无概率期权定价模型：一种粗糙路径方法

在另行通知之前，我们采用贴现价格的观点，因此仅考虑A的二阶部分，系数被视为贴现股票价格的函数。定义4.1（“α-H–波动率算子”）。设α处于开放区间（0，1）。α-霍尔德波动率算子是形式=迹的二阶椭圆微分算子一/2=ai，ji、 j/2，其中a=（ai，j）1≤i、 j≤非对称和所有系数ai，j:Rd→ R、 1个≤ i、 j≤ d、 是α-H–older正则。请注意，对于方程（2.4）的经典delta套期保值的定义，只有市场模型的扩散生成器是相关的，而随机基数则不是。在这方面，我们有时写“A-delta对冲”，以强调它是在第2节中解释的半群ETA中定义的。给定α-H¨older波动率操作符A=跟踪一/2和连续路径X：[0，T]→ 对于有限的p-变化，我们可以考虑X的A-增强X=（X，X）给定的b X，t=Xs，t Xs，t-^tsa（Xu）du。请注意，这样的构造会产生有界变化增强。逆向构造从有界变异增强开始，定义了一个微分算子，在以下定义4.2（“α-微分类型的增强路径”）中正式化。设X=（X，X）是增强的p-变异规律。我们说X是α-扩散型，p- 2<α<1，如果通过设置mi，j（s，t）:= [十] i，js，t，0≤ s<t≤ T、 1个≤ i、 j≤ d、 （4.1）绝对连续测度定义在区间[0，T]上，如果它们关于T的密度由dmi给出，则jdt=ai，j（Xt），对于某些a=（ai，j）1≤i、 j≤满足椭圆度条件ai，j（x）ξiξj的din Cα-H¨olloc（Rd，Rd×d）≥ c（x）|ξ|，x、 ξ∈ Rd，（4.2）具有一些连续的严格正c:Rd→ R+。

运算符A[X]：=ai，j（X）i、 j/2被称为[X]-波动率算子，我们说，如果L的二阶部分等于[X]，则与马尔可夫发生器L的不同价格是[X]-兼容的。备注4.3。方程（4.2）中的椭圆度条件是为了将[LB07，第2章]中的理论应用于与波动率算子A相关的Cb（Rd）上半群的存在性和唯一性。如果已知与A相关的偏微分方程的解具有唯一解，则可以移除假定的椭圆度。例如，具有波动率算子σx的经典Black Scholes部分微分方程就是这种情况xx/2。α-扩散型增强路径是PDE定价技术对概率模型所需的最小信息。事实上，假设我们希望使用PDEpricing技术对未定权益h（XT）进行定价，其中h在Cb（Rd）中，XT是有限p变化的连续价格路径X的终值。设X=（X，X）是α-扩散型X的增量，并考虑方程(t+A[X]w=0 in[0，T）×Rdw（T，·）=▄h（·）on{T}×Rd.（4.3）这里我们滥用符号：定义3.11规定将粗括号A=As，tin放在“增强”一词的前面，因此实际上我们应该写“tsa（Xu）”du增强。然而，雇佣的符号偏离并不会引起混淆，而是强调了扩散类型增强的性质。然后，Cauchy问题（4.3）在Cα中加入了解w，并且在任何[X]兼容的市场模型上，值w（t，Xt）是在t<t时到期并产生h（Xt）的期权的贴现价格。我们可以将路径对应关系推到方程（2.3）上，这是增量对冲的关键。提案4.4。设X=（X，X）为α-扩散型增强路径。

设w是（4.3）的解，并假设对（w，X）是q-中等的，对于一些1-2/p<1/q<α/p。然后，（Ht，H′t）：=xw（t，Xt），xxw（t，Xt）是（p，q）-变化规律的Gubinelli X-控制路径，它是这样的（（H，H′）。（X，X））s，t=w（t，Xt）- 所有0的w（s，Xs）（4.4）≤ s≤ t型≤ T证据（H，H′）是X-控制的，这一事实来自引理3.15。我们可以计算wt的增量：=w（t，Xt）asw（t，Xt）- w（s，Xs）=（t- s） ^htw（s+y（t- s） ，Xt）- tw（s，Xt）idy-t型- shai，j（Xt）i、 jw（s，Xt）- ai，j（Xs）i、 jw（s，Xs）i+tw（s，Xs）（t- s） +^^hxxw（s，Xs+yyXs，t）- xxw（s，Xs）yidydy！Xs，t Xs，t+ xw（s，Xs）Xs，t+xxw（s、Xs）Xs，t Xs，t.我们在第二行使用d（4.3）来重新表示时间导数和空间导数。假定的q调节允许控制扩展中的三个增量类型总和。设ConvX[0，T]是X的迹的凸包，K：=sup0≤s≤Txxw（s，·）α-羟基，ConvX[0，T]。然后^htw（s+y（t- s） ，Xt）- tw（s，Xt）idy≤卡克∞, X[0，T]hKωα/pX+ω1/qH′i（s，T）；和ai，j（Xt）i、 jw（s，Xt）- ai，j（Xs）i、 jw（s、Xs）≤卡克∞, X[0，T]Kωα/pX（s，T）+kH′K∞, [0，T]kakα-H¨ol，ConvX[0，T]ωα/pX（s，T）；和^^hxxw（s，Xs+yyXs，t）- xxw（s，Xs）yidydyXs，t Xs，t≤K（1+α）（2+α）ω（2+α）/pX（s，t）。例如，在[LB07，定理2.2.1]中，证明了（4.3）解的存在性和正则性。再次说明方程（3.12）中定义了函数空间Cα。回想一下，尤其是在定义α扩散型增强路径时，通过选择α，2+αp>1。

然后，上面的三个估计表示，对于增量sws，t的展开，以下结果成立：存在一个控制ω和一个指数γ>1，使得ws，t- xw（s，Xs）Xs，t- xxw（s，Xs）Xs，t- tw（s，Xs）-xxw（s，Xs）[X]s，t=ws，t- tw（s，Xs）- xw（s，Xs）Xs，t- xxw（s、Xs）Xs，t Xs，t≤ωγ（s，t）。因此，ws，t=lim |π|→0Xu∈π∩[s，t]htw（u，Xu）（u′）- u）+i、 jw（u，Xu）[X]i，ju，u′i+lim |π|→0Xu∈π∩[s，t]hHuXu∧t、 u′型∧t+H′uXu∧t、 u′型∧ti|{z}=：（（πH，πH′）。（X，X））s，t{z}=（（H，H′）。（X，X））s，t分裂极限的可能性从已知的（（πH，πH′）收敛性下降。（X，X））as |π|→ 对于任何i，j，离散的sumPu∈πi、 jw（u，Xu）[X]u，u′逼近连续函数u 7的stieltjes积分→ i、 jw（u，Xu）与度量值mi，jof（4.1）。因此，在极限为|π|→ 0它收敛到ti、 jw（u，Xu）艾，j（Xu）杜。（4.3）所保证的取消则意味着（4.4）。高阶灵敏度和路径积分的部署允许估计积分量时间离散化产生的误差。整体数量的时间离散化实例出现在与套期保值相关的成本中。事实上，考虑对冲策略的融资成本，定义asCt（φ）：=φtSt+φtSt- （φS）t- （φS）t，（4.5）式中（φ，φ）∈ R×Rdis the strategy，S，S分别是无风险资产和风险资产。符号（φS）和（φS）t分别表示φ和φ的积分过程相对于S的时间t边缘。因此，方程式（4.5）中的融资成本是时间t时投资组合的价值与时间窗口内重新平衡投资组合的成本【0，t】之间的差异，以便遵循套期保值策略。如果可以进行连续套期保值，并且能够采用（2.4）中定义的（φ，φ）=（H，H），则该成本将与期权的V=w（0，X），时间t=0的价格相匹配，在P-全集合上。

我们注意到概率P是随机基的度量，在连续时间的情况下，可以在此基础上定义It^o积分（φ.S）two。在实践中，融资成本有两个组成部分：理论价格和时间离散化产生的成本，即isCT（φ）- 五、 对于Latter，用（2.4）的离散化（πH，πH）代替φ，我们现在提供依赖于积分边界的路径估计。回想一下，命题4.4中的X起到了贴现轨迹的作用St=e-rtSt。推论4.5。假设命题4.4的设置。设ω为控制函数，其（2/p+1/q）次方断言HsXs，t+H′sXs，t的近似可加性。沿连续时间抽象中的任何分区，项（φS）应为连续自适应过程φ对连续半鞅S的It^o积分；术语（φS）twould指的是Lebesgue积分r’tφuer udu。[0，T]中的π，源自（2.4）的离散化策略（πH，πH）（S=X）的融资成本为C（πH，πH），其有界如下：CT（πH，πH）≤|V |+erTKω（0，T）osc（ω，|π|）2/p+1/q-1+|重量-,T型|+徐∈πu′<Teru′H′uXu，u′,（4.6）式中，osc（ω，|π|）是ω在小于或等于分区网格大小的尺度上的连续模量，以及wT-,这是w（T，XT）=h（XT）和折扣值w（T）之间的差异-, XT公司-) 分区最后一个节点上的选项。边界中出现的路径依赖常数K不大于1- 21-（2/p+1/q）ω1/p+1/qRH（0，T）kXkp var，[0，T]+kH′kq var，[0，T]kXkp/2-var，[0，T],式中，ωRH是Hs，t的pq/（p+q）-变化控制- H′sXs，t.证明。设WT为路径t 7→ w（t，Xt）。修复分区π为[0，T]并调用（3.4）中的表示法。

我们初步观察到（πH.S）t+（πH.S）t=Xu∈π乌苏∧t、 u′型∧t+HuSu′型∧tSu∧t、 u′型∧t型=wt公司St公司- w+Xu∈πSu′型∧t型- 吴∧t、 u′型∧t+HuSu∧t、 u′型∧t型,在第二行中，我们使用了部分求和。那么，Ct（πH，πH）=πwtSt-πHπtStSt+πHtSt- wt公司St+w+Xu∈πSu′型∧t型吴∧t、 u′型∧t型- 胡苏∧t、 u′型∧t型=StHt公司St-St+ V+Xu∈πSu′型∧t型吴∧t、 u′型∧t型- 胡苏∧t、 u′型∧t型=V+Stwt,t+Xu∈πu′＜tSu′吴，u\'- 胡苏，u\'. （4.7）通过增加和减少补偿，我们可以应用缝纫引理（命题3.7）并得出结论。到目前为止，我们一直在使用标识X=~S，即手头的增强路径代表了贴现股票价格的实际增强路径。换言之，市场模型必须与en[~S]兼容。这相当于将平方a=σTofco挥发度视为一个真实参数。在下面的推论4.6中，我们不再这样做，我们将X fr的模型增强子与S的实际增强子区分开来。S的唯一假设是它是一条增强路径，即它的轨迹S是一条有限p变量的连续路径，2<p<3，其二阶过程S=（）S- [S]/2是有限p/2的连续双参数函数，随Rd值变化⊙Rd；增强子[~S]不需要是有界变量，与之相对的积分将被解释为年轻积分。推论4。设▄S=（▄S，▄S）是p-变化规律的Rd值折扣价格轨迹▄S之上的增强路径。设A为α-H¨older波动率算子，α>p- 2、考虑▄S的A-增强X=（▄S，X）。如果h和w如命题4.4所示，则（Ht，h′t）：=(xw（t，~St），xxw（t，St））是（p，q）-变化规律性和▄h（▄St）的Gubinelli▄S控制路径- 五=（H，H′）。（▄S，▄S）0，T+（H′）。[S]- [X])0，T，（4.8），其中右侧的第二个求和是一个定义良好的Young积分。

作为一个序列，如果πH表示通过沿πA-delta套期保值进行离散获得的策略，则其融资成本（πH，πH）以| V |为界+徐∈πu′<Teru′H′uSu，u′+ erTKω（0，T）osc（ω，|π|）2/p+1/q-1+|重量-,T |+KH′k[| S]- [十] kp/2-var，[0，T]！，（4.9）式中ω、K和| wT-,T |与推论4.5和kh′相同=-(1-2/p）1- 21-（4/p+1/q）kH′kq var，[0，T]+2-(1-2/p）kH′k∞,[0，T]。证据事实是(xw（t，~St），xxw（t，St））由（p，q）的S-控制-变差规律已经包含在命题4.4中，因为它不涉及S的第二个或第二个分量。此外，命题4.4的泰勒展开产生了一个控制函数ω和一个指数γ>1，这样无论选择了[0，t]的子区间[S，t]，它都保持sw（t，St）- w（s，~Ss）=xw（s，~Ss）~Ss，t+tw（s，~Ss）（t）- s）+xxw（s，~Ss）~Ss，t~Ss，t+O（ωγ（s，t））=xw（s，~Ss）~Ss，t+xxw（s，~Ss）~Ss，t+tw（s，~Ss）（t）- s）+xxw（s，~Ss）[X]s，t+xxw（s，~Ss）[S]S，t- [十] s、t+ O（ωγ（s，t））。因此，通过考虑[s，t]的一个分划π的s次区间[u，u′，求和，并让|π|→ 0，我们得到w（t，~St）- w（s，~Ss）=（H，H′）。（▄S，▄S）s、 t+（H′）。[S]- [X])s、 t，（4.10），尤其是（4.8）。右侧的第二个summand是一个定义良好的Youngintegra l，因为t 7→ xxw（t，~St）是有界q值，q<p/α，α>p- 2根据假设。为增量w（t，~St）写入ws，t-w（s，~Ss），0≤ s≤ t型≤ T

根据（4.10），对于一个分区π的每个超区间[u，u′]，我们可以写wu，u′- 胡苏，u\'=（H，H′）。（▄S，▄S）u、 u′型- 胡苏，u\'- H′u▄Su，u′＋H′u▄Su，u′＋（H′）。[S]- [X])u、 u′。因此徐∈πu′＜tSu′吴，u\'-胡苏，u\'≤erTKω（0，T）osc（ω，|π|）2/p+1/q-1+徐∈πu′<teru′H′uSu，u′+erT公司H′。[S]- [X]p/2-var，[0，T]，其中，通过应用[FV10，定理6.8]中的边界，我们可以看到H′。[S]-[X]p/2-var，[0，T]≤2(1-p） p[S]- [X]p/2-var，[0，T]1.- 21-（4/p+1/q）kH′kq var，[0，T]+kH′k∞,[0，T].因此，通过插入（4.7），我们得出结论。5混合基本方程的路径公式通过采用未贴现价格路径的观点，我们在路径设置中恢复了数学金融的经典公式。给定价格路径S，我们说，当选择增强S=（S，S）时，已经指定了S的模型。这意味着选择增强子，参见第3节。我们说的是一个α-差异模型规范，如果由i，ju，v=^vue2r tai，j（e-rtSt）dt，0≤ u≤ v≤ T、 1个≤ i、 j≤ d、 其中ai，j，1≤ i、 j≤ d是α-H¨older波动率算子的系数，r是恒定利率。换句话说，α-差异模型规范是某些折扣价格路径的A-增强的未贴现对应物，其中A是定义4.1中定义的α-H–OlderVolability操作符。定理5。设f（ST）为未定权益，其中f为Cb（Rd），Sti为有限p变化的连续d维价格路径S的终值。设S=（S，S）为α-离散模型规范，α>p- 2，设A=ai，ji、 j/2是相应的波动率算子。然后，Black-Scholes偏微分方程（e2r tai，j（e-rtz）zi，zjv+rziziv+tv=rv in[0，T）×Rdv（T，z）=f（z）（在{T}×Rd（5.1）上）允许Cα中的解v，并且该解是唯一的。

此外，每0≤ t型≤ T，数量Vt：=v（T，St）是基准马尔可夫模型中或有权益f（St）在T时的公允价值((Ohm, F、 Q，（Ft）t），A）。备注5.2。与我们在第2节中的论点一致，定理5.1的陈述表明，从期权买方的角度来看，概率仅在期权价格公平性的公正性方面起作用。相反，从期权作者的角度来看，价格的调整仅基于套期保值；在我们的路径框架中，请参见下面的第5.3页中给出的公式。因此，如果所需的价格路径信息编码在增强器中，则可以在指定的模型中制定套期保值策略，而无需参考基础价格的概率演化。定理5.1的证明。变量x的变化：=e-rtz允许将方程式（5.1）重写为(t+Aw=0英寸[0，T）×Rdw（T，x）=e-{T}×Rd上的rTf（e+rTx），其中w（T，x）=e-rtv（t，z）。因此，解的存在性、唯一性和正则性遵循方程（4.3）的解的存在性、唯一性和正则性。设p（t，t）为基准马尔可夫模型中f（ST）的公允价值((Ohm, F、 Q（Ft）t），A）。这意味着贴现价格路径被认为是马尔可夫差异过程的实现(Ohm, F、 Q）对于生成器A，这种扩散过程是一个Q-鞅。一方面，通过定价范式P（t，t）=EQe-r（T-t） 高（~ST）|英尺=e（T-t） Ah（~St），（5.2），其中h（x）：=f（erTx），eta是与A相关的半群。另一方面，It^o积分~Vt：=\'tzv（u，Su）dsui使得VT=e-rTh（~ST）和thusp（t，t）=ertEQVT |英尺= ert▄Vt，（5.3），因为▄V是鞅。结合（5.2）和（5.3），我们得到了第二个索赔。提案5.3。设f和S如定理5.1所示。

设S=（S，S）为α-离散模型规范，α>p- 让v=v（t，z）解方程（5.1）。如果（v，S）是q-m阶，对于一些1- 2/p<1/q<α/p，然后德尔塔，Gammat:=zv（t，St），zzv（t，St）是（p，q）-变化规律和vt的Gubinelli S-控制路径- 五=（δ，γ）。（S，S）0，t+^tVu公司- 德尔陶苏dSu，（5.4），其中Vt=v（t，St）和St=exp（rt）。证据该证明类似于命题4.4中的证明。实际上，sa me Taylor展开式表明，对于某些γ>1和某些控制函数ω，在任何分区π的子区间[u，u′]上，它保持sv（u′，Su′）- v（u，Su）=zv（u，Su）Su，u′+zzv（u，Su）Su，u′+tv（u，Su）（u′）- u）+zzv（u，Su）[S]u，u′+Oωγ（u，u′）.通过应用运算符lim |π|→0Pu∈π对于该展开式的两侧，我们得到（5.4），因为我们得到了Black-Scholes偏微分方程（5.1）。（5.4）中的路径微分方程在语法上与三角洲套期保值中投资组合过程的经典随机微分方程一致。此外，路径积分（δ，γ）的定义。（S，S）明确表示了对伽马灵敏度的依赖性，这不是经典随机积分所能捕捉到的。这为希腊的使用提供了理论基础，超越了领先的三角洲秩序。衍生品交易的基本定理定价和对冲公式在很大程度上取决于不同的模型规格。包括数学金融术语在内，此类规定相当于规定It^o价格动态中的差异（波动性）。波动性是无法直接观察到的，因此交易者很容易错误地定义波动性，并使用不能真实反映真实价格动态的系数。衍生品交易的基本定理解决了这种错误定位。