精确渐近性：鲁棒随机波动率模型

从高斯集中的角度来看，最好使用（B.9）| | | W | | |：=kW k1/2给出的同质模型范数-κ+千瓦k1/2-κ+ZcW数据仓库1/2小时+1/2小时-2κ... +ZcWMdW公司1/（M+1）M（H-κ)+1/2-κ、 我们还需要将粗糙路径中已知的转换映射（参见[29]和[14]中关于单数SPD背景下模型转换的情况）推广到粗糙的volatityregularity结构[8]。事实上，在将“W+h”的含义“提升”到路径或模型上时必须小心。形式上，h=（h，h），Th（W）=W+h，W+h，cW+bh，Z（cW+bh）d（W+h）。。。.请注意，T-h（W）6=W- h=（W- h、 W- h、 cW公司-bh，RcW dW-Rbhdh，…），出现在W和L之间的模型距离中（h）=h，对于h∈ H、 以下引理可视为[29，第11.1节]中粗糙路径结果的变化。特别是，我们在上面的正式讨论中采用了THA，并在下面检查所有涉及h的交叉积分是否（从分析上）得到了很好的定义。为模型空间写入M，即所有W的（完整度量空间）和kWk<∞, 受代数约束（广义Chen关系）的约束，由定义W时使用的所有积分的可加性施加在光滑W上，见[8，Lem.3.2]。引理B.2。（i） 我们有一个连续映射H×M→ M、 （高、米）7→ ThM，使ThL（k）=L（h+k），对于所有h，k∈ H和Tho T-他在M上的身份图。（ii）所有（h，M）都存在C>0 s.t∈ H×M，（B.10）| | | ThM | | |≤ C | | | M | | |+CkhkH。证据（i） 召回h∈ H C1/2，以便W-h、 W-h再次出现（1/2-κ） -H–旧版。

更有趣的是，cW-bh={t 7→cWt公司-ZtKH（t，s）˙hsds}又是CH-κ使用KH卷积不仅映射C-1/2-κ→ 中国-κ（解释SCW∈ 中国-κ） ，但L=W0,2→ W1/2+H，2 CH，所以BH∈ 我们现在移动到更高级别的对象，例如rcwkdw，平移由z（cW+bh）kd（W+h）=kXj=0给定千焦ZcWjbhk-jdW+ZcWjbhk-jdh公司.粗糙VOL渐近37我们需要检查所产生积分的某种H¨older型正则性。让我们举例说明如何验证TSBHKS、rcWls和rdWr|t型- s |（k+l）H+1/2-（k+l+1）κ表示正整数k和l以及小固定κ。我们首先证明（B.11）Z·scWls，rdWrp-var，[s，t]|t型- s |左侧+-（l+1）κ表示p≥ (1/2 - κ)-事实上，对于[s，t]的给定分区{ti}，我们有Zti+1ticWls，rdWrpZti+1ticWlti，rdWrp+supr∈[s，t]cWls，r-cWlti，r!pZti+1tidWrp、 | ti+1- ti | p（左侧+-（l+1）κ）+t- s | p（左侧-lκ）| ti+1- ti | p(-κ） 对i求和得到（B.11）。然后，我们利用这样一个事实，即通过[26]的贝索夫变分嵌入，存在q+p>1的q，这样KBHKQ-var；[s，t]|t型- s | H-κkhkH（[0，T]），所以通过杨氏不等式，它认为Ztsbhks、rcWls、rdWr. kbhks，·kq-var；[s，t]Z·scWls，rdWrp-var，[s，t]|t型- s |（k+l）H+-（k+1）κ。平移算子模型距离的连续性是上述分析的一个简单结果。（ii）通过跟踪khk和| | | | | W | | | |的哪些幂出现在计算中，例如在上述研究的情况下，一个Rtsbhks、rcWls、rdWr|t型- s |（k+l）H+-（k+1）κk+l+1。khkkk+l+1H | | | | W | | lk+l+1。khkH+| | | W | | | |。Lemma B.3（稳健的Cameron–Martin shift）。设W（ω）为上文B.1.2节中建立的二维布朗运动的It^o模型。那么，不管怎样∈ H、 概率为1时，W（ω+H）=ThW（ω）。证据这类似于粗糙路径设置中的定理[29，Thm 11.5]或gPAM模型设置中的定理[14]。提案B.4。如前所述写入L（h）=h。

对于所有R>0，{h:khkH≤ R} 在M.Proof中是紧凑的。从W（ω）的良好速率函数的解释中可以清楚地看到这一点，参见[8]。38 P.K.FRIZ，P.GASSIAT，P.PIGATOB。3、重整化的Wong Zakai型结果。设Wη为W的软化值，该值是通过在标度η>0时使用molli fier函数进行卷积得到的，与W相似。有一个正则提升toa模型Wη，当H<1/2时不收敛（参见文献[8]），当H=1/2时收敛到层流布朗粗糙路径。增量Wηs，t在某些（截断的）Hopfalgebra中取值，作为向量空间，对于某些整数M（H），我们可以用RM（H）表示。定理B.5。Mη上存在一类线性映射：RM（H）→ RM（H）使cw，在点定义Wηs，t：=MηWηs的情况下，t（在概率和模型拓扑中）收敛到It^o模型W。此外，Mη的作用与第B.2节中的平移运算符进行了转换。证据这是[8，Thm 3.14]的（非定量）公式。交换关系易于手动检查，并与[13]完全一致，后者（在一般分支粗糙路径上下文中）将重整化识别为高阶平移，并生成阿贝尔重整化群。B、 4。通过模型范数的“随机”泰勒剩余估计。如B.1节所述，我们需要在设定粗波动率的规则性结构时改变粗路径结果[1、44、45、43]。回想一下[8]，在相关模型上有一个定义良好的膨胀Δε。形式上，它是通过将W、W、cW的每次出现替换为该数量的ε倍来获得的。因此，膨胀适用于同质模型范数，| | |ΔεW | | | |=ε| | | W | |。下面的定理是完全确定的。定理B.6（随机泰勒展开）。设f为（充分）光滑函数。固定∈ 手动ε>0。如果W是一个模型（如前一节所述），那么Th（ΔεW）也是一个模型。

路径“粗糙/模型”积分ψ（ε）：=ZfεcWt+bhtd（Th（ΔεW））定义良好，ε连续可分，我们有剩余估计|ψ（ε）- Ψ(0) - εΨ(0) - （1/2）εψ（0）|=O（ε| | | | W | | | |），在ε| | | W |的有界集上有效。证据由于与例[43]的相似之处，我们将简要介绍一下。关于ε产量ψ（ε）=Zf（εcWt+bht）dWt+f（εcWt+bht）cWtd（ThδεWt）和ψ（ε）=Z2f（εcWt+bht）cWtd+f（εcWt+bht）cWtd（ThδεWt），以及类似的ψ（ε）=Z2f（εcWt+bht）cWt+f（εcWt+bht）cWtd（ThδεWt），我们无需详细说明。这里的所有积分都是通过Haier重建（H=1/2时的粗略积分）定义的，即作为适当的黎曼和近似的极限，涉及模型中的“基本”对象，例如RcWkdW；在引理B.2的证明中，还需要使用h的正则性。然后只需要检查ψ（ε）=O（| | | | W | | |），均匀地覆盖在ε上∈ [0，1]，这里我们精确地使用了ε| | | W | | |保持有界的假设。粗糙VOL渐近39附录C.关于我们感兴趣的最小调用Φ：（ε，M）7的局部分析→ ε（M），从（0，1）×M→ C[0，1]。这里我们限制为ε=0和H M、 其中元素h∈ H与标准升力L（H）=H一致∈ M、 回想一下，M中H-水平集的紧性是一个长期存在的假设（附录a，另请参见建议B.4）。这需要Φ的一个有用的正则性属性，仅限于Cameron–Martinelements。引理C.1。在附录A的设置中，假设Φ是M上的连续映射。那么Φ（h）：=Φ（h），被视为h上定义的映射，在轻度滥用的符号中，在有界集上是弱连续的。证据设Hn是弱极限h的有界序列∈ H、 我们显示L（hn）=hn→ L（h）=h英寸。实际上，通过{khkH的紧性≤ R} 在M中，我们沿着一个子序列hn→ k=L（k）inM，对于某些k∈ H、 根据附录A中提出的M结构，对于第一级Cα，我们在Cα中有hnto k的（强）收敛性( H） 。

这意味着k=h，所以h的任何子序列都会有一个进一步的子序列收敛到h，下面的声明如下。那么ΦonH的弱连续性是立即的。从这里开始，我们考虑Φ：H→ R、 更具体地说是Kx H、 x-容许控制的空间，即元素H∈ H： Φ（H）=x。当Kxis为非空时，能量∧（x）=infh∈HZ |˙h | dt：Φ（h）=x= infh公司∈KxkhkHis公司。C、 1。一阶最优性。在本节中，我们假设h 7→ Φ（h）是（Fr'echet）C，并考虑一个最小化x容许控制hxsuch thatDΦ（hx）∈ L（H→ R） 是满射的。这意味着（参见[12，p.25]）Kxto是hx附近的Hilbert流形，切向空间（C.1）KerDΦ（hx）=ThxKx={h∈ H:hDΦ（hx），hi=0}=：H.引理C.2（一阶最优性，拉格朗日乘子）。对于每个这样的最优控制hx，存在唯一的qx=q（hx）∈ R（思考：x处的切线空间∈ R） hx=DΦ（hx）*qx其中我们回忆起DΦ（hx）：H→ 所以它的伴随映射→ H，其中我们确定R*, H*分别为R、H。证据图DΦ（hx）*: R→ H⊥是一个一个。另一方面，由于hxis是一个极小值，因此h7的微分→khkHat hx在H上必须为零，即hhx，对于所有k，ki=0∈ Hso该hx∈ H⊥. 我们得出结论，存在一个（唯一的）值qx∈ R s.t.DΦ（hx）*qx=hx。每当能量∧为Cnear x时，我们可以看到qx=∧（x）。40 P.K.FRIZ，P.GASSIAT，P.PIGATOLemma C.3（一阶最优性和能量）。假设∧是Cnear x.（i）任何最优控制hx∈ Kxis是H 7的临界点→ -∧（Φ（h））+khkHso，对于所有h∈ H、 （C.2）hhx，hi=∧（x）hDΦ（hx），hi。（ii）g（ω）=g（W）=ε|ε=0Φ（hx+εW），我们有（C.3）Z˙hxdW=∧（x）g.证明。写入Φh≡ Φ（h）。

对于固定h∈ H、 定义（t）：=-ΛΦhx+th+khx+厚度≥ 0在t=0时相等（因为x=Φhx和∧（x）=khxkH），所有t均为非负，因为x+th是达到ex=Φhx+th的容许控制（因此∧（ex）=inf{…}≤khx+厚度）根据假设，∧是x的邻域，由于Φ也是（Fr'echet），Cit表示u=u（t）是Cnear t=0。因为u（0）=0和u≥ 我们必须有˙u（0）=0。换言之，hxisa是h 3 h 7的临界点→ -ΛΦh+khkH。因此，该映射在hx处的函数导数必须为零。特别是，对于所有h∈ H、 0个≡ -ΛΦhxhDΦ（hx），hi+hhx，hi=-∧（x）hDΦ（hx），hi+hhx，hi。点（ii）是（i）和引理8.2的结果。备注C.4（hx处容许控制的切线空间）。（C.1）与（C.2）的组合表明（C.4）ThxKx={hx}⊥=: H、 C.2。非简并性。对此，回想一下HX（假设）是一个能量最小值，它导致了一阶最优性条件（C.2）。在微积分中，作为一个极小值告诉我们一些关于二阶导数符号的事情。为此，请考虑Hessian ofI:h 7→khkHat hx公司∈ Kx公司 H为二次型，在H上为二次型。对于每k∈ H=thxkxwe可以找到Kx值的C曲线ε7→ κε，定义在ε=0附近，s.t.κ=hx和dκεdε|ε=0=k，andI（hx）[k，k]=ddε|=0I（κε）=limε→0εkκεkH- khxkH≥ 0，由临界性调整，即ddε|=0I（κε）=hhx，ki=0，然后是hx的最小值。对于I（hx）的显式表达式，我们引入A=Ax，H上的一个双线性算子，由A[k，l]=DΦ（hx）给出P⊥hxk，P⊥hxl型,粗糙VOL渐近41p⊥hxis在H上的投影={hx}⊥. 换句话说，就像在微分几何中一样，hessian A=轴A是相切空间ThxKx=H上的二次型。然后，我们用A对I（hx）进行了更明确的描述，参见假设（A5c）。引理C.5。

让k∈ H=ThxKx，然后一个hasI（hx）[k，k]=kkk- qxA[k，k]，其中qxis由引理C.2给出，当∧是Cat x证明时，等于if∧（x）。修复k∈ 手κε∈ kx，κε=hx+εk+rε，krεk=o（ε）。然后，约束Φ（κε）=x通过2阶泰勒展开式表示，即DΦ（hx）[rε]+εDΦ（hx）[k，k]=o（ε），并通过引理C.2ε-2hhx，rεi=-qxDΦ（hx）[k，k]+o（1）。因此我们得到i（hx）[k，k]=limε→0ε-2.kεk+rεkH+2 hhx，εk+rεi= kkkH公司- qxDΦ（hx）[k，k]。下面的引理不仅提供了极小值hx以及能量函数∧（x）在x中局部正则的条件，而且还表明相关的非简并条件在下面给出的精确意义上是“开放的”。（正如在RoughVol的例子中所看到的，推论7.1，这在具体情况下检查条件（A5）时非常方便。）引理C.6。假设Φ：H→ R在有界集上是弱连续的。假设hxis是Kx中唯一的极小值，Φ是Ck+1-Fr'echet，对于某些k≥ 1在hx的邻域中，DΦ（hx）6=0，且对于所有k 6=0，hxis在I（hx）[k，k]>0的意义下不退化。然后存在一个x和Ckmapsbh的邻域V:V→ H、 bq:V→ 因此，对于所有y∈ Vbh（y）=hy=arg min{khkH，Φ（h）=y}是Ky中唯一的极小化子，因此DΦ（bh（y））6=0，bq（y）=qy是引理C.2中（唯一）关联的拉格朗日乘子，而minimizerbh（y）=hy也是非退化的。最后，能量函数∧是Ck+1on V。证据我们首先指出，对于非常接近x的y，我们有Ky6=. 实际上，对于某些k，hDΦ（hx），ki 6=0∈ H、 我们可以取长度为1，反函数理论适用于ε7→ Φ（hx+εk）在ε=0时，则保证能量函数的局部可控性和局部有界性∧（y）=∧（Φ（hx+ε（y）k））≤khx+ε（y）kkH。

∧（x）+ε（y）。A Ck-mapψ：H×R→ H×R由ψ：（H，q）7定义，对于固定x，并注明ψ（hx，qx）=（0，x）→ （h）- qDΦ（h），Φ（h））。如【48，Prop.5.1】中所述，检查Dψat（hx，qx）的Fr'echet导数Dψ（hx，qx）是否为非退化的。然后，反函数定理产生ψ的局部可逆性和更精确的k函数bh，bq，使得对于x附近的y，ψ（bh（y），bq（y））=（0，y）和（bh（x），bq（x））=（hx，qx）。42 P.K.FRIZ，P.GASSIAT，P.PIGATOOne进一步认为，∧（y）=kbh（y）kh在Ky中识别bh（y）为最小值，但唯一性在[48]中没有处理。设hybe是Ky中的一个（可能不同的）极小值。如果DΦ（hy）6=0，引理C.2产生一个拉格朗日乘数qysuch，使用进一步的引理C.3，我们得到ψ（hy，qy）=（0，y），它通过局部可逆性识别（hy，qy）=（bh（y），bq（y））。为了证明DΦ（hy）确实是非零的，对于y与x足够接近的情况，假设对于某些序列yn，DΦ（hyn）=0→ x和极小值hyn∈ 金。由于khynkH=2∧（yn）有界，通过传递到子序列，我们可以假设hyn→ 很糟糕。反过来，弱连续性确保Φ（hyn）→ Φ（h），使h∈ Kx。因为标准是弱l.s.c.我们有Thatkhk≤ lim infnkhynkH=lim infnkbh（yn）kH=kbh（x）kH=khxkH，因此h=hx，上述不等式为等式。但这进一步暗示hyn→ Hx在H中很强，因此DΦ（hyn）→ DΦ（hx）6=0，矛盾。因此，我们已经证明了bh（y）=hy是Ky中唯一的极小化子，（通过IFT构造）从y强连续∈ R转化为H。利用bq的also连续性，以及我们的Fr'echet正则性假设的结果，DΦ的连续性，引理C.5表明I（hy）再次是非退化的。最后，得到了bh，k的Ck正则性≥ 1，表示∧（y）=khykH具有相同的规律性。

但引理C.3表明∧=bq∈ Ckso使影响∧∈ Ck+1，总是在x的某个附近。附录D.从期权价格到隐含波动率比例D.1。设置ε=t1/2，ε=tH，kε=xε1-2H>0，考虑形式的看涨期权价格扩展，σx≡ 2∧（x）/（λ（x）），（D.1）c（ε，kε）~ 经验值-∧（x）εεεA（x）（λ（x））σx√2πasε↓ 那么隐含（平方）波动率扩展（1.8）成立。形式（1.7）的putprice扩展也暗示了相同的扩展。证据写入Lt=-记录c（t，kt）并应用Gao–Lee【32，推论7.1-方程（7.2）】。然后（D.2）甘油三酯-（kt，Lt-对数（Lt）+对数（kt√π)) - σI（kt）= oktLtt公司其中G-（k，u）表示√2(√u+k-√u） 而高丽五世√tσI（kt）。我们计算-对数（Lt）+对数（kt√π） =λ（x）t2H- logA（x）（λ（x））σx√2π-对数（Lt）+对数（kt√π) - （1/2+2H）记录t+o（1）粗略VOL渐近43，并注意t中的对数项：-对数（Lt）+对数（kt√π) - （1/2+2H）对数t=(-（1/2+2H）+3H+（1/2- H） ）日志t-对数∧（x）+对数（x√π） +o（1）=-对数∧（x）+对数x个√π+ o（1）。索尔特-对数（Lt）+对数（kt√π) -∧（x）t2H~ -logA（x）（2∧（x））3/2（λ（x））σxx。现在，我们注意到（D.3）G-（k，u）=k2u-k4u+O库对于k/u↓ 右侧的第二项将渐近等效于（D.4）-如果H<1/2x2∧（x）对数（exp(-x） ）t+o（t），如果H=1/2。在这两种情况下，下一个术语kttlt=O（t1+2H）可以忽略不计。如果H<1/2，上面的方程式告诉我们tg-（kt，Lt-对数（Lt）+对数（kt√π） ）=xt1-2H2t∧（x）t2H- logA（x）（2∧（x））3/2（λ（x））σxx+o（1）+ o（t2H）=x2∧（x）+t2Hx2∧（x）log2A（x）∧（x）x∧（x）+o（t2H）。我们应用（D.2），注意到o（kt/（Ltt））=o（t2H），并且所要求的扩展如下所示，H<1/2。如果H=1/2，则术语（D.4）也相关。在这种情况下，一旦我们在（D.3）中考虑到这一术语，该声明遵循相同的方式。参考文献【1】Shigeki Aida。

紧黎曼流形上路径空间上schr¨odinger算子谱底的半经典极限。《功能分析杂志》，251（1）：59–1212007。[2] Elisa Al\'os、Jorge A Le\'on和Josep Vives。关于随机波动率跳差模型隐含波动率的短期行为。《金融与随机》，11（4）：571–5892007。[3] 格拉德·本·阿罗斯。方法拉普拉斯和韦纳河畔相位站。《随机》，25（3）：125–1531988年。[4] 罗伯特·阿森科特。泰勒随机公式和发展渐近公式。数学课堂讲稿第921卷《概率论》第十六期补编。，第237-285页。施普林格，柏林，纽约，1982年。[5] 罗伯特·阿森科特。系统动力学的小扰动：发展渐近性。《科学数学公报》，109（3）：253-3081985。[6] C.拜耳、P.K.弗里兹、A.古利萨什维利、B.霍瓦思和B.斯坦珀。粗略分数波动率模型中的短期近货币倾斜。《定量金融》，2018年第1-20页。[7] 克里斯蒂安·拜尔、彼得·弗里兹和吉姆·盖瑟尔。粗略波动下的定价。《定量金融》，16（6）：887–9042016年。[8] 克里斯蒂安·拜耳、彼得·弗里兹、保罗·加西亚特、乔·马丁和本杰明·斯坦珀。粗糙波动性的规则结构。《数学金融》，30（3）：782–8322020.44 P.K.FRIZ，P.GASSIAT，P.PIGATO【9】Carlo Bellingeri，Peter K.FRIZ和M’at’e Gerencs’er。奇异路径空间及其应用。印前XIV:2003.033522020。[10] G Ben Arous。D'发展无症状的切割轨迹。《普通高等学校年鉴》，第21卷，第307-331页，1988年。[11] 亨利·贝雷斯蒂基、杰尔·奥姆·布斯卡和伊戈尔·弗洛伦特。计算随机波动率模型中的隐含波动率。