精确渐近性：鲁棒随机波动率模型

Pigatontote指出，V不适用于W生成的过滤，因此无法通过基本It^o积分构建liftsV的随机模型。尽管V随后可以构造为（重整化）高斯模型，参见[40，第10.2节]，但它似乎更独立于lift（8.7），即V（ω）：=T-Gx（W（ω））vW（ω）。引理8.3。（i） 高斯（随机）模型V=V（ω）在随机变量的意义上独立于gx=gx（ω）。（ii）存在x=(x，x，x） ，与gx（ω）无关，因此（省略上标x）g=+ g级+ g级（iii）重新缩放的族ΔεV满足模型拓扑中的LDP，具有V 7给出的良好速率函数→khkhv是h的正则提升∈ H、 以及+∞ 其他的（iv）exp（| | | V | | |）∈ L0+。证据（i） 与前面的证明一样，让Wη，Vη表示与molli fier函数的卷积，重缩放参数η>0。当然，Vη→ V一致，H¨older界一致。用相同的符号表示W和v的软化，haveVη=Wη- gx（ω）vη。回想一下，根据（A3），正则liftcWη=RηWηasη的重整化收敛→ 0，在概率和模型拓扑中，转换为It^o-model W。因为平移与重整化ηT转换-Gx（W）vηWη=T-Gx（W）vηcWη→ T-Gx（W）vW=V asη→ 0 .现在需要注意的是-Gx（W）vη（Wη）正是的正则模型升力，因此是vη=Wη的可测函数- gx（ω）vη=Wη- Gx（W）vη。（ii）从定义gx（ω）=G（W（ω））=G（W（ω））+K直接得出。根据假设（A4），地图为连续二次型；应用W=Tg（ω）vV，得出g的claimeddecomposition，其中（8.10）（ω） =G（V（ω））+K，（ω） =G（V（ω），V）和= G（v）。（iii）高斯模型的一般事实为真。或者，回想一下Gx（W）=hDΦ（hx），W i，因此对于h中的h，通过定义（8.9）v，h- Gx（h）v=h-hDΦ（hx），hikDΦ（hx）kDΦ（hx）=PHh，PHh上的正交投影。

回顾W所满足的LDP，根据收缩原理，这意味着ΔεV=T-Gx（ΔεW）vΔεW满足一个LDP，其速率函数由i（π）=inf{khk，h给出∈ H、 π=H}。（iv）对于可用Fernique估计的高斯模型，一般事实也是如此。或者，只使用W是高斯模型，我们对其齐次范数| | | | W | | |，cf.（a.3）有Fernique估计。自| | | V | | | |以来|||W | | |+kvxk | g |其中gis为高斯分布，则遵循此规则。粗糙VOL渐近29我们最终表明，非简并假设（A5c）实际上等价于维纳泛函的指数可积性x（在上述引理8.3（ii）中定义）。Recallthat（A5）暗示了∧在x.引理8.4的邻域中的正则性。在假设（A3）-（A4）下，非简并度（A5c）等效于看似更强的假设（8.11）β < 1 : h类∈ H、 qxDΦ（hx）（H，H）≤ βkhkH。证据必须证明如果（A5c）成立，则β：=supqxDΦ（hx）（h，h），khkH≤ 1.< 但是假设（A4）意味着dΦ（hx）（h，h）=G（h），其中Gis在M上连续。现在回想一下，作为假设（3b）的一部分，我们假设h 7→KHKH是一个很好的速率函数，因此正则提升将H中的有界集映射到M的（相对）紧子集。因此，β定义的上确界在H*,这反过来意味着（A5c）β=qxDΦ（hx）（h*, h类*) < kh公司*kH公司≤ 1.备注8.5。上述等效性来自Ax，参见第C.2节，被确定为线性运算符H→ H、 由于“良好的速率函数”假设，它是紧凑的。事实上，我们可以看到，在假设（A3）-（A5）下，轴甚至希尔伯特·施密特（在SDEcontext中，这是经典的参考文献，例如[3，Lemme1.9]）。

这可以被证明是第二维纳混沌特性的一个相对直接的结果（我们不提供细节，因为我们不需要使用这个特性）。提案8.6。设Ax=DΦ（hx），然后∧（x）Ax<Id（如H上的形式）<=> exp（λ（x）) ∈ L1+证明。注意exp（λ（x）) ∈ L1+当且仅当(*) : 存在C>λ（x），因此，对于所有足够大的r，P(x个≥ r）≤ 经验值(-Cr）。回想一下= G（V）- K、 其中，假设Gis为二次函数，因此εG（V）=G（ΔεV），其中Gis为连续函数。通过引理8.3（iii），我们知道ΔεV满足LDP，因此根据收缩原理，一个hasP≥ ε-2.~ PεG（V）≥ 1.= 经验值-C*+ o（1）ε其中c*= infh公司∈Hkhk：ε|ε=0Φ（εh+hx）≥ 1.因此(*) 上述值减小（r=1/ε….）关于问题C*> ∧（x）。然而，根据引理8.4，如果非简并假设成立，那么每个h∈ 香港，香港≥ β-1∧（x）G（h）=β-1.ε|ε=0Φ（εh+hx）30 P.K.FRIZ，P.GASSIAT，P.PIGATOso thatC*≥ β-1∧（x）>∧（x）。另一方面，如果非简并条件失效，则存在1=Ax（h，h）的h≥2∧（x）khkwhich表示C≤ ∧（x）。提案8.7。对于x>0，我们有ε→ 0J（ε，x）~εεσx∧（x）√2πE[exp（λ（x））x） ]；而对于x<0，我们有ε→ 0Jput（ε，x）~εεσx∧（x）√2πE[exp（λ（x））x） 】。证据在这个证明中，我们用C正常数表示，其值可能会随着行的变化而变化。根据命题8.1，我们可以处理次概率Pδ=P（…；ε| | | | W | | |<δ），即在概率空间中模型剩余估计可用的部分。我们要估计jδ（ε，x）=Eδ经验值-∧（x）gxε（eεgx+εεgx+（ε/ε）rx，ε- 1)+回忆ε=ε/νε。回忆一下rx，ε（ω）=rx，ε（W（ω））。对于该“稳健”余数假设（4b），适用于| Rx，ε（W）|。o（ε）+ε| | | W | | | |每当ε| | | W | | |≤ δ.

因此，对于足够小的ε（取决于δ），对于合适的正常数C，| Rx，ε（W）|≤ Cδε+ε| | | W|||≤ Δε（C+| | | | W | | |）。因为当与Pδ一起工作时，我们还有εg（ω）=εg（W（ω））=O（δ）和εg（ω）=εg（W（ω））=O（δ），在这个集合上，对于一些常数C>0，我们有eεgx+εgx+（ε/ε）rε，x∈ （1+εgx+εεgx+（ε/ε）rε，x）（1±Cδ），因此，对于某些常数C>0，一个hasJδ（ε，x）∈ ε（1±Cδ）Eδ经验值-∧（x）gε（g+ε[g±δ（C+| | | | W | |）]））+.引理召回8.3一个有g=+ g级+ g级其中我独立于g，我们删除:= || + CδkvkH，e±:= ±CδkvkH，e±:= ±δ（C+| | | | V | | |），其中E±也与g无关。另请注意，使用εg=O（δ），|ε| = |G（ΔεV，V）|≤ Cε| | | V | | | |≤ ε| | | | W | |时的Cδ粗糙体积渐近31≤ δ. 我们还有| | | W | | | ||||V | | |+kvkH | g |。因此，Jδ（ε，x）的渐近行为被ε（1±Cδ）乘以。∈ Eδ经验值-∧（x）gεg+ε（e±+克+ 通用电气±)+∈ Eδ经验值-∧（x）gεg+εe±+g（ε+ εge±)+∈ Eδ经验值-∧（x）gεg+εe±±C（1+e)δ| g|+现在我们证明了渐近解的上界。显然，Eδ经验值-∧（x）gεg+εe+±C（1+e)δ| g|+≤ E···其中···表示相同的论点。设置γδ：=C（1+e)δ/σx并假设δ足够小，γδ<1。根据定理6.1，第（iii）部分，我们得到ε∧（x）σx>0，然后可以应用引理3.2（N=g/σx）来确定···|, 五、≤εσx∧（x）√2πmax”（1- γδ）e∧（x）(+δ（C+| | | V | | |）1-γδ+2γδ，（1+γδ）e∧（x）(+δ（C+| | | V | | |）1+γδ#。根据命题8.6和假设（A5c），exp（λ（x）) ∈ L1+和引理8.3（iv）exp（| | | V | | |）∈L0+，所以通过让ε和δ依次变为0，我们得到thatlim supε→0ε-2E类···≤σx∧（x）√2πE[exp（λ（x））)] .用引理3.2中的下界同样证明了下界。

情况x<0，Jput（ε，x）可以类似地进行威胁，不同之处在于我们必须计算Jputδ（ε，x）=Eδ经验值-∧（x）gxε(1 - eεgx+εεgx+（ε/ε）rε，x）+我们可以简化为eδ的计算经验值-∧（x）gε- g级- εe±±C（1+e)δ| g|+.我们再次应用引理3.2，这次是ε=-ε∧（x）σx>和N=-g/σx。结果与调用情况相同。8.3. 定理6.5的证明。证明类似于定理6.3（但更简单，因为我们只需要扩展到一阶），并且我们保持相同的符号。根据引理C.6，对于足够小的x，最小值hxis是唯一的，并且是x的函数，特别是∧是Cat 0+。还要注意，等式（8.9）和gx=hDΦ（hx），W i这一事实意味着σxkvxk=1.32 P.K.FRIZ，P.GASSIAT，P.Pigato证明与大偏差情况下一样进行，在相同的Girsanov变换后，weare留下了e经验值-∧（xε）σxεNεeεσxεN+εεRx- 1.+其中N~ N（0，1）。注意，在ε| | | W | | |上≤ 1我们有（均匀的x接近0）（8.12）Rx≤ C（1+| | | | W | | |）≤ C（1+| | | | | Vx | | |+σx | N | kvxkH），此外，LDP为W. . . 1{ε| | | W|||≥1}≤ 经验值-cε与我们想要的相比微不足道。因此，我们只剩下E经验值-∧（xε）σxNε经验值εσxN±εεC1+kVxk+σx | N | kVxk- 1.+在LDP情况下，使用引理3.2等于εε√2π∧（xε）Ehexp±C∧（xε）（1+kVxk）i、 最后，我们使用thatkVxk。kWk+kvxk | gx |≤ kWk+| N |具有高斯尾，在x上均匀分布，因此，由于∧（0）=0（0处的可微性已经得到改善），我们得到了limε→0E经验值±C∧（xε）1+kVxk= 1，这是证明的结论。附录A.鲁棒表示假设（A3a）表示我们有能力编写感兴趣的解决方案过程，使用小噪声参数ε，作为其（ε-重新缩放）噪声的连续图像，提升到随机粗糙路径（模型）。

在粗糙路径（规则结构）理论中，这是通过粗糙积分（重建）以及微分方程的定点参数来实现的。这些解理论本质上提供了解及其扰动的详细信息，其中许多在我们的分析中发挥了作用。我们从实用的角度出发，简单列出所使用的属性。这些在经典SDE中是众所周知的，稳健的表示法正是Lyons的粗糙路径视图，第5.1节对选定主题进行了回顾。关于粗糙度的所有相关结果都收集在附录B中。我们的基本假设（A3a）假设存在一个正则结构，模型空间为m，因此定义在m维维纳空间上的Xε（ω），通常只能测量，可以写成Xε（ω）=Φε（ΔεW（ω））a.s，具有连续映射Φo：（ε，m）7→ ε（M），从[0，1]×M→ C（[0，1]），其中W（ω）提升噪声（即m维布朗运动W（ω））≡ ω） 随机模型（通常通过附加传统的随机积分，如（B.3）所示）。模型空间：M是环境Banach空间的代数子空间，以直和形式给出（单位为多，指数为i=1，2，…）H–旧类型空间，其中第一个由Cα给出，并适应典型的噪声实现。A型号M（超过M∈ Cα）则是一个完全VOL渐近33form（M，…）的元组∈ M、 点取决于手头的问题。通过kMk=Pkπi（M）ki=kMkα+。。。最后。这使M成为距离（M，M）为7的完整度量空间M→ 公里；Mk：=公里- Mkbetween模型。标准升力：对于M∈ C∞我们假设存在解析定义良好的升力L（M）=（M，…）∈ M、 用经典积分给出的点。

我们假设这扩展到Cameron的元素–Martin空间H=H C（[0，1]，Rm），在这个意义上，H 3 H 7→ L（h）=h∈ M的性质是，对于所有R>0，{h:khkH≤ R} 扩张和齐次范数：对于每个ε>0，存在一个扩张算子Δε：M→ M、 从某种意义上讲，这提升了标量乘法，h类∈ H、 ΔεH=L（εH）=（εdπ（H），εdπ（H），…），和整数d，d=1。齐次模型范数由| | | | | | | | |=Pkπi（M）k1/dI给出，因此M∈ M、 | | | | |ΔεM | | | | |=ε| | | M | | | | | | | | |，重整化：我们得到了一个连续作用于M的群G，它保持了第一级的意义，即对于G中的每个R，π=πR与平移进行转换（见下文），并为近似高斯模型提供了伊藤-斯特拉托诺维奇类型校正（见下文）。平移算子：我们有一个连续映射H×M→ M、 （高、米）7→ ThM使得Thl（k）=L（h+k），对于所有h，k∈ H、 此外，（A.1）C>0，（高，米）∈ H×M，| | | ThM | | |≤ C | | | M | | |+CkhkH，和（A.2）（h、R）∈ H×G，ThR=RTh。高斯模型：我们最终有一些概率假设。给定η>0，设Wη（ω）=W（ω）* ρη，其中ρη是恒等式的光滑近似（即ρη=η-1ρ(η-1·）其中ρ为光滑，紧支撑，且rρ=1）。请注意，Wη是光滑的，因此可以定义其正则升力Wη。然后我们假设G anda（随机）模型W（ω）中有一些（确定性）元素Rη∈ M s.t.limη→0RηWη=获胜概率和模型拓扑；以及与Cameron Martin转移的一致性，即h类∈ H、 W（ω+H）=ThW（ω），a.s.注意，与（a.1）相结合，这意味着，通过广义费尼克估计[25]，W具有高斯尾，即（a.3）γ>0，E expγ| | | W（ω）|||< ∞.附录B.粗挥发度的规则结构要素B。1、粗略的vol模型。我们首先回顾了[8]中的要点，即发型师的设置[40]。在【40】中，该模型距离使用了三根钢筋。

我们为同质（模型）范数保留了三条线，与粗糙路径表示法不一致【29】。34 P.K.FRIZ，P.GASSIAT，P.PIGATOB。1.1. 基本定价设置。RecallcWt=RtKH（s，t）dWs，带KH（s，t）=√2H | t- s | H-1/2小时∈（0，1/2）。给定（充分）光滑的标量函数f，我们对f（cW）dW的鲁棒积分感兴趣。CW的H指数为H- κ、 任何κ>0。设M为最小整数，如（M+1）H- 1/2>0，然后选取足够小的κ，以便（M+1）（H- κ) - 1/2 - κ > 0 .（B.1）（如果H=1/2，则M=1，然后是1/2-κ ∈ （1/3，1/2），这是粗糙路径情况。）结构空间定义为asT={Ξ，ΞI（Ξ），…，ΞI（Ξ）M，1，I（Ξ），…，I（Ξ）M},（B.2）其中。i表示由{…}中的（纯抽象）符号生成的向量空间=：S、 符号I（…）表示“针对内核KH的集成”，因此I（Ξ）表示分数布朗运动cw。ΞI（Ξ）m=Ξ·I（Ξ）·等符号·I（Ξ）或I（Ξ）m=I（Ξ）··应将I（Ξ）理解为上述对象之间的乘积。每个符号τ∈ S具有同质性，由I（Ξ）m=-1/2 - κ+m（H- κ） ，m≥ 0 | I（Ξ）m |=m（H- κ） ，m>0 | 1 |=0。引入齐性集A：={|τ| |τ∈ S} ，最小|Ξ|=-1/2 - κ. 注意，同质性是相乘的，即τ·τ|=|τ|+|τ|对于τ，τ∈ S、 最后，我们得到了结构群G，模型空间T上的一组（抽象）线性算子，它应该满足Γτ-τ ∈Lτ∈S： |τ|<|τ| Rτ，τ的Γ1=1∈ S和Γ∈ G、 我们将选择G={h | h∈ （R，+）}由Γh1=1，ΓhΞ=Ξ，ΓhI（Ξ）=I（Ξ）+h1给出。和Γh（τ·τ）=Γhτ·Γhτ，τ∈ 其中τ·τ∈ 定义了S。It^o模型（π，Γ）。

为了给产品术语ΞI（Ξ）Kw赋予意义，我们遵循粗糙路径的思想，定义s，t的“迭代积分”∈ R、 s≤ t asWm（s，t）=Zts（cW（r）-cW（s））mdW（r）。（B.3）我们现在可以定义一个模型（π，Γ），该模型对我们在上文中对Ξ、I（Ξ）、I（Ξ）的解释给出了严格的含义。回想一下，在正则结构理论中，amodel是线性映射的集合∏s:T→ Cc（R），Γst∈ G使得∏t=∏sΓst，（B.4）|∏sτ（Дλs）|。λ|τ|，（B.5）Γstτ=τ+Xτ∈S： |τ|<|τ| cτ（S，t）τ，| cτ（S，t）||s- t | |τ|-|τ|（B.6）我们在此遵循即将出版的第二版[29]的术语。粗糙VOL渐近性，其中τ的边界保持一致∈ S、 紧集中的任意S，t，对于ДλS：=λ-1φ(λ-1(·-s） ）带λ∈ （0、1）和Д∈ C在球B（0，1）中具有紧凑支撑。我们定义了以下“It^o”模型（π，Γ）=（πIt^o，ΓIto）。πs1=1Γts1=1∏sΞ=˙WΓtsΞ=Ξ∏sI（Ξ）m=cW（·）-cW（s）mΓtsI（Ξ）=I（Ξ）+（cW（t）-cW（s））1∏sΞI（Ξ）m={t 7→ddtWm（s，t）}Γts（ττ）=Γtsτ·Γtsτ，对于τ，τ∈ 带ττ的S∈ SWe通过施加线性将两个映射从S扩展到T。引理B.1。[8] 这对（πIt^o，ΓIt^o）定义了（a.s.）一个（T，a）上的模型。B、 1.2。粗波动率的全正则结构。粗糙波动率以两个独立的布朗（W，W）为单位。为与W的（分配）导数相对应的抽象符号写Ξ，这导致toT=T+{Ξ，ΞI（Ξ），…，ΞI（Ξ）M}.（B.7）同样，我们|Ξ|=-1/2 -κ和其他符号的同质性在之前被定义为乘法。我们通过定义∏sΞI（Ξ）m，将It^o模型（∏，Γ）扩展到这种正则结构=t 7→滴滴涕Zts公司cW（u）-cW（s）mdW（u）（上述积分为It^o意义上的积分），以及ΞI（Ξ）m= ΞΓts（I（Ξ）m）。引理B.1在T上扩展并产生一个随机模型（“It^o模型”）。海尔重建定理（[40]，[29，第。

13] ）然后得出关于It^o整合的稳健观点，特别是确定目标，例如，asRσ（cW）dfW和资产价格为Rσ（cW）dfW的随机指数，其中FW=ρW+ρ是It^o模型的连续函数Φ。B、 1.3。坎坷不平的形式主义。我们注意到，上面构造的It^o模型（∏It^o，ΓIt^o）与形式w（ω）的对象只有一个对应关系=W、 W，ZcW dW，ZcW dW，ZcWdW。。。。，ZcWMdW公司.[0，T]上的模型范数通常被视为估计（B.5）、（B.6）中隐含的最小（均匀）常数，现在可以简单地写成广义H¨older范数，（B.8）kWk：=Kwk1/2-κ+千瓦k1/2-κ+ZcW数据仓库H+1/2-2κ... +ZcWMdW公司M（高-κ)+1/2-κ、 式中，例如千瓦k1/2-κ=sup0≤s<t≤T | Ws，T |/| T- s | 1/2-κ和最后的总和是按照0≤s<t≤TRts（cWr-cWs）MdWr|t型- s | M（H-κ)+1/2-κ.模型度量单位为kW；Vk：=千瓦- Vk。我们坚持认为，从粗略的分析角度来看，用Wmin[8]表示的RcWmdW是作为分析对象提供的先验信息，即使在设置Γts时也是如此Ξ= Ξ，给定的关系正是由Γ的乘法所暗示的。36 P.K.FRIZ，P.GASSIAT，P.Pigato我们想到的是相应随机对象的典型实现：如[8]所示，并在上文（引理B.1）中回顾，a.s.W（ω）具有正确的规律性，即kW（ω）K<∞ a、 重建定理[40，8]表明它是一种积分（还有更多…）在这个度量中是locallyLipschitz。更准确地说，对于充分光滑的f，Zf（cW）dW（ω） =Zf（cW（ω））dW（ω）a.s.其中左侧为经典It^o积分，右侧以稳健的路径方式定义（由于重建），如局部Lipschitz函数W=W（ω）。B、 2。同质模型规范与模型翻译。