无概率期权定价模型：一种粗糙路径方法

它们涉及随机过程的分布性质。定义A.1（“边缘身份”）。设X和Y是时间窗[0，T]上的随机过程。我们说，如果X和Y的边际定律始终相等，即如果对于所有有界可测f和所有0≤ t型≤ T它保持sef（Xt）=Ef（Yt）。（A.1）备注A.2。方程式（A.1）中的条件是指两个过程X andY的定律。因此，实际上没有必要假设X和Y定义在相同的概率空间上。我们将在定义中强调这一点。不同的概率空间呈现了不同的股价演变模型。然而，假设X andY定义在相同的概率空间上，并不影响一般性，因为可以使用一个概率空间，使两个过程都可以共同构建。设π为[0，T]的划分，即[0，T]中点的有限有序集合，使得初始时间0和时间范围均为π。设t在[0，t]中。我们采用以下符号约定：t′：=inf{u∈ π：u>t}，t型 := sup{u∈ π：u≤ t} （A.2）定义A.3（“π-马尔可夫性”）。设X为[0，T]上的随机过程，设（Ft）为X生成的最小过滤。设π为[0，T]的一个划分。我们说X是π-马尔可夫如果对于π中的所有s，所有t≥ s、 所有有界可测f，它保持se[f（Xt）| Fs]=E[f（Xt）| Xs]。定义A.4（“π-不可区分性”）。设X和Y是[0，T]上的随机过程，π是[0，T]的一个划分。我们说，如果X和Y是π-马尔可夫的，那么它们是π-不可区分的，而if1。对于π中的所有s，Xsand的边际律的推进是R上等价的概率测度；2.

对于π中的所有s，所有t≥ s、 对于几乎所有的有界可测f，对于R中的每个z，关于Xs的边际定律的推进（或等价于Ys），它都保持se[f（Xt）| Xs=z]=E[f（Yt）| Ys=z]，（A.3）。等式（A.3）中的条件是，如果边际Xs和ysa相等，则边际Xs和Yt的定律重合。换句话说，对于π中的所有s和所有t≥ s、 以X为条件的X定律与以Y为条件的Y定律相同。与RemarkA中的观察结果相同。2 a适用于方程式（a.3）中的条件。Moreover观察到π-不可区分性意味着离散时间马尔可夫过程的转移函数πXt：=Xt型和πYt：=Yt型都是一样的。我们介绍的最后一个概念是典型的财务概念。acr onym NAP应支持无套利定价。我们确定了一个确定性利率r，以便将无风险资产St=Sexp（+rt）纳入普通市场模型。给定价格过程X，时间t时X的远期价格定义为e-rtXt。定义A.5（“NAP等效性”）。设X和Y分别为上定义的正半鞅(Ohm十、 FX、PX）和(OhmY、 FY，PY）。我们说，如果分别定义了概率测度Qx和QY，则X和Y诱导等价的定价核/是NAP等价的(Ohm十、 FX）和(OhmY、 FY），并等效于px和PY，例如1。X和Y的远期价格分别是qx和QY鞅；2、对于所有s，将X和Y的边际定律与QXandQYare等价作为R上的概率测度向前推；3.

对于所有的s<t，并且对于几乎所有的z，关于Xs的边缘律（或等效于Ys的边缘律）的推进，对于所有有界的可测f，它保持seqx[f（Xt）| Xs=z]=EQY[f（Yt）| Ys=z]，（A.4），其中EQX和EQY分别表示qx下和QY下的期望。示例A.6（“NAP等效几何布朗运动和风险市场价格”）。众所周知，如果ui，i=1，2是两个实数，而Xit，i=1，2是动态xi=uiXidt+σXidWi（A.5）之后的价格过程，其中σ是波动系数，W是标准的一维布朗运动，然后X和X引入不同的定价核。将物理动力学（A.5）引入其相应定价动力学的度量变化xi=rXidt+σxidwi由dqidpi=E描述-ui- rσWi, i=1，2，其中E表示指数。系数（ui- r） /σ指的是风险的市场价格，它在相对于物理度量的度量的Radon-Nykodim导数的动力学中起着波动性的作用。如果（X，QX）和（Y，QY）是时间齐次马尔科夫过程，那么方程（A.4）就是它们的转移半群的等价性。事实上，在时间齐次马尔可夫性的假设下，我们可以用^f（x）pXt替换方程（A.4）-s（z，dx）=^f（y）pYt-s（z，dy），对于所有有界可测f和几乎所有z，支持Xs的向前推。接下来的讨论实际上就是这样，在定价度量下，过程X和Y将是几何布朗运动。

在马尔可夫性假设下，在该公式中，pXt（z，dx）表示与时间齐次马尔可夫过程（X，QX）相关的转移函数，pYt（z，dy）表示与时间齐次马尔可夫过程（Y，QY）相关的转移函数。方程（A.4）暗示过程X和Y的全部定律是相同的；在布朗运动的情况下，这迫使X和Y在定价度量下具有相同的漂移和相同的效率差，如示例a所示。考虑到几何布朗运动，我们可以建立以下命题。它将允许我们将相邻时间间隔上定义的流程拼接在一起，并保持NAP等效性。提案A.7。设（X，Y）和（X，Y）是两对NAP等价价格过程。假设在定价度量下，它们是时间齐次马尔可夫过程，其中xin依赖于X，yin依赖于Y，X=Y≡ 1、考虑连接XT=（Xt0≤ t型≤ TXTXt文本-TT<t≤ 2TandYt=（Yt0≤ t型≤ 泰泰特-TT<t≤ 2吨。那么X和Y是NAP等效的。证据让(Ohm, F、 Q）是适应过程（Xi，QXi）和（Yi，QYi）的概率空间，i=1，2。首先，我们需要证明，对于所有有界可测f和all0≤ s≤ t型≤ 2T它保持se[f（Xt）| Xs=z]=E[f（Yt）| Ys=z]，（A.6），其中期望值是关于Q计算的。这是因为在Q下，存在{log Xt，0≤ t型≤ 2T}与{log Yt，0}定律相同≤ t型≤ 2T}。

要看到这一点，请观察log X和log Y是马尔可夫的，并且：{log Xt，0≤ t型≤ T}和{log Yt，0≤ t型≤ T}根据假设是相同的；2） {log Xt，T的定律≤ t型≤ 2T}和{log Yt，T≤ t型≤ 2T}是相同的，因为它们都符合由log x的转移半群和初始分布log XT描述的马尔可夫过程的唯一定律。其次，我们需要证明远期价格是Q鞅。同样，这是对时间t=t的清除。如果s≥ T，thenE[电子]-rtXt | e-rsXs）=E[Ehe-rtXt公司e-rTXT，e-r（t-T）Xs-Ti | e-rsXs]=E[E-rTXTe公司-r（s）-T）Xs-T | e-rsXs]=e-rsXs。最后，如果s<T<T，那么-rtXt | e-rsXs]=E[E-rTXT | e-rsXs]E[E-r（t-T）Xt-T] =e-rsXs。e的鞅性-rtYtis要么以类似的方式证明，要么从e-RTX和法律上的等效性。定义A.5中概念的宽松版本带来了以下定义A.8（“弱NAP等效性”）。设X和Y为正半鞅，解释为价格动力学。我们说，如果存在正半鞅序列X和Yn，n，X和Y是弱NAP等价的≥ 1，这样1。对于所有t，log prices log xnT和log ynt分别收敛为log xT和log YtinL（P）作为n↑ ∞;2、对于所有s和t，（Xns，Xnt）的联合定律收敛到（Xs，Xt）的联合定律，即n↑ ∞,（Yns，Ynt）的联合律收敛到（Ys，Yt）的联合律；3、对于每个n，进程Xnand和ynNAP是等价的。序列Xnand Yn，n≥ 1，在定义中，ab ove被称为弱NAP等效对（X，Y）的还原序列。备注A.9。考虑日志正常情况，其中处理log X、log Y、log X和log Ynfrom definitiona。8都是高斯过程。那么，定义中的要求1实际上意味着要求2。

实际上，（Xns，Xnt）的联合定律收敛于（Xs，Xt）的联合定律，当且仅当高斯变换器（log Xns，log Xnt）的均值和协方差矩阵收敛于高斯变换器（log Xs，log Xt）的均值和协方差矩阵。从收敛日志Xnu可以立即看出，E[log Xns]、E[log Xnt]、E[（log Xns）]和E[（log Xnt）]分别收敛到E[log Xs]、E[log Xt]、E[（log Xs）]和E[（log Xt）]→ 记录所有u的Xuin L（P）。此外，从L（P）中的相同收敛性可以看出，乘积log Xnslog Xnt收敛到productlog Xslog Xtin L（P），协方差cov（log Xns，log Xnt）收敛到协方差cov（log Xs，log Xt）。Ynto Y收敛的情况是analo gous。将NAP-e等效过程串联起来的可能性立即扩展到了weaklyNAP等效过程。推论A.10。设（X，Y）和（X，Y）是两对弱NA-P-等价过程。Let（X1，n，Y1，n）nand（X2，n，Y2，n）n，n≥ 1，是它们的约化序列，并假设每n个NAP等价过程（X1，n，Y1，n）和（X2，n，Y2，n）满足概率a的假设。7、然后串联XT=（Xt0≤ t型≤ TXTXt文本-TT<t≤ 2TandYt=（Yt0≤ t型≤ 泰泰特-TT<t≤ 2吨。弱NAP等效。在介绍了上述概念之后，我们准备构建“替代动力学”。允许Ohm, F、 P设W为概率空间上的布朗运动。我们认为概率测度P是固定的，我们将其称为物理测度。设（Ft）为W生成的最小完成右连续过滤。我们考虑在时间窗口[0，T]中定义的流程。

给定tin[0，T[，空间L（PdtT公司-t） =L(Ohm ×[t，t]，F B[t，t]，PdtT公司-t） 是平方可积随机变量的空间Ohm ×[t，t]关于产品度量值PdtT公司-t、 式中dt/（t）- t） 是[t，t]上的归一化勒贝格测度。我们使用符号flung dt表示关于这种归一化Lebesgue测度的积分。对于L（P）中的ξ dt/（T）- t） ）我们设置| | |ξ| | | |：=Ttkξ（t）kL（P）dt（A.7），并观察| | |ξ| | |≤ kξkL（Pdt/（T）-t） ）。设L（[0，T]；L（P））是L（P）的闭包 dt/（T）- t） ）关于| | |·| | |。设H为严格正实数。对于s，t>t，我们将介绍函数K（t，s，t）：=s- tt- t型H-（A.8）和RH（t，s，t）：=（t- t） H+（s- t） H类-. （A.9）我们收集了一些关于KHand RHin的事实，包括以下两个引理。证明是向前延伸的，省略了。引理A.11。考虑函数KHin方程（A.8）。然后，1。实值函数s 7→ KH（t，s，t）在区间]t，t]上是平方可积的，对于任何t<s的情况，^stKH（t，u，s）KH（t，u，t）du=RH（t，t，s）/2H≤ t；实值函数（s，t）7→ KH（t，s，t）在单纯形{t上是平方可积的≤s≤ t型≤ T}带^Ttdt^ttdsKH（T，s，T）=RH（T，T，T）/4H；3、对于所有s≤ t它保持右侧（t，t，s）≤ RH（t，t，t）。引理A.12。考虑倒数R-1Hof RH，定义asR-1H（t，s，t）=（s- t） H类-（t- t） H+。然后，1。实值函数s 7→ R-1H（t，s，t）在区间]t，t]上是平方可积的，具有^stR-1H（t，u，s）R-1H（t，u，t）du=R-1H（t，s，t）/2H，对于所有t<s≤ t；实值函数（s，t）7→ R-1H（t，s，t）等于Lq（t<s≤ t型≤ T）对于所有1≤ q<2，但不是单纯形{t上的平方可积≤ s≤ t型≤ T}，带^Ttdt^ttdsR-qH（t，s，t）=R2-qH（t，t，t）/（2- q） （qH+1- q/2）；3、对于所有0<≤ it holdsR-1H（t，t+，t+）≤ R-1H（t，t，t）。函数KHand-RHare用于描述高斯过程ζ和ψ，这两个引理在下面的两个引理中介绍。引理A.13。

Volterra型公式ψ（t，t，H）=^ttR-1H（t，s，t）dws定义了一个中心高斯（Ft）自适应过程，其协方差结构[ψ（s，t，H）ψ（t，t，H）]=R-1H（t，s，t）/2H，s≤ t、 设置ψ（t，t，H）：=0，自适应过程{ψ（t，t，H）：t≤ t型≤ T}是L（[0，T]；L（P））的一个定义良好的元素，它与| | |·| | | | | |通过序列ψ（T）：=^ttR近似-L（P）元素的1H（t，s+，t+）dWs（A.10） dt/（T）- t） ）。备注A.14。对于每>0，方程（A.10）的过程ψ是一个半鞅，适用于布朗运动W的过滤（Ft）。引理A的证明。13、考虑C1,2（]t，t]×R）中定义的函数g（t，x）：=（t- t）--Hx。设>0。考虑中心高斯鞅ξ（t）：=^tt（u+）- t） H类-dWu，（A.11）和过程ψ（t）：=g（t+，ξ（t+））=^t+tR-1H（t，s+，t+）dWs。（A.12）设0<≤ . 我们可以估计^Ttk|ψ（t）-ψ（t）kL（P）dt=2H^Tt | R-1H（t，t+，t+）+R-1H（t，t+，t+）- 2R级-1H（t，t+，t+）| 1/2dt≤2H^Tt | R-1H（t，t+，t+）- R-1H（t，t+，t+）| 1/2dt+2H^Tt | R-1H（t，t+，t+）- R-1H（t，t+，t+）| 1/2dt-→0，as，↓ 我们使用了支配收敛和支配| R-1H（t，t+，t+）- R-1H（t，t+，t+）| 1/2≤2R级-H（t，t，t）。因此，{ψ（t，t，H）：t≤ t型≤ T}作为极限存在于L（[0，T]；L（P））中，并定义了具有所声称的协方差结构的T，T]上的高斯过程。最后，△ψ（t）- ψ（t）=^t+tR-1H（t，s+，t+）dWsandEИψ（t）- ψ（t）= （t+）- t）-2小时-1^t+t（s+- t） 2小时-1ds。在这两种情况下，0<H<1/2和H≥ 1/2，我们有Иψ（t）- ψ（t）. （t+）- t）-2，使^Ttk|ψ（t）- ψ（t）kL（P）dt。1/2^Tt（t+）- t）-1dt=1/2（对数（T+- t）- log）。右侧归零为↓ 引理A.15。

Volterra型公式ζ（t，t，H）=^ttKH（t，s，t）dWsde在[t，t]上定义了一个中心高斯（Ft）自适应过程，协方差结构为[ζ（s，t，H）ζ（t，t，H）]=RH（t，t，s）/2H，s≤ t、 此外，ζ是一个半鞅，对于所有t≤ t型≤ Tζ（T，T，H）=Wt- 重量+(- H） ^ttψ（s，t，H）ds，（A.13），其中等式在L（P）中表示，ψ在LemmaA中定义。13.证明。LemmaA第2点。11产生第一个索赔。我们确定第二项索赔。考虑C1,2（]t，t]×R）中定义的函数f（t，x）：=（t- t）-Hx。设>0。考虑过程ζ（t）：=ft+，ξ（t）,式中，ξ在方程式（A.11）中定义。由于f在[t+t，t]×R上是两次连续可微的，因此，o的引理ζ是L（P dt/（T）- t） ）和ζ（t）=f（t+，ξ（t））+^ttxf（s+，ξ（s））dξ（s）+^tttf（s+，ξ（s））ds=重量+重量+- H^ttψ（s）ds+o（1），其中ψ在方程式（A.10）中定义，o（1）在L（P）中为0↓ 通过Minkowski积分不等式，我们得到^ttψ（s）- ψ（s）dsL（P）≤^ttkψ（s）- ψ（s）kL（P）ds。因此，让↓ 0得出方程式（A.13）。考虑，对于>0，过程ζ（t，t，H）：=Wt- 重量+(- H） ^ttψ（s）ds，t≤ t型≤ T、 （A.14）式（A.10）中定义了ψ。上述证明表明，ζ（t，t，H）收敛于L（P）中的ζ（t，t，H）。自Varψ（t）≤ R-1H（t，t+，t+）/2H，我们有≤t型≤TVarψ（t）≤ -1/2H，对于0<η<2Hsupt≤t型≤TE exp公司ηψ（t）< ∞.这是一种Novikov型条件，参见[RY99，第八章，（1.40）练习]。因此，对于所有的>0，存在一个概率P，相当于物理度量P，因此ζ（·，t，H）是P下的布朗运动。更准确地说，P由公式dPdP | Ft=exp给出（H）-)^ttψ（s）dWs-（H）-)^ttψ（s）ds,t型≤ t型≤ T、 备注A.16。

非正式地传递到极限，如↓ Yieldshewick e指数（H）上的测量值变化为0-)^ttψ（s，t，H）dWs。借用示例A中介绍的术语。6，我们可以参考（H-1/2）ψ（t，t，H）作为风险的（时间相关）市场价格。然而，测量的极限变化是无效的，因为它会导致一些质量损失；实际上，P（'ttψ（s，t，H）ds=∞) > 引入弱NAP等价的概念是为了绕过这个技术问题，并在不必明确提及近似序列的情况下给出一个简洁的语句。这样一个简洁的陈述将包含在Propo sitionA中。请注意，第[B M00]条没有做出这一选择，而是以近似序列的形式陈述了一切。设u为一个固定数，我们用σ表示r+，我们定义了这条线l（t，t，u，σ）asl（t，t，u，σ）：=（u- σ/2）（t- t） ，t，t∈ [0，T]。（A.15）字母X表示几何布朗运动，定义为t≤ t型≤ T asX（T，T，u，σ）：=xexpl（t，t，u，σ）+σWt- σWt. （A.16）示例A。6表明{X（·，t，u，σ）：u∈ R} 是一系列NAP等价过程，其定价动力学为X（·，t，R，σ）之一，R表示市场模型中的固定利率。提案A.17。设u为实系数，σ和σ为两个正实数。然后，过程（t，t，σ，σ）=xexpσζ（t，t，σ2σ）+l（t，t，u，σ）,t型≤ t型≤ T、 同时弱NAP相当于X（·，T，u，σ），与X（·，T，u，σ）略微相同。备注A.18。Y的q值变化为[Y]t，t=σ^ttYsds。这与X（·，t，u，σ）的值相同，因为[X（·，t，u，σ）]t，t=σ^ttXsds，但与X（·，t，u，σ）的值不同。在这方面，无套利定价对二次变化敏感，但对边际变化/历史波动率视而不见。Y的符号中抑制了漂移u。命题A.17的证明。