SINH加速度：概率分布的有效评估，

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英文标题：
《SINH-acceleration: efficient evaluation of probability distributions,
  option pricing, and Monte-Carlo simulations》
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作者：
Svetlana Boyarchenko and Sergei Levendorski\\u{i}
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Characteristic functions of several popular classes of distributions and processes admit analytic continuation into unions of strips and open coni around $\\mathbb{R}\\subset \\mathbb{C}$. The Fourier transform techniques reduces calculation of probability distributions and option prices to evaluation of integrals whose integrands are analytic in domains enjoying these properties. In the paper, we suggest to use changes of variables of the form $\\xi=\\sqrt{-1}\\omega_1+b\\sinh (\\sqrt{-1}\\omega+y)$ and the simplified trapezoid rule to evaluate the integrals accurately and fast. We formulate the general scheme, and apply the scheme for calculation probability distributions and pricing European options in L\\\'evy models, the Heston model, the CIR model, and a L\\\'evy model with the CIR-subordinator. We outline applications to fast and accurate calibration procedures and Monte Carlo simulations in L\\\'evy models, regime switching L\\\'evy models that can account for stochastic drift, volatility and skewness, and the Heston model. For calculation of quantiles in the tails using the Newton or bisection method, it suffices to precalculate several hundred of values of the characteristic exponent at points of an appropriate grid ({\\em conformal principal components}) and use these values in formulas for cpdf and pdf.
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中文摘要：
几类流行的分布和过程的特征函数允许在$\\mathbb{R}\\subset\\mathbb{C}$附近的条带和开圆锥曲线的并集进行解析延拓。傅立叶变换技术将概率分布和期权价格的计算简化为积分的计算，而积分的被积函数在具有这些性质的域中是解析的。本文建议使用$\\ xi=\\ sqrt{-1}\\ omega\\u 1+b \\ sinh（\\ sqrt{-1}\\ omega+y）$形式的变量变化和简化的梯形规则来准确快速地计算积分。我们制定了一般方案，并在列维模型、赫斯顿模型、CIR模型和具有CIR从属关系的列维模型中应用该方案计算概率分布和定价欧式期权。我们概述了在列维模型、能够解释随机漂移、波动性和偏斜的状态切换列维模型以及赫斯顿模型中快速准确校准程序和蒙特卡罗模拟的应用。对于使用牛顿法或二分法计算尾部分位数，只需预先计算适当网格（{\\em共形主成分}）点的数百个特征指数值，并在cpdf和pdf公式中使用这些值即可。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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关键词：概率分布 加速度 distribution Applications Quantitative

SINH-ACCELERATION：对概率分布、期权定价和蒙特卡罗模拟的有效评估。几类流行分布和过程的特征函数将解析延拓变换为条带和开圆锥曲线的并集 C、 Fouriertransform技术将概率分布和期权价格的计算简化为积分的计算，而积分的被积函数在具有这些性质的域中是解析的。在本文中，我们建议使用ξ形式的变量变化=√-1Ω+b正弦(√-1ω+y）和简化的梯形规则，以准确快速地计算积分。我们制定了一般方案，并将该方案用于计算L'evy模型、Heston模型、CIR模型和具有CIR从属关系的L'evy模型中的概率分布和欧洲期权价格。我们概述了快速准确校准程序和蒙特卡罗模拟在L'evy模型、可解释随机漂移、波动性和偏度的状态切换L'evy模型以及赫斯顿模型中的应用。为了使用牛顿法或二分法计算尾部的数量，必须预先计算适当网格（共形主分量）点处的数百个特征指数值，并在cpdf和pdf公式中使用这些值。关键词：sinh正则L'evy过程、sinh正则分布、sinh加速度、共形主分量、Heston模型、KoBoL、CGMY、CIR、CIR从属、Monte-Carlosimulations1。

本文中，我们给出了拉普拉斯和福列尔反演、维纳-霍普夫因式分解、概率分布计算、优先级和其他奇异性中产生的积分的一般条件，这使我们能够快速准确地计算这些积分。在融资应用中，这些条件是关于未定权益特征函数的条件。对于单因子L'evymodels中的欧式期权和一些流行的a ffine模型，特征函数是定义在复杂平面C的宽区域上的函数；在篮子期权、障碍期权和回望期权的情况下，特征函数在Cn的广泛子集上定义，其中n≥ 2、对障碍期权和回望期权定价公式中出现的维纳-霍普夫因子的评估也涉及Cn子集上的函数，其中n≥ 2、在本文件中，我们考虑了几个问题。B、 ：德克萨斯大学奥斯汀分校经济系，2225 Speedway Stop C3100，Austin，TX 78712–0301，sboyarch@eco.utexas.eduS.L.：Calico科学咨询公司。德克萨斯州奥斯丁。电子邮件地址：levendorskii@gmail.com.2SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKIIsituations，其中出现了C子集上的一维积分和函数，并将同样的技术应用于多维情况。我们首先在形式（1.1）I=ZImξ=ωe的一维积分的情况下，解释所建议方法的主要思想-ixξg（ξ）dξ，其中i=√-1，x∈ R、 积分线{Imξ=ω}在g的解析性范围内，g（ξ）的衰减速度与ξ一样快→ ∞ 保留在夹在线R和{Imξ=ω}之间的条带中。

在概率上，当随机变量Y的特征函数g（ξ）=E[eiξY]不仅在R上的直线{Imξ=ω}上定义好时，就会出现这种最简单的积分。那么（1.1）的RHS是在x处计算的Y的概率分布函数（pdf）pY（x）（并乘以2π）。我们方法的第一步是对（1.1）中的变量进行以下更改：（1.2）ξ=χω，ω；b（y）=iω+b sinh（iω+y），其中ω，ω∈ R、 ω∈ [-π/2，π/2]和b>0的关系如下：ω=ω+b sin（ω）。我们将变量的变化（1.2）称为sinh加速度（在多重积分的情况下，我们对每个参数进行适当的sinh加速度w.r.t.）。在y坐标系中，我们在实线上积分。如果被积F（y）=e，则可以调整变量的变化-ixχω，ω；b（y）g（χω，ω；b（y））χ′ω，ω；b（y）允许解析延拓到足够宽的行程S（d-,d+={y∈ C | Im y∈ （d）-, d+}和衰减速度与y相当快→ ∞ 留在s的行程中。更详细地说，柯西积分定理允许我们将积分线{Imξ=ω}变形为轮廓Lω，ω；b： =χω，ω；b（R）。在Lω上的积分中，ω；b、 我们改变变量（1.2）。因此，如果被积函数在积分线{Imξ=ω}和适当圆锥附近的s行程s的并集上加入分析延拓，则sinh加速度是可能的，并随着ξ消失→ ∞ 留在美国。在一些重要的情况下，可以在适当的黎曼曲面上进行更宽区域的解析延拓，从而提高方法的速度。我们没有为一类具有这些性质的函数发明一个简短的名称：“函数在条带中分析（并在整体中衰减）”的名称并不十分笨拙，“函数在条带和圆锥的结合中分析”的名称似乎很笨拙。我们建议将其命名为sinh正则函数。

我们使用同一个形容词sinh regular来表示d分布和过程，从而得到sinh正则函数的积分。对于相同的过程，在不同的问题中，需要使用具有不同参数集ω、ω、b的sinh加速度，因此，我们将根据分析的条带（在多因素模型中，管域）和圆锥，制定过程特征函数的一般条件，并列出几类广泛的sinh正则过程和分布。我们方法的第二步非常标准：使用有限梯形规则对积分进行离散化。如果被积函数在条带S（ω）中是解析的-d、 ω+d），并以ξ的速度衰减→ ∞ 保留在条带中，简化梯形规则的离散误差随网格尺寸ζ的倒数呈指数衰减。因此，很容易满足较小的误差容限。接下来，必须截断最终sumSINH加速度3；所得公式称为简化梯形规则：I=ζX | j|≤Nf（jζ）。正如文献中常见的那样，可以将简化梯形规则应用于初始积分。然而，在许多有趣的情况下，g（ξ）随ξ缓慢衰减→ ∞ 因此，截断误差会随着简单类曲律项数的增加而缓慢衰减。例如，即使是对列维过程的概率分布进行适度准确的评估，也可能需要几千万个术语甚至更多。正弦加速度指数增加了被积函数的衰减率，满足给定误差的项数N显著减少。

在许多情况下，n<10满足误差容限=10-7.通常，小于50项支持，在重要的情况下，N为100-150个支持，以满足容错10-（1.3）ξ=χ±ω形式变量的分数抛物线变化的类似技巧；σ;α（η）=iω±iσ（1 iη）α，其中ω∈ R、 σ>0，α>1，被系统地用于一系列论文[7、28、6、32、13、5、30、8、31、20、21]。在工作文件【29】中，建议在完成变量的分数抛物线变换后，使用实线积分的sinh加速度η=sinh（ay）/a。在本文中，我们仅使用更一般形式（1.2）的sinh加速度。根据ω的符号，新的积分轮廓Lω，ω，向上或向下双变形，变形轮廓具有类似于[7，28，6，32，13，5，30，8，31，20，21，29]中轮廓的性质。简化梯形规则的项数与[29]中的项数大致相同（且小于[7、28、6、32、13、5、30、8、31、20、21]，其中某些情况下需要数千项），但计算单个项所需的基本运算数减少。一般方案比[29]中的方案简单。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们解释了sinh加速技术在评估宽类L'evy过程和不可分分布（我们称之为sinh正则过程和d分布）的概率分布函数中的应用。

该类包含金融中使用的几乎所有流行的L'evy过程类、赫斯顿模型中的条件概率分布、更多一般随机波动率模型、有效和定量利率模型、Wishart动态模型、Barndorf Nielsen和Shep hard模型、3/2模型等。作为一个基本的数值例子，我们考虑了NTS模型中的概率分布。在第3、4和5节中，我们考虑了sinh正则L'evy模型和Heston模型、CIR模型和辅助NTS模型中的欧式期权定价，从属项是聚合平方根过程。第6节概述了L'evy模型、区域切换L'evy模型和Heston模型中分位数的计算和蒙特卡罗模拟的应用。为了使用牛顿法或二分法计算尾部宽区域中的分位数，需要在适当网格点处重新计算出现在cpdf和pdf（共形主成分）特征指数中的数百个函数值，并使用这些值来计算cpdf和pdf。第7节总结了本文的结果和双线自然扩展。表格见附录。4 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKII2。SINH正则L'evy过程和无限可分分布2.1。定义。在文献[10]中，给出了一系列指数型正则L'evy过程（RLPE）的两个几乎等价的定义：一个是关于L'evy密度（指数decay at In finity），另一个是关于特征指数（对于R上的过程，沿实轴分析条带），对于Rn上的过程，则是在管域Rn+iU中，其中U RN是包含0的开放集）。RLPE类包含定量金融中流行的所有过程类（模型类）。

【41】中定义的回火稳定evy过程是RPLE的一个子类。在[7，6，32]中，人们注意到，模型类过程的特征指数允许对复杂平面和适当黎曼曲面的更宽区域进行解析延拓，并具有对构建未定权益定价新有效方法有用的几个性质。本文放宽了文献[6]中引入的指数型强正则L'evy过程（sRLPE）定义的一般条件。当使用维纳-霍普夫因式分解和变量的分数抛物线变化时，需要在[6，32]中制定的附加条件来构建更有效的方法。当使用sinh加速度时，这些附加条件的优势微乎其微。Letλ-< 0<λ+和-π/2 ≤ γ-< γ+≤ π/2和任意一个γ-≤ 0<γ+或γ-< 0≤ γ+. 确定圆锥Cγ-,γ+={eiДρ|ρ≥ 0, φ ∈ (γ-, γ+) ∪ (π - γ+, π - γ-)}, 和集合（2.1）U（λ-, λ+; γ-, γ+=i（λ-, λ++Cγ-,γ+：={ia+z |λ-< a<λ+，z∈ Cγ-,γ+}.如[6]中所述，我们以（2.2）ψ（ξ）=-iuξ+ψ（ξ），并对ψ施加条件。我们需要圆锥曲线C=Cγ-,γ+有几种：（1）描述域U=i（λ-, λ++Cγ-,特征指数解析性的γ+（2）引入子集Uu=i（λ-, λ+++Cu，其中|ψ（ξ）|允许一个有用的上界；（3） 引入子集Ul=i（λ-, λ++Cl，其中Reψ（ξ）允许一个有用的下限。在许多情况下，圆锥面围绕r eal轴。然而，如果ψ（ξ）=o（|ξ|）为ξ→ ∞ 在分析性领域，u6=0，那么，为了计算不在峰值的pdf和不在价格上的期权，我们必须选择一个域U′=i（λ-, λ+++C′，w这里的C′要么在上半平面，要么在下半平面。定义2.1。

我们说X是一个SINH正则L'evy过程（在R上），类型为（（u-, u+); CC+）和顺序ν∈ （0，2）如果满足以下条件：（i）u-< 0 < u+;（ii）C+ C C是与实轴相邻或包含实轴的开放圆锥曲线；（iii）ψ，X的特征指数，允许对i（u）进行解析延拓-, u++C；（iv）对于任何u′-∈ (u-, 0), u′+∈ （0，u+）和开放子锥Cu C与实轴相邻或包含实轴，存在C>0，使得（2.3）|ψ（ξ）|≤ C（1+|ξ|）ν， ξ ∈ i[u′）-, u′+]+铜；当计算维纳-霍普夫因子时，需要形式（2.1）集合上的附加条件；这些条件取决于光谱参数。SINH-任何闭合子锥Cl的加速度5（v）+ C+和任何[u′-, u′+]  (u-, u+，存在c，c>0，例如（2.4）Reψ（ξ）≥ c |ξ|ν- C ξ ∈ i[u′）-, u′+]+Cl+。我们说一个分布是一个SINH正则的不完全可分分布（（u-, u+); CC+）和顺序νi ff是X的分布，其中X是（（u-, u+); CC+）和顺序ν。备注2.1。我们可以概括这一定义，允许-= 0或u+=0（但并非两者都是）。然而，可以使用适当的Esscher变换将这两种情况中的每一种减少到情况u-< 0 < u+. 案例u的突出例子-= 0=u+是稳定的L′evy分布和过程；我们在另一份出版物中考虑了这一情况。定义2.2。

我们说X是（（u）型的椭圆SINH正则L'evy过程-, u+); CC+）和顺序νif条件（i）-（iii）和以下两个条件对任何ξ均成立（iv∈ C∩ {ξ| |ξ|=1}，表示ρ→ +∞,(2.5) ψ(ρξ) ~ c∞（argξ）ρν，其中c∞（argξ）：=c∞（ψ，argξ）是连续的；（v） \'对于任何ξ∈Cl公司+∩ {ξ| |ξ|=1}，Re c∞（argξ）>0。我们说，一个分布是一个椭圆SINH正则的不完全可分分布，它是X的分布，其中X是一个椭圆SINH正则的L'evy过程。备注2.2。a） 高效计算所需的属性是用复杂分析语言表述的，不能用概率语言自然表述。事实上，像带有嵌入复合泊松过程的布朗运动（其中a<0<b）这样的简单过程是RLPE，它们的特征指数在复平面上是解析的，但在任何圆锥上，Reψ（ξ）都不是半有界的，并且性质（2.4）失效。然而，如果a=0，b>0或a<0，b=0，则这种过程是（（u-, u+); CC+，其中u-< 0<u+是任意的，如果a<0，b=0，则C，C+是下半平面中的圆锥，如果a=0，b>0，则上半平面中的圆锥。b） 定义2.1和2.2中形式化的特征指数属性适用于与概率无关的伪微分算子（PDO）的各种符号，基于这些属性的方法可用于为此类PDO的各种边界问题开发有效的数值方法。备注2.3。如果子对象Y和进程X是椭圆SINH正则L'evy进程，则{XYt}是椭圆SINH正则L'evy进程。有关示例，请参见第5节。2.2.