p（T，r）=exp[B（T，0）r+C（T，0）]的公式中设ξ=0。自∧（0）=B+/B-, 我们有B（T，0）=B+- B-（B+/B-)eT公司√κ+2σ1 - （B+/B-)eT公司√κ+2σ=B-eT公司√κ+2σ- 1台√κ+2σ- B-/B+=B-1.- e-T√κ+2σ1 - （B）-/B++e-T√κ+2σ，C（T，0）=κθ“B-T+2σ-2ln1- B-/B+1- （B）-/B++e-T√κ+2σ#.4.3. 看涨期权和看跌期权。现在考虑到期日为τ且strikeK<eC（T，0）的催缴期权，到期日为T+τ的债券。设置zT，K=（C（T，0）- lnk）/B（T，0）。

由于b（T，0）<0，期权支付的傅里叶变换形式G（ξ）=ZRe-irξ（eB（T，0）r+C（T，0）- K） +dr=KB（T，0）eizT，Kξξ（ξ+iB（T，0）），在半平面{Imξ>-B（T，0）}，并允许在0和-iB（T，0）。rτr adm的特征函数exp[B（τ，ξ）r+C（τ，ξ）]及其对复平面的解析延拓(-∞, -B++（τ）]，衰变为|ξ|-2κθ/σasξ→ ∞ 在具有切口的复杂平面中。18 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKIIHence，债券认购期权的价格可以计算为（4.9）Vcall（τ，r）=KB（T，0）2πZImξ=ωeizT，Kξ+B（τ，ξ）r+C（τ，ξ）ξ（ξ+iB（T，0））dξ，其中ω>-B（T，0）是任意的。被积函数在C\\i中是m-纯的(-∞, -B++（τ）]，在0和-iB（T，0），所以，我们有3条解析性S(-B++，0），S（0，-B（T，0））和S(-B（T，0）+∞ )被积函数的。我们可以将集成线移动到任意条带中。在交一极或二极时，我们应用留数定理。当两极交叉时，我们得到看跌期权的价格。因此，（4.10）Vcall（τ，r）=Vput（τ，r）+ezT，KB（T，0）P（T+τ，r）- KP（τ，r），可用于再次检查计算精度。事实上，如果直接计算Vcall（τ，r）和vPut（τ，r），并且没有交叉极点，那么两个完全不同的和之间的随机一致性，例如，E-12阶的差异，具有可忽略的可能性，除非两个结果的误差具有相同的量级。让S（u-,u+）为所选条带。根据一般方案，sinh加速度参数的选择取决于zT，K的符号。如果zT，K=0，我们可以用γ应用sinhacceleration-= -π/2, γ+= π/2; 如果zT，K>0，γ-= 0, γ+= π/2; 如果zT，K<0，则为γ-= -π/2, γ+= 0.

如果zT，K≥ 0，那么，对于任何r≥ 0，exp[B（T，0）r+C（T，0）]≤ K、 因此，看涨期权的价格为0，无需应用数值方法来弥补这一零。然而，为了测试该方法的准确性，我们也将我们的一般建议应用于这种情况，并且在数值示例中，验证了数值计算的看涨期权价格与用于选择s模式参数的误差容差的顺序。我们定义ω和dby（2.13），以及ω和bby（2.14）。我们分别选择d<d，b<b接近d，b，例如，d=0.95d，b=0.95d。然后，在变量（1.2）变化后，定价公式中的被积函数表示为f（y），允许对str-ipS进行解析延拓(-d、 d）和d的速度与y一样快→ ∞ 保持s行程。Hardy范数（2.16）是有限的，可以很好地近似于（2.18）。为了满足s小误差公差>0，我们选择ζ=2πd/（ln（H（f，d）/）~ 2πd/E，其中E=ln（1/）。简化梯形规则的截断误差可以用积分的截断误差（2.20）来近似。如果zT，K=0，则被积函数的衰减率为sm allest。在这种情况下，被积函数衰减(-B（T，0））C∞（τ，r）2π|ξ|-2.-2κθ/σ（见（4.7）-（4.8）），因此，给定误差容限，我们可以从k中找到∧=be∧/2(-B（T，0））C∞（τ，r）πZ∧y-2.-2κθ/σdy=，表示∧=-1/（1+2κθ/σ），其中=（1+2κθ/σ）/（K(-B（T，0））C∞（τ，r））。因此，∧=ln（2/b）+（1+2κθ/σ）-1ln（1/），N=ceil（λ/ζ）。SINH-加速度19如果zT，K6=0，则|ω|=π/4，以及Re（izT，Kξ）~ -c∞（T，K）|ξ|沿轮廓ξ=χω，ω，b（R），其中c∞（T，K）=zT，Ksinω|。

因此，我们需要找到∧=满足∧/2(-B（T，0））C∞（τ，r）πZ∧e-c∞（T，K）yy-2.-2κθ/σdy≤ .我们解一个更强的方程-c∞（T，K）∧∧∧-1.-2κθ/σ=，等价地，F（λ）：=c∞（T，K）∧+（1+2κθ/σ）ln∧-ln（1/）=0，如下所示：∧=（1/c∞（T，K））ln（1/），λ：=λ-1+2κθ/σc∞（T，K）ln∧。最后，我们计算∧=ln（2∧/b），N=ceil（λ/ζ）。备注4.1。（1） 如果zT，K6=0（且绝对值不太小），则衰减率本质上是，就像ν阶常规SINH模型中的看涨期权一样∈ （0，1）和非零x′。然而，如果zT、Kis为零或接近零，则满足给定误差容限所需的术语数量可能会更大，如果不使用正弦加速度，则会非常大。即使分数抛物线变形也需要10倍以上的项（对于某些参数，甚至更多）才能达到相同的精度。（2） 从形式上讲，一个人应该使用最宽的条纹(-B（T，0）+∞ )并选择任意大ω>-B（T，0）。然而，如果ω较大，则选择ζ，尤其是∧的简化一般建议可能变得过于不准确。实际上，如果zT，K<0，那么曲线的宽度Lω，ω；b： =χω，ω；b（R）点向下，我们可以截断有限梯形规则中的和，其中被积函数变得非常小。然而，如果ω>0不小，则大量的点ξj=χω，ω；b（yj）=简化梯形规则中使用的iω+b sinh（iω+yj）在上半平面中，但简化建议隐含地假设所有点都在下半平面中。因此，如果ω>0且zT，K<0，我们需要修改上述公式，添加∧曲线Lω，ω交点的半长∧；B上半平面。为了找到∧，我们求解等式ω+b Im sinh（iω+y）=0，等效为ey- e-y+2ω/（b sinω）=0。因此，∧=-ω/（b sinω）+p（ω/b sinω）+1），且∧=ln（2∧/b）+∧，N=ceil（λ/ζ）。这会增加术语的数量。

因此，建议选择ω∈ (-B++，0），除非B++非常小。4.4. 数值示例。A.3节中的表10表明，sinh加速度明显快于fr作用抛物线法（项数减少10-30倍，Matlab实现中的CPU时间减少约5倍）；仅当术语数量为10个数量级且CPU时间大于100倍时，FLAT iFT才能满足1000万倍的误差容限。20 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKII5。从属关系我们考虑以下示例。设y为平方根过程，动力学（5.1）dyt=κ（θ- yt）dt+λ√ytdWt，其中κ>0，λ>0，θ>0，dwt是标准维纳过程的增量。一个以yh为条件的公共子系统Yt=Rtysds具有特征函数ΦCIR（t，y；η）：=EheiξYt | y=yi=exp（κθt/λ）exp（2yiη/（κ+u（η）coth（u（η）t/2））[cosh（u（η）t/2）+κsinh（u（η）t/2）/u（η）]2κθ/λ，（5.2）其中u（η）=p- 2λiη。Yt | Y=yis（5.3）p（Y；τ）=2πZRe的pdf-iτηΦCIR（t，y；η）dη。由于τ>0，且ΦCIR（t，y；η）在解析域上一致有界，我们必须在下半平面Imη<0；u在复平面上用cuti进行解析(-∞, -κ/（2λ）]，simp试验选择为γ-= -π/2, γ+= 0, ω = -π/4，d=π/4。引理5.1。a） 对于η∈ C\\i(-∞, -κ/（2λ）]，Re u（η）>0。b） 功能性R η 7→ ΦCIR（t，y；η）∈ C允许解析延拓到C\\i(-∞, -κ/(2λ)].证据a） 是显而易见的。b） 我们设置γ=2λθ/λ，w=w（η）=e-u（η）t/2，并将（5.2）RHS上的分母重写为[cosh（u（η）t/2）+κsinh（u（η）t/2）/u（η）]2κθ/λ（5.4）=eγu（η）t/2（2u（η））γ（1+w）γu（η）+κ1- w1+wγ.由于Re u（η）>0，w：=w（η）=e-u（η）t/2延伸至机组开口圆盘D，因此，RHS上的分数（5.4）和系数（1+w）γ是关于(-∞, -κ/(2λ)].