SINH加速度：概率分布的有效评估，

sinh加速度的参数应计算为x=F-1（0.001）（orF-1（0.0001）），数组ξ=ξ-和Exp-计算并存储。（符号minus表示数组将用于左尾的计算）。五、 sinh加速度的参数应计算为xM=F-1（0.999）（orF-1（0.9999）），并计算和存储数组ξ=ξ+和Exp+。（加号表示将使用阵列进行右尾计算）。六、 如果实现a~ U[0，1]属于（0，F-1（0.001）]（分别为[0，F-1（0.999）]，然后是一个区间[xn-1，xn]s.t.fn-1<ln A≤ fn（分别为间隔[xn，xn+1]s.t.fn≤ A<fn+1），并应用二次近似（6.3）。七、如果A<0.001，则采用牛顿法，xas为初始近似值；存储的值用于计算牛顿法每一步的f（xn）/f′（xn）。八、如果A>0.999，则采用牛顿法，xas为初始近似值；存储的值用于计算牛顿法每一步的f（xn）/f′（xn）。我们将阵列ξ±和Exp±称为共形主分量。共形主分量（在不同于尾部计算所用网格的网格点处计算）可用于计算分位数F-1（A）表示A∈ [0.001, 0.999]. 在这种情况下，应使用二分法代替牛顿法。6.2. 政权转换L'evy模型中的蒙特卡罗模拟。对于调制马尔可夫链的每个状态，在适当的0邻域中预先计算相应L'evy过程的pdf和cpf，以及用于尾部计算的共形主分量。

模拟马尔可夫链，并在链的每个时间步和SINH加速度27状态的当前实现，模拟相应的L'evy过程，并添加模拟增量。在模拟调制链的样本路径后，可以轻松并行化最耗时的部分（模拟L'evy过程的增量）。最后，将模拟增量逐一相加，得到该对的样本路径（调制马尔可夫链，马尔可夫调制L'evy过程）。6.3. Heston模型中的蒙特卡罗模拟。最直接的方法是用马尔可夫链近似波动过程（平方根过程），并应用第6.2节中概述的模式。如果避免这种近似，模拟的精度就会提高。考虑时间步长τ的模拟。因此，必须模拟序列（vjτ，Xvjτ）j=0,1，。。。，其中v>0，且Xvjτ是L′evy过程Xvjτ与特征指数ψ（vjτ，ξ）的增量，其中ψ（v，ξ）=- （vB（τ，ξ）+C（τ，ξ））/σ和函数，由（3.12）-（3.16）给出。对于cpdf、pdf和Xv pdf的导数的计算，ψ（v，ξ）的分析域、sinh加速度参数和网格尺寸ζ可以选择与任何v相同的≥ 0、自Re B（τ，ξ）→ +∞ asξ→ ∞ 在s inh加速程序参数选择建议中使用的CONU中，termsN=N（v）的数量随着v的增加而减少。

因此，相同的N可用于所有v，因此，samarray ~ξ、B（τ，~ξ）和C（τ，~ξ）（共形主成分）可用于所有v≥ 为了减少术语的数量，建议在几个选定的间隔中使用不同的N表示v，例如，表示v∈ [0，0.01]，v∈ [0.01，0.05]，v∈ [0.05、0.15]和v∈ [0.15, +∞).对于每个v，我们建议使用不同的主成分集来评估小邻域中的DF和cpdf[-a、 a]为0，其中，例如，a=0.03- 0.05，左尾(-∞, -a） 和右尾（a+∞). sinhacceleration的参数定义为zt=0，zt=-a和zt=a，如第3.3节所示。请注意，赫斯顿模型的40个关键参数，计算E-08甚至E-09级精度的等式所需的主成分数组相当短：长度为10-40，数组总数为4×3×3=36也是中等的。因此，所有必要的共形主分量阵列都可以很容易地计算并存储在模拟过程的初始阶段。因此，我们建议采用以下程序。一、 （初步步骤）。对于给定的赫斯顿模型参数集和计算pd f和cpdfa的chosenerror tolerance。计算并存储共形主分量的阵列。b、 设计一个函数，对于任何v≥ 0，近似计算x-（v） 和x+（v）这样，cpdf F（v，·）是凸的(-∞, x个-（v） ）和on（x+（v）+∞) 或者o如果在分位数计算的数值过程中，牛顿法应用于方程lnf（v，x）- ln A=0而不是F（v，x）=A，th enln F（v，·）必须是凸的(-∞, x个-（v） ）和on（x+（v）+∞).请注意，如果chosenx±（v）位于±的邻域内，则算法的效率仅会显著降低∞ 其中F（v，·）（或ln F（v，·））是凸的。

中等精度的近似值是有效的。28 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKIIII.模拟样本路径（vj）j=0,1，。。。，对于平方根过程，时间单位为τ，其中N=T/τ是时间步数；模拟过程必须产生非负数。三、 对于每个j=0，1，N- 1执行以下操作（此步骤可以很容易地并行化）：a.从均匀分布中随机抽取样本aj；b、 使用一组合适的共形主分量（选择由对（vj，aj）确定），确定Xvjτ的分位数Zj=Z（vj，aj）。如果aj≤F（vj，x-（vj）或aj≥ F（vj，x+（vj）），使用初始近似为x±（vj）的牛顿法。否则，对区间[F（vj，x）应用二分法-（vj）），F（vj，x+（vj））]。c、 从方程式中找到yjj-Zj=-Yj公司- （ρ/σ）vj+uτ。四、 计算样本路径Xn=X+Pn-1j=0Yj，n=1，2，N、 X=ln S.V.重复步骤II-IV，并使用模拟路径（vn，Xn）N=0,1，。。。，用于定价或有目标。备注6.1。如果步骤3b的并行化有效，则模拟一条路径的总CPU时间基本上是模拟平方根进程路径所需的CPU时间和计算给定对的分位数所需的CPU时间之和（vj，aj）。通常，后一时间小于0.1毫秒。，在MATLAB中实现。7、结论在本文中，我们开发了一种快速、准确评估formI=ZImξ=ωg（ξ）dξ积分的通用方法论，该积分出现在概率、数学金融和其他应用数学领域的许多问题中，并将可使用该方案计算的被积函数的性质形式化。

如果被积函数g（ξ）允许沿积分线的s行程和包含条带的圆锥的并集的解析连续性，并且s衰减速度与ξ一样快，则该方法适用→ ∞ 留在联盟中。条带中积分的分析性和在整体上的快速衰减使得我们可以利用内部梯形规则的一个重要特性，即离散化误差随1/ζ的函数呈指数衰减，其中ζ>0是网格大小。这个属性在文献中是众所周知的，并被广泛使用。在概率论中，与扩散过程和跳跃扩散过程相关的各种概率分布的特征函数，以及跳跃密度呈指数衰减的跳跃过程，在围绕实轴的条带中进行分析。不幸的是，在许多有趣的情况下，如CIR模型、VG模型和KoBoL，特征函数会缓慢衰减为ξ→ ∞, 简化梯形规则中的数百万项可能需要满足甚至适度的误差容限。然而，如果g（ξ）允许解析延拓到圆锥并以多项式或指数形式衰减为ξ→ ∞ 保持在圆锥上，然后调整积分中形式为ξ=iω+b sinh（iω+y）的变量变化。变量变化后，新被积函数围绕实轴进行分析，如果初始被积函数以多项式形式衰减，则以指数形式衰减[-c exp | y |]，其中，如果初始积分呈指数衰减，c>0。

结果，在任何情况下，N<10有助于满足误差容限=10-7.SINH-ACCELERATION通常小于50项，并且在所有感兴趣的情况下，N的数量级为100-150，以满足误差容限10-我们形式化了允许应用sinh加速的过程和分布的特征函数的性质，并用几个典型的例子说明了sinhacceleration的一般方案：L’evy过程的pdf；欧式期权在列维模型、赫斯顿模型、CIR模型和从属列维模型中的定价。该方案对一系列随机波动率模型和利率模型进行了简单的修改（其目的是在[30]中替换变量ξ=iω±iσ（1）的分数抛物线变化iη）α，并考虑到在一般情况下，分析的最大圆锥比赫斯顿模型和CIR模型的情况更窄）；跳跃可以包括在【30】中。请注意，如果使用变量的分数抛物线变化，则被积函数的衰减率增加，但在许多重要情况下，如峰值概率分布函数的评估（见[7，30]），以及CIR类型利息模型中的定价选项，结果项数仍然过多。我们还概述了sinh加速度在L'evy模型、区域切换L'evy模型和Heston模型中分位数计算和蒙特卡罗模拟中的应用。我们注意到，对于长时间间隔（a，b）（甚至是半单元）上的pdf和cpdf评估，需要在一个较小且最小长度的网格点上评估多个函数，并将这些阵列（我们建议称为共形主分量）用于anyx∈ （a、b）。

假设共形主分量是预先计算的，最后一步需要几微秒（在MATLAB实现中），因此，分位数可以在2-5打的微秒内计算出来。重要的是，在仿真过程中，不需要截断状态空间，并且可以避免截断错误。与变量分数抛物线变化相比，sinh加速度的另一个优点是，如备注2.4所述，在前一种情况下，初始解析性条带的宽度几乎不相关，而在后一种情况下，窄条带意味着大量的项s，因此有必要将积分线移动到较宽的条带【7、28、30】。然而，确定分析性圆锥的射线之间的角度很重要。sinh加速度的一般方案包括以下步骤i。翅片dγ-≤ 0<γ+或γ-< 0≤ γ+使得被积函数g（ξ）在coneCγ中是解析的-,γ+，衰变为ξ→ ∞ 留在锥体中。二、设置ω=（γ++γ）-)/2，d=（γ+- γ-)/2.III.查找条形图S(-u-,初始线Imξ=积分ω周围被积函数解析性的u+。四、 设置a-= sin（最小{π/2，-γ-}), a+=sin（min{π/2，γ+}），ω=u+a-+ u-a+a++a-, b=u+- u-a++a-.五、 选择kb=0.8- 0.95，kd=0.8- 0.95，设置b=kbb，d=kdd。六、 导出了f（y）=g（iω+b sinh（iω+y））b cos（iω+y）作为S(-d、 d）。通常，简单近似值H=10（| f（id）|+| f(-id）|）工作正常。七、给定误差或公差，选择网格尺寸为ζ=2πd/ln（H/）。八、导出g（eiωρ）和g（ei（π）的近似界-ω） ρ）对于ρ在+∞.30 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKIIIX。给定误差或公差，使用绑定到∧，以便Z+∞∧| g（eiωρ）| dρ+Z+∞∧g（ei（π-ω） ρ）| dρ<。十、 设置∧=ln（2∧/b），N=ceil（λ/ζ）。XI。

应用简化梯形规则（7.1）ZImξ=ωg（ξ）dξ≈ bζX | j|≤Ng（iω+b sinh（iω+jζ））cos（iω+jζ）。十二。Ifg（ξ）=g(-ξ),  ξ、 使用以下更快版本的（7.1）（7.2）ZImξ=ωg（ξ）dξ≈ 2bζX0≤j≤N（1- δj0/2）Re（g（iω+b sinh（iω+jζ））cos（iω+jζ）），其中δjk是Kroneckerδ。注意，除了sinh加速度误差的理论界限外，还可以通过选择不同的对（γ）轻松检查结果的准确性-, γ+，使新ω不同于旧ω，网格比建议的更长更细，并重新计算积分。两个结果之间随机一致的概率可以忽略不计，因此，差异的绝对值可以很好地代表误差。变量的sinh加速变化可应用于篮子期权、二次期限结构模型中的欧式期权、Wishart动态模型的定价（在这两种情况下，积分衰减非常缓慢，如CIR模型，因此，使用流行的FFT技术进行精确计算基本上是不可能的，如[30]中所示，对于一个（n）类的有效模型）、三分之二模型和，本质上，任何可以计算（条件）特征函数的模型，例如巴恩多夫-尼尔森和谢泼德模型，以及比本文中考虑的模型更一般的子模型。该方法也可用于评估特殊函数[29]、维纳-霍普夫因子、计算L'evy过程的上确界和上确界内的分布、路径相关期权的定价、具有障碍特征的期权的蒙特卡罗模拟、在Orns-tein-Uhlenbeck型模型中的定价以及许多其他情况。[20，21]中赫斯顿模型校准程序的效率也可以提高。

为了将sinh加速应用于体制转换模型中的定价，必须使用矩阵运算而不是标量运算（并且，自然地，研究矩阵函数及其倒数是解析的区域；形式上，方案保持不变）。随机协方差模型的应用与随机波动率模型的应用类似。参考文献【1】L.Ballotta和I.Kyriakou。CGMY过程和期权定价的蒙特卡罗模拟。《未来市场杂志》，34（12）：1095–11212014年12月。[2] O.E.巴恩多夫-尼尔森。正态逆高斯型过程。《金融与随机》，2:41–681998。[3] O.E.Barndor Off-N ielsen和S.Z.Levendorskiˇi.Feller正规逆高斯型过程。QuantitativeFinance，1:318–3312001。[4] M.Boyarchenko。L'evy过程的快速模拟。工作文件，2012年8月。SSRN提供：http://ssrn.com/abstract=2138661或http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.2138661.SINH-ACCELERATION31【5】M.Boyarchenko和S.Levendorskii.单侧L’evy模型中的Ghost校准和定价障碍期权和信用违约掉期：抛物线拉普拉斯反演方法。《定量金融》，15（3）：421–4412015。SSRN提供：http://ssrn.com/abstract=2445318.[6] S.Boyarchenko和S.Levendorski即有效的拉普拉斯反演、维纳-霍普夫因式分解和定价回溯。《国际理论与应用金融杂志》，16（3）：1350011（40页），2013年。atSSRN可用：http://ssrn.com/abstract=1979227.[7] S.Boyarchenko和S.Levendorski即傅里叶变换在期权定价应用中的有效变化。《计算金融杂志》，18（2）：57–902014。SSRN提供：http://ssrn.com/abstract=1673034.[8] S.Boyarchenko和S.Levendorski，即具有随机利率的L'evy模型中障碍期权和CDS的有效定价。数学金融，2016年。

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