精确渐近性：鲁棒随机波动率模型

也就是说，Heston和LoughHeston（特征函数方法…）的可用（a ffne）结构几乎没有动力去了解这句话的细节。（x） （局部波动性）将本文的方法与Malliavin演算（分部积分）相结合，可以分析RoughVol下局部波动性的渐近行为，详情留待后续说明。这使得我们可以将De Marco和我们中的一位[15]的结果推广到粗略的波动率设置。（二） 中等偏差定价。将定理1.1中的x替换为xε2β，从而考虑货币对数删除kε=xε1+2（β-H） 。自∧（xε2β）~（const）xε4β当β≥ H、 在这种情况下，情况β=H正是中心极限状态。当然，β=0的情况是（II）中处理的最大偏差情况。中间，当β∈ （0，H），我们有中等偏差区域。经典中等偏差是CLT的一种补充，通常信息量不大，另一方面，高阶中等偏差可能包含有趣的信息，如【24】和【6】中的经典StochVol（分别为RoughVol）设置所示。以下“精确的”中等偏差结果同时在[24，6]，（1.11）p（ε，kε）中定义了各自的结果~ 经验值-∧（x）ε4（H-β)ε1+4（H-β） σx√2πasε↓ 我们没有详细说明类似的买入价格公式。事实上，适度偏差为理解粗略BBF公式（1.6）提供了一种很有吸引力的方式：它有助于“比较”Black-Scholes中货币期权的适度偏差（kε=xε2β）与RoughVol下期权的诚实偏差（大偏差）。

前提是ε4（1/2-β） 匹配ε4H，所以我们必须有β≡ 1/2 - H、 我们可以再次推导出Black-Scholes（隐含）波动率（以xε2β=xε1为准）的前导阶效应行为（1.6-2H）当ε（相当于：t）变为零时。（三） 粗体积。我们的主要定理的条件可以针对RoughVol模型（1.4）进行验证，包括如RoughBergomi所示的对数正态波动情况【22，7】。推论1.2（RoughVol）。（参见第7节的推论7.1。）让H∈ （0，1/2）和kε=xε1-2H<0。然后，对于足够小的x，J=J（x）是连续可微的，我们（在货币之外）将价格与（1.12）p（ε，kε）进行比较~ 经验值-J（x）ε4Hε1+4HA（x）（J（x））σx√2πasε↓ 0，对于某些函数A（x）和A（x）→ 1作为x→ 在1+时刻假设下，类似的扩展适用于货币买入价格（x>0）。粗略VOL渐近7我们再次发表几点评论。（i） 从正则结构的角度来看，鲁棒性条件由随机泰勒展开式保证。这是第5.2节和附录B中为方便读者而审查的[8]的要点。（ii）在推论1.2中，我们验证了相关的抽象条件，特别是定理1.1中关于零邻域x的非退化条件。这是一个微妙的点，因为我们确实不期望所有x都是这样，同样的原因，我们也不能期望一般黎曼流形上的两个泛型点的割轨迹割（x，x）为空。熟悉热核展开式（远离切割轨迹有效）的读者，尤其是熟悉[10]中给出的（基于拉普拉斯的）证明和/或边缘密度展开式的适应性的读者，将认识到这不仅仅是一个松散的类比，事实上，这有一个几乎相同的有限维解释；查阅

附录C.2的设置。（iii）如上文第（I.iii）点所述，∧和A的可用表达式可在进一步规定模型后进行进一步计算。RoughVol模型就是这样一种规定，由H、波动率函数σ（·）和相关参数ρ充分描述。特别是，这些数量决定X，然后输入通式（1.10）。的表达式x、 对于RoughVol，这是我们的一般理论的直接结果，如（7.4）所示。这种明确的形式是【27】中的起点，在这里我们进一步详细说明了对RoughVol和特别是RoughBergomi的具体计算，并进行了数值测试。由此得出的隐含波动率扩展非常准确，这很容易归因于扩展中的附加项t2H∑（x），在典型标定中，H介于0.1和0.3之间。（iv）我们的工作基本上依赖于（精确的）大偏差，这导致我们在大偏差（以及中等偏差）制度下的扩张有效性。人们也可以在中心极限状态下研究这种展开式（想想：kε=xε，相当于kt=x√t） 并采用Edgeworth展开法获取相关信息，从而得出T2H修正条款；关于这种基于CLT的方法，请参见[18]及其参考资料。我们注意到，较大的偏差范围（认为：kε=xε1-2H）可明显大于CLT范围，尽管间隙随着H缩小↓ 我们的工作对超临界区H=0没有什么可说的。根据卡汉的高斯乘性混沌理论，这一方向的第一步是在[51]中采取的。论文的组织。第2节和第3节包含符号和一些稍后有用的（非渐近）Black-Scholes估计。第4节形式化了基本的大偏差假设，并给出了一些经典和“粗略”的例子。

看跌和看涨价格的大偏差是在自然条件下给出的。第5节介绍了我们的（两个）运行示例，其余的抽象条件是基于这些示例制定的。第6节包含陈述和部分证明我们的主要结果：精确期权价格公式、精确大偏差、精确中等偏差。第7节验证了RoughVol案例的技术假设。一些冗长的证明已移至第8节。附录A详细说明了“RobusterPresentation”的概念，附录B回顾了粗略的波动率规律性结构，附录C讨论了围绕最小值进行局部分析所需的控制理论问题，附录D从期权价格扩展中提取隐含波动率。注记维纳空间C（[0，1]，Rm）支持m维标准布朗运动W=W（t，ω），并包含Cameron-Martin空间H≡ H 具有平方可积导数的路径的C（[0，1]，Rm）。人们默认所有布朗和卡梅隆-马丁路径都从原点开始。当m=2时，相应地写入W=（W，W）和h=（h，h）；给定相关参数ρ∈ [1，1]，8 P.K.FRIZ，P.GASSIAT，P.Pigato和ρ+ρ=1，通过fw=ρW+ρW给出了标量布朗运动（ρ-与W相关）。类似地，writeeh=ρh+ρh。Hurst参数表示标量h∈ （0，1/2）.奇异核KH（s，t）的卷积=√2H | t-s | H-1/20<s<已知β-正则化，β=1/2+H（例如[55，第3.1节]）。（当H=1/2时，这正是不确定积分。）应用于负H¨older空间C中的标度白噪声˙W，a.s-1/2-, 我们得到了Riemann–Liouville（a.ka.Volterra或L'evy）分数布朗运动cw=KH*˙W∈ 中国-a、 在美国，我们在字段中遵循标准符号，并编写H¨older指数α-, 当我们真正的意思是α- κ对于所有效率均大于0。

我们还写了bh=KH*˙h∈ Hβ，其中˙H∈ L≡ Hβ表示分馏倒向空间。总之，X=（X，Y）是一个n维随机过程，标量分量X=X（t，ω），定义在m维维纳空间上。我们将假设一个鲁棒形式，它允许将X写为W=W（ω）的连续函数，这是对粗糙路径空间Cα，α中随机元素W的适当增强∈ （1/3，1/2）或更一般地，模型M=Mκ空间中的随机元素，定义于规则结构上，其精确形式取决于手头的动力学。（附录中详细审查了粗略波动的情况。）关于Black-Scholes渐近的初步研究t=ε时的Black-Scholes对数价格由xε=εu+εσB给出~ Ntu，σt.考虑测井走向k>0，设定zε=εu+εσ（B+k/εσ）=k+εσB+εu。然后给出买入价，再见eXε- 埃克+= EeZε- 埃克+经验值-kBεσ-k2εσ= e-k2εσekEe-kBεσeεσB+εu- 1.+~ e-k2εσekEhe-kBεσεσB+εu+i=e-k2εσεσekEhe-kBεσ（B+εu/σ）+i~ 来自拉普拉斯型参数：对于任何固定δ>0的事件{|εB |<δ}，渐近行为在事件{|εB |<δ}上确定，这反过来允许替换eεB- 1由εB完成。（详情留给读者。）下一个引理，应用eε=εσ/k（因此εu/σ=eεku/σ），然后给出（3.1）eeXε- 埃克+~ e-k2εσεσekk√2πeku/σ。引理3.1。Asε→ 0，Ehe-Bε（B+εα）+i~ε√2πeα。我们可以用一个基本的拉普拉斯型引理来证明引理3.1，注意到相关贡献来自0<B+εα<δ，任何δ>0。（这也解释了为什么用B+εα+εB+εB来改变B+εα不会改变渐近性。）也就是说，引理3.1也是以下（非渐近）估计的一个粗略的VOL渐近9直接结果，这在后继中提供了一些灵活性。引理3.2。Letα∈ R、 γ∈ [0，1），ε严格正，N~ N（0，1）。

对于一些C>0的情况，我认为是（1- γ） eα1-γ+2γ，（1+γ）eα1+γi- εC（1+α）max{eα1-γ、 eα1+γ}+6γ≤√2πε-2Ehexp-ε-1N（N+γ| N |+εα）+i（3.2）≤最大值（1- γ） eα1-γ+2γ，（1+γ）eα1+γi.证明。中间表达式（3.2）等于ε-2Z+∞-∞e-是/2e-yε（y+γ| y |+εα）+dy=Z+∞-∞e-vε/2e-v（v+γ| v |+α）+dv。小学1- 是/2≤ 经验值(-是/2）≤ 1则会导致所述界限。事实上，（3.2）≤Z+∞-∞e-v（v+γ| v |+α）+dv可计算：当α<0时，右侧等于（1+γ）Z∞-α1+γv+α1+γe-vdv=（1+γ）eα1+γ，而当α≥ 0我们有-α1-γe-v（v（1- γ） +α）dv+Z∞e-v（v（1+γ）+α）dv=（1- γ） eα1-γ+Z∞e-v2γvdv=（1- γ） eα1-γ+ 2γ .要获得下限，请使用e-是/2≥ 1.- y/2，并拆分积分以获得（3.2）≥Z+∞-∞e-v（v+|γ| v+α）+dv-εZ∞-∞e-vv（v+|γ| v+α）+dv。第一个积分的计算方法与之前相同。对于第二个，我们再次根据α的符号进行区分。当α<0时，我们得到α1+γZ∞e-uu-α1 + γudu≤ Ceα1+γ（1+α），而在α情况下≥ 0我们有-α1-γe-vv（v（1- γ） +α）dv+Z∞e-vv（v（1+γ）+α）dv=eα1-γ(1 - γ） Z∞e-uu-α1 + γudu+Z∞e-v2γvdv≤Ceα1-γ+ 12γ.10 P.K.FRIZ，P.GASSIAT，P.PIGATO4。统一大偏差、中偏差和粗偏差我们现在提出了我们的基本大偏差假设。感兴趣的对象是scalarprocess Xε≡ Xε（·），被视为以ε速度运行的（标准化）对数价格过程。按照惯例，X=0，因此Xε→ 0为ε→ 读者可以记住一个It^o差异：经典的StochVolmodels假设（Xε）是高维马尔可夫差异的一个组成部分；粗糙体积模型具有由分数布朗运动驱动（或给定）的附加分量。我们进一步注意到，我们的设置包括中等偏差制度中的定价。4.1. 基本大偏差假设（A1）。（A1a）族{Xε：0<ε≤ 1} ，作为重新缩放过程的单位时间边际Xε，Xε：=εXε满足具有良好速率函数的LDP（也称为。

能量）∧和速度ε≥ ε对于某些给定函数ε7→ ε = ε(ε).（A1b）假设∧（x）=0 i ffx=0。（A1c）（通常只有下半连续的）速率函数∧是连续的。注意，（Xε）的大偏差原则可能成立，也可能不成立。注意条件（A1b）表示∧（0）=0（编码Xε→ 0）并排除以零成本移动到x 6=0的情况。（A1c）在我们感兴趣的所有StochVol/RoughVol设置中都是已知的，参见下面的参考文献。示例4.1（Black-Scholes/Schilder LDP）。设Xε=εσB+εu（其中u=-σ/2（无速率时），且LDP保持ε=ε，∧（x）=x2σ。示例4.2（经典StochVol，Freidlin Wentzell LDP）。这里∧通常是非显式的，但有一个从到达记录点/点体积（0，y）到到达流形（x，·）的测地距离的解释。在局部椭圆设置中，速率函数是eikonalequation的粘度解，因此是连续的，参见例[11，Thm 2.3]。文献[16]表明∧是平滑的“远离焦点”，这对于接近零的x总是如此。示例4.3（RoughVol，Forde Zhang LDP【22】）。让H∈ （0，1/2）.xε=ZσbεcWεdρW+ρW-εZσbεcWdt，其中CW=KH*˙W，bε：=ε2H，LDP假设适用于xε=ZσbεcWbεdρW+ρW-εbεZσbεcWdt，即ε=bε=ε2H和连续[22，Cor.4.6]速率函数（4.1）∧（x）=J（x）：=inf{kh，hkH:Zσ伯克希尔哈撒韦dρh+ρh= x}≡khx，hxkH。我们注意到[22]假设σ（.）为（线性）增长条件。如【8】所示，另见【46、36】和下面的假设（A3），条件（A1a）成立，没有σ（.）的增长条件Hencei对指数函数和RoughBergomi模型有效，参见第7.3节。条件（A1c）来自【22，Cor.4.6】。即将到来的非简并条件（A5）暗示了∧在给定点x附近的局部C正则性。粗糙VOL渐近11示例4.4（Black-Scholes MDP）。取β∈ [0，1/2）和ε=ε1-2β.

然后LDP假设成立，速度ε和速率函数∧（x）=x2σ，对于xε=εσB+εεu=εε（εσB+εu）。示例4.5（经典StochVol，中等偏差制度【24】）。带β∈ （0，1/2）和ε=ε1-2β如上所述，我们发现Xε=εεXε满足与布朗运动相同的MDP，Black-Scholes参数σ替换为即期波动率σ。对于β=0，我们处于FreidlinWentzell LDP领域，β=1/2是中心极限标度。示例4.6（粗糙度，中等偏差状态【6】）。考虑原木价格XεunderRoughVol，如示例4.3所述。设0<β<H≤ 1/2并设置ε=ε2H-2β. 然后LDP假设成立，速度ε和速率函数∧（x）=x2σ，对于xε=εxε。对于β=0，我们回到了大偏差设置，β=H是中心极限标度。4.2. 矩假设（A2）和大偏差期权定价。考虑因素0≤ kε=（ε/ε）x≤ x。在假设（A1a）下，我们有（4.2）P[Xε>X]=P[Xε>kε]=exp-∧（x）+o（1）ε,我们将其视为（无本金，简称：OTM）数字期权价格，基础对数价格xε和对数罢工kε。我们将在下文中看到，看跌期权价格的情况类似。然而，在表格[（exp（Xε））的买入价格的情况下- exp（kε））+]无界支付需要以下力矩假设：（A2）存在p>1，使得lim supε→0E[（exp（Xε）p]=：mp<∞以下是检查（A2）的典型方法。校样交给读者。引理4.7。假设存在一个进程（Xt）t≥0XT（d）=Xt1/2E-rtexp（Xt）≡sti是鞅，并且假设存在p>1和t>0，使得E[Spt]<∞. 然后（A2）保持不变。提案4.8（小噪声OTM定价）。设置kε=（ε/ε）x。假设（A1）。然后我们得到了价格的渐近解，x<0:E[（exp（kε））- exp（Xε））+]=exp-∧（x）+o（1）ε.在附加力矩假设（A2）下，我们也有Call-prices渐近，x>0:E[（exp（xε））- exp（kε））+]=exp-∧（x）+o（1）ε.12 P.K.FRIZ，P。

GASSIAT，P.PIGATORemark 4.9。（条件A2）（i）第一时刻（p=1）的存在是基于定价理论的“必要条件”。因此，“1+矩”的存在是一种相当温和且经常遇到的情况，实践中使用的大部分模型都满足了这一点。这包括在σ（.）增长限制下的Rawvol\'a la Forde–Zhang以及拉夫赫斯顿模型。这就是说，已知对数正态波动率模型中不存在1+矩，甚至失去鞅性[56、47、50]。如这些参考文献所示，在经典StochVol设置中，如果（且仅当）驱动因子ρ与ρ<0相关，则条件（A2）成立。幸运的是，从财务角度来看，这种负相关假设得到了很好的证明，这解释了为什么“对数正态”SABR模型等模型被广泛使用。此时，（负相关）粗略Bergomi模型的有效性（A2）（参见示例4.3，思考：σ（.）指数）仍然是一个猜测。【33，37】中描述了这些困难，以及马丁基利和“只有当”部分的决定性结果。然而，请注意，提案4.8的“卖出价格”部分并不依赖于（A2），因此适用于粗糙的Bergomi。（ii）命题4.8改进了[22，推论4.9]，其中在σ的线性增长条件下获得了类似的买入价格渐近性（或跟踪其证明，在假设ε足够小的情况下，ε足够大；参见[6]）。例如，这包括Heston，但排除了“log normal”SABR。有关此类力矩条件的最新讨论，请参见【37】。证据除买入价格上限以外的所有情况的详细信息都是直接的，在【22，附录C】中有详细说明，因此省略了。

固定y>x并考虑ε∈ （0，1）使得ε/ε=νε≥ 1和烯[（exp（Xε））- exp（kε））+]=E[（exp（Xε/νε）- exp（x/νε））+{xε∈（x，y）}]+E[（exp（xε）- exp（kε））+{Xε>y}]≤ （ey/νε- ex/νε）+P[Xε>X]+E[（exp（Xε）P]1/pP（Xε>y）1/q≤ （安永- ex）+P[Xε>X]+E[（exp（Xε）P]1/pP（Xε>y）1/q，其中我们采用了第二项的H¨older不等式，由于（A2），H¨olderconjugate q=P<∞, 在小ε上均匀分布，E[（exp（Xε）p]1/p<∞. 使用（A1）获得LIM supε→0ε对数E[（exp（Xε））- exp（kε））+]≤ 最大值-∧（x），-∧（y）q最后我们让y→ +∞. （由于比率函数的优点，人们无法以有限的成本获得确切信息，因此∧（y）→ ∞ 作为y→ ∞.) 当应用于短期期限内的经典StochVol期权定价时，t=ε，命题4.8是一个严格的公式，通常是松散编写的asE（St- K）+≈ e-∧（k）/t其中∧（k）是速率函数，k=对数（k/S）。类似地，在RoughVol下，能量函数为∧时，此关系变为（St- Kt）+≈ e-∧（x）/t2Hwhere Kt=Sexp（xt1/2-H） 。在相应的中等状态下（St- Lt）+≈ 经验值-x2σt2H-2β,我们感谢裁判员提示我们明确向Rough Bergomi提出此申请。Lt=Sexp（xt1/2）的粗糙VOL渐近13-（H）-β） ）式中，0<β<H<1/2。（经典StochVol下的“中等”近似公式的形式完全相同，H=1/2。）本文的其余部分将用于替换≈ 通过诚实的渐近等价，如Black-Scholes示例所示：对于固定x>0，作为t↓ 0，E[（EσBt+ut- ex）+]~ e-x/（2σt）t3/2σexexu/σx√2π.正如我们将看到的，我们的方法在很大程度上具有普遍性，以获得StochVol和RoughVol的“精确”大偏差。在中等范围内，如果存在其他尺度εβ，则需要绕道而行，以排除ε=ε2H内的随机泰勒展开。