精确渐近性：鲁棒随机波动率模型

尽管如此，我们可以精确地控制，适度的扩展本质上是从我们精确的大偏差估计的一致性中获得的。示例、稳健性和非退化性我们有兴趣重新定义命题4.8的大偏差期权价格渐近。为此，我们必须更明确地说明Xε的构造。基本设置是一个m维维纳空间C（[0，1]，Rm），配备维纳测度，作为过程（Xε）的公共基础概率空间，例如，构造为Tochastic It^o或Volterra微分方程的强解。在所有这些示例中，当白噪声˙W被某些Cameron–Martin元素˙h所取代（或干扰）时，（Xε）具有某种明显的意义∈ L（[0，1]，Rm）–这反过来又是大偏差（和精确）渐近的基础。如果想要对考虑中的维纳函数的起源不太明确，那么展示正确的抽象条件绝非易事，并导致各种“正则”维纳函数的概念[49]（适用于[48，52]中的期权定价）。我们的抽象假设，参见（A3）和（A4）有所不同：从某种意义上说，我们避免使用常规维纳函数，因为我们在稳定性意义上强加了“鲁棒性”，即适当增强噪声，从而恢复分析控制。为了激发和解释假设，在接下来的两节中，我们将考虑两类基本的随机波动率模型：经典StochVol和粗糙StochVol。在这些示例之后，第5.3节陈述了我们的稳健性和控制假设。5.1. SDEs和（经典）StochVol的案例。考虑一个强It^o SDE形式的n维微分，在小噪声区域Xε=b（ε，Xε）dt+σ（Xε）εdW，初始数据固定，由m维布朗运动W驱动。

此类小噪声方程的渐近分析是经典的，参见示例[4，5，3]。在（经典）StochVol设置中，Xε=（Xε，Yε）∈ R×Rn-其中，Xε具有价格（或对数价格）过程的解释，以及（n- 1） 波动性因素。固定ε>0。在b的标准假设下，σ在维纳空间上存在一个可测映射（“It^o-map”）φε，使得xε（ω）=φε（εW（ω））。假设b（ε，·）收敛（在紧集上一致）到b（0，·）为ε↓ 0，族（Xε）指数等价于φ（εW（ω））；FreidlinWentzell理论提供了此设置中的小噪声LDP，形式（！）给出了（良好）速率函数收缩原理和Schilder LDP在布朗运动中的应用。形式为（5.1）φε（εW（ω）+h）=φ（h）+εg（ω）+εg（ω）+···+εn的随机泰勒展开式-1gn-1（ω）+rεn（ω）14 P.K.FRIZ，P.GASSIAT，P.Pigato很容易通过正式计算获得（随后可以进行调整，包括剩余估计）。在Lyons的粗糙路径理论中，我们将噪声W增强为（随机）粗糙路径，形式为W=（W，W）=（W，RW dW）∈ Cα，α∈ （1/3，1/2），用It^o积分，使得φε（W（ω））=Φε（W（ω）），其中Φε是It^o-Lyons映射，已知对于合适的粗糙路径度量是局部Lipschitz连续的。我们还记得W≡ WIto6=WStrato=limη→0ZWη dWη，其中极限语句是著名的（Stratonovich）布朗粗糙路径的Wong-Zakai语句，参见例[29，Ch.3]；对于单位矩阵I，It^o-Stratonovich校正读取（5.2）Ws，t=-I（t- s） +limη→0ZWη dWη。缩放εW提升到粗路径扩张ΔεW：=（εW，εRWdW），使得φε（εW（ω））=Φε（ΔεW（ω））。（然后，粗糙路径拓扑中ΔεW的LDP提供了SDE的Freidlin-Wentzell大偏差的简单证明，参见例如。

[29，Ch.9]。）最后但并非最不重要的是，Cameron Martin translation W 7→ W+h偏移到粗路径平移，形式上由ThW=（W+h，R（W+h） d（W+h）），因此，对于固定的h∈ H和任意n=1，2。。。，（5.3）φε（εW（ω）+h）=Φε（Th（ΔεW））=Φ（h）+εG（W）+εn-1Gn-1（W）+Rεn（W）。我们坚持认为，第二个等式是一个纯确定性的“粗糙泰勒展开”，它只有在插入由布朗运动构造的随机粗糙路径W=W（ω）后才变得随机。这种构造（在[1、44、45、43]中发展）的要点是（5.1）中所有术语的鲁棒性，即（5.4）g（ω）=g（W（ω）），g（ω）=g（W（ω）），rεn（ω）=rεn（W（ω））。精确（确定性）粗路径估计，尤其是（参见[44，Thm.5.1]）（5.5）| Rεn（W）|。εn（1+| | | | W | | n），在δεW的有界集上有效，一致于ε∈ （0，1）。正如我们将看到的，扩展到订单2对于我们的目的是有效的。这里| | | | W | | |≡ kwkα+kWk1/22α是同质粗糙路径范数，如[29，Ch.2]中所示；同质模型范数的原型示例，参见附录。我们需要了解G、Gunder缩放和平移的行为。通过假设漂移消失到一阶，情况变得非常简单，这在短时渐近设置中是典型的（想想：b（ε，x）=εb（x）），即。εb（0，·）=0。然后εΦ(0, ·) ≡ ε|ε=0Φε（·）=0，对于所有ε∈ （0，1），h∈ H、 和W∈ Cα，（5.6）Φ（Th（ΔεW））=Φ（h）+εG（W）+εG（W）+R0，ε（W），连续线性G：=和连续二次G：=G-εεΦ（0，h）和R0，ε（W）的余数估计值与（5.5）中的完全相同。

这里我们称之为映射G:Cα7→ C[0，1]连续线性如果存在连续线性映射G:Cα→ C[0，1]，使得G（W）=G（W）。Wη是指η尺度下的软化→ 0，收敛于概率和Cα。粗糙VOL渐近15（作为平凡的结果，sup{G（W）：| | | W | | | |≤ 1} < ∞ G（TkδεW）=G（k）+εG（W）类似地，调用连续映射G:W 7→ C[0，1]连续二次if sup{G（W）：| | | W | | |≤1} < ∞ andG（TkδεW）=G（k）+εG（W，k）+εG（W），其中G（W，k）=G（W，k），对于连续双线性映射G:Cα×H→ C[0，1]。示例5.1（Black-Scholes）。设Xε=φ（ε，εB），φ（ε，B）=εu+σB。（此处无需粗糙路径提升。）Girsanov位移后εB→ εB+h，haveZε：=φ（ε，εB+h）=σh+εσB+εu，这允许读取f g，g（因此g，g，以明显的“路径”鲁棒形式）和零余数。注φ（ε，h）=σh+εu，因此εεφ（0，h）=u。（此处无需区分φ和Φ）。特别是G≡ 示例5.2（Stein-Stein）。对于给定参数，a≥ 0，b≤ 0，c>0，σ≥ 0，Stein–Steinmodel表示对数价格X，ρ相关布朗驱动因素W，W，dXε=-（Yεt）εdt+YεtεdfW，Xε（0）=X=0（5.7）dYε=（a+bYε）εdt+cεdW，Yε（0）=σ>0。对于二维标准布朗运动（W，W），我们可以取fw=ρW+ρW。对于更简单的表达式，取a=b=0，以便xε=-Z（σ+cεWt）εdt+Z（σ+cεWt）εdfWt。这是一个罕见且有指导意义的例子，其中可以明确地看到鲁棒形式：Xε是单位时间内（ε-扩张）布朗粗糙路径的一个明确函数。实际上，ΔεWmanifestlycontainsεW，εW，εRW dW，εRW dW，Xε是ε和这四个表达式中的二阶多项式。因此，在进行一些翻译后→ W+h，W→ W+h，我们有一个非平凡G的展开式（5.3），但余数Rε为零≡ 不难修改此示例，以便在随机泰勒展开式中看到ε（及更高）。

然后会有一个不消失的余数，一般来说，我们不能明确地写下来。5.2. 剧烈波动的情况。按照示例4.3的表示法，我们考虑粗糙波动率的smallnoise设置。Letσ（.）是标量函数。人们有兴趣避免σ（.）上的过度限制性增长条件例如包括指数函数（参见RoughBergomi[7]），而可以安全地假设σ（.）要平滑。召回bε=ε2H，H∈ （0，1/2）。回想一下，W=（W，W）由两个独立的（标准）布朗运动组成。这些用于构造fw=ρW+ρW和cw=KH*˙W，因此fw再次是一个标准布朗运动（ρ-与W相关），其中cw是一个分数布朗运动，仅依赖于W。注意，在不相关的情况下，fw=W；注：在H=1/2的情况下，也应注意W=W，这属于经典的StochVol设置。在处理Cameron–Martin路径h=（h，h）时，我们将使用相同的16 P.K.FRIZ，P.GASSIAT，P.PIGATOnotation，因此EH=ρh+ρh，bh=KH*˙h.在粗波动率下，（重标度）对数价格过程的形式为xε=ZσbεcWbεdfW-εbεZσbεcWdt。Girsanov位移bε（W，W）7后的随机Taylor展开→ （bεW+h，bεW+h），给出，Zε，h：=ZσbεcW+bhd[bεfW+eh]-εbεZσbεcW+bhdt公司≡ g+bεg（ω）+bεg（ω）+r（ω）。（5.8）（我们真的应该为rh写ghiand，类似的，但稍后h将被固定。）我们可以将o ffigandg（ω）理解为展开式zσ的零阶和一阶项（以bε表示）bεcW+bhd[bεfW+eh]=Zσ伯克希尔哈撒韦deh+bεZσ伯克希尔哈撒韦dfW+Zσ伯克希尔哈撒韦cW deh+bεZσ伯克希尔哈撒韦cW dfW+Zσ伯克希尔哈撒韦cWdeh公司+ . . .（5.9）但g（ω）的精确形式以及（5.8）中隐含定义的余数r（ω）需要以下区别：H=1/2的情况。

在这种情况下，bε=ε，bh=h，so（5.10）g（ω）=Zσ（h）cW dfW+Zσ（h）cWdeh-Zσ（h）dt注意，在这种情况下，余数r（ω）是（5.9）中的隐式（点）余数和ε乘以差值Zσ（εW+h）dt之和-Zσ（h）dt=O（εkW k∞;[0,1]），在{ω：εkW（ω）k上有效∞;[0,1]<δ}，对于任何有限δ，这表明该项对εkW k有贡献∞;[0,1]到余数，其中C可以作为σ的C-范数，限制为集合{h（t）的δ-脂肪化：0≤ t型≤ 1}.H<1/2的情况。在这种情况下，二阶（bε）项由（5.11）g（ω）=Zσ给出伯克希尔哈撒韦cW dfW+Zσ伯克希尔哈撒韦cwdeh，而余数r（ω）是（5.9）中的隐式（点）余数和-εbεZσbεcW+bhdt=O（εbε）=O（bε），在{ω：εkW（ω）k上有效∞;[0,1]<δ}，如前所述。稳健的形式。噪声W=W（ω）可以提升为（随机）模型W=W、 ZcW dW，ZcWdW。。。。∈ M有很多“构建块”，其中前几个已经列出。然后，粗糙波动下的（对数）价格过程可以写成连续图像Φ（W），参见【8】。通过VOL渐近17，一个重要的事实是，该模型的Wong Zakai近似值无法收敛（由于H<1/2），但在减去正确（发散）量的代价下，我们确实获得了上述模型（定义为It^o积分）作为极限；参见附录B。（虽然标准左点近似给出了感兴趣的“It^o模型”，但这种重整化的Wong Zakai近似稍后会派上用场，参见引理8.3。）卡梅隆·马丁空间通过翻译自然发挥作用。对于任何h∈ H、 我们有自然地图Th:M→ M、 带反T-h、 这“提升”了W 7的含义→ W+h，估计值（引理B.2），形式为| | | | | | | ||||W | | |+kh | | H。此外，这种翻译与维纳路径在意义上的卡梅隆-马丁位移一致h类∈ H:W（ω+H）=ThW（ω）a.s。

.与粗糙路径相似，上述模型的进一步膨胀定义为（5.12）ΔεW=εW，εZcW dW，εZcWdW。。。。∈ M然后我们得到zε，h（ω）=Φε（ThδbεW（ω））；在我们介绍的地方，对于任意M∈ M、 Φ（M）：=Zσ厘米dM，然后，对于每个ε≥ 0，Φε（M）≡ Φ（bε，M）：=Φ（M）-εbεZσ厘米dt。请注意bεΦ（0，·）≡ 我们在定理B.6中看到Φ（ThδBεW（ω））=Φ（h）+BεG（W（ω））+BεG（W（ω））+R（W（ω）），其中G，Gare分别是连续的线性和二次的，在这些概念明显地适应了正则结构和| R（W）|的当前设置。bε| | | | | W | | | | |在bε| | | W | |的有界集上。请注意，相应的展开式Φε（ThδbεW（ω））=Φ（h）+bεG（W（ω））+bεG（W（ω））+R（W（ω））可能不同，G=和G=G-bεbεΦ（0，h）和| R（W）|。o（bε）+bε| | | | W | | |。（当H<1/2时，我们有G=G，o（bε）-项可以更定量地写成bε×o（bε1-2H）。在H=1/2的情况下，我们有G6=G，反过来，o（bε）-项是o（bε）。）[8]中还给出了重定标提升噪声的LDP（在模型空间中），因此，在速度为bε的情况下，在没有对18 P.K.FRIZ，P.GASSIAT，P.Pigatovality函数σ（.）进行任何增长假设的情况下，会导致Φε（δbεW）的FordeZhang型大偏差。能量函数∧在零附近是光滑的[6]；此外∧（x）=khxkHin关于唯一非退化最小化控制路径hx=（hx，hx）。5.3. 假设（A3-5）：稳健模型规范和控制理论。根据上面的两个运行示例，一方面是基于经典Diffusion/SDE的StochVol，另一方面是基于UGHVol，我们现在介绍我们的一般条件。为方便读者，附录B详细介绍了第5.2节中讨论的RoughVol的具体规则结构。然而，我们没有进一步详细回顾SDE的（目前众所周知的）粗略路径方法。

这些例子合在一起构成了我们（资产价格）模型的关键例子，这些模型在（A3a）和附录a的意义上以直接的属性列表的形式进行了稳健的表示，这些属性已经在运行示例中强调，在续集中使用，熟悉大致路径和基本规则结构的人应该毫不奇怪，例如[29]。（A3a）存在一个正则结构，模型空间为M，可容纳M维布朗噪声，以及一个连续映射Φo：（ε，M）7→ ε（M），从[0，1]×M→ C[0，1]，这样我们就有了鲁棒表示，Xε（ω）=Φε（ΔεW（ω））a.s。其中，ΔεW是一个随机模型W=W（ω）的ε-扩张，该随机模型是由m维布朗运动W=W（ω）作为Wong Zakai型极限产生的，H通过平移th，H作用于该模型上∈ H附录A提供了更多详细信息。（A3b）Schilder型LDP在ΔεW的模型拓扑中保持不变，具有H 7给出的（良好）速率函数→KHKH时h=（h，…）是h的正则升力∈ H、 以及∞ 其他的注意，通过应用收缩原理，条件（A3）表示（Xε）的LDP，以及条件（A1a），具有良好的速率函数（5.13）∧（X）=infh∈H{khkH：Φ（H）=x}≡ infh公司∈KxkhkH，其中Kx H表示x-容许控制的空间，即元素H∈ H：Φ（H）=x，在H的正则升力H方面，我们滥用符号，写Φ（H）=Φ（H）。我们还假设一个稳健的“随机”泰勒展开式，但它是以纯粹确定性的方式表述的。注意是必要的，因为通常ε6=ε，并且Φε（ΔεM））6=Φ（ΔεM），其中Δε再次表示模型上的膨胀算子；参见附录A）设B为Banach空间（通常为C[0，1]或R）。我们称之为地图G:M 7→ B连续线性如果存在连续线性映射G:Cα→ 所以G（M）=G（M）。

作为（琐碎的）结果，sup{G（M）：| | | | M | | |≤1} < ∞ 对于所有ε≥ 0和k∈ H、 G（TkδεM）=G（k）+εG（M）。类似地，调用连续映射G:M 7→ B连续二次if sup{G（M）：| | | M | | |≤ 1} < ∞对于连续双线性映射G:Cα×H，andG（TkδεM）=G（k）+εG（M，k）+εG（M）→ 所以G（M，k）=：G（M，k）。这也是以下抽象条件（A5）的结果，稍后将在RoughVol示例中验证。每小时的粗糙VOL渐近19（A4a）∈ H存在（G0，H，G0，H，R0，H，ε），因此对于每个ε≥ 0和modelM=（M，…）∈ 我们有Φ（ThΔεM）=Gh+εG0，h（M）+εG0，h（M）+R0，h，ε（M）。Gh=Φ（h），连续线性G0，h:M→ R、 连续二次G0，h:M→ R、 使（h，M）7→ G0，hi（M）对于i=1，2和余数估计| R0，h，ε（M）|是连续的。o（ε）+ε| | | | | | M | | | | | | | h | | h上的统一估计。（A4b）类似地，假设存在（Gh，Gh，Rh，ε），使得Φε（ThΔεM）=Gh+εGh（M）+εGh（M）+Rh，ε（M）。具有相同的剩余估计值和GH（M）≡ G0、h（M）和Gh（M）≡ G0，h（M）+Kh，对于某些Kh∈ R、 假设（A4a）意味着Φ在H上的C（Fr'echet）可微性。事实上，对于某些连续的Gh，取M=hBE元素的正则升力hof H，（A4a）意味着Φ（H+εH）=Φ（H）+εGh（H）+εGh（H）+o（ε），Gh：H→ R在H上分别为线性和双线性。尤其是（Fr'echet）导数DΦ和DΦ定义良好。下一组条件具有控制理论性质，x>0固定，仅关注Φ=Φ作为从H到C的映射[0，1]。

回想一下Kx H表示元素H的空间∈ H：Φ（H）=x.（A5a）存在唯一的极小值hx∈ Kx，其中∧（x）=khxkH。（A5b）Φ：H→ R在hx处有一个满射微分，这里的意思是sdΦ（hx）6=0∈ H*.（A5c）最小hxis非退化，即对于所有0 6=h∈ H： ={DΦ（hx）}⊥,qxDΦ（hx）（h，h）<khkH，其中qx∈ R为hx=DΦ（hx）*qx。引理C.2中讨论了拉格朗日乘子qxis的存在性。请注意，假设（A5）在SDE上下文中是经典的，参见例如[5、48、16]。我们在附录C.2中讨论了进一步的假设（A5c），特别是它可以被视为I（h）：=khkwhen限制于Kx的Hessian的严格正性。还要注意的是，事实上假设（A5a）-（A5c）意味着∧是Cat x，然后其中一个简单地具有qx=∧（x），参见引理C.6。我们现在假设（A4）和（A5）。固定h=由（A5）提供的hxas和相应的roughTaylor项（x，Gx，Gx，Rx，ε）：=（Ghx，Ghx，Ghx，Rhx，ε）由假设（A4b）提供。设W=W（ω）为布朗运动的It^o升力。然后，我们定义（概率）对象（5.14）gx（ω）：=gx（W（ω）），gx（ω）：=gx（W（ω）），rx，ε（ω）：=rx，ε（W（ω））。20 P.K.FRIZ，P.GASSIAT，P.Pigato，因此Xε的hxGirsanov位移的随机泰勒展开式可以写成zε，X（ω）=X+εgx（ω）+εgx（ω）+rx，ε（ω）。我们在第5.1节和第5.2节中看到，条件（A4a-b）适用于经典StochVol（SDE）情况，以及RoughVol情况。期权定价：精确表示公式和渐近6.1。买入和卖出价格公式。我们现在可以陈述一个关键公式，该公式概括了[6]中考虑的全面买入价格公式，这是我们分析的核心。它适用于第5.3节的一般设置。