精确渐近性：鲁棒随机波动率模型

因此，它既适用于经典StochVol情况（H=1/2），其中∧=I具有到由走向确定的某个到达流形的最短平方距离的几何解释，也适用于Forde-Zhang速率函数∧=J的RoughVol，如（4.1）所示。定理6.1。（i） 假设（A1-A5）的固定x>0。设kε=xε/ε。设gx、gx和rε、xb为（5.14）中定义的托卡斯特-泰勒系数/余数。Thenc（ε，kε）=exp-∧（x）εekεJcall（ε，x），其中（6.1）Jcall（ε，x）=E经验值-∧（x）gxε经验值εgx+εgx+（ε/ε）rε，x- 1.+（ii）现在假设（A1），（A3-A5）为固定x<0且kε=xε/ε。让gx，gx和rε，xas在前面。Thenp（ε，kε）：=exp-∧（x）εekεJput（ε，x），其中（6.2）Jput（ε，x）=E经验值-∧（x）gxε1.- 经验值εgx+εgx+（ε/ε）rε，x+（iii）在假设（A1-A5）下，∧（x）>0表示x>0，在（A1）和（A3-A5）下，∧（x）<0表示x<0。对于gx的方差，如果x 6=0，在（A1-A5）下表示固定x>0，在（A1）、（A3-A5）下表示固定x<0：（6.3）σx=2∧（x）∧（x）。备注6.2。第（i）部分中的假设（A2）可以放宽到exp Xε的可积性：这里只需要确定买入价格。进一步回顾（引理C.6），（A5）意味着∧是x.Proof的一个IGHBorhood。根据买入价格函数c和Xt的定义~ Xε，t=ε，c（t，k）=E[（exp（Xε））- exp（k）+]。由于Xε：=Xεε/ε，考虑k=kε，因此，对于1/νε=ε/ε，c（ε，kε）=E[（exp（Xε/νε）- exp（kε））+]。粗略的VOL渐近21我们的假设表明，对于Xε（ω）=φε（εω），存在一个LDP，其中φε表示第5.1节中的It^o映射，因此-εlog P[Xε>X]→对于控制问题φ（h）=x的某些唯一极小值，khxkH=∧（x）。通过假设（A4），我们得到了形式zε（ω）=φε（εω+hx）=x+εgx+εgx+rx，ε的Tochastic Taylor展开式，与（5.14）中的符号相同。

应用Girsanov定理，εW→ εW+hx=ε（W+hx/ε），得到c（ε，kε）=E[E-εR˙hxdW-2εkhxkH（exp（Zε/νε）- exp（kε））+]。然后，我们使用HxT的一阶最优性来确定（见附录C.1）（6.4）Z˙hxdW=∧（x）gx（ω），这建立了买入价公式，从而确定了第（i）部分。利用它^o等距，我们可以从（6.4）中写出khxkH=k˙hxkL=（λ（x））V ar（gx），并用khxkH=2∧（x）得出结论。回想一下假设（A1），对于x>0，-εlog P[Xε>X]~ ∧（x）。通过x中左侧的单调性，很容易看出∧（x）是单调的，因此∧（x）≥ 此外，我们从（A1b）知道∧（x）=khxk/2 6=0。根据（6.4），我们不能使∧（x）=0，因此∧（x）>0。当x>0时，这将解决（iii）。当x<0时，（ii）和（iii）的证明是完全相似的。6.2. 精确的大偏差。定理6.3。（i） 假设（A1-A5）的固定x>0。设kε=xε/ε。然后存在一个函数a=a（x）~ 1作为x↓ 0，使得σx=2∧（x）/λ（x）如前所述，（6.5）c（ε，kε）~ 经验值-∧（x）εεεA（x）（λ（x））σx√2πasε↓ 0。（ii）现在假设（A1），（A3-A5）为固定x<0。设kε=xε/ε。然后存在一个函数a=a（x）~ 1作为x↑ 0，使得（6.6）p（ε，kε）~ 经验值-∧（x）εεεA（x）（λ（x））σx√2πasε↓ 我们在这里通过忽略余项的形式计算推导出（正确的）公式。第8节给出了实际证明，尤其依赖于假设（A4）来处理剩余部分。证据根据定理6.1中的确切买入价公式，有必要分析（6.7）J（ε，x）=E经验值-∧（x）gxε经验值εgx+εgx+（ε/ε）rε，x- 1.+.我们忽略其余部分。当ε，ε→ 0，因此weexpectE经验值-∧（x）gxεexp（εgx+εεgx）- 1.+~ εE经验值-∧（x）gxεgx+εgx+.22 P.K.FRIZ，P.GASSIAT，P.Pigato，带x固定，写入gi≡ gxi。

回忆（一阶最优性）∧（x）g（ω）=Z˙hxd，然后我们可以分解g=+ g级+ g级哪里 = (, , ) 独立于G；参见引理8.3（或者，使用维纳-It^o混沌参数）。这就给我们留下了E的计算经验值-∧（x）gεg+ε(+ g级+ g级)+= EhE公司....|i、 内部（条件）期望是一个简单的高斯积分，有限维位置分析（参见引理3.1）给出了该积分....|~ε（λ（x））σx√2πexp∧（x）asε→ 然后，正如人们所希望的那样，通过对= x（ω），所以e经验值-∧（x）gεg+ε(+ g级+ g级)+~ε（λ（x））σx√2πEhexp∧（x）x个i、 显然，这样的公式需要exp∧（x）x个∈ L（P）；事实上，证明需要L1+（P），我们在第8.2节中看到，这正是情况，因为hxis是一个非退化极小值，参见假设（A5）。考虑到定理6.1中的系数ekε=exε/ε，参见（6.8）A（x）=（Eexp（λ（x）x）, 如果H<1/2exEexp（λ（x）x）, 如果H=1/2，则put情况下的公式如下：经验值-∧（x）gε- g级- ε(+ g级+ g级)+一旦我们写出∧（x）g=(-∧（x））(-g） 在指数中，我们回忆sgn（λ（x））=sgn（x）。备注6.4。健全性检查：Black Scholes H=1/2，带σx≡ σ、 ∧（x）=x/（2σ）。然后我们得到c（ε，x）~ 经验值-x2εσεσx√2πA（x）精确匹配先前导出的Black-Scholes展开式（3.1），其中A（x）=ex（1+u/σ），如（6.8）所预测= u. 请注意，在Black-Scholes案例中，假设（A1-A5）确实满足任何x>0.6.3的条件。精确的中等偏差。我们现在转向温和政权。第8.3节给出了以下结果的证明。我们只在这里详细说明了看涨期权的情况，将类似的看跌期权的情况留给读者。定理6.5。假设假设（A1）-（A5）适用于x=0，h=0。设kε=xεε/ε与xε→ 0，xε/ε→ ∞.

ThenROUGH VOL渐近23（6.9）c（ε，kε）~ε→0exp-∧（xε）εεσxε√2π.备注6.6。形式上，这是根据我们精确的大偏差（6.5），用xε替换x，并使用xε→ 严格证明遵循与定理6.3的证明类似的路线，并推迟到第8节。备注6.7。让ε=ε2手动考虑β∈ （2小时/3小时）。那么xε=xε2β属于上述定理的范畴，而且∧（xε）/ε4H~x2σε4H-4β为ε→ 事实上（6.9）中的展开式只不过是在中等规模下运行的Black-Scholes展开式，速度函数为ε4H-4β，而不是大偏差速度ε。更一般地，可以获得任意β∈ （0，H）膨胀∧（xε）/ε4H=MXk=2∧（k）（0）k！xkε4H-2kβ+o（1）asε→ 0式中，如果我们知道∧是CMat 0，则M是（M+1）β>2H。（注意，在假设（A5）下，x处∧的cmRegulation只需要H上Φ的cmRegulation，cf引理C.6。）7、返回RoughVol7.1。检查抽象条件。我们回到RoughVol模型，例4.3，Xε=ZσbεcWεdρW+ρW-εZσbεcWdt，具有光滑的波动率函数σ（.），和Forde–Zhang能量函数J，如（4.1）所示。为spot vol写入σ=σ（0）>0，并设置σ=σ（0）。应用于该模型，定理6.3得出以下结果。推论7.1（RoughVol）。让H∈ （0，1/2）和kε=xε1-2H>0。假设满足假设（A2）。那么，对于足够小的x，J=J（x）是连续可微的，（7.1）c（ε，kε）~ 经验值-J（x）ε4Hε1+4HA（x）（J（x））σx√2πasε↓ 0，对于某些函数A（x）和A（x）→ 1作为x→ 在没有假设（A2）的情况下，对于货币外（x<0）看跌期权价格，类似的扩展也成立。备注7.2。众所周知，当σ呈线性增长时，假设（A2）成立，参见【22】。在H=1/2的情况下，（A2）在较弱的假设下成立，例如指数增长的σ和相关性ρ<0[56，47，50]。

我们预计类似的结果在粗略的情况下也会存在，但目前尚不清楚。证据有必要检查该定理的所有假设是否满足x足够小的条件。如第4节所述，假设（A1）来自【22，8】。假设（A3）和（A4）（即规律性结构框架）遵循[8]，我们已经在第5.2节中对其进行了审查，为方便读者，另请参见附录B。最后，我们讨论了假设（A5）。我们首先检查24 P.K.FRIZ，P.GASSIAT，P.Pigato，它在x=0时保持不变。（A5a）在h=0时明显。通过直接计算，我们得到，writingek=ρk+ρk，k=（k，k），（7.2）hDΦ（0），ki=σek，因此严格正的点volσ意味着（A5b）。最后，由于q=0，（A5c）是微不足道的。现在，引理C.6（与引理C.1结合）表明条件（A5a-C）是“开放的”，即自动保持在0的小邻域内。证据到此结束。7.2. 计算常数。通过将抽象框架应用于RoughVol的具体案例，可以看出该框架的优点，如上所述。从抽象框架来看，（7.3）A（x）=（Eexp（λ（x）x）, 如果H<1/2exEexp（λ（x）x）, 如果H=1/2，我们现在可以更具体地描述随机变量x（根据下一节8中的证明）。实际上，使用（5.10）、（5.11）和（8.6）、（8.10）进行的直接计算表明（7.4）x=（Rσ（bhxs）bVsdehxs+Rσ（bhxs）bVsdeVs，如果H<1/2Rσ（bhxs）bVsdehxs+Rσ（bhxs）bVsdeVs-Rσ（bhxs）ds，如果H=1/2。这里，bV，eV可以如下计算。我们有gx=Zσ伯克希尔哈撒韦dfW+Zσ伯克希尔哈撒韦cW DEH是（5.9）中的一阶项。然后，根据（8.9），我们定义vt=EWtgx（宽、宽）/E（gx）andvt=EWtgx（宽、宽）/E（gx）. 然后，bV，eV从（Vt，Vt）：=（Wt）中获得-vtgx，重量-vtgx）。利用这种构造，（V，V）独立于高斯gx。

这源于下面的（一般性）讨论，并显示了如何在实践中实现这些抽象结果。关于进一步的计算和数值试验，请参考【27】。7.3. 关于带有t2Hdependence和Volterra dynamics的RoughBergomi的评论。继【7】之后，RoughBergomi模型的关键方面是其对数正态波动率，自然由波动率函数σ（x）=σexp（ηx）建模。严格地说，在[7]中，采用了Wick而非标准指数，这相当于exp形式的一个附加因子(-ct2H），或exp(-cbεt2H）重新缩放后。让我们指出a（非生长受限，充分）光滑函数σ=σ（x，τ）的一般性中所需的适应。FirstXε=Zσ（bεcWt，bεt2H）bεd（ρWt+ρWt）-εbεZσ（bεcWt，bεt2H）dt的产生方式与时间无关的RoughVol从短时到小噪声转换以及随后的重缩放相同。从LDP的角度来看，人们（正确地）怀疑可以代替considerzσ（bεcWt，0）bεd（ρWt+ρWt）=：Φ（δbεW）。粗体积渐近25要了解这一点，必须注意一对（δbεW，bε）的LDP，速率函数I（h，τ）=kh，hkHif h是（h，h）的正则升力，τ=0，否则取值+∞. 使用（W，τ）7的接缝连续性→Zσ（cWt，τt2H）d（ρWt+ρWt）-τ1+1/（2H）Zσ（cWt，τt2H）dt收缩原理很容易暗示Xε满足具有良好速率函数（4.1）的LDP，Φ（bεW）也是如此。专业读者可能会注意到，t2His不受重量，重量, 因此，所谓的连续性需要超越（标准）粗略整合/重建的公正性。这正是奇异模型分布[40]出现的地方，在[9]中从粗糙路径和粗糙体积的角度重新进行了讨论。

本质上，t2是光滑的（作为奇异模型分布），奇异参数η=2H，因此（使用正则映射合成下的稳定性）积分7→ σ（cWt，τt2H），然后是ρ的乘积行波管+ρTWTCA可被视为单一模型分布。这恢复了连续性，因此假设A3a确实有效，A3b（不受所有这些影响）也是如此；大偏差则成为收缩原理的结果。这里真正感兴趣的当然是稳健的规范，它允许按照假设A4的要求进行局部扩展。（假设A5也不受所有这些影响。）综上所述，以A3a的扩展正义的唯一代价，具有奇异时间依赖性的RoughBergomi模型在本文提出的抽象框架中是完美的。第二条评论涉及更复杂的Volterra波动动力学。在Forde Zhang【22】和rough Bergomi【7】中，粗糙波动率由一个涉及分数布朗的显式表达式来描述，无需求解微分方程。这种“粗略”的波动率模型在[8]中被称为“简单”。这与需要求解Volterra型It^oSDEs的“非简单”模型形成对比，如Rougheston的情况。不考虑平方根（Heston）情况（但请参见引言中的RemarkI.（ix）），Volterra模型的稳健解理论是可能的，并且当H<1/4时，需要更复杂的正则结构。我们参考了[8，Ch.5]，注意到Volterra SDEs属于Haier理论中的一般解理论，因此，通过建模分布的适当空间中的fix点参数可以找到解。

由于该解理论有效地发生在局部扩张空间中，这是受控路径和建模分布的本质，鲁棒性条件（A3a）和（A4）在此设置中仍然无效，正如（A3b）一样，依赖于[8]中使用的一般高斯模型大偏差。最后，检查条件（A5）将再次依赖于连续性参数和againrequire x small。（Φ没有明确的表达式，这在（7.2）中很有用，8。主要结果的证明完成定理6.38.1的证明。J的本地化。表达式jcall和jputa分别在（6.1）和（6.2）中介绍。在下面的内容中，我们只处理J=Jcall。JPUTI的情况类似，但更简单（因为系数（1- exp（…））+显示在JPUT中，保持有界。）我们首先介绍（6.1）中给出的J=Jcallas的本地化版本，即我们设置（8.1）Jδ（ε，x）=Eδ经验值-∧（x）gxε（e（ε/νε）gx+（ε/νε）gx+（1/νε）rε，x- 1)+.其中，期望值与次概率δ（A）=P（A）有关∩ {ε| | | W | | |<δ}）。26 P.K.FRIZ，P.GASSIAT，P.Pigatopposition 8.1。固定δ>0。然后存在c=cx，δ>0，使得| Jδ（ε，x）- J（ε，x）|=O（exp(-c/ε））。因此，J的任何“代数展开式”（ε的幂）都不会因切换到Jδ而受到影响。证据我们回到Girsanov位移之前J和Jδ的各自表达式。为此，引言b:={M∈ M：| | | T-hxM | | |≥ δ} ，注意到bc是hxby平移算子连续性的正则提升的邻域（在模型拓扑中）。这允许我们使用（6.7），（8.1）和Orem 6.1中的Girsanov变换，写出（8.2）J（ε，x）- Jδ（ε，x）=exp∧（x）εe-kεE[（exp（Xε））- exp（kε））+B（ΔεW）]>0，其中hxis（假设）是唯一的极小值。我们只需要给这个表达式上界，因为它总是正的。

让我们写出[（exp（Xε）- exp（kε））+B（ΔεW）]=E[（exp（Xε/νε）- exp（x/νε））+B（ΔεW）]我们本地化了看涨期权ψ（z）：=（ez- 1） +到ATM邻居。对于固定的b>x，我们将期望值拆分为两个集合{xε≥ b} 和{Xε<b}。我们有[（exp（Xε/νε）- exp（x/νε））+B（ΔεW）]≤ E（exp（Xε/νε）- exp（b/νε））++E[（exp（b/νε））- exp（x/νε））+xε≥b] +E[（exp（Xε/νε）- exp（x/νε））+xε<bB（ΔεW）]，因为命题4.8（8.3）E[（exp（xε/νε）中的买入价（上限）偏差估计值较大- exp（b/νε））+]≤ 经验值(-（λ（b）+o（1））/ε），由于b>x，很明显∧（b）>λ（x）。（8.4）E[（exp（b/νε））也是如此- exp（x/νε））+xε>b]≤（实验（b）- exp（x））+νεP（xε≥ b） 因为νε>1。仍需使用νε处理局部化项≥ ε为1≤ 1，（8.5）E[（exp（Xε/νε）- exp（x/νε））+xε<bB（ΔεW）]≤ ebP[{Xε∈ [x，b）}∩ B] 。关于这一点的上界由ebtimesP[{Xε]给出≥ x}∩ B] =P[Φε（ΔεW）≥ x|||T-hxδεW | | | |≥ δ] 引入setAx，δ={M：Φ（M）≥ x|||T-hxM | | |≥ δ} 通过假设（A3），我们发现p[Φε（ΔεW）≥ x|||T-hxδεW | | | |≥ δ] ≤ e-（khx，δkH+o（1））/（2ε）。式中（如前所述，h表示h的正则升力∈ H至a型）hx，δ∈ argmin infh∈H{khkH:H∈ Ax，δ}（虽然可能存在许多极小值，但在一个良好的速率函数的闭合集上，可以达到最小值。）自Φ（hx，δ）≥ x、 通过（0+∞), 我们有粗略的VOL渐近27khx，δkH≥ khxkH。但这个不等式必须严格，否则最小值的假定唯一性就意味着hx，δ=hx，这是不可能的，因为hx，δ∈ Ax，δ B、 即在hx附近以外。设置2η：=khx，δkH- khxkH。然后通过设置c=min{（λ（b））完成证明- ∧（x））/2，η/2}>0。8.2. 局部分析。

带hx∈ H固定，假设（A4）为我们提供了（Gx，Gx，Rx，ε），因此，限于H，Gx=DΦ（hx），Gx=DΦ（hx）（二次型）。另一方面，假设（A4b）中的Kas，（8.6）gx（ω）=gx（W（ω）），gx（ω）=gx（W（ω））=G0，x（W（ω））+KClearly gxis为零均值高斯，N（0，σx），例如。然后，我们继续如[5]所述，引入零均值高斯过程V=Vx（8.7）Vt（ω）：=Wt（ω）- gx（ω）vt，其中选择v，使v独立于gx。我们现在明确描述这样一个v，这也需要识别gxas-Wiener积分。引理8.2。（i） 将DΦ（hx）与H的一个元素识别，一个具有随机变量（8.8）gx（ω）=hDΦ（hx），Wi的等式，其中hh，Wi≡R˙hdW表示维纳积分。（ii）定义v=vxby（8.9）v=DΦ（hx）kDΦ（hx）k，v（ω）=W（ω）- vgx（ω）。那么V独立于gx。（iii）V的Cameron–Martin空间由H给出：={DΦ（hx）}⊥.证据（i） 根据定义，对于H中的所有k，一个具有hDΦ（hx），kiH=Gx（k）。设Wη为molli fier函数，重缩放参数η>0，并称Wη为Wη的正则模型升力。根据假设（A3），存在一个重整化近似cwη=RηWη，其收敛为η→ 0，在概率和模型拓扑中，为W。因此，我们通过假设（A4）Gx（W）=limη→0Gx（RηWη）=limη→0Gx（Wη）=limη→0hDΦ（hx），Wηi=hDΦ（hx），Wi。（ii）有必要表明∈ H、 E【hV，kigx】=0，这是它^比重法和v定义的一个简单结果。（iii）如果DΦ（hx）=0，我们有v=W，并且没有任何显示。否则，正火DΦ（hx）∈H到范数1，并完成到正交基，例如H的e（n）。通过标准参数，恢复布朗运动W=Pne（n），We（n），在概率上，一致在[0，1]上，作为Cameron–Martin空间H的高斯过程。下面的陈述指出，V也由第一个模式给出，与hx成比例，移除。28 P.K.FRIZ，P.GASSIAT，P。