无概率期权定价模型：一种粗糙路径方法

不幸的是，我们在这里看到，看涨期权（或相当于看跌期权）支付的非平滑性阻碍了我们直接应用上述结果。我们现在将对此进行详细讨论。回顾定义3.13中的三个条件。设Ht和H′t为（7.6）中与价格相关的δ和γ敏感性，名称为Ht=δ=zv（t，St）=N（d（t，St）），（7.7）H′t=Gammat=zzv（t，S）=N′（d（t，St））Stσ√T- t、 （7.8）其中N′表示标准正态分布的概率密度函数。定义3.13中三个条件的完整性取决于价格路径的终值。根据该终值，我们有以下渐近性t↑ T:d（T，St）~ d（t，St）~ （T- t）-如果ST>K；d（t，St）~ d（t，St）~ -（T- t）-如果ST<K.（7.9），如果ST=K，则dnor dhave a limit as t↑ T为了看到这一点，我们使用了重对数定律，它给出了布朗级数的小时间渐近性的精确说明。在所采用的几何布朗运动的情况下，我们得到了终端值STis写为asST=StexpσWT- σWt+r-σ（T- t）.如果ST=K，那么通过在方程的两侧取对数，我们得到了K- ln St=σWT- σWt+r-σ（T- t） 。因此，作为t↑ 我们有- ln Stσ√T- t型~WT公司- Wt公司√T- t=重量- Wtp2（T- t） ln ln（1/（t- t） ）|{z}lim sup=1；lim inf=-1·r2 lnT- t、 （7.10）右侧的第一个因素是：↑ T等于1，且极限值等于-因此，如果ST=K，则Lim supt↑Td（t，St）=直线电机支持↑Td（t，St）=+∞,lim信息↑Td（t，St）=lim inft↑Td（t，St）=-∞.（7.11）由于方程式（7.11），定义3.1 3中的条件1和2并不总是满足的。此外，T处的奇点也会影响条件3。条件1。H和H′延伸到时间范围t的条件取决于价格路径的终值。

假设ST>K。然后，项sd（t，ST）和d（t，ST）都收敛到+∞ 作为t↑ T和thuslimt↑Tv（t，St）=St- K、 限制↑Tzv（t，St）=1，limt↑Tzzv（t，St）=0。因此，在ST>K的情况下，通过设置ht=1和H′T=0，H和H′可以连续扩展到T。此外，请注意，t H′在[0，t]上是有限的p-变量，因此，由于它可以连续扩展到t，它实际上是[0，t]上的有限p-变量。cas e ST<K类似。事实上，在这种情况下，术语d（t，St）和d（t，St）两者都接近于-∞ 作为t↑ T和thuslimt↑Tv（t，St）=0极限↑Tzv（t，St）=0，limt↑Tzzv（t，St）=0。因此，在ST<K的情况下，通过设置ht=0和H′T=0，H和H′可以连续扩展到T。此外，请注意，t H′在[0，t]上是有限的p-变量，因此，由于它可以连续扩展到t，它实际上是[0，t]上的有限p-变量。相反，情况ST=K不允许延长到时间T。事实上，由于方程式（7.1 1），N（d（t，St））将不会有一个限制为t↑ T此外，H′将收敛到+∞ 作为t↑ 因为，使用方程（7.10），我们有′（d（T，St））√T- t型~(2π)-经验值(-WT公司-Wt公司√2（T-t） ln ln（1/（t-t） （）· 2英寸lnT-t）√T- t、 （7.12）条件2。对于所有x>0，函数t 7→ N（d（t，x））在[0，t]上是连续可微的↑Td（t，x）=+∞ 如果x>Klimt↑Td（t，x）=- ∞ 如果x<K，则函数t 7→ N（d（t，x））在[0，t]上有界变化，如果x>K或x<K，则可以连续扩展到闭合区间[0，t]。相反，在c asex=K时，则不会连续扩展到t。条件3。对于所有t<t，我们有mapx 7→N′（d（t，x））xσ√T- t（7.13）在（0+∞).

事实上，我们可以计算x个N′（d（t，x））xσ√T- t型= -d（t，x）+σ√T- t型N′（d（t，x））xσ（t- t） 。因此，我们得到了所有>0supx≥x个N′（d（t，x））xσ√T- t型≤Cσ（T- t） ，对于不依赖于t的fix e d常数C。限制x≥ 并不妨碍适用性，因为股票价格总是严格正的，因此路径S的下界是严格正的常数。由于后一种估计，对于所有的t<t，方程（7.13）中的映射对于所有的0<α<1都是α-H¨older。然而，当t接近t时，H¨older连续性的模量趋于完整。这表明，定义3.13中的条件3在期权到期之前不满足，但Gamma仅在期权到期之前的一段时间内控制Gubinelli意义上的Delta。以上评估的三个条件表明，当接近期权成熟度时，我们基于整合的路径框架的适用性受到敏感性奇点的阻碍。原则上，可以通过期权支付的平滑近似来规避这一问题，从而消除非差别点；我们将此作为未来的练习。相反，我们评论这说明了期权交易在实践中的意义，以及我们的路径框架所揭示的这些奇点如何被视为期权对冲实用性的基础。在实践中，当时间接近到期时，敏感性的不稳定行为是众所周知的，特别是在货币期权的情况下（即标的期权的价格等于或非常接近于行使）。

因此，通常在实际期权到期之前停止delta Hedging，并继续采用更简单的策略，如买入并持有。这可以通过引入一个小于期权到期日T的时间范围T来描述；然后，基于Black-Scholes模型的主要期权交易取决于未贴现的Black-Scholesde(t+L（e）-rt^v）=0 in[0，^T）×Rd^v（^T，z）=v（^T，z）在{T}×Rd上，其中L由L^（z）=zσ给出zzИ（z）+rzzИ（z），Д∈ Cb（Rd）∩ C（Rd）。（7.14）（7.14）和v=v（t，z）在方程式（7.6）中给出，且^v表示PDE中的未知值。实际上，函数v和^v在[0，^T]×Rd中重合，但我们使用不同的符号来强调，后者被认为是期权到期之前停止的Black-Scholes解。上述问题不适用于该对（^v，S），该对在定义3.13至ho rizon^T的意义上为q型。因此，我们的路径方法揭示了支持上述常见实践的数学特征。在^T之后，在时间接近T的极限范围内，方程式（7.8）中的灵敏度γ不再控制方程式（7.7）在古比内利意义上的δ。这是由于上述定义3.13中的条件3失效所致。此外，在moneyoptions的情况下，随着时间接近T，伽马灵敏度会偏离到单位。这对提案5.4的盈亏公式产生了影响，如以下提案所述。提案7.1。假设ST=K。考虑方程（7.4）中由theenhancer指定的Black-Scholes模型，并考虑真实价格信号的粗略括号。设<γ<1。假设对于所有的>0，存在一个分区，使得|π|<andinfu，u′- [S] u，u′：u∈ π> 1-γ.

（7.15）那么，总是存在一个任意确定的交易网格，使得该交易网格上的deltahedging利润和损失偏离-∞ 随着时间的推移，期权到期。备注7.2。命题7.1指出，在货币期权的情况下，如果Black-Scholes模型的错误描述导致波动性被低估，那么在进行delta对冲时，存在交易时间，这将使交易风险承担无限损失。相反，在货币内期权和货币外期权的情况下（分别为ST>K和ST<K），随着时间接近到期，伽马敏感性有一个限制，该限制为零。因此，在这两种情况下，描述利润和损失的年轻积分可以在第3节的积分边界上进行界定。命题证明7.1。设π为期权到期前的交易网格。考虑这个交易网格上方程式（5.5）中年轻积分的近似值，即Xu∈πGammau（[S]u，u′）- u，u′）。（7.16）方程式（7.15）中的条件表示，对于每一个>0，就存在π=π（），使得π中的所有u都保持[S]u，u′- u，u′≤ -1-γ.因此，如果在该分区上执行等式（7.16）中的和，则该和的上界为-1-γΓT-,其中T- 表示紧靠期权到期日之前的分区点。根据方程（7.12）中的渐近性，我们将其视为↓ 0数量-1-γΓT-转到-∞.8结论在这项工作中，我们提出了一种不使用概率的欧洲期权定价和对冲技术工具。我们提出建议的动机是基于这样一个事实，即martinga le定价的经典范式中的衡量标准的变化意味着只有实物基础证券的路径属性才与衍生价值的估值相关。

这一点在A节中得到了建设性的展示，其中给出了一个例子，即在任意确定的时间网格上可能无法区分的两种股票动态实际上意味着在其上书写的欧洲期权的任意不同价格。我们的无概率装置依赖于增强的价格路径，该路径是根据路径理论的精神定义的。一方面，它们的增强对于路径集成至关重要，这将在第3节中讨论。另一方面，它们封装了衍生工具估值的amodel规范，包含了套期保值所需的信息（第4节）。此外，这些改进允许评估模型的错误规定：证明了“错误”波动率下套期保值的损益公式，概括了所谓的激励交易的基本原理（第5节）。我们确定了允许在对冲策略描述中应用Gubinelli积分的精确假设。这些假设在标准的BlackScholes案例中得到了满足，即欧元区看涨期权和看跌期权的时间仅为严格先于期权到期日的时间T。一方面，当^T收敛到T（不使用概率）时，这打开了关于极限情况的合适近似的问题；另一方面，它为一些与不稳定的期权敏感性相关的对冲实践提供了数学基础，尤其是在现金情况下。除了这一技术问题之外，我们对数学金融学经典公式的研究方法还提出了进一步可能的研究方向。事实上，目前的工作采用了期权作者的观点，期权价格被认为是复制期权支付的自我融资对冲策略的初始禀赋。

这可以通过讨论依赖于增强d路径的套利来补充，从而采用期权买方的观点。事实上，我们的增强路径扩展到了半鞅的其他部门，这将使无套利论点适用于具有交易成本和其他市场缺陷的模型。事实上，在这些情况下，价格走势通常不如东南美洲金枪鱼那么规则。此外，我们想指出的是，交易成本下无套利的经典论点是基于一致的价格体系，参见【Gua06】、【GRS08】。这意味着没有套利最终是基于支持定理，因此提供了应用粗糙路径理论的机会，粗糙路径理论在支持型参数中的应用已被证明是富有成效的（见[FV10，第19章]）。在这个方向上，伦敦帝国理工学院最近的一篇硕士论文迈出了第一步（[Pei19]）。参考文献[AKL12]Marco Avellanda、Gennady Kasyan和Michael D Lipkin。期权到期日附近股票钉扎的数学模型。《纯粹与应用数学通讯》，65（7）：9 49–9742012。Marco Avellaneda和Michael D Lipkin。由市场引导的股票定价机制。《定量金融》，3（6）：417–4252003年。Damiano Brigo和Fabio Mercurio。离散观测股票价格替代连续时间动态的期权定价影响。财务Stoch。，4(2):147–159,2000.达米亚诺·布里戈。关于具有在有限维指数族中演化的边际法则的SDE。统计学家。概率。Lett。，49(2):127–134, 200 0.达米亚诺·布里戈。期权定价中的无概率模型：统计上不可区分的动力学和历史波动率与隐含波动率。

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几何布朗运动），并给出一个交易网格π，它们构造性地证明了连续价格动态的存在，使得以下情况同时成立1。在网格π上，它的所有概率特征都是X的概率特征；2、将未定权益定价为XDOE。无论网格如何清晰，都存在这种“替代动态”，它们跨越了无套利价格的所有范围。在这方面，“替代本地动态”具有欺骗性，因为根据统计推断，gr idπ上的分布特性会使交易者倾向于用于定价和对冲目的，而“正确”的波动率将是X。这表明Black-Scholes定价技术忽略了离散观察到的标的证券的分布特征。本节致力于重新制定Brigo和Mercurio的结构。我们的公式强调了隐含波动率概念与历史波动率概念的分离（更精确的术语可能是边际方差），因此从我们的路径视角描述了Briggo和Mercurio的构建。我们根据福克-普朗克方程和密度的有限维流形中的边际定律的演化，发送了简单的直接证据，绕过了原始论述（例如，见[Bri00]）。此外，我们还处理了原始文章中暗示的一个限制性案例。事实上，在[BM00]中，“替代动力学”是通过将不同的过程拼凑在一起而构建的，这种操作依赖于网格点周围的-邻域。作者指出，在极限中出现的过程是↓ 0存在，但他们没有处理此限制情况。通过引入弱NAP等价的概念，我们设法在命题a中呈现一个整洁的s陈述。21关于这个极限情况。我们首先回顾[BM00]中使用的三个概念。