SINH加速度：概率分布的有效评估，

示例和一些概括。（1） 基本上，定量金融中使用的所有L'evy过程都是椭圆正弦正则L'evy过程：布朗运动（BM）、默顿模型[40]、NIG（正态逆高斯模型）[2]、双曲线过程[14]、双指数跳跃扩散模型[33、34、22、23、24]，其推广：超指数跳跃扩散模型，在[26、33]中介绍，并在[26、27]中详细研究，β类的主要过程[25]；广义koponen族及其子类KoBoL[10]。KoBoL的一个子类（称为6 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKIICGMY模型-见[11]）由特征指数（2.6）ψ（ξ）=-iuξ+cΓ(-ν)[λν+- （λ++Ⅰξ）ν+(-λ-)ν-(-λ-- iξ）ν]，其中ν∈ （0，2），ν6=1（在ν=1的情况下，分析表达式不同：见[9，10]）。因此，KoBoL是SINH正则的（（λ-, λ+); C、 C+）和顺序ν，其中C=C-γ,γ,γ ≥ π/2，C+=C-γ′，γ′，其中γ′=π/（2ν）（γ′>π/2的含义见下文（3））。BM、DEJD和HEJD的阶数为ν=2，NIG的阶数为ν=1。文[3]中构造的NTS过程的特征指数由（2.7）ψ（ξ）=-iuξ+δ[（α+（ξ+iβ））ν/2- (α- β） ν/2]，其中ν∈ (0, 2), δ > 0, |β| < α. 这是一个（（α+β，α- β); C、 ν级的C+，其中C和C+与同一级的KoBoL相同。（2） 为了考虑方差伽马过程（VG）[37]，定义2.1-2.2必须泛化，以替换函数ρ7→ ρν具有严格递增函数w:R+→ R+满足w(+∞) = +∞. 我们说：X是（S，C，C+，w）型的（椭圆）SINH正则L'evy过程。对于方差Gamma过程，w（ρ）=ln（1+ρ）。（3） 对于KoBoL、VG和NTS，ψ允许解析延拓到适当的黎曼曲面R，而C可以定义为R的适当子集。

在形式上，在（1）中，γ>π/2是允许的，因为理解到C-γ、 γ位于R的不同表上。参见[7，6，32]，其中C的优点+ R用于提高s速度。当SINH加速度用于计算维纳-霍普夫系数时，同样的扩展非常有用，而对于欧式期权定价则不太有用。（4） 渐近系数c∞（argξ）是（i）如果X是BM，DEJD和HEJD，c∞（Д）=（σ/2）ei2Д，因此，C+=C-π/4,π/4;（ii）如果X由（2.6）给出，则∈ [-π/（2ν），π/（2ν）]，（2.8）c∞(φ) = -2cΓ(-ν） cos（πν/2）eiν，因此，C+=C-π/(2ν),π/(2ν);（iii）如果X由（2.7）给出，则∈ [-π/（2ν），π/（2ν）]，（2.9）c∞（iν）=δeiν，因此，C+=C-π/(2ν),π/(2ν).（5） 在[9]中，我们构造了更一般的L'evy过程类，其特征指数的形式为（2.10）ψ（ξ）=-iuξ+c+Γ(-ν+)[λν++- （λ++Ⅰξ）ν+]+c-Γ(-ν-)[(-λ-)ν-- (-λ-- iξ）ν-],其中c±≥ 0，c++c-> 0, λ-< 0 < λ+, ν±∈ （0，2），ν±6=1，修改为ν+=1和/或ν-= 对于这些过程，更涉及分析性和边界域。特别是，一般来说，圆锥曲线与r eal轴不对称。（6） 在上述示例中，Reψ（ξ）→ +∞ asξ→ ∞ 在围绕实轴的圆锥中，由于L'evy密度的特殊形式，因此，特征函数。

如果ψ（ξ）包含Ceicξ形式的项，其中c∈ R、 那么（i）如果c<0，那么Reψ（ξ）不是半有界的（从下面看），因为ξ→ ∞ 在上半平面的任何圆锥C中；（ii）如果c>0，则Reψ（ξ）不是半有界的（从下面看），如ξ→ ∞ 在下半平面的任何圆锥上。SINH-ACCELERATION 7最简单的例子是带有嵌入跳跃的BM，L'evy密度为1[-a、 b）]。如果a<0<b，则Reψ（ξ）不半群为ξ→ ∞ 在任何圆锥C.（7）中，如果X是仅嵌入n个负跳跃的BM，跳跃密度在整数处呈指数衰减，则X是一个2阶且类型为（0+∞); C、 C0，π/4），其中C是上半平面。如果X是仅嵌入正跳跃的BM运动，则X是2阶和2型的椭圆SINH正则过程((-∞, 0); C、 C类-π/4,0），其中C是下半平面。（8） 在E x示例（7）中，可以添加一个正（尤其是负）跳跃分量，如KoBoLor指数跳跃微分。也可以用（（u）型单侧SINH调节过程代替BM-, u+，C，C+，其中u-< 0<u+和C+，C是绕实际轴的圆锥。在这两种情况下，产生的过程X的类型将通过比嵌入单侧跳线组件的BM更小的分析性域来表征。（9） a ffne随机波动率模型和a ffne和quad raticinterest利率模型中的条件分布是sinh正则的。2.3. 概率分布的计算。Xtequals（2.11）pt（x）=2πZRe的pdf-ix′ξ-tψ（ξ）dξ，其中x′=x- ut.表示g（ξ）=e-tψ（ξ）。如果被积函数f（y）=e，变量（1.2）的变化可以是公正的-ix′χω，ω；b（y）g（χω，ω；b（y））χ′ω，ω；b（y）允许对astrip S进行解析延拓(-d、 d）={y∈ C | Im y∈ (-d、 d）}围绕实线，快速衰减→ ∞ 保留在条带中。

更详细地说，柯西积分定理允许我们将积分线{Imξ=ω}变形为轮廓Lω，ω；b： =χω，ω；b（R）。在ω上的积分中，ω；b、 我们改变变量（1.2）。sinh加速度参数的选择取决于过程的类型、阶数和x′。可以方便地分别考虑以下情况：（1）C+=Cγ-,γ+，wher eγ-< 0 < γ+, ν ∈ （1，2）或ν∈ （0，1）和x′=0:asξ→ ∞, 的渐近导项-ix′ξ-tψ（ξ）与- 因此，可以选择sinh加速度的参数，而不考虑x′。整合线可能保持弯曲，也可能向上或向下变形。用于推导误差界的解析性圆锥可以围绕实轴（参见图1中的上面板进行说明），这使得人们可以使用比其他情况下更大尺寸的网格。自然地，如果ν>1接近1和/或x′在绝对值中较大，则考虑x′的符号更安全，并像ν那样变形轮廓∈ (0, 1).（2） C+=Cγ-,γ+，其中γ-= 0 < γ+, ν ∈ （0，1），x′<0。Asξ→ ∞, 的同义词的前导项-ix′ξ-tψ（ξ）与-因此，用于推导误差界的变形轮廓线和解析性圆锥必须在上半平面内，即使γ-< 0（请参见图1中的下面板以获取图示）。（3） C+=Cγ-,γ+，其中γ-< 0 = γ+, ν ∈ （0，1），x′>0。Asξ→ ∞, 的同义词的前导项-ix′ξ-tψ（ξ）与-因此，即使γ+>0.8 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKI I-5 0 5-505-5 0 5-505图1。实线：解析域的边界(-1,1）+C-π/4，π/4inξ-坐标。

点：点ξj=χω，ω；b（yj）=在simpli fiedTrapezoid规则中使用的iω+b sinh（iω+yj）。点划线：图像的边界χω，ω；b（S）(-d、 分析带S的(-d、 d）。上面板：ω=ω=0，d=π/4，b=1/sin（π/4）。下面板：ω=-1，ω=d=π/8，b=2/sin（π/8）。对于下面板中表示的计算，只有较小的域S(-1,1）+C0，π/4物质。（4） C+=Cγ-,γ+，w此处γ-< 0<γ+，ν=1，x′6=0。最好使轮廓变形，但用于推导误差界的解析性圆锥可以围绕实轴。（5） C+=Cγ-,γ+，其中γ-= 0<γ+或γ-< 0=γ+，ν=1。用于推导误差界的变形轮廓线和解析性圆锥必须在下半平面内，即使γ+>0，也必须在下半平面内，即使γ-< 在下一小节中，我们假设C+=Cγ-,γ+，其中γ-< 0 < γ+. 读者可以简单地修改以下γ情况的结构-= 0<γ+和γ-< 0 = γ+.2.3.1. 案例ν∈ （1，2）和情况ν∈ （0，1），x′=0。在这些情况下，对于任何γ-,′∈(γ-, 0), γ+,′∈ （0，γ+），存在c>0，使得（2.12）Re c∞(φ) ≥ c、 γ-,′≤ φ ≤ γ+,′.首先，我们选择ω∈ R和d>0，所以ω+d≤ γ+, ω - d≥ γ-. 由于dis是y坐标中解析性s行程的半宽度的上界，我们希望选择dSINH加速度9a尽可能大。因此，我们设置（2.13）ω=（γ++γ-)/2，d=（γ+- γ-)/2.那么ω+d=γ+，ω- d=γ-. 接下来，我们必须确保图像轴和S的图像的交点(-d、 d）在χω、ω下；bis（u）的子集-, u+，相当于ω+ba+≤ u+, ω-bu-≥ 一-, 其中a-= sin（最小{π/2，-γ-}), a+=sin（min{π/2，γ+}）。

Wede FINE（2.14）ω=u+a-+ u-a+a++a-, b=u+- u-a++a-.如果γ-= -γ+（KoBoL和NTS的情况，NIG的推广），（2.14）简化（2.15）ω=u++u-, b=u+- u-2 sin（最小{π/2，γ+}）。在（1.2）中，我们选择d<d，b<b分别与d，b接近，例如，d=0.95d，b=0.95d。然后积分f（y）=（1/2π）exp[-ix′χω，ω；b（y）- tψ（χω，ω；b（y））]χ′ω，ω；b（y）允许对条带S进行解析延拓(-d、 d）={y∈ C | Im y∈ (-d、 d）}围绕实线，衰减速度与y相当快→ ∞ 保留在狭长地带，因此atlimA→±∞Zd公司-d | f（ia+A）| da=0，哈代范数（2.16）H（f，d）=利马↓-dZR | f（ia+y）| dy+利马↑dZR | f（ia+y）|动态定义。固定ζ>0并构建网格{yj=jζ，j∈ Z} 。有限梯形规则内的离散化误差（2.17）pt（x）=ζXj∈Zf（yj）通过H（f，d）exp允许上界[-2πd/ζ]/（1-经验值[-（参见[42]中的定理3.2.1和[28]中的附录ix以获得简单证明）。在某些情况下，被积函数的Hardy范数作为最大分析性条带上的函数是有限的。在这种情况下，为了使用离散化误差的通用界，必须将该界应用于分析性误差带上的函数；这解释了我们的选择d<和b<b。可以相对容易地推导出H（f，d）的相当准确的近似界，但是，就像分数抛物线变形的情况一样[28，30]，如果初始解析性条带不是很窄，并且通常会导致过度杀灭，则以下粗略近似很好地工作：（2.18）H（f，d）=C（| f(-id）|+| f（id）|），其中C=10。为了满足较小的误差容限>0，我们选择ζ=2πd/（ln（H（f，d）/）~2πd/E，其中E=ln（1/）。N的选择，即简化梯形10的项数SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKIIrule，相当于截断参数∧=Nζ，更为复杂。

简化梯形规则的运行误差（2.19）pt（x）=ζx | j|≤Nf（yj）可通过积分（2.20）的截断误差Errtr=2Z来近似+∞∧| f（y）| dy。如果∧较大，则在∧上+∞), 我们可以使用近似值χω，ω；b（y）~ （b／2）eyeiω，χ′ω，ω；b（y）~ （b/2）eyeiω，导出近似上界z+∞∧| f（y）| dy≤πZ+∞∧eRe(-ix′eiωρ-tψ（ρeiД）dρ，其中∧=（b/2）e∧。界限可以简化为（2.21）Errtr（∧）≤etCπZ+∞∧e（x′sinω）ρ-t Re c∞（ω） ρνdρ，其中C=CΓ(-ν)[λν++ (-λ-)ν] 对于KoBoL，C=δ（α-β） ν/2对于TS过程。I f c∞（ω） =c∞（0）eiωνas在KoBoL和NTS的情况下，那么（2.21）可以写成（2.22）Errtr（∧）≤etCπZ+∞∧e（x′sinω）ρ-tc公司∞（0）cos（ων）ρνdρ。考虑到误差容限>0，可以很容易地找到∧满足Errtr（λ）<的近似值（见[7，28，30]），然后确定（2.23）∧=ln（2∧/b），n=ceil（λ/ζ）。2.4. 案例ν∈ （0，1），x′<0。自从-ix′ξ- tψ（ξ）~ -ix′ξasξ→ ∞, 我们使用与上述相同的结构替换γ-γ+和γ-= 0和γ+=最小值{γ+，π}。2.5. 案例ν∈ （0，1），x′>0。我们使用与ab ove替换γ相同的结构-γ+和γ-= 最大{γ-, -π} γ+=0.2.6。情况ν=1，x′6=0。为简单起见，请考虑案例c∞（Д）=c∞（0）ei^1，其中c∞（0）>0与Д无关。Asρ→ +∞,-ix′ρeiИ- tψ（ρeiД）=(-ix′- tc公司∞（0））eiД=-p（x′）+（tc∞（0））ei（Д+Д），其中Д=arctan（x′/（tc∞)). 因此，我们使用与（i）γ相同的构造-= -π/2 - ν，γ+=π/2，如果x′<0（因此，Д<0）；（二）γ-= -π/2, γ+= π/2 - 如果x′>0（因此，Д>0）。SINH-ACCELERATION 11截断误差（2.21）的界限可以明确表示为（2.24）Errtr（∧）≤etCπ（x′sinω+tc∞cosω）e-(-x′sinω+tc∞（0）cosω∧。如果>0，我们发现（2.25）∧=ln（1/）+tC- ln（π(-x′sinω+tc∞cosω）x′sinω+tc∞cosω，然后应用（2.23）。2.7. 基于sinh加速的方案的复杂性。

As↓ 0, Λ ~ ln E，其中E=E（）=ln（1/），和ζ~ E/（2πd），其中d<（γ+- γ-)/2已固定。因此，该格式的复杂性为A（d）E ln E的数量级，其中A（d）可以任意接近1/（π（γ+- γ-)) 如果选择的d非常接近（γ+- γ-)/注意，如果被积函数将解析延拓引入适当的黎曼曲面，则γ+和/或-γ-可以大于π/2。特别是对于ν阶的NTS和KoBoL∈ （0，1），（i）如果x′=0，则γ+=-γ-= π/（2ν），（ii）如果x′<0，则γ+=min{π，π/（2ν）}，γ-= 0;（iii）如果x′>0，则γ+=0，γ-= -最小{π，π/（2ν）}。这意味着，与直觉相反，格式的（渐近）复杂性随着ν的减小而减小，而对于fl-iFT和基于分数抛物变形的格式，格式的复杂性随着ν的减小而增大。备注2.4。上面导出的方案复杂度的近似界隐含地假设条带既不太宽也不太窄，因此，b既不太大也不太小。如果钢带宽度过大或过小，则哈代标准可能过大。因此，近似值ln（2∧/b）~ ln∧和ln（H/ζ）~ 我们用来评估方案复杂性的ln（1/）可能变得不太准确。可以使用中等宽度的s行程而不是非常宽的s行程来解决带宽过宽的问题。如果带S（u-,u+）太窄，但随着条带收缩（NTS模型和KoBoL模型的情况），Hardy范数并不一致，然后变量的sinh变化简化了重缩放，从而将计算减少到条带收缩的情况(-d、 d），其中d=kdd，d=（γ+- γ-)/2，kd=0.9- 0.95. 因此，截断参数的更精确近似为ln∧+ln（1/（u+- u-)) 而不是ln∧。

即使初始条带的宽度为10，如箭头所示-8，建议的截断参数增加不到30，并且满足即使变化很小的容错性所需的项数仍然相当大。对于α阶变量的分数抛物线变化（通常为α∈ （1，2）），截断参数增加（u）级的系数+-u-)-1/α，如果u+- u-, 条带的宽度非常小（有关分数抛物线法的参数选择及其复杂性分析，请参见第节）。然而，重要的是，角度γ-- 射线之间的γ+eiγ-R+和eiγ+R+不能太小。2.8. 数值示例。在A.1节的表1和表2中，我们显示了XT的pdf，其特征指数（2.7）使用正弦加速度、变量的分数抛物线变化和标准傅立叶逆变换方法（FL at iFT）计算。工艺参数为u=0、α=10、β=0 f或t=0.004；δ=mλν-式中，m=ψ′（0）=0.1是12 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKI等秒瞬时力矩。在表1中，ν变化，pdf在峰值处计算。在表2中，ν=0.3是固定的，x是变化的。对于FLAT iFT，我们使用准确的公式选择网格尺寸ζderivedin【7】，误差容限=10-通过反复试验，我们发现，由于有限梯形规则中项的振荡，可以增加网格的大小：ζ/kζ，其中kζ=0.6。因此，我们可以在简化梯形规则中使用较少的项来满足截断误差的给定误差容限。尽管如此，如表1和表2所示，财务报表可能需要非常多的条款。

同时，sinh加速度允许一个人用几个数倍的项来满足较小的误差容限；分数抛物线方法的效率低于sinh加速度。很容易看出，除非ν不是sm-all，否则等效地，该过程接近BM，因此根本不可能在峰值处准确快速地计算pdf，这是高效MLE所需的。当计算累积pdf并将其应用于模拟时，会出现类似的问题。R3.1上的亚纯SINH正则分布。SINH常规模型中的累积pdf。在这种情况下，我们需要计算相同类型的积分，但需要一个附加因子-积分符号下的1/（iξ）：（3.1）P[Xt<x]=2πZImξ=ωe-ix′ξ-tψ（ξ）-iξdξ，其中ω∈ (0, u+). 由于在0处有一个极点，我们可以采用与第2.3节中相同的方案替换u-0；由于额外的衰减系数1/（iξ），trun阳离子参数将稍微小一些。更具体地说，我们没有（2.21），而是有误差boun d（3.2）Errtr（∧）≤etCπZ+∞∧e-（x′sinω）ρ-t Re c∞(ω)ρνρ-1dρ。如果x′>0或u+较小-u-> u+，有利于向下移动（3.1）中的积分线，并且在穿过简单极点时，应用留数定理：（3.3）P[Xt<x]=1+2πZImξ=ω′e-ix′ξ-tψ（ξ）-iξdξ，其中ω′∈ (u-, 0). 根据第2.3节计算（3.3）RHS上的积分，u+=0.3.2。SINH常规L'evy模型中的Puts和CALL。设r为无风险利率，τ为到期时间，K为履约时间，S为即期利率。设置x′=ln（S/K）+μτ。假设u-< -1，看涨期权的价格由（3.4）Vcall（K；τ，S）=-Ke公司-rτ2πZImξ=ωeix′ξ-τψ（ξ）ξ（ξ+i）dξ，其中ω∈ (u-, -1).