无概率期权定价模型：一种粗糙路径方法

在正则半鞅设置中，这些高阶展开式将表明It^o积分的Riemann近似将与以下形式的项相补偿∈πH′uXu∧t、 u′型∧t=Xu∈πH′uXu∧t、 u′型∧t型 徐∧t、 u′型∧t型- H′uhX，秀∧t、 u′型∧t型, （3.1）式中，hX，Xi表示半鞅X的二次变化，H′是H的合适导数，将在下文介绍。补偿项是将我们的积分与经典It^o积分以及[BW94]中采用的路径积分区分开来的技术因素。一方面，补偿项在概率上消失；事实上，当网格尺寸|π|缩小到零时，方程（3.1）中的量在概率上变为零（参见示例[RY99，ChapterIV，（1.33）练习]）。因此，概率积分对是否纳入补偿不敏感。另一方面，如果不包含补偿，则黎曼和不能沿网格为零的分区的任意序列沿路径收敛（见命题3.1）。这就是为什么A.Bick和W.Willinger[BW94]被强迫将分区序列的位置附加到他们的连续时间积分上，沿该序列积分被近似。相反，使用补偿的黎曼和可以绕过此问题。本节的目的是描述对Riema nn和的补偿，我们稍后将应用于数学金融学经典公式中的积分。补偿黎曼和的技术动机激励使用补偿黎曼和的两个技术原因。首先，如果积分器具有半鞅型正则性（或更差），则无补偿黎曼和不能沿路径收敛（见命题3.1）。

其次，在半鞅设置中，无补偿黎曼和的c收敛到相应的It^o积分的速率取决于潜在的概率测度（参见示例3.2）。提案3.1（【RY99，第四章，（2.21）练习】）。设X是[0，T]上的Rd值函数，对于C（[0，T]，Rd）中的每一个H，（无补偿）Riemann-sumslimn（πnH.X）T=limnXu的极限∈πnHuXu，u′存在于R中，沿着[0，T]的任意序列（πn）nof划分，网格大小为零。那么，极限实际上并不取决于分区的特定序列，X是有界变化的。第二个技术动机如下。讨论了黎曼和的收敛性与发生这种收敛的概率测度的关系。示例3.2。允许Ohm 是[0，1]上连续实值函数的空间C（[0，1]，R），F是其Borelσ-代数。设P为上的维纳测度(Ohm, F） ，因此坐标映射Xt（ω）=ω（t），ω∈ Ohm, 是（（Ft）t，P）-布朗运动，其中fti是σ（Xs：0）的P-c完备≤ s≤ t） 。考虑序列Pk，k∈ N、 概率测度的(Ohm, F、 （Ft）t）由dpkdp给出| Ft=expkXt公司-千吨级, 0≤ t型≤ 1，k=1，2。我们观察到，对于每个k，过程s Xt- kt是（（Ft）t，Pk）-布朗运动。对于每个hk，对于每一个连续（Ft）t适应被积函数H和任意序列（πn）nof具有消失网格大小的划分，我们得到了thatsupnlimn，m↑∞主键|（πnH.X）- （πmH.X）|>: >0o=0。考虑被积函数Hs≡ s和序列πn={l2-n： l=0，[0，1]的二元部分的2n}。我们声称，对于每一个>0，它同时持有Slimklimnpk|（πnH.X）- （πn+1H.X）|>= 0andlimnlimkPk|（πnH.X）- （πn+1H.X）|>= 事实上，因为πn+1=πn∪ {（2l+1）2-（n+1）：l=0。

，2n- 1} ，我们有XV∈πn+1v<1HvXv，v′-徐∈πnu<1HuXu，u′=Xu∈πnu<1Hu+2-（n+1）- 胡Xu+2-（n+1），u+2-n=2-（n+1）X-（n+1），1。因此，在pK差异下（πn+1H.X）- （πnH.X）分布为-（n+1）σnN+kσN,式中σn=（1- 2.-（n+1）），n是标准正态随机变量。我们得出结论（πn+1H.X）-（πnH.X）> =Φkσn-σnn+1+ Φ-σnn+1- kσnk↑∞-→ 1，其中Φ是标准正态随机变量的累积分布函数。3.2可加性、近似可加性和缝纫lemmaLet B为Banach空间，设X：[0，T]→ B是一条轨迹为B的连续路径。增量sxs，t：=Xt- Xs，0≤ s、 t型≤ T、 （3.2）在该路径中，定义一个双参数函数X=Xs，T平方[0，T]×[0，T]。我们在所有工作中使用（3.2）中的符号。此外，我们通常只考虑单纯形{（s，t），而不是考虑[0，t]中的一般sand t∈ R： 0个≤ s≤ t型≤ T} [0，T]。X的clearproperty是可加性，对于所有0≤ s、 u，t≤ T它保持sxs，T=Xs，u+Xu，T.（3.3）注意，如果X是仅在单纯形上定义的先验函数，但是加法函数，则可以通过设置Xt，s：=-可加性在以下意义上描述了从路径增量下降的函数X在[0，t]×[0，t]上的特征。提案3。3.设X:[0，T]×[0，T]→ B为添加剂。然后，在Bsuch thatXs上存在路径x，t=xt- xs，0≤ s、 t型≤ T、 此外，如果y是另一条增量与X重合的路径，则y- x是常数。我们将划分π同时视为点的有限集合和π细分的给定时间间隔[s，t]的相邻子间隔的有限集合。

给定[0，T]的一部分π和[0，T]中的一个时刻T，我们采用以下符号约定：T′：=inf{u∈ π：u>t}，t型 := sup{u∈ π：u≤ t} ，t- := sup{u∈ π：u′≤ t} ，t :=（t- 如果t∈ πt型 如果t/∈ π、 |π|：：=sup{| u′- u |：u∈ π} ，πt：=π ∪ {t}∩ [0，t]。（3.4）设π为所考虑的时间间隔[s，t]的一个分区。从可加性（3.3）可以得出Xu∈πXu，u′=Xs，t.（3.5）这与分区π的选择无关，因此如果πn，n≥ 1是一个网格尺寸收缩为零的分区序列，我们可以将公式（3.5）带到n和writelmn中的极限↑∞徐∈πnXu，u′=Xs，t.（3.6）实际上，这并没有使用网格大小|πn |：：=sup{| u′这一事实- u |：u∈ πn}作为n变为零↑ ∞. 然而，限制此类分区序列很快就会变得有意义，因为我们希望将（3.6）中的限制解释为积分tsdX。为了强调（3.6）中的限制不取决于特定的分区顺序，我们编写了|π|↓0Xu∈πXu，u′=Xs，t.（3.7）在积分表示法中，这是一个平凡但基本的关系'tsdX=Xs，t。设X：{（s，t）∈ R： 0个≤ s≤ t型≤ T}→ B、 我们说X是某些p的有限p变量≥ 1 ifkXkpp var，[0，T]：=sup（Xu∈π| Xu，u′| p：[0，T]的π分划<∞.如果X是加法，则此符号是基础路径的常用p-变化范数。对于s≤ u≤ 我们引入符号δXs，u，t：=Xs，t- Xs，u- 如果X是加法，那么δX≡ 方程（3.7）是两种表述的组合：a.左手边的极限存在，并且对于网格大小为零的分区的每个序列都是相同的；b、 这样的限制定义了单纯形上的加法泛函，从而定义了一条路径。我们已经看到，如果我们从加法X开始，这些性质是直接的。

现在我们将放宽x的可加性，以获得命题3.7中的非平凡陈述。定义3.4（“控制功能”）。控制函数ω是{（s，t）上的非负连续函数∈ R： 0个≤ s≤ t型≤ T}，对角线上为null，如T hat1。ω（s，t）≤ ω（s，t），如果区间[s，t]包含在区间[s，t]中；2、ω（s，u）+ω（u，t）≤ ω（s，t），对于所有s≤ u≤ t、 控制函数概括了区间长度的概念。公共控制为ω（s，t）：=| t- s |对于有限p变量的连续路径x，ω（s，t）：=kxkpp var，[s，t]。由此，可以通过线性组合cω+cω与非负系数c、c定义新的控制∈ R≥0，以及指数γ和γ满足γ+γ的副产品ωγωγ≥1，见【FV10，练习1.9】。给定[s，t]的一个划分π [0，T]我们可以使用控制功能来测量网格大小。定义3.5。在小于或等于网格尺寸|π|的尺度上，ω的连续模量由OSC（ω，|π|）给出：=sup{ω（s，t）：| t- s |≤ |π|}.定义3.6（“近似可加性”）。函数Ξ：{（s，t）∈ R： 0个≤ s≤ t型≤ T}→ Bis表示近似相加if1。它在对角线上为空且右连续，即Ξs，s=limt↓对于[0，t]中的所有s，sΞs，t=0；存在γ>1和控制函数ω，使得| s，t- Ξs，u- Ξu，t |≤ ωγ（s，t），（3.8）对于所有s≤ u≤ t、 注意，等式（3.8）意味着对于所有1<γ′<γkδΞkω，γ′：=sups≤u≤t |ΔΞs，u，t |ωγ′（s，t）≤ ωγ- γ′（0，T）。因此，上述条件2等价于存在一个控制ω和一些γ>1，例如kΔΞkω，γ<∞.命题3.7（“缝纫引理”）。

设Ξ：{（s，t）∈ R： 0个≤ s≤ t型≤ T}→ B近似可加，并使控制ω和指数γ>1，使得kΔΞkω，γ<∞.然后，存在唯一的连续路径^Ξ：[0，T]→ B、 我们用“tsΞ”表示其增量，因此对于所有0≤ s≤ t型≤ T1。\'tsΞ=lim |π|↓0Pu∈πΞu，u′，极限在B；2.^tsΞ- Ξs，t≤kδΞkω，γ1- 21-γωγ（s，t）。（3.9）备注3.8。关于[FH14引理4.2]中的公式，命题3.7将所谓的缝纫引理扩展到一般控制ω的情况。因此，它允许处理p变化规律的情况，这比1/p-H–older规律的情况更普遍。根据建议n 3.7，我们可以将积分视为映射：Napproximativelyadditivefunction→nadditivefunctionalso。根据命题3.3，我们可以明确地用B上从0开始的连续路径空间来替换RangeAditiveFunctionalsOW∈ B、 设AAp var（[0，T]；B）是近似可加函数族{（s，T）∈ R： 0个≤ s≤ t型≤ T}→ B确认值，p≥ 1、然后，我们可以陈述以下推论3.9。对AAp var（[0，T]；B）的积分映射的限制取B上从原点0开始的连续路径的空间Cp var（[0，T]；B）中的值∈ B和具有明确的变化。此外，^：AAp var（[0，T]；B）-→ Cp变量（[0，T]；B）Ξ7-→ lim |π|↓0Xu∈πΞu，u′在p-变分范数中是连续的。证据方程式（3.9）中的立即数。3.3杨氏积分let X:[0，T]→ B连续且p变化有限。设H：[0，T]→ W是有限q变化的连续，其中W=Hom（B；V），V是Banach spa c e。我们说，如果1/p+1/q>1，p和q是年轻互补的。命题3.10（“Young积分”）。设p和q是年轻互补的，并将Ξs，t：=HsXs，tf全部设为0≤ s≤ t型≤ T，或Ξs，T：=所有0的HtXs，T≤ s≤ t型≤ T然后，Ξ近似为加性和有限的p-变化。

因此，积分。X：=直线度|π|↓0Xu∈πΞu，u′（3.10）定义了有限p变化V中的连续路径。（3.10）中的积分并不取决于Ξ是否根据Ξs，t=HsXs，tor toΞs，t=HtXs，t定义。H的连续性仅用于表明在分区子区间开始或结束时计算H的选择不会影响积分。这两种选择分别被称为适应性评估和最终评估。如果H不是连续的，而是有界变化，则定义年轻积分（因为q=1），但取决于评估选择。如果π是[0，T]的一个分区，我们设置πHt：=Xu∈πHu11{t∈ （u，u′）}，表示网格π上H的分段常数caglad近似。我们让πH.Xbe是H对X的年轻积分，具有终端值，即（πH.X）0，t：=Xu∈πtHuXu，u′。这样，对于H连续和有限q变化，1/p+1/q>1，我们可以写。X=lim |π|↓0πH.X.（3.11）3.4补偿积分\'a la Gubinelli当被积函数H和积分器X的互补正则性不适用于Young积分时，我们采用补偿Riemann和。尤其是在这种情况下，当p大于2时，ifH和X具有相同的p变化规律。如上所述，设X是有限p变化的连续路径，其轨迹在banach空间B中。回想一下，W表示Hom（B；V）。我们使用识别Hom（B，W）~=Hom（BBV），我们写Homsym（B BV）对于这些l 单位：Hom（B BV）确保l （a） b） =l （b） a） 对于所有a、b∈ B

此外，符号B⊙ B将表示Banach空间B的对称张量积，因此我们可以识别Homsym（B B五）~=Hom（B⊙ BV）。我们说连续路径H：[0，T]→ 如果存在连续路径H′：[0，T]，则W允许关于X的对称Gubinelli导数H′→ 霍姆西姆（B BV）细微变化，如1。q和p／2是年轻互补的；2、RHs，t：=Hs，t- H′sXs，这是有限的pq/（p+q）-变化。在这种情况下，我们说这对（H，H′）是X控制的（p，q）-变化规律。注意，X的RHand的规律性意味着H是有限的p变化。定义3.11（“路径增强”）。设X为Cp-var（[0，T]；B），A为inCp/2-var（[0，T]；B）⊙ B） 。X的A-增强是X=（X，X）对，其中2xs，t=Xs，t Xs，t- L.C.Young的原始文章是[You36]，其中介绍了Stieltjes积分的扩展。我们的参考文献是[FV10，第6章]中包含的年轻积分的粗糙路径表示。类似地，如果X是inCp var（[0，T]；B）和（s，T）7，则我们得到了增强路径X=（X，X）p变化规律的峰值→ Xs，t Xs，t- 2Xs，tde定义添加剂B⊙ 有限p/2变化的B值函数。路径As，t：=Xs，t Xs，t- 2Xs，它被称为X的增强子，我们通常用symbol[X]s，t来表示这种增强子：=Xs，t Xs，t- 2Xs，t。当强调Symbol的财务意义时，它将被称为波动增强剂。我们说X=（X，X）是X ifsup（Xu）的有界变差增强∈π[十] u，u′: [0，T]）<∞.注意，δX不依赖于增强子，因为[X]是加性的；此外，对于ALL≤ u≤ t以下简化的Chen恒等式保持δXs，u，t=Xs，u⊙ 徐，t.引理3.12。设X=（X，X）为增强路径，设（H，H′）为（p，q）变化规律的X控制，H′对称。

那么，Ξs，t：=HsXs，t+H′sXs，t近似相加。根据引理3.12，由补偿黎曼和（H，H′）给出的积分。（X，X）=lim |π|↓0Xu∈πhHuXu，u′+H′uXu∧t、 u′型∧这是很明确的。与（3.11）类似，我们写（πH，πH′）。（X，X）=Xu∈πhHuXu，u′+H′uXu∧t、 u′型∧ti，所以（H，H′）。（X，X）=lim |π|↓0（πH，πH′）。（X，X）。与q-中等对相关的空间梯度被积函数如果J是时间间隔，n和m是非负整数，α，β在[0，1]中，考虑空间cm+β，n+αloc（J×Rd；Re）具有局部β-H¨older正则性的m次时间导数的m次连续可微的重值函数，以及具有局部α-H¨older正则性的所有n阶空间导数的n次连续可微的n次空间重值函数。没有关于Cm+β，n+αloc中函数在时间和空间上的交叉导数的假设。LetCm+β，n+α交叉（[0，T]×Rd；Re）是Cm+β，n+αloc（[0，T]×Rd；Re）的子空间，由函数SF组成，因此增强路径被称为[FH14，第5章]中的简化粗糙路径。增强路径满足以下两个属性，这两个属性被视为简化粗糙路径的定义属性：1。对称二阶过程X=symX具有有限的p/2变化；2、降低的陈的身份保持不变，即对所有s≤ u≤ tXs，t- Xs，u- Xu，t=Xs，u⊙ Xu，t.In【FH14，引理5.4】这两个性质必然意味着我们采用了更明确的公式。1、对于| I |=n的每个多指标I和每个紧致K Rd，supnIxf（t，·）α-羟基，K:0≤ t型≤ 至<∞;2、对于每个紧凑型K Rd，supnkmtf（·，x）kβ-H¨ol，[0，T]：x∈ Ko<∞.设Cα为空间Cα：=C1+α/2，2+αloc（[0，T）×Rd）∩C（[0，T]×Rd）。（3.12）定义3.13（“q-缓和”）。设w在Cα中，X是有限p-变分上的连续路径，其中p- 2 < α < 1. 我们说这对（w，X）是q-moder-ate if1。

路径：t 7-→ xw（t，Xt）H′：t 7-→ xxw（t，Xt），0≤ t<t，可以连续扩展到[0，t]，并且H′对于一些1-2／p＜1／q＜α／p；2、存在一个控制函数ω，使得对于迹x[0，T]中的所有x和所有0≤ s≤t型≤ T型|xw（t，x）- xw（s，x）| p*≤ ω（s，t），其中p* = pq/（p+q）；3.sup0≤s≤Txxw（s，·）α-羟基，ConvX[0，T]<∞,其中，ConvX[0，T]是X的迹的凸包。备注3.14。设0<α<1和p，q≥ 1应确保1- 2/p<1/q<α/p。假设w∈ C1+α/2，2+αloc（[0，T]×Rd；R）是这样的xw在C1/p+1/q、1+a交叉（[0，T]×Rd；Rd）和xxw为C1/q，α交叉（[0，T]×Rd；Rd×d）。然后，对于Cp var（[0，T]；Rd）中的所有X，对（w，X）是中等的。特别是，如果w在组合时空变量（t，x）中具有α-H¨older正则性的二阶导数，则这一点成立。引理3.15。设w在Cα中，X是有限p-变化的连续Rd值路径，其中p- 2 < α < 1. 假设该对（w，X）为q-中等，1- 2/p<1/q<α/p。然后，（H，H′）：=xw（t，Xt），xxw（t，Xt）是（p，q）-变化规律的Gubinelli X-控制路径。4差异类型的增强路径依赖于第3节中介绍的路径积分，我们现在描述一个框架，以评估实际影响套期保值实践的价格轨迹的路径特征，忽略随机模型的概率规格。我们将考虑嵌入随机模型基本特征的增强价格路径（定义3.11中定义）。在这些模型中，我们分离出了我们采用作为基准的阶级差异模型（马尔可夫模型）的后代。基准马尔可夫模型由以下两部分组成((Ohm, F、 Q，（Ft）t），A），其中(Ohm, F、 Q，（Ft）t）是一个过滤概率空间，a是一个扩散发生器。