SINH加速度：概率分布的有效评估，

为了证明相同的陈述适用于最后一个因素，必须表明（1- w） /（1+w）在右半平面内，如果w∈ D、 设w=a+ib，其中+b<1。然后1- w1+w=Re（1- （a）- ib1+a+ib=Re（（1- （a）- ib）（1+a- ib）（1+a）+b=1- 一- b（1+a）+b>0。CIR次级列维模型中的欧式期权定价公式变化如下。而不是期望E[eiξXτ| X=X]=eixξ-τψ（ξ），我们有期望e[eiξXYτ| X=X，Y=Y]=eixξΦCIR（τ，Y；iψ（ξ））。因此，（5.5）Vcall（S，K；y，τ）=-Ke公司-rτ2πZImξ=ωeixξΦCIR（τ，y；iψ（ξ））ξ（ξ+i）dξ，其中x=ln（S/K）和ω<-1是这样的，对于线Imξ=ω上的所有ξ，iψ（ξ）在具有切口i的复平面w中(-∞, -κ/（2λ）]，等价地，ψ（ξ）在具有切面加速度21的复平面内(-∞, -κ/(2λ)]. 这意味着CIR从属项必须满足条件κ/（2λ）>- ψ(-i） 。应用sinh加速度，我们需要选择方案的参数s o，即（1）条带的图像s(-d、 d）根据组成y 7→ ψ（χω；ω，b（y））属于具有切口的复合p车道(-∞, -κ/（2λ）]或适当的黎曼曲面；（2） 如果x>0，则χω；ω、 b（S）(-d、 d））必须是形式为Imξ>a的半平面的子集，当ea∈ R是常数；（3） 如果x<0，则χω；ω、 b（S）(-d、 d）必须是形式为Imξ<a，wher ea的半平面的子集∈ R是一个常数。此外，当ΦCIR（τ，y；iψ（ξ））允许解析延拓到适当的黎曼曲面时，建议选择sinh加速度的参数，以便变形轮廓Lω；ω、 b=χω；ω、 b（R）保持在复平面内，不需要适当的相移引起的程序中的附加操作。

如果变形轮廓穿过切口，简化梯形规则中的术语数量会有所减少，但评估单个术语所需的基本运算数量会增加。总收益很小，如果有的话。设X为（（λ）型椭圆sinh正则过程-, λ+); C、 C+）和顺序ν∈ （0，2），其中λ-< 0 < λ+; fur thermore，asξ→ ∞ 剩余在圆锥C中，ψ（ξ）~ c∞eiνξν，ξ→ +∞,式中，Д=argξ，和c∞> 0.首先，我们找到一条S（u-,ΦCIR（t，y；iψ（ξ））分析度的u+。此处u-< 0<u+表示所有u的κ+2λψ（iu）>0∈ (u-, u+). Sin ceu7→ ψ（iu）在（λ）上是凸的-, λ+，ψ（0）=0，我们得出结论，如果κ+2λψ（i（λ+- 0)) ≥ 0，则u+=λ+，否则u+是方程κ+2λψ（iu）=0的唯一正解。类似地，如果κ+2λψ（i（λ-+0)) ≥ 0，然后是u-= λ-, 其他iseu-是方程κ+2λψ（iu）=0的唯一正解。接下来，我们需要确定一个解析性圆锥，并将ΦCIR（t，y；iψ（ξ））的渐近性计算为ξ→ ∞ 留在美国。我们考虑两种情况。案例Ia。L etν∈ （1，2）或ν∈ （0，1）和u=0。那么ψ（ξ）=iuξ+ψ（ξ）具有与ψ相同的性质，ψ（ξ）~ c∞eiνξν，ξ→ +∞.案例Ib。设ν=1。则渐近系数和参数取决于u：ψ（ξ）~ c∞（u）ei（Д+γ（u））|ξ|，ξ→ +∞.因此，存在-π ≤ γ-< 0 < γ+≤ π，对于任何∈ (γ-, γ+，ψ（ρeiД）~ c∞(φ)ρν, ρ → +∞,其中c∞(φ) 6∈ (-∞, 0]. 因此，对于任何∈ (γ-, γ+（κ+2λρeiД）1/2~ c∞(φ)1/2ρν/2, ρ → +∞,其中Re c∞(φ)1/2> 0.上述论证“几乎”证明（κ+2λψ（ξ））1/2将解析连续性赋予i（u-, u++Cγ-,γ+. 我们之所以这样说，几乎是因为上述事实表明，对于ξ∈i（u-, u++Cγ-,γ+ , κ+ 2λψ(ξ) 6∈ (-∞, 0]如果ξ在0的某个邻域中，并且在单位的某个邻域中。

对于ν阶的NTS和KoBoL∈ [1，2]，可以证明22 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKI是i（u）的图像-, u++Cγ-,mapξ7下的γ+→ κ+2λψ（ξ）不相交(-∞, 0];一般情况下，应逐个研究图像，如有必要，使用u±接近0。请注意，这有助于确保图像不与基本奇异点0相交，这是一个较弱的条件。如果图像相交(-∞, 0）但不包含0，图像是适当黎曼曲面的子集，可以使用更大的ζ。然而，选择sinh加速度的参数是有利的，以便变形轮廓的图像在mapξ7下→ κ+2λψ（ξ）是复平面的子集，当切割交叉时，定价公式中不需要引入相移。一次i（u-, u++Cγ-,发现γ+时，我们确定了sinh加速度的参数，并使用一般规定为给定的误差容限选择ζ。仍需查找运行参数和N。

如果从（2.23）中得出，则ξ=ρeiД→ ∞ 留在Cγ中-,γ+，|ΦCIR（t，y；iψ（ξ））|≤ （1+o（1））exp（κθt/λ- B（Д）ρν/2）。其中b（Д）=√2λRe（c∞（νν）1/2）（t/2）2κθ/λ=√2 Re（c∞（νν）1/2）tκθ/λ。因此，我们可以找到近似求解等式E的截断参数∧=ln（2∧/b-A（ω，x）∧-B（ω）∧ν/2ρ-1=，其中A（ω，x）=x sinω，=πexp（rτ- κθt/λ）/K，如下所示。如果ν=1，则∧：=ln（1/）/（A（ω）+B（ω）），λ：=max{2，λ- ln∧/（A（ω）+B（ω））}；如果F：=（A（ω，x）+B（ω））∧+ln∧- ln（1/）<0，则∧：=∧- F/（A（ω）+B（ω）+1/λ）。如果ν∈ （1，2）或ν∈ （0，1）和u=0，然后我们设置∧=（ln（1/）/B（ω）2/ν，∧=最大值{2，ln（1/n）- A（ω）∧- ln∧}B（ω）2/ν;如果F：=A（ω，x）∧+B（ω）∧ν/2+ln∧- ln（1/）<0，则∧：=∧- F/DF，其中DF：=A（ω，x）+（ν/2）B（ω）∧ν/2-1+ 1/Λ.注意，如果B（ω）非常小，并且| x |不是非常小，那么使用与ν=1相同的规则更安全；这导致了一种温和的过度病态。案例二。ν ∈ （0，1）和u6=0。如果x>0，则取任意0<γ-< γ+< π/2; asξ→ ∞剩余Cγ-,γ+ , κ- 2λiψ（ξ）~ κ- 2λuξ，因此，如果u>0，则为u（iψ（ρeiД））~ ei（（Д）-π/2)ρ1/2, ρ → +∞,如果u<0，则为u（iψ（ρeiД））~ ei（Д/2）ρ1/2，ρ→ +∞.如果^1∈ （0，π），cos（Д）- π/2）>0，cos（Д/2）>0。因此，如果ν∈ （0，1）和u6=0时，被积函数的衰减率与ν=1的情况相同，但渐近系数不同。我们把细节留给读者。数值实验结果见表11。SINH-加速度236。分位数和蒙特卡罗模拟6.1。单因素KoBoL。我们考虑分位数的计算，即方程f（x）=A的解，其中A∈ （0，1），F为累积分布函数；一旦分位数评估的有效程序可用，该程序可用于蒙特卡罗模拟。蒙特卡罗模拟仍然是迄今为止最普遍的金融资产路径相关期权定价方法。

在L'evy驱动模型的情况下，任何蒙特卡罗方法的基本构建块都是模拟基础L'evy过程的增量。在某些情况下——例如，方差伽马模型【38、37、36】——可以使用时间排序将过程表示为更简单的过程，因此可以（几乎）精确地模拟其增量。然而，在其他情况下，没有确切的模拟算法是已知的。Madan和Yor[39]提出了一种模拟KoBoL增量的算法，该算法基于将过程表示为服从于稳定L'evy过程的布朗运动，截断从属函数的小j ump，并用其平均值替换。然而，文献[4]中的一个广泛的数值例子表明，下面描述的标准方法的有效实现速度要快10-100；我们在下面介绍的变化比[4]中的实现更快速、更准确。如果Z是任意连续分布的随机变量，可以在（0，1）上模拟Z采样均匀分布的随机变量U，并计算F-1（U），其中F表示Z的累积分布函数。当F的显式公式-1不可用，因此能够快速、准确地计算其值变得非常重要。一种简单的方法，用于模拟稳定的L'evyprocess，但成功率有限（分布的尾部衰减太慢，因此，只有当过程的指数接近2时，蒙特卡罗模拟才是适度有效的，并且分布与正态分布相差不大，尾部的远部分除外，在这种情况下可以安全地忽略）如下所示。其中一种方法是在点x、x、…、的长而细的网格上，将F的值制成表格，Xm在实线上，近似于F-1使用线性插值。

从实用的角度来看，这种方法非常有吸引力，因为ly上的值SF（xi）必须计算一次，然后再计算d。每次模拟Z的计算成本非常低：必须绘制U的样本a，找到满足F（xj）的j≤ A<F（xj+1）（需要大约对数（M）比较）并执行线性插值所需的4–5个算术运算：（6.1）x=xj+（xj+1- xj）（A- Fj）/（Fj+1- Fj）。如果A<F，则指定x=x，如果A>FM，则指定x=xM。在许多重要的样本中，已知一个显式公式来表示dom变量Z的特征函数。在这种情况下，F（xi）值的计算减少到计算某些Fourier逆变换（见Glasserman and Liu[16，18]）。在具有指数衰减尾的L'evy过程中，慢衰减问题不如稳定L'evy过程严重，除非指数率太小，但如果KoBoL阶数接近0，概率分布的峰值仍然很高。在蒙特卡罗模拟中，该方法有三个误差来源：（1）截断误差；（2） 线性插值误差；24 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKI（3）Fk评估错误。一种流行的ap方法（参见，例如，[16、17、18、12、1、15]）是使用快速傅立叶变换（FFT）或快速希尔伯特变换（fast HT），这允许on e以比逐点更快的速度计算所有感兴趣点的值Fkat，尤其是当点的数量较大时。

这种方法面临以下基本困难：（a）如果时间步长很小，这对于通过连续监测精确模拟势垒操作是必要的，那么，在x′=0的邻域中，导数F′（x）=p（x）非常大，因此，为了使线性插值（6.1）更精确，网格的大小x=xj+1-xj必须非常小；事实上，即使在一个相对较好的情况下∈ (0.5, 1), x=10-5可能导致插值误差大于10-8（见以下示例）；对于接近0的ν，要小得多x可能不足；（b） 如果其中一个陡度参数λ±的绝对值很小，例如λ+>0是sm all，则x必须为负值且绝对值非常大，以确保截断误差在-∞ 非常小。鉴于难度（a），总点数可以以百万和几千万为单位来衡量；（c） 如第2节中的示例所示，在ab solutevalue中准确评估xklarge的F（xk）可能会耗费太多时间，或者如果使用FL FT，则几乎不可能；使用HT时也会出现同样的困难。sinh加速度允许我们非常准确和快速地计算Fk=F（xk）；对于xklargein绝对值，特别快。【4】中使用的分数抛物线法计算Fkis比基于FFT和HT的方法更快、更准确，但在变量分数抛物线变化后，简化梯形规则中的项N的数量取决于xKmuch，而不是sinh加速度。当应用后者时，在给定误差容限的情况下，sinh加速度程序的参数bar和项数N可以选择为所有x′相同≤ 0; 类似地，对于x′≥ 此外，N随绝对值x′的增大而减小。

因此，可以为x（分别为xM）选择sinh加速度和ζ，N的参数，并用于评估所有x的p（x），p′（x），F（x≤ x（代表所有x≥ xM）。如果F-1（a）<x，我们计算x=F-1（a）使用牛顿法，2-3次迭代以满足误差公差10-12如果初始近似x<0在绝对值中不小，则小于等于。类似地，如果F-1（a）>xM，我们计算x=F-1（a）使用牛顿法，2-3次迭代以满足误差公差10-12如果初始近似值Xm>0不小，则小于或等于。无需截断状态空间。应用牛顿法（6.2）xn+1=xn- （F（xn）- A） /F′（xn），也必须计算pdf pn=F′（xn），但sinh加速度方法允许使用数值格式的相同参数计算F（xn）和F′（xn）；此外，只有一个计算步骤是不同的：在F（xn）的情况下，我们有一个额外的因子1/(-iξ）。我们可以同时计算F′（xn）的插入因子- iξ而不是1/(-iξ）；这允许我们使用二阶近似值F（x）=F（xn）+（x- xn）F′（xn）+（x- xn）F′（xn）SINH-加速度25求解F（x）- A=0，间隔非常小[xn-1，xn]：（6.3）x=xn-2（F（xn）- A） F′（xn）+pF′（xn）- 2（F（xn）- A） F′（xn）。一般来说，我们可以使用该方案的相同参数，在很宽的区间内计算xnov的F（xn）、F′（xn）、F′（xn）。这意味着CPU时间的BULK用于计算方案的参数，数组ξk=iω+b sinh（iω+yk）和Expk：=exp[-tψ（iω+b sinh（iω+yk））]cosh（iω+yk），k=1，2，N

最后一步是快速而直接地计算数量f（xn）=ibζπNXj=0（1- δj0/2）Reexp[-ix′nξj]Expjξj（6.4）F′（xn）=bζπNXj=0（1- δj0/2）Re exp[-ix′nξj]Expj（6.5）F′（xn）=ibζπNXj=0（1- δj0/2）Re exp[-ix′nξj]ξjExpj。（6.6）对于a<Fand a>FM的牛顿法的应用，在迭代过程的每个步骤中，我们可以使用分别为N=N（x）和N=N（xM）计算的数组ξ和Exp。二次近似（6.3）允许我们使用比线性近似（6.1）和（6.2）更多的Spar er网格，尤其是对于绝对值不小的XnT。下一个技巧允许我们减少更小的点数。代替方程F（x）=A，我们求解方程F（x）=A，其中F（x）=ln F（x），A=ln A。由于F比F更规则，相同的近似效果更好，F′k=F′（xk）=F′k/Fk，F′k=（F′kFk- （F′k））/fk易于计算。示例6.1。考虑ν=0.7阶KoBoL，其中c+=c+=0.6，λ+=5，λ-= -10,u = 0; t=0.001。第二瞬时力矩m=0.093440429（四舍五入）不小，时间步长t=0.001也不太小。顺序ν=0.7也不是s mall；在实证文献中，有无数的ν接近0的例子。陡度参数λ+也不是太小（可以找到λ+<1的例子）。然而，正如几个分位数示例所示，1。使用FFT或HT的精确蒙特卡罗模拟需要网格大小为网格10-5或更少；2、如果在F=10级进行截断-8，则x=-1.6707581397416（结果是使用牛顿法和初始近似值得出的-1.需要三次迭代以满足误差公差10-12). 因此，FFT或HT方法将需要160k量级的均匀间隔网格，并且FK的校正和评估误差将不可忽略；3.

除了非常小的0邻域外，应用于f的二次近似需要比其他近似更稀疏的网格。在表12中（见附录A.4），我们列出了几个近似值的误差，这些近似值分别是A的几个值和间隔的几个宽度h（xj-1，xj）含f-1（a）=F-1（A）。26 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEV E NDORSKIILabels使用的近似值：oL：线性插值（6.1）；oN： 牛顿近似（6.2）；oLL：应用于f=ln f的线性插值；oLN：牛顿近似应用于f=LN f；oQT：应用于f=ln f的q数值近似（6.3）。从表12可以清楚地看到，QT允许使用更稀疏的网格x<x<···<xM；栅格的间距必须不均匀。在网格点处，必须预先计算f=ln f及其一阶和二阶导数，这可以使用sinh加速度快速完成。用于计算x=f-1（a）对于a<fand a>fM，我们使用Newtonmethod和两个小尺寸的预计算数组，它们表示对偶空间中的f函数。无需拉伸。算法概要。一、 在x′=0的邻域内，例如，在区间[F-1（0.3），F-1（0.7）]，步骤hj=hj+1-HJ应为10级-5如果t很小。对于较大的t，允许较大的步长。E、 g.，对于t=1，可以接受0.001级的HJ。二、随着cr中的| xj |减小，HJ可以变大。根据经验，对于左尾，我们建议hj=-0.01fj+1/f′j+1对于xlow以下的点：=f-1(0.3); XLOW下方的点Xjb与值fj、f′j、f′j在同一周期内计算。对于右尾，通过对称性进行推荐。三、 网格在F处截断-1（0.001）或F-1（0.0001）和F-1（0.999）或F-1(0.9999).对于网格的所有点，应计算并存储值fj、f′j、f′j。四、