无概率期权定价模型：一种粗糙路径方法

它提供了一个公式，用于计算交易员在使用错误波动率进行套期保值时所产生的利润和损失——这一经典公式的参考文献是[EJP17]。命题5.4从两个方面促成了模型误判的评估：一方面，它显示了损益公式的路径性质（这与本节的统一主题一致）；另一方面，它提供了经典P&L公式的推广。概括包括消除“真实”价格演变受It^o SDE控制的假设：它捕获了不仅在两个差异增强之间，而且在差异增强（交易员使用）和总体增强价格（真实）动态之间出现的误判。命题5.4（“衍生品交易基本定理”）。设f（ST）是一个偶然目标，其中f在Cb（Rd）中，sti是有限p变化的连续d维价格路径S的终值。设Strue=（S，Strue）为轨迹S上方的真实增强路径。设S=（S，S）为α-差异模型规范，α>p-设A，v，Delta和Gammabe如命题5.3所示。那么，损益=~VT- f（ST）=（γ。[S]- 【Strue】)0，T，（5.5），其中右侧的积分是定义良好的Young积分，而^vt是时间0的值≤ t型≤ 应用于真实增强结构的A-套期保值组合的T，由^Vt定义：=v（0，S）+（δ，γ）。（S，Strue）0，t+^tv（u，Su）- 德尔陶苏dSu。备注5.5。如果从一个差异模型中构造，那么作为概率积分中的补偿项，我们对投资组合价值的定义，即Vt，可以作为一种自我融资条件进行调整。

我们将在下文第节中为一般定价信号证明这一定义的合理性。为了证明经典导数基本定理的推广，我们将方程（5.5）中的Young积分改写为^Tzzv（t，St）d[S] t型- [Strue]t.如果结构是一种不同的增强，我们有[结构]t=\'te2r uai，jtrue（e-ruSu）du，从而将积分转换为熟悉的形式^Te2r tzi，zjv（t，St）ai，j（e-rtSt）- ai，jtrue（e-rtSt）dt。备注5.6。我们注意到，我们对衍生交易基本定理的推广允许将模型性能与价格轨迹的实际粗括号进行比较。这个数量是独立于模型的，并且可以使用Python包iisignature直接从数据进行计算，可以在链接https://pypi.org/project/iisignature/.另请参见J.Reizenstein和B.Graham的文档【RG18】。从价格数据的离散样本流中提取实际粗括号【Strue】的另一种方法可以依赖于G.Flint、B.Hambly和T.Lyons【FHL16】的收敛结果，下面的备注5.7专门用于此。命题证明5.4。我们在命题5.3的证明中使用泰勒展开式，对于0≤ u≤ t型≤ 我们写下（T，St）- v（u，Su）=zv（u，Su）Su，t+zzv（u，Su）Strueu，t+tv（u，Su）（t- u）+zzv（u，Su）[S]u，t+zzv（u、Su）u，t- [S] u，t+ Oωγ（u，t）,其中v是d维Black-Scholes微分方程（5.1）的解，ω是控制函数，γ>1。我们在分区的节点上求和，然后让网格大小缩小到零，得到（5.5）。Gammaagainst【Strue】和【S】的年轻积分的良好定义如第4.6条所示。备注5.7。假设价格向量S∈ RDI在点tk，k=0，Nof a partitionπ={tk}的时间窗口[0，T]。

根据【FHL16，定义2.1】，定义与数据流相关的Ho FFF流程{Stk:tk∈ π} 作为R2d值路径SH=（SH，b，SH，f），由HT给出=（Stk，Stk+1）kNT≤ t<k+1/2NT（Stk，（1- α（t）Stk+1+α（t）Stk+2）k+1/2NT≤ t<k+3/4NT（（1- β（t））Stk+β（t）Stk+1，Stk+2）k+3/4NT≤ t<k+1n其中α和β是t的一个函数，使得α（（k+1/2）t/N）=β（（k+3/4）t/N）=0，α（（k+3/4）t/N）=β（（k+1）t/N）=1。这是S的离散超前-滞后过程的一种特殊线性插值选择，其中第二个（超前）分量在第一个（滞后）分量之前更新。设（SH，SH）为通过标准Stieltjes积分（可能是因为有界变量的SHI）增强SHH得到的几何2-粗路径。G、 Flint，B.Hambly和T.Lyons在[FHL16，定理4.1]中证明，如果S是半鞅，则（SH，SH）收敛到2-粗路径（SH，∞, 上海，∞)s、 t：=经验值Ss、tSs、t+As、TA、t-hSis、tAs、t+hSis、tAs、t, （5.6）式中，exp是张量代数T（R2d）、andAs、tand hSis中指数映射的二级截断，分别计算Levy面积和半三角形从时间s到时间t的二次变化。当分区π的网格缩小到零时，收敛发生在极限范围内，并与适当的p-变化范数有关（我们参考原始文章了解收敛的确切方式）。受G.Flint、B.Hambly和T.Lyons构造的启发，可以从沿以下边线的可用离散数据点样本中提取实际的粗括号。设V为向量空间，对于vand-vin V，设V=V⊕ V表示它们的直和，它位于V空间⊕ 五、定义q给出的地图q：（V⊕ 五）2.-→ 五、2（v）⊕ 五） （w）⊕ w） 7→ v w- v w、 （5.7）其中 表示张量积。

请注意，对于v=v⊕vand w=w⊕赢V⊕V，我们有q（V∧w） =v⊙w-v⊙w、 其中v∧w是反对称积（vw-wv） /2in（v⊕五）2和vi⊙wjis对称积（viwj+wjvi）/2英寸V因此，q（（V⊕ 五）∧2） =V⊙然后，可以从数据序列m{Stk:tk中导出粗苞片t的代理∈ π} 通过将V=Rd定义的映射q应用于与此类数据流相关的HOFF过程的2-粗路径（SH，SH）。上述[FHL16，定理4.1]的结果保证了与经典半鞅情形的一致性，在样本的时间网格越来越小的情况下。据我们所知，在无n-半鞅的情况下，hoff过程的粗糙路径提升的极限是不可理解的。然而，为了从数据中进行估计的实际目的，可以应用该程序，并且可以校准不同的模型规格，以匹配由此导出的参数，从而将方程（5.5）中的误差降至最低。6扩大套期保值策略通过增强d价格路径S=（S，S），我们解释了P向积分（H，H′）。（S，S）作为风险资产S上头寸H产生的投资组合轨迹y。在本节中，我们探讨了修改（H，H′）解释的可能性。（S，S）。我们不仅将其视为代表S上位置H的值，还将对薪酬H进行财务解释。这需要分析在每IOD套期保值期间重新平衡投资组合的机制。

经典地，给定划分π和离散化策略（πH，πH），从（u-, u] to（u，u′）isrebalπ（u）=πHu′Su+πHu′Su-πHuSu-πHuSu。这种离散化策略在网格π上自融资，当且仅当π中的所有u>0时，它保持平衡π（u）=0，或当且仅当Hu′Su′+Hu′Su′时，等效地- 胡苏- HuSu=HuSu，u′+HuSu，u′u∈ π ∩ [0，T）。在（0，T）中给定T，设置πT：=（π∪ {t} （）∩ [0，t]。通过对u求和∈ πt，u<t，我们有HtSt+HtSt- HS公司- HS=Xu∈πtu<tHuSu，u′+Xu∈πtu<tHuSu，u′{z}=（πH.S）t。如果S是上的半鞅(Ohm, F、 P，（Ft）t），然后将P-极限取为|π|→ 0调整了雄风条件（2.5），尤其是由于SUPNLIM sup |π|→0便士（πH.S）t-^tHdS> : >0o=0。在这里，概率模型开始发挥作用，以保证Riemannsums对H的It^o积分的收敛性，对抗半鞅S=St（ω），其中实际价格轨迹被认为是一种回归。考虑到S的增强，并在再平衡机制中加入适当的补偿，在评估持续r e平衡对冲策略时，我们不能避免诉诸概率。给定对称Gtin Rd×d~=Hom（Rd Rd，R）和子区间[s，t] [0，T]我们解释实际数量gss，tas在时间T的d（d）的支付之和-1） /2位置ns2Gi，js=2Gj，is，1≤ i<j≤ d、 在交换合同上SSIS、tSjs、t- [S] i，js，t，1≤ i<j≤ d、 而对于d位置，Gi，is，1≤ 我≤ d、 关于掉期合约（Sis、t）- [S] i，is，t，1≤ 我≤ d、 因此，对于每个连续φt=（φt，φt，φt）∈ R×Rd×Rd×dsymwe可以解释πφuSu+πφuSu+πφuSu-,如果在子区间（u-, u] 我们得到πφu=φu-现金头寸，πφu=φu-股票头寸，πφu=φu-掉期头寸。

在现金、股票和掉期中持有ado pt头寸的策略应称为扩大策略。对于扩大战略，重新平衡成本来自（美国-, u] to（u，u′）isrebalπ（u）=φuSu+φuSu+φup（u，u′）-φu-Su+φu-Su+φu-苏-,u,回想一下，给定Rmand分区π中的（连续）路径Д，我们用πД表示以下分段常数caglad近似值：πДt=Xu∈πДut型∈ （u，u′）.其中，对于0≤ s<t≤ T和1≤ 我≤ j≤ d、 金额pi，j（s，t）=pj，i（s，t）表示在s时的掉期Si，js，twith到期t的（外源给定）价格。请注意，由于掉期合同不是原始金融工具，因此在支付金额上方的等式中-,Utaime u与u在下一次掉期Su，u′上持仓所需的价格p（u，u′）分离。我们假设掉期合同的价格p（s，t）Ss，tde定义为Rd⊙{（s，t）上的Rd值函数∈ R： 0个≤ s≤ t型≤ T}，对角线上的空和右连续，因此p（s，T）是有限的p/2变化。设φ为有限q变化的连续路径o nHom（Rd⊙ Rd；R） ，其中q和p/2是年轻互补的。然后，积分路径t：=（φ.p）0，t表示连续平衡扩大策略所使用的时间间隔[0，t]内的累计成本，以便在掉期合同上采用位置φ。定义6.1。设f（ST）为未定权益，其中f为Cb（Rd），Sti为有限p变化的连续d维价格路径S的终值。设S=（S，S）为α-离散模型规范，α>p-设A，v，Delta和Gamma如命题5.3所示。设C是[0，T]上的连续实值函数。然后，C-扩大的三角洲划分是定义为φt=Cte的扩大策略-rt公司- 德尔塔斯特-rt公司- Yte-rt，φt=Deltat，φt=Gammat，（6.1），其中Yt：=（φp）0，t。套期保值策略的理想属性是自我融资条件，即。

该策略在对冲期间不需要资金来调整头寸。以下命题6.2给出了（6.1）中C的明确公式，该公式保证了C-扩大三角洲hedg的零再平衡成本。提案6.2。连续实值函数ct=v（t，St）- r^ter（t-u） Yudu，（6.2），其中Yt：=（Gamma.p）0，t，是指C扩大的三角洲对冲具有零持续再平衡成本。证据我们采用定义6.1中的符号。此外，我们设置为：=-r^ter（t-u） 于都。我们可以写0，t- r^t（yu- Yu）du=0。（6.3）沿分区重新平衡的成本πisrebalπ（u）=πφu′Su+πDeltau′Su+πGammau′p（u，u′）-πφuSu+πDeltauSu+πGammauSu-,u=铜-,u+Gammaup（u，u′）- 于-,u-φu-苏-,u+Deltau-苏-,u+Gammau-苏-,u.我们的意思是：p（s，s）=limt↓sp（s，t）=0表示所有0≤ s≤ T因此，在u上求和∈ πt，u>0，我们有xu∈πtu>0rebalπ（u）=V0，t+y0，t- Yt+Xu∈πtGammaup（u，u′）- Gammap（0，0′）- （πφ.S）t-（πδ，πγ）。（S，S）t、 极限为|π|→ 0我们得出结论|π|→0Xu∈πtu>0rebalπ（u）=V0，t+y0，t- r^tVudu- r^t（yu- Yu）du+r^tDeltauSudu-（δ，γ）。（S，S）0，t=0，由于（5.4）和（6.3）。经典的delta套期保值是这样的：初始禀赋V=V（0，S）正是复制策略所需要的，以便在成熟度T时产生f（ST）金额。因此，期权的作者投资于delta对冲策略，这种策略将产生期权买方在到期时所需的确切金额。由于delta对冲没有额外的融资成本（即重新平衡投资组合不会消耗资金），因此作者的损益为零。对于Proposition6.2中的C-Amplified delta对冲，自我融资条件成立。

因此，期权编制人的损益仅由复制成本给出，即到期付款F（ST）与投资组合最终价值φTST+φTSTof之间的差异。请注意，后者不包括掉期的支付，因为这些捐赠是在再平衡过程中消耗的。提案6.3。如（6.2）isP和L=YT+r^Ter（t）中所示，使用C进行C扩大的增量套期保值的收益和损失-t） Ytdt，其中Yt=（伽马S）0，t证明。损益由损益=v（t，ST）之差得出- φTST+φTST。因此，该声明紧随方程式（6.1）中的定义，其中C表示为不等式（6.2）。7 Black-Scholes模型中的看涨期权我们现在考虑经典的B-lack-Scholes模型，其中基础股价的路径被建模为几何布朗运动的轨迹。因此，第2节中给出了一个设置，我们将尺寸d取为1。波动率算子A isAφ（x）=σxxxφ（x），φ∈ C（R），（7.1），其中σ>0是波动率系数。对带支付f（ST）的欧式期权定价需要解偏微分方程（2.2），其中终端约束h=e-本PDE中出现的rTh与支付函数f有关，如方程式（2.1）所示。方程（7.1）中的波动率算子不是局部一致椭圆的，即它不满足方程（4.2）中的要求。因此，我们不能依赖【LB07，第2章】中包含的理论来证明定价方程解的存在性和唯一性。然而，这样一个方程确实对所有连续和有界的终端约束h有一个解，实际上对更大类别的终端约束也有一个解。事实上，设w为方程式（2.2）中的未知值，并定义u（t，y）：=w（t- t、 eσy/√2.-σ（T-t） /2）。

然后，w solvesequalation（2.2）当且仅当u解方程(tu公司- yyu=0 in（0，T）×Ru（0，y）=g（y）（在{0}×R，（7.2）上），其中g（y）=h（eσy/√2.-σT/2）。因此，坐标的变化将方程式（2.2）引入热方程式。如备注4.3所述，假设椭圆度是为了说明（4.3）中偏微分方程的解存在且唯一的一组假设。然而，在保证存在性和唯一性而不依赖于唯一性的情况下，可以在不影响其余讨论的情况下删除此假设。这尤其适用于本节的对数正态示例。方程（7.2）的解写成asu（t，y）=√4πt^Rg（ξ）ex p-（y）- ξ） 4吨dξ=E[g（Yt）]，其中随机变量Ytis正态分布，平均值y和方差2t。通过使用初始条件g的定义，我们得到u（t，y）=E[g（Yt）]=E小时经验值σ√y+σWt-σT,式中，WT是标准布朗运动的时间-t边缘。因此，w（t，x）=uT- t，√σln x+σt/2=E小时经验值ln x+σ（WT- Wt）-σ（T- t）=e-rTE公司f经验值ln x+σ（WT- Wt）-σ（T- t） +rT,在最后一行中，我们使用了（2.1）中的关系。最后，通过回顾脱钩关系v（t，z）=ertw（t，e-rtz）我们得出，到期日为t且支付f的欧式期权在t时的价格由公式v（t，z）=e给出-r（T-t） E类f经验值ln z+σ（WT- Wt）+（r-σ） （T- t）,（7.3）其中z表示标的在时间t的价格。上述期望值用于为微分方程的解u、vand和w提供简洁的公式。

然而，数量u、v和w不是从概率框架中得出的，而是从抛物线偏微分方程中得出的。在我们的框架中，经典的Black-Scholes模型由以下增强子u指定，v=9σ^vuStdt，（7.4）在此规范下，我们现在讨论我们的路径框架在欧洲看涨期权案例中的应用，其中支付f（z）=（z- K） +，（7.5）对于某些固定走向，K>0。这种支付是没有边界的，因此原则上它不包含在上述一般讨论中。然而，方程式（7.3）中的公式扩展到线性增长的支付，从而扩展到欧洲看涨期权。换言之，尽管与PDE定价方程相关的半组在集合Cb（R）上定义，但该半组扩展到比Cb（R）更高的类别，因此允许处理欧洲看涨期权。然而，我们还想指出的是，即使模型规范不允许这样的扩展，欧洲看涨期权的定价也总是可以简化为欧洲看跌期权的定价，而欧洲看跌期权的定价是在Cb（R）中。这是由于所谓的看跌期权平价，这是欧洲看涨期权Ct时间t的价格、欧洲看跌期权Pt时间t的价格和股票St时间t的价格之间的以下无模型关系：Pt+St=Ct+Ke-r（T-t） 。由于这种关系，如果可以计算价格Pt，那么价格Ct将直接跟随。根据方程式（7.5）中的支付公式（7.3），期权价格的公式（7.3）可以重写为：asv（t，St）=StN（d（t，St））- Ke公司-r（T-t） N（d（t，St）），（7.6），其中N是正态分布的累积分布函数，d（t，St）=σ（T- t）-ln（St/K）+r+σ（T- t）d（t，St）=d（t，St）- σ√T- t、 为了能够应用命题5.3，仍需讨论对（v，S）的Q适度假设。